TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3

PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG : 1/... PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG: 1/... d abNHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN... B A  ĐƯỜNG VUÔNG G

Ax = B

 A  0 : phương trình có nghiệm duy nhất x  B A

 A = 0 và B  0 : phương trình vô nghiệm

 A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm

Ax > B

 A > 0 : x  B A

 A < 0 : x  B A

 A = 0 và B  0 : vô nghiệm

 A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm

NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ 1/ Dạng : 

a

c by ax

b a b a

/ /  



b c cb b c b c

/ /  



c a ac c a c a

/ /  

 D = 0 và Dx  0

Hệ vô nghiệm

D = 0 và Dy  0

 D = Dx = Dy = 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a/, b/, c/

NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN

x

2 2

/ / 1

/ / 2

/ 2

f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a

f(x) = ax2 + bx + c ( a  0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)

f(x) cùng 0 true 0 cùng

dấu a

NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI

VỚI CÁC SỐ

Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a  0) và ,  là hai số thực

1/ Muốn có x1 <  < x2 ta phải có af(x) < 0

2/ Muốn có x2 > x1 >  ta phải có 

0 )

( 0





S af

3/ Muốn có x1 < x2 <  ta phải có 

0 )

( 0

0 ) (





af af

5/ Muốn có x1<  < x2 < ta phải có 





 0 ) (

0 ) (





af af

2 1

x x

x x

(

0 )

S af

 Chú ý:

1/ Muốn có x1 < 0 < x2 ta phải có P < 0

2/ Muốn có x2 > x1 > 0 ta phải có 

S P

3/ Muốn có x1 < x2 <  ta phải có 

S P

0

2

2

hayB A

B A B

B A A B

B A

A B

A

2 2

0 0

B

B A B A B

A

) ( ) ( )

( )

(

x

x g x f x

x g x f x

g x

B

B A

B B A B B

0 ,

c bc ac

c bc ac b

0

; 1 1

ab khi b a

ab khi b a b

n

a a

a a a a a

2 1

Dấu đẳng thức xảy ra  a1 = a2 = a3 = = an

4/ BĐT Bunhia Côp ski :

Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn là những số tực khi đó:

)

)(

()

2 2 1

6/ BĐT tam giác :

B A B

A  

Đẳng thức xảy ra  AB  0

NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )

1/ Sin2xCos2x 1

4/ Tanx.Cotx 1

5/

x Cos x Tan2 12

6/

x Sin x Cot2 12

Điều kiện tồn tại :

 Tanx là x  / 2 + k , k  Z

 Cotx là x  k , k  Z

 Sinx là – 1  Sinx  1

 Cosx là – 1  Cosx  1

Chú ý :

 a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab

 a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)

B CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )

7/ Cos(ab) CosaCosb SinaSinb

8/ Cos(a b) CosaCosbSinaSinb

9/ Sin(ab) SinaCosbCosaSinb

10/.Sin(a b) SinaCosb CosaSinb

11/.Tan a b Tana TanaTanb Tanb







 1 ) (12/

TanaTanb

Tanb Tana

b a Tan







 1 ) (13/.Cot a b CotaCotb Cota Cotb

Tana a

1

22





II NHÂN BA : ( 3 công thức)

18/ Cos3a  4Cos3a 3Cosa

19/ Sin3a 3Sina 4Sin3a

20/

a Tan

a Tan Tana a

331

33

a Sin    1  Cos2a  2Sin2a

22/ 2 1 Cos2 2a

a Cos    1 Cos2a 2Cos2a

23/

4

3 3

3 Sina Sin a a

2Cos a b Cos a b Cosb

29/ Cosa Cosb  2Sin a2b Sin a2 b

30/

2 2

2Sin a b Cos a b Sinb

31/ Sina Sinb 2Cos a2b Sin a2 b

32/ TanaTanbCosaCosb Sin( a b)

33/

CosaCosb

b a Sin Tanb Tana  (  )

34/

SinaSinb

b a Sin Cotb Cota  (  )

35/

SinaSinb

b a Sin Cotb

a Cos

F CUNG LIÊN KẾT :

Cos đối Cos(–) = Cos ; Sin(–) = – Sin

Sin bù Sin( – ) = Sin ; Cos( – ) = – Cos

Phụ chéo Sin(/2 – ) = Cos ; Cos(/2 – ) = Sin

Khác  Tan Tan( + ) = Tan ; Cot( + ) = Cot

Sai kém / 2 Sin(/2 + ) = Cos ; Cos(/2 + ) = – Sin

k v u

B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos

Dạng aSinx + bCosx = c ( a2 + b2  0 )

Phương pháp :

Cách 1: Chia hai vế cho a 2 b2

b a

b Cos

b a

c x

2 2

2 b c

(*) Vô nghiệm khi  a2 b2 c2

Cách 2:

 Kiểm chứng x = (2k + 1) có phải là nghiệm của phương trình hay không?

 Xét x  (2k + 1) Đặt : t  Tan2x

1

1

;1

2

t

t Cosx t

t Sinx

C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1/ Đối với một hàm số lượng giác:





bCosx c x

0 2





bTanx c x

2

0 2





bCotx c x

2/ Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx





bSinxCosx cCos x x

0 3 2

2 3

 Kiểm x = / 2 + k có phải là nghiệm của phương trình ?

 Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx

Cách 2:

Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và

2

2x Sin SinxCosx  thế vào

3/ Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:

Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)

4 (

0 2

1 (*)

1 (*)

K A

k B

l A

B A

B A

NHỚ 14: HỆ THỨC LƯỢNG Tam giác thường ( các định lý)

Hàm số Cosin  a2 b2 c2 2bcCosA



bc

a c b CosA

2

2 2

b SinA

a

2 ,



b a

b a B A Tan

B A Tan

Các chiếu  abCosCcCosB

4

) (

b c





Diện tíchDiện tích

 S ah a bh b ch c

2

1 2

1 2

1 2

4



 S  p(p a)(p b)(p c)

b SinA

a S

abc R

2 2

2



 a, b, c : cạnh tam giác

 A, B, C: góc tam giác

 ha: Đường cao tương ứng với cạnh a

 ma: Đường trung tuyến vẽ từ A

 R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác



2

c b a

p   Nữa chu vi tam giác

Hệ thức lượng tam giác vuông:



AC AB BC AH

CH BH AH

.

NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ

Cho tam giác ABC :

1/

2 2 2

4Cos A Cos B Cos C SinC

SinB

2/ CosACosBCosC  1  4Sin A2Sin B2 Sin C2

3/ TanATanBTanC TanA.TanB.TanC ( tam giác ABC không vuông)

2

2 2

2 2

C Cot B Cot A Cot C Cot B Cot A

2

2 2

2 2

.

A Tan C Tan C Tan B Tan B Tan A Tan

6/ Sin2A Sin2B Sin2C 2 2CosA.CosB.CosC







7/ Cos2A Cos2B Cos2C 1 2CosA.CosB.CosC







8/ Sin(AB) SinC

CosC B

A

2 2

C Cos B A

2 2

C Sin B A

9/

8

3 3

2

.

C Cos B Cos A Cos





Cos B Cos C A

Cos

14/ Sin2ASin2BSin2C94

2 2

2

11

1

AC AB

AH  





Tan B Tan C A

Tan

2 2

2 4







Sin B Sin A Sin

17/ 2 2 2 2 2 2 2 49







Cos B Cos A Cos

2 2

2

2 2

2





Tan

B Tan

A Tan

2 2

2

2 2

Cot B Cot A Cot

20/

2

3 3 2 2

2ASin BSin C 

Sin

21/ Cos2ACos2BCos2C   23

NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa 1:Hàm số y  f (x) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :

1/ f (x) xác định tại điểm x = a

2/ limx a f(x)f(a)



Định nghĩa 2: f (x)liên tục tại điểm x = a  xlima f(x)xlima f(x)f(a)









Định lý : Nếu f (x)liên tục trên [a, b] và f(a).f(b)  0thì tồn tại ít nhất một điểm c (a,

b) sao cho f(c)  0

NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ

1/ Định nghĩa : Cho a > 0, a  1 ( cố định) Hàm số mũ là hàm số xác định bởi công thức :

y = a x ( x  R)

2/ Tính chất :

a) Hàm số mũ liên tục trên R

b) y = a x > 0 mọi x  R

c) a > 1 : Hàm số đồng biến

2 1

2

1 a x x

a x x







d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến

2 1

2

1 a x x

a x x







Chú ý : a x1 a x2  x1x2 (0a )1

3/ Đồ thị :

(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1

NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT 1/ Định nghĩa : a) Cho a 0 ,a 1 , N  0

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : aM = N Ký hiệu : log a N = M

b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a  1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = log a x ( với x > 0, a > 0, a  1)

2/ Tính chất và định lý cơ bản về logarit :

Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn

TC1 : loga N = M  aM = N

TC2 : loga aM = M , aloga M M

TC3 : loga 1 = 0, log a a = 1

TC4 : loga (MN) = loga M + loga N

N

M

a a

TC6 : Đổi cơ số

a

b a

N N

b

a c

c a

log

1 log

; log

log

3/ Đồ thị :

(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1

0 x 0 x

4/ Phương trình Logarit : ) ( ) ( ) ( log ) ( loga f x  a g x  f x g x

( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a  1 )

5/ Bất phương trình Logarit : (*) ) ( log ) ( loga f x  a g x

         ) ( ) ( 0 ) ( (*) 1 x g x f x f a

          ) ( ) ( 0 ) ( (*) 0 1 x g x f x g a

NHỚ 19 : ĐẠO HÀM I/ Định nghĩa đạo hàm :

Cho hàm số y = f(x) , xác định trên ( a, b) , x 0  ( a, b) Ta nói f(x) có đạo hàm tại x 0 nếu giới hạn   0





x khi x

y

tồn tại

x

x f x x f x

y x

f

x























) ( ) (

lim lim

)

0 0

0 '

 Đạo hàm bên trái :

x

y x

f









0 0

'( ) lim ( tồn tại )

 Đạo hàm bên phải :

x

y x

f













0 0

'( ) lim ( tồn tại )

 Cho y = f(x) xác định trên (a, b)

y = f(x) có đạo hàm tại x 0  (a, b)  f ‘ (x 0 + ) = f ’ (x 0 – )

II/ Qui tắc tính đạo hàm :

1/ (ab c) ' a' b'  c'

2/ (ab) ' a' ba.b'

(abc) ' a' b.ca.b' ca.b.c'

' ' '

b

ab b a b













(cu) ' c.u' (cR)

1 ' 2'

u

u

u 









III/ Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :

3 y  y  u x

1 ' 

 x

y

' 1 ' u .u

2

' '

y' 12



u Cos

u

' '

y' 12





u Sin

u

' '





9 y  arcSinx

2 '



'

Lna a u

y 

u Ln

NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm

x = c , c  (a, b)

f(b) – f(a) = f ‘ (c)(b – a)

với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]

3/ Đổi cơ số :

dx x f b

a

) ( ) ( )

với x = (t) là hàm số liên tục và có đạo hàm  ’ (t) liên tục trên [a, b] ,   t  

a = (), b = (), f[(t)] là hàm số liên tục trên [, ]

f) Nếu m  f(x)  M thì

) ( )

( ) (b a f x dx M b a m

1 )

1 1

1 (

1 )

b ax a

b ax

7 KdxKxc ,KR

8 e x dxe x c

a dx

e ax b 1 ax b

Lna

a dx a

x x

11 Sinxdx Cosxc

a dx b ax

13 CosxdxSinxc

a dx b ax

15  Tanxc

x Cos

dx

2

16  Cotxc

x Sin

dx

2

 arcTanx c x

dx

12

a

x arcTan a

a x

dx 12 2

a x Ln a a

x a Ln a x a

dx

2

1

2 2



) 0 ( 2

a

x arcSin x

a

dx

h x

2 2 2 2

a

x arcSin

a x a

x dx x a

z’ = a’ + b’i

z  z’ = ( a  a’) + ( b  b’)i z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i

 z = r.(Cos + i.Sin)

z’ = r’(Cos + i.Sin) z, z’  0 z.z’ = r.r’[Cos( + ) + i.Sin( + )]

)]

( )

( [ ' ' r Cos   iSin  

r z z

2/ MoaVrơ :

) (

2 (

n

K Sin i n

K Cos r

NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

      

2 1 )

, (x y OM xe ye M

 Cho A( x A , y A )

B( x B , y B )1) AB  (x B  x A , y B y A)

B A

y y y

x x x

4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k  1 :

k x k x x

B A

B A

1 1

 Phép toán : Cho a (a1,a2)

) , (b1 b2

b a b a b

2

2 1

2 2

2 1

2 2 1 1

,

b b a a

b a b a b

a Cos

t a x x

2 0 1 0

K 0 x

3/ Phương trình pháp dạng :

0 2 2 2

2 2

B A

B x

B A

A

A B

A

y y

y y x x

x x

x

7/ Phương trình chính tắc :

b

y y a

0 0

y y x x

0

0 0

x x

8/ Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) :

x

9/ Khoảng cách từ một điểm M(x 0 , y 0 ) đến Ax + By + C = 0 :

2 2 0 0

B A

C By Ax

A

D 

2

1 2

1

B

B C

1

C

C A

1

x D D d





 0 0

y

D D

1

B

B A

1 2

1 2

1//

C

C B

B A

A d

d   

2

1 2

1 2

1 2

C B

B A

A d

d    

11/ Góc của hai đường thẳng d 1 và d 2 :

2 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1

B A B A

B B A A Cos

12/ Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d 1 và d 2 :

2 2

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

n Phương trình đường phân

giác góc nhọn tạo bởi d1, d2

Phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi d1, d2

(x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 ( Dạng 1)

x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Dạng 2)

Liên hệ a, b, c c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2

Điều kiện tiếp xúc

với Ax + By + C = 0 B2p = 2AC B2p = – 2AC A2p = 2BC A2p = – 2BC

NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

x x x

y y y

z z z

4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :

111

x kx x

k

y ky y

k

z kz z

B PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :

1/ Phương trình tham số :

2/ Phương trình tổng quát :

Ax + By + Cz + D = 0( , , )

n A B C



 Vectơ pháp tuyến ( VPT)

Đặc biệt :

 By + Cz + D = 0 song song trục ox

 Cz + d = 0 song song mặt phẳng oxy

 Ax + By + Cz = 0 qua gốc tọa độ

 By + Cz = 0 chứa trục ox

3/ Phương trình mặt phẳng qua M( x 0 , y 0 , z 0 ) ,có VPT n ( , , )A B C

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 04/ Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các trục tọa độ: x y z 1

a b c 

5/ Cho α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0

β: A2x + B2y + C2z + D2 = 0a/ Góc giữa 2 mặt phẳng : Tính bởi công thức :

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

A A B B C C Cos

Với m2 + n2 ≠ 0 và α cắt β

C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1/ Phương trình tham số :

0

A x B y C z D d

d có Vectơ chỉ phương là an n1,2

3/ Phương trình đường thẳng qua A(x A , y A , z A ), B(x B , y B , z B ) là

1/ Hai đường thẳng :

d qua M(x 0 , y 0 , z 0) có Vectơ chỉ phương a( , , )a a a1 2 3

2/ Đường thẳng và mặt phẳng :

 d qua M(x 0 , y 0 , z 0) có Vectơ chỉ phương a( , , )a a a1 2 3

 mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyếnn ( , , )A B C

d ab

NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI

TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

a b

d a a

d b b

C' B' A'

a Nếu P // Q // R thì chúng sẽ chắn tr6n hai cát

tuyến bất kỳ a, b những đoạn thẳng tỉ lệ

' ' ' '

AB A B

BC B C

8

R Q P

b d

10 a nếu và chỉ nếu a vuông góc với hai

đường thẳng b, c cắt nhau trong 11

b a



 Nếu a//b và a thì b

 Nếu a thì bthì a//b12





B A



ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN

* Đoạn vuông góc chung OH là đoạn ngắn nhất

* Hai đoạn xiên dài bằng nhau có hình chiếu dàibằng nhau và ngược lại

OA = OA’ HA = HA’

*Hai đoạn xiên có độ dài khác nhau thì đoạnxiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngượclại

OB > OA HB > HA15

b' a

b



ĐỊNH LÝ 3 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

a và đường xiên b có hình chiếu vuônggóc trên  là b’ , ta có : ab' ab

16



a a

S’: Diện tích của hình chiếu vuông góc của Hlà H’

 : Góc giữa mặt phẳng chứa H và mặt phẳngchứa H’

S'S Cos.18

1/ Định nghĩa : Hình lăng trụ là một hình đa

diện có hai mặt nằm trong hai mặt song songgọi là hai đáy và các cạnh không thuộc haiđáy đều song song nhau

* Sxq bằng tổng diện tích các mặt bên

* Sxq bằng chu vi thiết diện thẳng nhân với

độ dài cạnh bên

* Sxq lăng trụ đứng hay đều bằng chu vi đáynhân độ dài cạnh bên

* STP = Sxq + 2Sđáy

* V = B.h

B : diên tích đáy

h : chiều cao19

D S

C B

A

HÌNH CHÓP 1/ Định nghĩa : Hình chóp là một hình đa diện

có một mặt là một đa giác, các mặt còn lạiđều là những tam giác có chung một đỉnh

* Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đagiác đều và các cạnh bên đều bằng nhau

* Hình chóp cụt là phần của hình chóp nằmgiữa đáy và một thiết diện song song với đáy

2/ S xq , S TP , V :

 Sxq của hình chóp và hình chóp cụt làtổng diện tích tất cả các mặt bên củamỗi hình đó

 Hình chóp : STP = Sxq + Sđáy

 Hình chóp cụt :

STP = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ

 Hình chóp đều : 1

2

xq

S  chu vi đáy x trung đoạn

 Hình chóp cụt đều : 1

hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy

_ Cạnh AA’ vạch thành một mặt tròn xoaygọi là mặt xung quanh của hình trụ_ OO’ gọi là trục hay đường cao của hìnhtrụ