TỔNG hợp lý THUYẾT TOÁN THPT

ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Nội dung Trang LÍ THUYẾT LỚP 10 Chương 1: Mệnh đề - tập hợp…………………………………………………………… Chương 2: Hàm số bậc hàm số bậc hai……………………………………… Chương 3: Phương trình hệ phương trình…………………………………………… Chương 4: Bất đẳng thức………………………………………………………………… Chương 6: Góc lượng giác cơng thức lượng giác…………………………………… 10 Chương 1: Vec tơ……………………………………………………………………… 47 Chương 2: Tích vô hướng hai vec tơ ứng dụng……………………………………… 48 Chương 3: Phương pháp tọa độ mặt phẳng……………………………………… 50 LÍ THUYẾT LỚP 11 Chương 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác…………………………… 13 Chương 2: Tổ hợp – xác suất…………………………………………………………… 15 Chương 3: Dãy số - cấp số cộng – cấp số nhân………………………………………… 18 Chương 4: Giới hạn…………………………………………………………………… 19 Chương 5: Đạo hàm…………………………………………………………………… 23 Chương 1: Phép biến hình……………………………………………………………… 51 Chương 2: Quan hệ song song không gian……………………………………… 56 Chương 3: Quan hệ vuông góc khơng gian……………………………………… 59 LÍ THUYẾT LỚP 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số……………………………………… 27 Chương 2: Hàm số lũy thừa – mũ – logarit……………………………………………… 31 Chương 3: Nguyên hàm – tích phân…………………………………………………… 36 Chương 4: Số phức……………………………………………………………………… 43 Chương 1: Khối đa diện thể tích khối đa diện……………………………………… 61 Chương 2: Mặt trụ - mặt nón – mặt cầu………………………………………………… 63 Chương 3: Phương pháp tọa độ không gian……………………………………… 65 Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 LÍ THUYẾT ĐẠI SỐ LỚP 10 CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP A Mệnh đề mệnh đề chứa biến Mệnh đề: Mệnh đề câu khẳng định hoặc sai Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P, mệnh đề phủ định P là: ‘‘ Không phải P ’’ ta kí hiệu P Chú ý: Mệnh đề P P hai câu khẳng định trái ngược Mệnh đề kéo theo: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề kéo theo là: ‘‘Nếu P Q’’ kí hiệu P  Q Chú ý: + Mệnh đề P  Q sai P đúng, Q sai trường hợp lại + Trong mệnh đề P  Q thì: - P giả thiết ( hay P điều kiện đủ để có Q ) - Q kết luận ( hay Q điều kiện cần để có P ) Mệnh đề đảo: Mệnh đề Q  P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P  Q Mệnh đề tương đương: Cho hai mệnh đề P Q, mệnh đề tương đương là: ‘‘ P Q ’’ ta kí hiệu: P  Q Chú ý: Mệnh đề P  Q P  Q Q  P Cách phát biểu khác hai mệnh đề tương đương: - P Q - P điều kiện đủ để có Q ( Q điều kiện cần đủ để có P) Mệnh đề chứa biến: Ví dụ cho khẳng định ‘‘ + n = 4’’ Khi thay giá trị cụ thể n vào khẳng định ta mệnh đề Khẳng định có đặc điểm gọi mệnh đề chứa biến Các kí hiệu   :  đọc với mọi,  đọc tồn Ví dụ: Mệnh đề: ‘‘ Với x thuộc X, P(x) đúng’’, ta kí hiệu: ‘‘ x  X, P(x) ’’ Mệnh đề: ‘‘ Tồn x thuộc X để P(x) đúng’’, ta kí hiệu: ‘‘ x  X, P(x) ’’ Mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu ,  + Xét mệnh đề: ‘‘ x  X, P(x) ’’ mệnh đề phủ định là: ‘‘ x  X, P(x) ’’ + Xét mệnh đề: ‘‘ x  X, P(x) ’’ mệnh đề phủ định là: ‘‘ x  X, P(x) ’’ Chú ý: + Phủ định ‘ a > b’ là: ‘a ≤ b’ + Phủ định ‘ a = b’ là: ‘ a ≠ b’ + Phủ định ‘ a < b’ là: ‘ a≥ b’ + Phủ định ‘ a chia hết cho b’ là: ‘ a không chia hết cho b’ B Áp dụng mệnh đề vào suy luận tốn học Định lí chứng minh định lí: Trong tốn học, định lí mệnh đề Nhiều định lí phát biểu dạng: ‘‘ x  X, P(x)  Q(x) ’’ (1) Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 Có cách chứng minh định lí Cách 1: Chứng minh trực tiếp + Lấy x tùy ý thuộc X mà P(x) + Dùng suy luận kiến thức toán học để Q(x) Cách 2: Chứng minh phản chứng + giả sử tồn x0 thuộc X cho P(x0) Q(x0) sai, tức mệnh đề (1) mệnh đề sai + Dùng suy luận kiến thức toán học để mâu thuẫn Điều kiện cần, điều kiện đủ: a) Xét định lí dạng: ‘‘ x  X, P(x)  Q(x) ’’ P(x) gọi giả thiết Q(x) gọi kết luận định lí Định lí phát biểu: P(x) điều kiện đủ để có Q(x), Q(x) điều kiện cần để có P(x) b) Xét định lí ‘‘ x  X, P(x)  Q(x) ’’ ta nói P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) C Tập hợp phép tốn tập hợp Tập con: A tập B phần tử A phần tử B A  B   x, x  A  x  B  Tập hợp nhau: Tập A, B phần tử A phần tử B ngược lại A  B   A  B; B  A  Phép hợp: Hợp hai tập hợp A B tập hợp gồm tất phần tử thuộc A thuộc B A  B   x : x  A hoac x  B Phép giao: Giao hai tập A B tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A B A  B   x : x  A va x  B Phép lấy phần bù: Cho A tập E Phần bù A E tập hợp gồm phần tử E mà không phần tử A Hiệu hai tập A B tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A không thuộc B A \ B   x : x  A; x  B CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A Đại cương hàm số Sự biến thiên hàm số: Cho hàm số f(x) xác định tập D + f(x) đồng biến D x1, x2  D, x1  x2  f ( x 1)  f ( x2 ) ( đồ thị hàm đồng biến từ lên, từ trái qua phải) + f(x) nghịch biến D x1, x2  D, x1  x2  f ( x 1)  f ( x2 ) ( đồ thị hàm nghịch biến từ xuống dưới, từ trái qua phải) Khảo sát biến thiên hàm số: ta xét đồng biến, nghịch biến hàm số Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 Để khảo sát biến thiên hàm f(x) tập D, ta xét biểu thức: P  f ( x2 )  f ( x1 ) , x1, x2  D x2  x1 + Nếu P > hàm f(x) đồng biến D + Nếu P < hàm f(x) nghịch biến D Hàm số chẵn, hàm số lẻ: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D x  D   x  D + f(x) hàm số lẻ   f ( x)   f ( x) x  D   x  D + f(x) hàm số chẵn   f ( x)  f ( x) - Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 4.Tịnh tiến đồ thị: Cho đồ thị (C) hàm số y = f(x) số a , b, p, q dương Khi đó: + đồ thị hàm y = f(x – a) phép tịnh tiến đồ thị (C) sang phải a đơn vị + đồ thị hàm y = f(x +b) phép tịnh tiến đồ thị (C) sang trái b đơn vị + đồ thị hàm y = f(x) + p phép tịnh tiến đồ thị (C) lên p đơn vị + đồ thị hàm y = f(x) - q phép tịnh tiến đồ thị (C) xuống q đơn vị B Hàm số bậc hàm số bậc hai Hàm số bậc nhất: hàm số có dạng y = ax + b + Hàm số đồng biến a > nghịch biến a < + Bảng biến thiên: x +∞ -∞ y = ax + b a -∞ + Đồ thị hàm số đường thẳng ta gọi a hệ số góc đường thẳng y = ax + b Hàm số bậc hai: hàm số có dạng y = ax2 + bx + c + TXĐ: R b    b + Tọa độ đỉnh I   ;   với ∆ = b2 – 4ac, đồ thị nhận đường thẳng x   làm trục đối xứng 2a  2a 4a  + Bảng biến thiên x -∞ b - 2a ax2+bx+c (a > 0) x -∞ b - Δ - 4a y= - ax2+bx+c (a < 0) b  + a > hàm số nghịch biến khoảng  ;   , đồng biến khoảng 2a   Hoa nở ngậm đủ gió sương 2a +∞ Δ +∞ +∞ y= +∞ 4a -∞ -∞  b    2a ;     Page ThS Nguyễn Trọng Đoàn Miny =  SĐT: 0374 670 013  b x   , đồ thị có bề lõm hướng lên 4a 2a b  + a < hàm số đồng biến khoảng  ;   , nghịch biến khoảng 2a   Maxy =   b    2a ;      b x   , đồ thị có bề lõm hướng xuống 4a 2a + Vẽ Parabol ta cần lập bảng giá trị gồm điểm Hàm số trị tuyệt đối: Từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) ta suy cách vẽ: a) Đồ thị (C1) hàm số y  f ( x) + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên Ox qua Ox b) Đồ thị (C2) hàm số y  f  x  + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy qua Oy Bài toán tương giao: Xét Parabol (P) y = ax2 + bx + c đường thẳng (d) y = kx + m Xét phương trình hồnh độ giao điểm: ax2 + bx + c = kx + m (1) Số giao điểm (P) đường thẳng d số nghiệm phương trình (1) ngược lại CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Phương trình bậc phương trình bậc hai Phương trình bậc nhất: có dạng ax + b = (1) + Nếu a ≠ pt (1) có nghiệm + Nếu a = b ≠ pt (1) vơ nghiệm + Nếu a = b = pt (1) vơ số nghiệm Phương trình bậc hai: có dạng: ax2 + bx + c = (2) Ta xét trường hợp a ≠ Tính ∆ = b2 – 4ac + Nếu ∆ < pt (2) vơ nghiệm + Nếu ∆ = pt (2) có nghiệm (nghiệm kép) x   + Nếu ∆ > pt (2) có nghiệm phân biệt x  b 2a b   b   ;x 2a 2a Định lí Viet: giả sử x1 ; x2 hai nghiệm pt (2) ta có S  x1  x2   b c ; P  x1x2  a a Các toán liên quan phương trình bậc hai Xét phương trình: ax2  bx  c  Hoa nở ngậm đủ gió sương (1) Page ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 a) Phương trình (1) có nghiệm trái dấu ac  a   b) Pt (1) có nghiệm dấu    P   a     c) Pt (1) có nghiệm dương  S   P  a     d) Pt (1) có hai nghiệm âm  S  P   x1  k    x2  k    x1  k   e) Pt (1) có hai nghiệm x1 , x2 < k   x2  k   x1  k  x2  k   Định lí đảo tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai f ( x)  ax2  bx  c Giả sử x1 , x2 nghiệm pt f(x) = Khi đó: a) x1    x2  a f ( )    S  b) x1  x2        2 a f ( )    S  c)   x1  x2      2 a f ( )  a f ( )  d) x1      x2   a f (  )  a f ( )  e) x1    x2     a f (  )  a f ( )  f)   x1    x2   a f (  )    S    2  S g)   x1  x2        2 a f ( )   a f (  )   B Cách giải phương trình, bất phương trình vơ tỉ Phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối B  a) A  B   A  B B  c) A  B    B  A  B b) A  B  A   B d) A  B  A2  B2  ( A  B)( A  B)  Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Chú ý: Đối với phương trình, bất phương trình mà chứa nhiều giá trị tuyệt đối ta thường lập bảng phá dấu trị tuyệt đối để giải  B    A cã nghÜa e) A  B   B   A  B     A  B Phương trình, bất phương trình chứa thức a)  A  0( B  0) A B A  B b) B  A  B  A  B ý: Với phương trình, bất phương trình mà chứa nhiều trước tiên ta tìm điều kiện, sau ta biến đổi hai phương trình khơng âm bình phương c)  B   A  A  B   B     A  B2 e) B  A B A  B d) B   A  B  A   A  B2  Các phương pháp giải phương trình Phương pháp 1: Biến đổi tương đương - Ta đưa phương trình tích A   - Ta đưa tổng số không âm A  B  C   B  C   2 - Ta sử dụng phép liên hợp Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ - Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn( phương trình chứa x ẩn phụ t) Chỉ dùng đưa phương trình bậc hai định thức   b2  4ac số phương - Đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng phương trình tích - Đặt ẩn phụ đưa phương trình hệ phương trình Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta dựa vào điều kiện x để tìm điều kiện cho ẩn phụ t (rất quan trọng) Phương pháp 3: Phương pháp hàm số a) Xét phương trình: f(x) = k (1) - Nếu hàm số y = f(x) đồng biến nghịch biến tập xác định D phương trình (1) có nghiệm nghiệm b) Xét phương trình: f(x) = g(x) (2) - Nếu hai hàm số y = f(x) y = g(x) đơn điệu ngược liên tục tập D (Nghĩa f(x) hàm đồng biến g(x) hàm nghịch biến) phương trình (2) có nghiệm nghiệm c) Xét phương trình: f(u) = f(v) Hoa nở ngậm đủ gió sương (3) Page ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 - Xét hàm đặc trưng y = f(t) Nếu hàm f(t) đồng biến nghịch biến liên tục tập D ta có: f (u)  f (v)  u  v Chú ý: Điều kiện t hợp điều kiện u v Phương pháp hàm số giải bất phương trình a) Xét phương trình: f (x )  k (1) Bước 1: Nhẩm nghiệm x = x0 cho f(x0) = k Bước 2: Chỉ hàm số y = f(x) đồng biến nghịch biến tập D - Nếu f(x) đồng biến f (x)  f (x0 )  x  x0 - Nếu f(x) nghịch biến f (x)  f (x0 )  x  x0 b) Xét phương trình: f (x )  g(x ) (2) Bước 1: Nhẩm nghiệm x = x0 cho f(x0) = g(x0) Bước 2: Chỉ hàm y = f(x), y = g(x) đơn điệu ngược, giả sử f(x) hàm đồng biến g(x) hàm nghịch biến - Nếu x  x0 g(x)  g(x0 )  f (x0 )  f (x) - Nếu x  x0 g(x)  g(x0 )  f (x0 )  f (x) c) Xét phương trình: f(u) < f(v) (3) + Xét hàm đặc trưng y = f(t) hàm f(t) đơn điệu tập D - Nếu f(t) hàm đồng biến f (u)  f (v)  u  v - Nếu f(t) hàm nghịch biến f (u)  f (v)  u  v D Hệ phương trình Hệ phương trình bậc hai ẩn a1x  b1y  c1 Là hệ phương trình có dạng  a2x  b2y  c2 Ta tính định thức sau: D  a1 b1 a2 b2 ; Dx  c1 b1 c2 b2 ; Dy  a1 c1 a2 c2 Quy tắc nhớ: Anh bạn – cầm bát – ăn cơm a) Nếu D  hệ có nghiệm (x , y) với x  Dy Dx y  D D b) Nếu D  Dx  Dy  hệ vơ nghiệm c) Nếu D  Dx  Dy  hệ vơ số nghiệm Hệ phương trình đối xứng loại f (x , y )  Là hệ có dạng  g(x, y)  Hoa nở ngậm đủ gió sương Page ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Trong ta thay đổi vai trị x, y hệ phương trình hệ khơng thay đổi + Nếu (x0 ; y0) nghiệm hệ cặp (y0 ; x0) nghiệm hệ + Điều kiện cần để hệ có nghiệm x0 = y0 Cách giải: - Bước 1: Tìm điều kiện có - Bước 2: Đặt S = x + y P = x.y ( Đk: S2 ≥ 4P) Khi hệ chứa S , P - Bước 3: giải hệ tìm S, P Với S, P tìm x, y nghiệm phương trình: X2 – SX + P = f (x , y )  Là hệ có dạng  g(x, y)  Trong ta thay đổi vai trị x, y phương trình biến thành phương trình hệ Cách giải:- Bước 1: Trừ vế phương trình biến đổi phương trình dạng tích - Bước 2: Kết hợp phương trình tích phương trình hệ để tìm nghiệm CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A Bất đẳng thức Bất đẳng thức a) a  b2  2ab a, b b) a  b2  c2  ab  bc  ca a, b, c c)  a  b  c   3 ab  bc  ca    d) a  b2  c2   a  b  c  e) a  b3  a 2b  ab2 a,b,c a, b, c a, b  f) a 2b2  b2c2  c2a  abc  a  b  c  a,b,c g)  ab  bc  ca   3abc  a  b  c  h) a  b  c4  abc  a  b  c  i) a  x  b2  y2  a,b,c a, b, c a  b   x  y 2 a, b, x, y Bất đẳng thức Cauchy a) Cauchy cho số a, b  là: a b  ab , dấu ‘=’ xảy a = b b) Cauchy cho số a, b, c  là: a b  c  abc , dấu ‘ = ’ xảy a = b = c c) Cauchy cho n số a1, a2 , , an  là: Hoa nở ngậm đủ gió sương a1  a2   an n  a1a2 an , dấu ‘ = ’ xảy a1 = a2 = … = an n Page ThS Nguyễn Trọng Đoàn SĐT: 0374 670 013 Hệ quả: Cho a, b, c > ta có:  a  b 1) ab  a  b  c 4) abc  27 2) 1   a b ab 5) 1    a b c abc 3)  ab  a  b 2 6) 27  abc  a  b  c 3 7) a m n  bmn  a m bn  a n bm Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho a, b, c x, y, z số thực Ta có    1)  ax  by   a  b2 x  y2 , dấu ‘ = ’ xảy   a b  x y  2)  ax  by  cz   a  b2  c2 x  y2  z2 , dấu ‘ = ’ xảy a b c   x y z Hệ quả: Cho a, b, c tùy ý x, y, z > 0, ta có: a b a b2  a  b    a) , dấu ‘ = ’ xảy  x y x y xy a b c a b c2  a  b  c     b) , dấu ‘=’ xảy   x y z x y z xyz B Bất phương trình Dấu nhị thức bậc Nhị thức bậc có dạng f(x) = ax +b Phương trình f(x) =  x   b a b x Bảng xét dấu thể sau: - -∞ trái dấu với a f(x) = ax +b a +∞ dấu với a Quy tắc: Phải – trái khác Dấu tam thức bậc hai Tam thức bậc hai có dạng: f(x) = ax2 + bx + c Tính   b2  4ac a) Nếu ∆ < f(x) dấu với a với x b) Nếu ∆ = f(x) dấu với a với x   b 2a c) Nếu ∆ > f(x) = có hai nghiệm x1 , x2 ta có bảng xét dấu sau: x f(x) = ax2 + bx + c -∞ x1 x2 +∞ dấu với a trái dấu với a dấu với a Hoa nở ngậm đủ gió sương Page 10 ... Tập hợp phép toán tập hợp Tập con: A tập B phần tử A phần tử B A  B   x, x  A  x  B  Tập hợp nhau: Tập A, B phần tử A phần tử B ngược lại A  B   A  B; B  A  Phép hợp: Hợp hai tập hợp. .. Dùng suy luận kiến thức toán học để Q(x) Cách 2: Chứng minh phản chứng + giả sử tồn x0 thuộc X cho P(x0) Q(x0) sai, tức mệnh đề (1) mệnh đề sai + Dùng suy luận kiến thức toán học để mâu thuẫn Điều...ThS Nguyễn Trọng Đồn SĐT: 0374 670 013 LÍ THUYẾT ĐẠI SỐ LỚP 10 CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP A Mệnh đề mệnh đề chứa biến Mệnh đề: Mệnh đề câu khẳng định hoặc sai