TRUONG THCS LIEM PHONG
CONG THUC
TOAN M (a,b,c)
Trang 2
SO HQC VA DAISO
1) GIA TRI TUYET DOI
x khi x20 |x20,vreR
~x Khắ x<0
Với a>0 ta có Dbae| re x<-a
2) TINH CHAT CUA HAI Ti SO BANG NHAU
a+
Néu fas >
ad =be,
3) HANG DANG THUC DANG NHO
(a+b) =aỖ +2ab +b? a@ -b =(a-b)(a+b)
(a~b)ồ =a? ~2ab +bỲ
(4+b)` =a` +34ồb +3ab? + b` a +b =(a+b\(a? ab +b?) (aỞb)` =a`Ở3aồb +3ab? Ở b` đ`~b`=(a=b)(4 +ab+bồ)
Các hằng đằng thức mo rong
(a+b)` =a* +4a`b +6aồb? +4ab` +b` (a+b)` =a`=4a`b+6aồb) =4ab +b`
(atb+c) =a +b? +c? +2ab+2be + 2ea
aỖ -1=(a-I(a"' +a"? + 441)
a" Ởb" =(aỞbya" +a" + 4.ab"? +5") 4) CAN BAC HAI
VA conghia Ủ 4>0 V# =|4) Ý4>0,vA
Chú ý quan trọng:
V4BA\NB với B>0
c [4> [as
VAB =VANB néu ta VAB =V-AN-B néu eat
g-# ềle B VB B>0 B V-B AA y, [450 B
Trang 3
5) TAM THUC BAC HAI
1) Nghiém cia phurong trinh bic hai ax? +bx+ằ=0 (a #0) Đặt A=b` =4ác
ềNếu A <0 thì phương trình vơ nghiệm
+ Nếu A=0 thắ phương trình có nghiệm kép x =- a
ẹ Néu A>0 thi phuong trình có hai nghiệm phân biệt x,
Đặc biệt: Nếu a+b+e =0 phương trình có hai nghiệm xị =, x, =
Nếu a=b+e=0 phương trình có hai nghiệm x,
2) Định lắ Vi-ét
Gọi xẤx, là hai nghiệm của phương trình ụx? +bx+e=0 (a#0) ta có
S=x,+x, Pax == a Một số trường hợp áp dụng Vi-ét XP $x) = (a, 4%,)' - 2x, = 9? -2P
+ NOP ~ Xi +47) = (a +a) (H+ ~3ayy J=S(8? -3P)
xptx xì +; =GỲ +3i)! =2)Ợ =[G +x,)Ợ ~2xa, ỳÌ ~2(x/x,)ồ =(Sồ?~2P)?~2P? 11 xứ 8 xx P asta (ny Vy Ởnầ = VG, +5)? Ở 4a, = V8? -4P
3) Dấu của nghiệm
Phương trình bậc hai: ụx? +bx +e =0 (a #0) có hai nghiệm phân biệt:
Ix
: A>0
Cùng dấu <= P=xx,>0 Trái dấu cỪ P=x;x, <0
A>0 A>0
Hai nghiệm dương ẹ> ẢS=x,+xƯ>0 Hainghiệmâm {S=xƯ+x,<0
P=xa,>0 P
4) Dấu của tam thức bậc hai /(x)=ụx)+bx+e (ụ#0)
ẹ Nếu A<0 thì f(x) cing dấu với hệ số a, Vx
ẹ Nếu A=0 thì /(x) cùng dấu với hệ số a, Vx# 2 a
Trang 4
ẹ Néu A>0, goi hai nghiém la x,,x, (x, <x,) thi f(x) cùng dấu với hệ số ụ Vxe(Cs;x,)t/(x,:+2o) và Ặ(x) trái dấu với hệ số đ Vx Ạ(x:x,)
Từ đó suy ra
Ặ@)>0,W ẹ tt Ai #@)>0,VWx ẹ { ee A<0 a<0 a<0 v)<0,V: )<0,Và
Ặ@)<0,VWx ẹ {isp /#@)<0,VWx ẹ s
5) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai
Cho tam thức bậc hai ụxỢ +bx + =0 (a #0) và hai số ơ < 4 <a <x, qẶ(Ủ)<0
A>0 A>0
<x; <a & faf(a)>0 a<x, <x, faf(a)>0
s Ss
=<a 2 Soa
nex Pex, feo ` |w)<0 <<, <0 S | ` af (B)>0 ọ A>0 g<x<8<x,<e@15/)>9 f 2 af(p)<0 Ể<w/<x,<ẹ ie <8 as
a<><B
6) HE PHUONG TRINH BAC NHAT
ắ +hy=e
Cho hệ phương trình bậc nhất hai ân { Ộ* ệ #6 axthy
b, 5 [ear
Néu D#0 hé có nghiệm duy éu hệ có nghiệm duy nhất x=Ở*, y=Ở wee nese ay nhất x= DD D,
Néu D=0
+ Nếu D, 0 hoặc D, #0 thì hệ vô nghiệm
+Nếu D, =0 thì hệ có vơ số nghiệm
Trang 5
7) PHƯƠNG TRÌNH - BAT PHƯƠNG TRÌN!
1) Phương trình chứa căn
B20 sae
KH VA=VB = {| B20
A=
2) Bất phương trình chứa căn
A>0 A>0
⁄4<BỦ14B>0 ⁄4<BỦ4B>0
AcB ASB
a ae
8<0 8<0
VA>Be| A>B VAzBe A>, ;
B>0 B>0
B>0 ⁄4Ừ\Bẹ A>B
3) Phương trình có dầu giá trị tuyệt đối
B20
=B |4|= A=+B
Hs< [TU I4=ll=
4) Bắt phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
B>0 B>0
|A<Be l4|<Ừ<=
-B<A<B -BSASB
B<0 8<0
B>0 B>0
l|>Ừ< A>B |a>Be A>B
A<-B A<-B
l4|>|ụ|ẹ 4? >#*
5) Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối
⁄4=|B|Ủ 4=?
6) Bắt phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối
⁄4>|B| A>B ⁄4>|B|ẹ 4>
Va che (oe A<B* Vasil (te ASB
Trang 6
7) Cac bat phương trình khác
A=0
Ấ=0 B<0<4
AB<0ẹỦ Aso eu ele 0<A<B
ae A<B<0
A<0,B>0
8) BAT DANG THUC
1) Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
Cho x,y>0 thì x+y>24jxy Dấu Ộ=ồ xây ra Ủ x=
Mở rộng:
Cho x,,x;, xẤ >0 thì xị +x; + + XẤ>
Dau Ộ=" xay ra ẹ x, =x, = =4,
2) Bat dng thite Bunhiacopski
Cho 4 số thực @,,a, và bịẤb, Ta có
(ab, + 4;b,)ồ <(a +a2)(b} +2)
Diu Ộ= xayra = &
bb,
Mở rông: Cho hai bộ số thực (ụ,Ấụ, đ,) và (b,.b,, b,), mỗi bộ gồm ụ số
(a, +a,b, + +4,),) <(aj +a; + +a2)(bp +b) + +?)
3) Bat ding thire Trébusep (Chebyshev)
Cho hai day a, >a, > 24, va b, >b, > > 5, thì
n(a,b, + a,b, + +.4,b,) = (a, +4, + +.4, 0b, +B, +.)
=a,
=,
Nếu a, 2a, 2 24, va b, Sb, < <b, thi bat ding thite doi chiéu Dau Ộ=Ợ xay ra > {
4) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
IxI~l>I<I|x+>Ừ[<|x|*+lzl IxI~|zI<|x~>I<|*I*l>I
Trang 7
9) CAP SO CONG - CAP SO NHAN
(u,) la esc, cong said (u,) la esn, cong boi g
Dinh nghia 4, Inst =u,+d Uy =U,
Số hạng thứ n ty =0 +đ(nỞ]) 3 số hạng liên tiếp w CHẾ Tổng n số hạng đầu ẨM +, + +, _ nữ + t,) 2 Ở n[2,, + (n= )đ] 2
ề_ Tổng của một số dãy số có quy luật
1+2+3+ +Ấ= 50+) P+21+,,+nì= HE DCn sD 2 Pe? +40 =- L2323+ tn(+)= 5Ể 2+2) 10) TÔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN Số các hoán vị Số các chỉnh hợp Số các tô hợp Tắnh chất của tô hợp Nhị thức Niutơn =
= Cla" + Cla b+ Cha BE + Cab CIB"
12) GIOI HAN CUA HAM SO ẹ Cac phép toan vé gidi han
Cho f(x) va g(x) là hai hàm số có giới hạn khi x Ở xẤ Khi đó lim [,/(x) g(x)]= lim f(x) + lim g(x)
sm x ss Iim[/(x)g(9]= lim /(+).lim g(x)
ay oy)
Trang 8
lim f(x)
in LED 22?
lie a) tse) lim g(x) #0
lim gtx)
im[/@Ƒồ 1 lim re} dì
ề Một số giới hạn cơ bản
e_ Tắnh liên tục của hàm số
Cho hàm số y= /(x) xác định trên khoảng (ụ;b) Hàm số Ặ được gọi là liên tục tại
điểm xạ e(a;b) nếu lim = lim = Ặ(x,) nh lang
Hàm số / được gọi là liên tục trên khoảng (a;đ) nếu nó liên tục tại mọi
khoảng đó
Trang 9
1) CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Công thức cơ bản 8 Ọ sinx cosx
sinỢ X + cos tanx =ỞỞ cotx=
cosx sinx
1+tan? I+cot? x= sit tan x.cot x
Công thức nhân đôi
2tanx cofx=l sin2x=2sinx.cosx tan 2x = ỞỞỞ ỞỞỞỞ 2cotx cos2x = 1-2sin?x = 2cosồxỞl = cosỖxỞsinỖ x Công thức nhân ba
sin3x=3sinxỞ 4sin`x Ạos3x= 4cos`xỞ3eosx
z
x} tnsstn(E x) 3
sin nor = 2sin(n Ởl)at.cosa Ởsin(n Ở2)or cosna = 2cos(nỞlar.cosa ~ cos(nỞ2)ar
3tan x ~ tan` x x
tan3x = SSS = tan| = 1=3tan? x 3
3cotxỞcot! x cot3x= : 1-3cot* x Công thức hạ bậc
_ỞỞ ~Ạos2x cogx=Ở ^Ợ 2, _ L+cos2x
3 2
3sin x sin3x Ở
4 4
_ 4 cos4xỞ4cos2x +3 4 _cosdx +4eos2x +3 sinty= 99927 2e 2t) 8 cos! x = 29825120052 8 tả 1~cos2x 2, _L+cos2x ỞỞỞ cox=ỞỞỞỞ 1+cos2x I~cos2x âu điễn sĩ x
Biéu diễn sin x, cos x, tan x, cotx theo ặ= Đế
2r 1-7
1+ 1+f
sin tan cot
Trang 10
ềCông thức cộng
sin(x + y) =sinx.cos y-+cosx.sin y sin(xỞ y)=sinx.cos yỞcosx.sin y
tan x + tan tan(x+y) =e ny ~tanx.tan y tan an tan(xỞ y)= + tan x.tan y
ẹ Céng thức biến đổi tắch thành tông sinx.siny = looses ~y)~eos(x+ J)] cosx.cosy= Hleoscx ~y)+eos(x + y)]
sinx.cosy = 5 n(x = y) +sin(x + y)]
cosx.siny = : sin(y= y)+sin(x + y)]
tanx.tan y= Janet tay
cotx +coty
ề_ Công thức biến đổi tổng thành tắch
Hiện x+y xy
sinx +sin y =2sin2+cos =
a x+y xy
sin x -sin y= 2cos**Ợsin > 2 2 sin(x +
tanx-+tan y= SG +2) c08x.008 y sin(x
tan.xỞtan y= SG) 608.608 y
ẹ Céng thite dic biét khac
sinx +cosx = {5n x+2) Si =c0sx = {5sn(x-4)
1+sinx = 2eos'(=-2] 42 ltsin2x = (sinx+cosx)?
cos(x +y) = cosx.cos yỞsinx.sin y cos(x~ y) = cosx.cos y+ sinx.sin y
tx.coL col(x+y)=S? s2 Ở cot y +cotx sol+Ởy)=S6treoty+l
cot yỞ cot x
xiy x=
cosx-+c0s y= 2cos~ ~~ cost oxty 2 X 2
cosxỞcos y =-2sin> =" sin 7%
sin(x+
soty+eoty=ẾDỂE+2) sinx.sin y
sin(yỞ x wie wre SHÓ Ở3), sinxsiny
Beos{ Ừ-ặ)
- Poo x42) 4 I-sinx = asin
Trang 11
ề_ Các cung liên kết: Đối - Bù - Phụ - Hơn kém Z; a sin(-x)=~sinx (x sin| ỞỞx |=eosx (5) (i) sin| Ế-+x |=eosx 2 Si Ởx) =sinx si +x)=~sinx ềCông thức nghiệm x=ư +k2r sinx=sina | cosx=cosa => x=tat+k2r sinx =0 ẹ x=z sinx Leo x= 54 kn sinx=-Leox=Ở2 kon ề_ Giá trị lượng giác
=z-ữ+k2z cos(Ởx) =c0sx x F cos| ỞỞx |=sinx G ) x Ộ cos| 5 +x |=osinx cos(z x) cos(t +x) cosx ~cosx tan x = tan ẹ x =ụ +kZ cotx=cotaxsatkr cosx Oca x= Ft ke cosx=lẹ x=k2 cosx=ỞÌẹx=7Z+k2z Độ | 0 | 30ồ 90ồ 135ồ | 150ồ |_180ồ Gerad] o | Z 6 2 2 oe) =e 4 | 6 sm )o ft} 28) 1 5| 2 |2 2 | +] 2 12 0 cos |1 |2|12Z| 1o 5 | 2 |2 ney [8 + ử | 2 1 1 Tan 0 W 1 |Ml|s +1 | 0 1 Cot o |] 1 ae 0 +1 8 o
Công thức chuyển đổi đơn vị từ ụỢ sang x radian và ngược lại a?
x =
180ồ a ==180" z
Trang 12
12) KHAO SAT VA VE DO THI HAM SO
1) Đồng biến, nghịch biến
ẹ Dinh nghia
Cho him sé y= f(x) xác định trén khoang (a:b)
Nếu te <1 f@)</@) OP Wx, e (4;6) thì f(x) đồng biển trên (4;) ề
Nếu th hệ: /@)>/0) Vx,.x, Ạ(a;b) thi f(x) nghich biến trên (ụ;đ) 7?Ợ `
+ Dinh ly
Cho ham s6 y= f(x) c6 dao ham trén (a:b)
Néu f'(x)>0 Vxe(a;b) thi f(x) đồng biến trên (z;b)
Néu f(x) <0 Vxe(a;b) thi f(x) nghịch biến trên (4;5)
2) Cực trị
Cho ham sé y= f(x) c6 dao ham cap I va cap I tai x =x,
Hàm số đạtcục tỉ taix; ẹ | / 90 ồ SX) doidau khixdiquax, (ay Hầm số đạt cực đại ti x; <> 17,0) = UL G)<0 Q)
an gk BB ae f'(%)=0 2`
Hàm số đạt cực tiểu tại x) @)
/*)>0
Chủ ý: Điều kiện đề hàm số bậc ba y=ax`+bxồ+ev+d (a#0) có cực trị là phương trình y'~0 có hai nghiệm phân biệt
3) Tiếp tuyến
ẹ Cho ham sé y= f(x) c6 đồ thị (C) Goi M(x) là điểm thuôc (C) Phương trình tiếp tuyến của (C) tai M có dạng
Ấ=Ặf(w(xỞx,)+ Ặ()
Trong đó /'(x,) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc M
ẹ Diéu kign dé ham số y= Ặ{x) tiếp xúc với hàm số y= g(x) là hệ phương trình sau
có nghiệm
Reema #ỂỦ)=gỂ)
4) Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
ẹ Dang ỉ: Cho hàm số y= Ặ(x) có đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị của hàm số (C));
3¡=|Z@)
Trang 13
5)
Tacé (C):94 avef? neu y>0
-y neu y<0 Do đó đò thị (C,): y, =|/()| gồm 2 phần đồ thị: + Phan 1: La pl thị (C + Phần 2: Là phần đồ thị (C quaOx = f(x) nằm phắa trên Ox
= f(x) nim phia dui Ox lay d6i xing
Dang 2: Dựa vào đồ thị hàm số (C): y= /(+) Từ đó suy ra đồ thị của hàm số (Ạ;):y; =/(xl) Nhận xét: (C;):y; Ta có: Cị,=/0xp={ Do đó (C, + Phân + Phần 2:
Jf (|x|) là hàm số chẫn nên nhận @2y làm trục đối xứng
f(x) meux>0
(3) newx<0
= /(Ixl) có 2 phần đồ thị:
Là phần đồ thị của (C): Ợ= /(x) nằm bên phải Oy Là phần đồ thị ở phân | lay déi ximg qua Oy
Đạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số (C):y= Ặ(x) suy ra đồ thị của hàm số
Coys
Nhận xét: Nếu M(xu:y) Ạ (Cy) => M(xp3-:
Nên (C)):|Ừ.|= ặ0) thị Oy làm trục đối xứng aes (9: ne =y nên y20 y= f(x) nim phia trén Ox + Phần 2: Là phẫn để thị ở phần 1 lấy đối xứng qua Ox
Bồ sung lý thuyết
Phân giác góc phần tư thứ I, HI là y =x Phân giác góc phần tư thứ H, IV là
y=Ởx Phương trình trục ửy :y=0, phương trình true Oy:x=0
Cho hai duing thing d,: y=k,x+, va d,: y=k,x+b,
dị L4, ẹ kị&,=ỞI
Góc tạo bởi hai đường thẳng d, va d,
Cho đường thẳng d;ay + +c=0 Hai điểm A(x,:y,) và 8@,:y,)
Nam vé hai phia true Ox - yẤJẤ<0
Nam về hai phắa true Oy ồ XyXy <0
Trang 14
Năm vẻ hai phắa đường thẳng d
Nằm cùng phắa trục Óx Nằm cùng phắa trục Oy
Nam cùng phắa đường thăng d
Cách đều trục Ox
Cách đều trục Óy'
Cách đều đường thẳng d Cách đều điểm I
Đối xứng nhau qua d
Đối xứng nhau qua phân giác I, III Đối xứng nhau qua phân giác II, IV
Đối xứng nhau qua điểm M
39
00000000
9
(ax, +by, +ằ)(ax, +by, +e)<0
yyẤ>0 xua, >0
(ax,+by, +e)(ax, +by, +e)>0
ly vel Ix,Ilz;l 4 Aid) JA=IB bid) led AB Lu, ie J.=%
Mla trung điểm 4, 8
Trang 15
13) DAO HAM
ằ Dinh nghia dao ham
Cho hàm số y = f(x) xác định trén khoang (a, b), x, Ạ(a,b) Cho xo mét s6 gia Av Đặt Ay=f(x,+Ar)- f(y) Nếu tổn tại giới hạn Ge) đi giới hạn này được gọi là đạo hàm của hồm
m Lặ(%+4x)- $00)
Kỹ hiệt oy hiệp: /'(x,)= lim = ii ệuAy m ~
ẹ Các quy tắc tắnh đạo hàm
(eu} =ez- (e=eonst) (re) uy"
(wy)'=u'v+uv" (4) = Ế ề Bảng đạo hàm ("=m (uỖ) = mi (sinx)'=cosx ¡ Ginm) (Ạosx)'==sin x [ (Ạosu)"==w'.sinw 1 ý : Ọ
(tan x)'= ỞỞ=1+ tan? x cos?x (tanu)'=ỞSỞ= (1+ tan* wu) cos*u (cotx)'=-ỞỞ=-(I+ cot? x) (cotu)' =-(I+ cot? u).a"
ley ley=eẤ
(a*)'=a" Ina ¡ (4")'=w'a".Ina
(Inu)'= u
(log, u)'=Ở
ulna
Trang 16
14) NGUYEN HAM
ẹ Dinh ng!
Cho ham y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của
f{x) trên khoảng (a, b) nêu #Ợ'(x)= /(x)_Vx e(4,5) Kỹ hiệu: | Ặ()dk = Ƒ(+)+C (C là hằng số) ề Tinh chat Ji dae =k] fade J/otg@lae= J senact [g@)4 , bóp
Cơng thức tắch phân từng phần [xdỪ =[Ấw] ~ [du
ề_ Bảng nguyên hàm
ma a
x'dv=2Ở+C (n#-1 n+l (a+ bye AGO" antl ve net
dae x = In| x|4C
sin xdx =Ởcosx+C
cosxdx =sinx+C cos(ax +b) dx
sta =-cotx + tte =P cot(ax +) +0
sin? x sin'(ax+b) a 1 1 sdk = tanx+C dr = tan(ar +b) +C cos" x cos*(ax+b) a 1 arb Y edr=e"+C ede =e $C a a'dv=Ở 40 amd = Ina m Tớ Bảng nguyên hàm mở rộng 1 te x a x
ỞareTanỞ+c Vai =x de = Va? -x aren +e
a
a a
on 7 h
Tr aresin= +6 Ve thdv= 3A wh Stale de +i|xe
[revit ral +c
Trang 17
15) MU - LOGARIT
log" x =(log, x)" Igx = logx = log,, x Inx = log x
Từđó: Ở Igl0"=logl0"=lne'=z 1) Cơng thức mũ Điều kiện xác định: x" xác định c>x>0 Px" =x! Ủ% dpast ` 2) Công thức logarit eT ee Ở" x>0
Điều kiện xác định: log, x xde dinh <> a>0,a#1 log,x=b ẹ x=dỢ log, 1=0
log, x" =nlog, x log, += log, x n hue = chee jog, b= Ở log,a joe, b=ipg, clog log, b= 108-4
log.a
log, (xy) =log, x + log, y log, (2) =log,xỞlog, y Ừ
Chú ý quan trọng
log,xỢỢ = 2nlog, |x| với ụ nguyên dương và xz:0 log Ấ, = Float véin nguyén dong va a# {051} % "
3) Chiều biến thiên
| yaa yv=log,x
a>l Đồng biến Đồng biến
a<l Nghich bién Nghịch biến
4) Phương trình, bất phương trình
Trang 18
Phương trình, bất phương trình mũ
Ộa
ẶỂ)=ụG@)
AO >a & a>0
(a-D[/@)- g(x)]>0
f(x), g(x) xaedinh
Phương trình, bất phương trình logarith
0<a#1
log, f(x) =log, 2(x) ẹ Ý /(x) >0 (ựoae g(x) >0)
F(x) = gx) O<ael /@)>0 g@Ủ)>0 (a=D[Z@)~ụ@Ủ)]>0 log, f(x) > log, g(x) ẹ 16) SOPHUC 1) Dinh nghia
Cho s6 phite z=a+bi, v6i i? =-1
Phần thực: a Modul: la +h?
Phần ảo b Số phức liên hợp: a-bi
Chú ý; met "ể.`w
ềẹ- Các phép tắnh
Cho hai số phức z, =a, + bị va z,=4, +byi
2, +2) =(a,+a,)+(b, +b,)i lái =đ;) +(bị Ởb,)ỳ
(aa, + bby) + (ayb, -Ởab,)i
a, +b;
22, = (aa, ~ bb.) + (a,b, + a,b, )i
2) Dạng lượng giác của số phức
Với z=a+bi, đặt r a =4Ẽ+bẼ và góc ụ (rad) thỏa mãn }
Ta cé: z=r(cose +ising) la dang luong giac cua s6 phite trén
ề_ Các phép tắnh
Trang 19
Cho hai s6 phite z,= (cosa, +isina,) va z,=r,(cosa,, +isina,)
22, = 475 [c05(cr, +04) +isin(cz, +04] ẾL= 2 [cos(Ủ, Ởụ,) + isin(ụ, =ụ,)]
5 h
ồ O=o+k2n (ke2) 4-1 feos(-9) +isin(-9)] ar
Céng thite Moa-vro [r(cosỦ+isinơ)]'=r"(eosuơ+isinnơ) ne Z*
Căn bậc n của số phức 4z-W/(sỪ# PIO es T5) với k " "
Các công thức khác
z+
Mở rộng: Căn bậc hai của số phức
Cho số phức z=ụ+ỏi Nêu có số phức Ủ sao cho z=ụỢ thì Ủ được gọi là căn
bậc hai của Z
4] Na th ta, Va +h -a
Ộ| 2 2
Ộ| 2 2
Nếu ụ>0, các căn bậc hai của Zlà a
Nếu ụ<0, các căn bậc hai của Zlà a
Trang 20
1) CONG THUC TRONG TAM GIAC
Kắ hiệu
a,b,c: DO dai cae canh BC,CA,AB
RF? Bán kắnh đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
Pp Nita chu vi
mạch, Độ dài đường trung tuyến, đường cao kẻ tir A 1) Hệ thức lượng trong mọi tam giác
bồ+cồỞ2becosA
HUẾ cai sinC wap
sind sinB mi =2(b? +e 2 1 = absinC 20sin = abe 4R =pr ỔPCP
2) Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Trang 21
3) Tắnh chất các đường trong tam giác
G là trọng tâm tam giác ABC &
GM_1 GM AG
GA 2 AM 3 AM 3 8 c D, E là chân đường phân giác trong và ngoài #
của tam giác ABC
DB _ AB AB
DC AC AC Ọ eT b
4) Một số định nghĩa
ỘTrọng tâm: là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác
Trực tâm: là giao điểm của ba đường cao trong tam giác
ỘTâm đường tròn nội tiếp: là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác ỔTam đường tròn ngoại tiếp: là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác Nếu tam giác vng thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền
Trang 22
2) PHUONG PHAP TQA DQ TRONG MAT PHANG
1) Hệ tọa độ trong mặt phẳng
X0) j@:1)
Hl
1=
2) Vecto
Cho hai vecto a= (a,;a,)va b= (b,:0,) ẹ Dinh nghĩa ề Tắnh chất Độ dài vecto kỊ=++z =(đ;@,) ẹđ=@ỳ+a,} hà; lá,
Tổng, hiệu hai vecto 4+ = (a, 4b; a, ặb,) Nhân với số thực k ka = (kay; Ảa,)
Hai vecto bing nhau az =| 4
@ cing phurong 5 BkeR sao cho a=kb <> ab, =a,b,
Tắch vô hướng hai vecto ab = [al i}.cos(a,b) = a4 +b,
Góc giữa hai vecto cos(đ,) = ab lela
3 !Ủng đụng
Hai vecto vng góc alBeaB=0
A,B, C thing hang AB cing phuong AC <> AB=kAC
ABCD là hình bình hành AB= XX
Do-Ya Xec~%Ư
Diện tắch tam giác ABC S,
w=
3) Tọa độ của điểm
Cho hai điểm 4(x,;y,) và 8(xẤ;y;)
ẹ Định nghĩa A(;y,) @ OA=x,i+ 9,7
ẹ Tinh chat
Tọa độ 4 AB=Gụ=xjyyy ~ y)
Độ đài đoạn AB AB =|Af|= [@,=x,)` +0 =y)"
Trang 23
4)
Trung điểm I của AB
Tọa độ trong tâm AABC of Set gi 1c]
M chia AB theo tỉ số k MÁ=kMB a ake Jay
Phương trình đường thing
Định nghĩa
'Veeto n(ụ;b) ụ 0 có giá vng góc với đường thằng A là vecto pháp tuyến của A
Vecto ụ(ụ;b) # ỷ có giá song song với đường thắng A là vecto chỉ phương của A
Phương trình tơng qt đường thẳng A đi qua điểm M(x,:yẤ) và có VTPT n(a;b)
Aza(xỞx,)+b(yỞy)=0 Phương trình tổng quát đường thắng
ax+by+e
(voi a? +b? #0)
Phương trình tham số đường thắng A đi qua điểm AZ(x,:y,) có VICP u(a;b)
{; =x, tal
ÀỌ
y=y+bt
Phương trình chắnh tắc dung thing A di qua diém M(x,;y,) 66 VICP u(a;b) os (véi ab #0)
Néu a=0 hoặc ụ =0 thì đường thắng khơng có phương trình chắnh tắc
Phương trình đoạn chắn: Đường thang A di qua hai diém A(a;0), B(0;b)
A: emt (v6i ab #0) a Các trường hợp đặc biệt
Truc Ox A//Ox Truc Oy A//Oy
PT tong quat Ấ=0 x=0 A:x=n
5 x=i x=0 x=n
PT Chắnh tác A: A:
y=0 Ấ=m yet yet
Vị trắ tương đối của hai đường thăng,
Cho hai dudng thing A,:a,x+b,y +c, =0 và A, :axthy+e, Toa dé giao diém ciia A, va A, là nghiệm của hệ phương trình
ax+by+c=0
lh +buy+c;=0
Từ đó:
Trang 24
<> hệcó nghiệm duy nhất
<= hệcó vơ nghiệm , Ở ẹ> hệcó vô số nghiệm Đặc biệt: Nếu a,, b,, c, đều khác 0, ta có
z b,
- Acta, @ Set
a,b, bc
- Ali, @& & a be pa
ah 4
5) Khoảng cách và góc
ẹ Cho M(xysy)s đường thẳng A: ụv+By.+e =0 Khoảng cách từ điểm M đến A
[ay + by +e]
ẹ Cho hai diém A/(xẤ:yẤ) M(xy:y,) và đường thẳng A: ax+by+e=0
Hai điểm M, N nằm cùng phắa đối với A khi
(axu +, +Ạ)(aXy + byy +e) >0
Hai điểm M, N nằm khác phắa đối với A khi
(ary, +byy, +c)(ary +byy +6) <0
ẹ Cho hai dng thing có phương trình
A,:ax+by+e,=0 va A, :a,x+b,y+
Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi A, và A; có dạng axthyta ,axthyte,
=U
Ben a+b
Góc tạo bởi hai đường thăng trên
eos(AzA,)
6) Phương trình đường trịn
ẹ Phuong trình đường tròn tâm /(x,:y,), bán kắnh #: (x~x,)+(y= yẤ) =
ẹ Phuong trình tơng qt của đường tròn: xỢ + yỲ +2ụx+2by+e=0 (4ồ +b? >e)
có tâm /(-a;Ởb), ban kinh #=x[aồ +đồỞe
ẹ Duong thing A là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kắnh R: đ(;A)=#
Trang 257) Đường
ề_ Các yếu tổ của Elip
Phương trình elip:
Đặt b
Tiêu cự:
Toa dé hai tiêu điểm:
Độ dài trục lớn Độ dài trục nhỏ ỔTam sai: Đường chuẩn:
M(x:y) là điểm bắt kì trên Elip:
ME, +ME,=2a MH=a+ Sx=a+e Ở Ml=a-Sx=a-e a a
=acost
ẹ Phuong trình tham số của elip [ 46951 20.2) y=bsint ẹ Phuong trinh tiếp tuyến với elip tại điểm M(x);y,) Ạ(E) la: (A)
Duong thing (A): Ax +By+C =
8) Đường Hypebol
e Các yếu tố của Hypebol
Phuong trinh hypebol:
Dat P+h
Tiêu cự:
Tọa độ hai tiêu điểm:
Trang 26
M(x;y) la diém bat ki trén hypebol:
Ấ [MH, x>0, tạ có ME tex ~(a+ex) x<0, tạ có MF, =-(-a+ex) {Mi atex
ẹ Phuong trinh tiép tuyén với hypebol tại điểm AZ(:)Ấ)e(): (A)
ẹ Duong thing (A): Ax + 8y+Ạ =0 là tiếp tuyến của hypebol (H) Ủ A?a* Ở B*b? =C?
9) Đường parabol
ẹ Các yếu tố của Parabol
Phuong trinh parabol: y?=2px (p>0)
"Tọa độ tiêu điểm F: (8 9)
Đường chuẩn: (A):x+=0
ề_ Phương trình tiếp tuyến với parabol tại điểm AZ(x,:yẤ) e (P) là:
(A): YoY = PA+%)
Duong thing (A): Ax + 8y+Ạ =0 là tiếp tuyến của parabol (P) Ủ #Ợp=24C
Trang 27
3) HINH HQC KHONG GIAN
1) Các định nghĩa
Giao tuyến: Hai mat phẳng cắt nhau theo một đường thẳng thì đường thẳng đó được gọi là giao tuyên của hai mặt phẳng
Hình chóp đều là hình chóp có đáy đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau
2) Chứng minh ba đường thing a,b,c đồng quy
Tim ba mat phẳng (P), (Ó), (R) sao cho
a=(')a(ử).b=(ử)(R), e=(R)(P)
3) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ụ.L 6
+ (Định nghĩa 1r97): Nếu một đường thằng vng góc với một mặt phẳng thì
nó sẽ vng góc với mọi đường thăng nằm trong mặt phẳng đó 1 Tim mat phing (P) sao cho bc(P) =alb
a1(P)
ề _ Nếu một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thằng song song thi
vng góc với đường thăng còn lại Le
Tim đường thẳng e sao cho | Ộ7ồ => z.Lb bile
ẹ (Nhén xét ir 94): Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì vng góc với đường thẳng cịn lại
allaỖ
Tìm hai đường thăng a' và đ* sao cho 4 b//b' => a.Lb ab
ẹ (Tinh chat 5 ~ tr 99): Cho đường thẳng a va mặt phing (P) song song vi nhau
Đường thắng nào vng góc với /P) thì cũng vng góc với ứ Đ)
Tìm mặt phẳng (P) sao cho thị Ể)
ề(Định lý 3Ở 0r100): Cho đường thẳng a
đường thằng ở nằm trong (P) Khi đỏ, điều kiện cần và đủ để Ừ vng góc với a là b vng góc với hình chiếu của ụ` của ụ trên (7)
Tìm hình chiếu z' của ụ xuống (P), nếu a'.Lb = a.Lb
ụ góc với mặt phẳng /P) và
4) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng # L(P)
ề(Định 1ý 1 tr97): Nêu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phăng (7) thì đường thẳng đ vng góc (P)
Trang 28
: ld
Tim hai duong thang ac(P) va b =(P) sao cho frig =d1(P)
ề_ (Tắnh chất 3 - tr 98): Mặt phẳng nào vng góc với một trong hai đường thăng
song song thì cũng vng góc với đường thăng còn lại
d/id'
Tìm đường thing dỖ sao cho kh {in te adler)
ẹ (Tinh chat 4 Ở tr 99): Đường thẳng nào vng góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vng góc với mặt phăng cịn lại
(P)/KQ)
Tim mat phiing (Q) sao cho fie =41(P)
* (Định lý 3 Ở tr 106): Nếu hai mặt phẳng (P) và (O) vng góc nhau thì bất cứ đường thing d nào nằm trong (2), vng góc với giao tun của (P) và (Q) đều
vuông góc với mặt phẳng /P)
dc(Q)
Tim mat phang (Q) sao cho }(Q)L(P) =đ.LỂ)
410)a(0)
* (Hệ quả 2 Ở tr 107): Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vng góc với mặt phăng thức ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
(a) LP)
Tìm hai mặt phẳng (ụ) và (8) sao cho }(B)L(P) = d L(P)
d=(Ủ)ể(8)
5) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc (P) L (Ó)
ẹ inh by 2Ở tr 105): Nêu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với
một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vng góc với nhau
- dc(P)
Tìm đường thing d sao chi ìm đường thang d sao cho {cor Ừ) LO) P) LQ}
6) Khái niệm góc
ề_ Góc giữa hai đường thẳng d, va d, là góc giữa hai đường thẳng d," va d," cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d, và đ,
+ _ Cho đường thẳng Ư khơng vng góc (7), góc giữa đường thẳng Ư' và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thăng d va hình chiếu Ư" của ở trên (P)
ẹ_ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai
mặt phẳng đó - -
Chú ý: Khi hai mặt phẳng /P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyén d, dé tắnh góc
giữa chúng, ta chỉ việc xét mặt phăng /R) vng góc với d, lần lượt cắt /?) và
(Q) theo các giao tuyến p và g Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa p và
Trang 29
4) PHUONG PHAP TQA DO TRONG KHONG GIAN
1) Hệ tọa độ trong không gian
7(:0:0), 7(0;1;0), (0;0:1) 2) Các trường hợp đặc biệt ẹ Mặt phẳng tọa độ, trục tọa độ Mat phing | Phươngtrình | Vecto pháp tuyến Điểm M
(Oxy) z= n=k=(0:0:1) M(x:y:0)
(Qyz) x=0 i =(1,0;0) M(0;y;z)
Ở (0) Ấ=0 n= j=(0:1:0) M(x;0;2)
(True Vecto chi phuong Diém M
Ox =i=(1:0;0) A(x:0;0)
Oy =(0:1:0) M(0;y;0)
Oz (0:0:1) M(0:0:2)
ề Hình chiếu, điểm đối xứng của Ả⁄(x;y;z) qua các mặt tọa độ, trục tọa độ
Hình chiêu của M xuông Điểm đối xứng của M qua
True Ox (x;0;0) Truc Oy Truc Oz Mat (Oxy) Mat (Oyz) Mat (Ozx) Diém O
3) Vectơ trong không gian
ẹ Dinhnghia Ủ=(x;y;z) u=xityj+zk
ềTắnh chất
Trang 30
Cho @=(a,3a,;4,) va b= (b3b,3b,) Độ dài vecto
ỘTổng hiệu hai vecto
Nhân một số với một vecto
Hai vectơ bằng nhau
đ cùng phương ở
Ba vecto đồng phẳng [itp
Tắch vô hướng Tắch có hướng
Góc tạo bởi hai vecto
ẹ Ứng dụng vectơ
Hai vecto vng góc nhau
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
ABCD là hình bình hành Diện tắch tam giác ABC Thể tắch tứ diện ABCD
Thẻ tắch hình hộp ABCD.AỖBỖCỖD"
4) Tọa độ của điểm
ẹ Địnhnghĩa M(x;y;z) e OM =(;y;2)
ề Tắnh chấ
Cho A(x,;y,;Z,) và B(,;yẤ:Z,)
Toa dé vecto AB=(x,- X39 5-
Độ dài đoạn thẳng 4= {aB| =
atb=(a,th:a, ka= (kay; ka,
cos( a,b) = Rr P Varta Ở 2, (5-4) +g Ya) + Za Z4 b= rane a,+b,) (keR) ka,)
ab = [al |5].cos(a,b) = a +a,b, +a,
alla, alla, a, al |b, Ổ) ab tab, tab, +4; +a) A[bỆ + bệ + bệ albeab=0 AB cing phuong AC [4B,4C 4D =0 AB=DC ấp =3[25.4c] Visco = [4B.4c] AD|
Vasco e+Ừ =| AB.AD | AA
)
Trang 31
M là trung điểm của đoạn thẳng AB M[X Xu hs)
Xp tXptXe Yat Vet Vo 24 tip t
3 3 3
G là trọng tam ciia tam gite ABC: G
Điểm M chia AB theo tis6k <> MA=kMB => M[
5) Phương trình mặt cầu
Dang 1: PTMC (S) có tâm I(a; b; c) va bán kắnh R:
Ể~@)ồ+(@~B)ồ+(zỞe)ồ = RẺ
Dạng 2: Phương trinh x? +y? +2? +2ax-+2hy +2cz +d =0 la PTMC tim I(-a;~b;-c), ban kinh R=Va +h +0 Ởd (voi a +h? +02 -d >0) 6) Phương trình mặt phẳng
PTMP đi qua điểm A⁄,(x,:7:z,) có VTPT ự=(4;8;C) là:
A(x=x,)+ B(y~ yạ)+C( Ởz,)=0
PTTQ của mặt phẳng: 4x+ By+Cz+D=0 v6i Ấ=(44;B;C) là vecto pháp tuyến
PTMP di qua A(a;0;0), B(0;b;0) va C(0;0;c) (véi abe # 0) có dạng x.yZ
Sg Mm abe
7) Phuong trình đường thắng
PTTS của đường thẳng d đi qua điểm A/,(x,:y,:z,) và có VTCP đ= (4:đ;:đ,)
x=x +a/t
(4):|y=w+ay ứỂẠR) 2=, +áy,
Néu a,.a,.a, #0 thi (d): là PTCT của đường thẳng d
8) Cơng thức góc, khoảng cách
Góc giữa hai vecto ứ và v
Góc giữa hai đường thắng
Trang 32
Góc giữa hai mặt phẳng (ụ) và (8) cos((a),(B)) = h
ki he,
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (2) sin(2,(ụ)) |
Khoảng cách từ điểm AZ(x,:y,:z) dén mat phang (P): Ax + By+Cz+D=0 a [Ax + Byy +Cz, + D]
Khoảng cách tử điểm A/(x,:yẤ:z,) đến đường thẳng đ:_ đẤẤ,=
Khoảng cách giữa hai đường thằng chéo nhau d,, đ, :
ề_ Trường hợp đặc biệt
Nếu d,//d, Khoảng cách đ,Ấ đ, được tắnh theo một trong hai cách sau
CH lấy Med,=d,Ấ,=du,
C2: Lấy Ned,=>d, Kaas) = Avia)
Néu (P)//(Q) Khoang céch gitta (P) va (Q) được tắnh theo một trong hai cach
Cl Lay Me(P)>d,,
C: Ne(0)=>4, ke.o) =A xin) 0) = Aang)
Nếu đ//(P) Khoảng cách giữa ở và (P) được tắnh theo một trong hai cách CŨ: Lay Med = dyn) =duyp,
C2: Lay NE(P)> dy = Ayia)
9) Vị trắ tương đối
ề_ Vị trắ tương đối của hai đường thăng
di, d" đồng phẳng [mm jaar 0 d, d" chéo nhau ẹ[8a2]AMM'+0
Ấ s2 ]#0
4, d" song song song song => [ian] 8 4, d" cắt nhau cắtnh [iat] a7 Đ
đi, d" vuông gốc @ ứ.L ` Ạ> ra =0
Chú ý: Để hiểu các công thức ở trên, ta dùng các công thức vecto sau
Trang 33
Hãi veeto ¡ va ở cùng phương <>[ 1, ]=6 Ba vecto 11, ầ và u đồng phẳng ẹ>[ ứ,v
Vi tri tương đối của hai mặt phẳng
() cắt (ử) =n, khong cùng phương, ẹ [mẤ my
(P) vuông oe (Q) dng Sng
(P)song song (Q) > _Ở_n, cling phurong 1, Ắ [m tạ ] =6
Vi tri tương đối của đường thăng và mặt phẳng
x =3, +ất
Cho đường thẳng đ: 4 y= yẤ + bắ và mặt phẳng (P): 4x+ By+Cz+ĐD=0
Z=Z,+et
Xét phuong trinh A(x, + af) + BQy +B/)+CỂ, +e)=0 (7 lẫn) Ở Ể) Nếu (*) vô nghiệm 2 d/(P)
Nếu (*) có một nghiệm Ầ đ cắt (P) Nếu (*) có vô số nghiệm o dc(P)
ỉ trắ tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tam I, ban kinh R (P) tiếp xúc (S) ồ da m=
(P) cat (S) ồ đụ <R
(P) không cắt (S) 2 dan >R
Vị trắ tương đối của đường thẳng đ và mặt cầu (S) tim I, ban kinh R
đ tiếp xúc (S) 2 duy=R
4 cắt (S) 2 đu <R
d khong cit (S) 2 duy>R Vi tri tương đối của hai mặt cầu
(S)) (S,) ngoài nhau <> 1, >R +R,
(8) (S,) trong nhau ẹ LJ, <|R,-R,| (S,), (S,) tiếp xúc ngoài 2 ll,=ứ+N (S,) (S,) tiếp xúc trong ẹ_ 11,=|R-RỊ|
(51) (S,) cắt nhau theo một đường tròn ẹ |, = &|< 11, < ứ + R,
Trang 34
CAC CONG THUC KI
1) Công thức tắnh chu vi, diện tắch, thể tắch
ẹ Công thức chu vi, diện tắch
Kắ hiệu: S - Diện tắch, P Ở Chu vi A
Tam giác ` S=}AH.BC 2 P=AB+BC+CA ẽ H 4 B Hinh thang \ ga(AB+CD)AH 2 b_Ap+BC+CD+DA D 4 H e A B Hình bình hành: S=AB.AH P=2(AB+BC) H ke F Hinh thoi: ; S= ACID P=44B fl 8 ằ Hình chữ nhật S=AB.BC P=2(AB+BC) D Ạ A B Hình vng: S=AB P=4AB D Ạ Đường tròn: S=zR? P=2aR Hinh quat: s=<R 2 l=aR R
I: D6 dai cung,, o:rad
Trang 35
ề Công thức thể tắch
Kắ hiệu: S Ở Diện tắch day, h ~ chiéu cao, R ~ Bán kắnh hình cầu