Cẩm nang tổng hợp công thức toán cấp 3 nguyễn tiến đạt

Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay: -Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng.. HÌNH HỌC: PHÉP DỜI HÌNH  Phép biến hình: Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC

CẦN NHỚ MÔN TOÁN

I/ ĐẠI SỐ:

1 Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai

2

2

( )

f x ax bx c

b

a

   

1 2

1 2

1 2

1 2

1

0 / ( ) 0,

0 0 / ( ) 0,

0

0

0 2

0

0 2

0 /

( ) 0 ( ) 0 /

( ) 0 /

a

a

S

S

x x f

af

af

h x











 

 



     



 



     





 





  





 





  



 









   2

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 /

( ) 0

af x

af af

af









 













  



   



1 2

0 ( ) 0

0 2

0 2

af

S S











 











  





 





2 Bất đẳng thức:

Các tính chất của bất đẳng thức:

*

3 3

*

* 0

* 0

*

*

*

0

*

0 0

*

*

n n

a b

a c

b c

a b a c b c c

ac bc

a b c

ac bc

a b

a b

a c b d

c d

a c b a b c

a b

ac bd

c d

a b

a b

n N





 

 



    





 







 





 



    

 



  



 









Bất đẳng thức chức giá trị tuyệt đối:

 0

( , )

a a a a R

    

     

Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không âm):

*

2

a b

ab

  dấu “=” xảy ra khi a = b

3

a b c

abc

 

 dấu “=” xảy ra khi a= b= c

Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số

thực):

2 2 2 2

*ab cd  (a c )(b d )

Dấu “=” xảy ra khi ad= bc

 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3

*a b a b c b  a a a b b b

Dấu “=” xảy ra khi 1 2 3

1 2 3

a

a a

b b b

3 Cấp số cộng:

a/Định nghĩa: Dãy số u1, u2…….,un,……

Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu

1

n n

u u  d

b/Số hạng thứ n: un   u1 (n 1)d

c/Tổng của n số hạng đầu tiên:

( ) [2 ( ) ]

S  u u  u  n d

4 Cấp số nhân:

a/Định nghĩa: Dãy số u1, u2…….,un,……

Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu

1

n n

u u  q

b/Số hạng thứ n: 1

1 n n

u u q  c/Tổng của n số hạng đầu tiên:

1

1

( 1) 1

n n

q

q





Nếu 1 1 lim 1

1 n n

u

q





5 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối:

2 2

*

0

*

*

*

*

B

A B

A B

A B

A B

A B

   





    







    







    



6 Phương trình , bất phương trình chứa căn thức:

2

2

2

0 ( 0)

*

0

*

0

*

0

0 0

*

0

A B B

A B

A B A

A B A

A B B A

A B

B

A B



   







  









   



 



  

 



 



 





   









7 Phương trình, bất phương trình logarit:

*log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ( ) 0)

f(x)=g(x)

( ) 0

*log ( ) log ( )

( ) 0 ( 1) ( ) ( ) 0

a

a

f x

g x

a f x g x

 









 









8 Phương trình , bất phương trình mũ:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

*

1 / ( ), ( ) 0

*

( 1) ( ) ( ) 0

f x g x

f x g x

a

f x g x

a

f x g x a

a f x g x

  







   

 











9 Lũy thừa:

*

*

*( )

*

*

* ( )

1

*

*

k

n m k n m k n m

a a a a

a

a

a

a a

a b a b

a

a

     



 



  



  











 













 

   





10 Logarit:0<N1, N2, N và 0a b, 1 ta có:

log

log log

1

2

*log

*log

*

*

*log ( ) log log

*log log

1

*log log

log

*log

log 1

*log

log

a

M a

M

a

N

a a

b a

b

a

b

N

N

N N

a b

a



 









 

 

 









II LƯỢNG GIÁC:

A.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Hệ thức cơ bản:

2

2 2

2

sin cos 1 sin

cos cos cot

sin cot 1

1 1

cos 1

1 cot

sin

x tgx

x x gx

x tgx gx

tg x

x

g x

x







2 Cung liên kết:

Cung đối:

cos( ) cos sin( ) sin ( )

cot ( ) cot

tg x tgx

 

  

  

   Cung bù:

sin( ) sin cos( ) cos

cot ( )

tg x tgx









 

  

  

   Cung phụ:

sin( ) cos 2

cos( ) sin 2

( ) cot 2

cot ( ) 2

g x tgx









 

 

 

  Cung hơn kém : sin( ) sin cos( ) cos

cot ( ) cot

tg x tgx









  

  

 

 

Cung hơn kém

2



sin( ) cos

2

cos( ) sin

2

( ) cot

2

cot ( )

2









 

  

  

  

3 Công thức cộng:

sin( ) sin cos sin cos

( ) cos cos sin sin

( )

1

tgx tgy

tg x y

tgxtgy

 



 





4 Công thức nhân đôi:

2

2 2

2

sin 2 2sin cos

cos 2 2cos 1

1 2sin cos sin

2

2

1

1 cos 2

cos

2

1 cos 2

sin

2

tgx

tg x

tg x x x

x x















5 Công thức nhân ba:

3 3

3 2 3

3

sin 3 3sin 4sin

cos 3 4cos 3cos

3

3

1 3

3cos cos 3

cos

4 3sin sin 3

sin

4

tgx tg x

tg x

tg x

x

x















6 Công thức biểu diễn theo sinx, cosx theo

2

x

t tg

2 2 2 2

2 sin

1 1 cos

1 2 1

t x t t x t t tgx

t















7 Công thức biến đổi:

a/Tích thành tổng:

1 cos cos cos( ) cos( )

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

2

b/Tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

sin( ) cos cos sin( ) cos cos sin( ) cot cot

sin sin sin( ) cot cot

sin

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y tgx tgy

x y

x y tgx tgy

x y

x y

gx gy

x y

x y

gx gy

  









sin

x y Đặc biệt:

2

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

1 sin 2 (sin cos )

II.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:

1 Phương trình cơ bản:

2

2

2

2 sin 0

2

2

cos 0

2

/ cot cot

x u k

x u k

x u k

c tgx tgu x u k k Z



 

 









 

 



 



     

   

     

  

 



     

   

    

  

     (k Z )

2 Phương trình bậc n theo một hàm số

lượng giác:

Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx,

cotgx) ta chuyển về phương trình:

1

1 0 0

n n

a t a t   a 

Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí chú

ý điều kiện 1  t 1

3 Phương trình bậc nhất theo sinx và

cosx:

sin cos

a x b x c

Điều kiện để có nghiệm: 2 2 2

a b c Cách giải: Chia hai vế cho a2b2 và

sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ

bản

4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với

sinx và cosx:

sin sin cos cos 0

a x b x x c x d 

Cách giải:

*Xét cos 0

2

x   x  k có là nghiệmkhông?

*Xét cosx0 chia 2 vế chia cho cos2x

và đặt t= tgx Chú ý:

2 2

1

(1 ) cos

x 

5 Phương trình dạng:

.(sin cos ) sin cos 0

a x x b x x c  Cách giải: Đặt

4

sin cos (sin cos )



và giải phương trình bậc hai theo t

III Hệ thức lượng trong tam giác:

1 Định lý cosin:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos cos

2 cos

2 cos

2

b c a A

bc

a c b B

ac

a b c C

ab

  

  

  

 



 



 



2 Định lý hàm số sin:

2 sin sin sin

R

A B  C 

3 Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

a b c

b c a m

a c b m

a b c m







4 Công thức độ dài đường phân giác trong:

2 cos

2

2 cos

2

2 cos

2

a

b

c

A bc

l

b c B ac

l

a c C ab

l

a b













5 Công thức tính diện tích tam giác:

.sin sin sin

4

S a h b h c h

abc

S p r

R

S p p a p b p c

III ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN:

1 Đạo hàm các hàm số thường gặp:

1

2

2 2

1/( ) '

1

2 /( ) '

2

3/ '

4 /(sin ) ' cos

5 /(cos ) ' sin

1

6 /( ) '

cos 1

7 /(cot ) '

sin

8 /( ) '

9 /( ) ' ln

1

10 /(ln ) '

1 11/(log ) '

.ln

x x

a

x

x

tgx

x gx

x

x x x

x a

   



   

 

 



 



 









1

2

2 2

12 /( ) ' '

' 13/( ) '

2

14 / '

15 /(sin ) ' '.cos

16 /(cos ) ' '.sin

'

17 /( ) '

cos

'

18 /(cot ) '

sin

19 /( ) ' '

20 /( ) ' ' ln

' 21/(ln ) '

'

22 /(log ) '

.ln

a

u u

u u

u tgu

u u gu

u

e u e

u u u u u

u a

   



   

 

 



 



 









2 Nguyên hàm các hàm số thường gặp:

1

2

( 1) 1

ln 1

dx x C

x

dx

x C x

dx

C

e dx e C







 



  

 











2 2

ln cos sin sin cos

cos

cot sin

x

a xdx x C

dx tgx C x

dx

gx C x

  











Chú ý: f ax b dx( ) 1F ax b( ) C

a



3 Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay:

-Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng

-Chọn công thức tính diện tích:

( ) ( ) ( ) ( )

a

b a b

S f x g x dx

S f y g y dy





-Chọn công thức tính thể tích:

*Hình phẳng quay quanh trục Ox:

( ) ( ) a

b

V  f x g x dx

*Hình phẳng quay quanh trục Oy:

( ) ( ) a

b

V  f y g y dy -Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao điểm

Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao điểm

IV HÌNH HỌC:

PHÉP DỜI HÌNH

 Phép biến hình: Phép biến hình ( trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy Điểm M’

gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình

đó

PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH

 Định nghĩa phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến

theo vectơ u

là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho MM 'u

Phép tịnh tiến theo vectơ u

thường được ký hiệu là T hoặc Tu Vectơ u

được gọi là vectơ tịnh tiến

 Tính chất của phép tịnh tiến:

Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm

M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì

M’N’ = MN

Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng

hàng thành ba điểm thẳng hàng và không

làm thay đổi thứ tự ba điểm đó

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng

thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến

đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến

tam giác thành tam giác bằng nó, biến

đường tròn thành đường tròn có cùng bán

kính, biến góc thành góc bằng nó

 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Trong

mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép

tịnh tiến theo vectơ u

Biết tọa độ của u

là (a,b) Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó

ta có:

'

'

x x a

y y b

 



  



 Phép dời hình: Phép dời hình là phép phép

biến hình không là thay đổi khoảng cách

giữa hai điểm bất kì

Định lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng

hàng thành ba điểm thẳng hàng và không

làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường

thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,

biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến

đường tròn thành đường tròn có cùng bán

kính , biến góc thành góc bằng nó

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

 Định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a

 Định lý: Phép đối xứng trục là một phép dời hình

 Biểu thức tọa độ:

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục

Ox biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:

' '

x x





  

 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục

Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:

' '

y y

 



 



 Trục đối xứng của một hình: Đường thẳng

d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

 Định nghĩa phép quay: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác 

không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và (OM OM, ') được gọi là phép quay tâm

O góc quay 

 Định lý: Phép quay là một phép dời hình

 Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua

O, có nghĩa là OM OM   ' 0

 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(a;b) Giả sử điểm

M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó

ta có:

' 2

' 2

x a x

y b y

 



  



 Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là

tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối

xứng tâm Đo biến hình H thành chính nó, tức

là Đo (H) = H

HAI HÌNH BẰNG NHAU:

 Định lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác

bằng nhau thì có phép dời hình biến tam

giác ABC thành tam giác A’B’C’

Từ định lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam

giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời

hình biến tam giác này thành tam giác kia

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH:

I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT

PHẲNG:

1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ

*AB(xBx yA, ByA)

*Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA k

MB 



(k1)

Tọa độ điểm M được xác định bởi:

1

1

A B

M

A B

M

x kx

x

k M

y ky

y

k



 

 



*Điểm I là trung điểm của AB:

Tọa độ điểm I được xác định bởi:

2

2

A B

I

A B

I

x x

x

I

y y

y



 



 



*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:

Tọa độ điểm G được xác định bởi:

3 3

A B C G

A B C G

x x x x

G

y y y y

 

 



 



*Cho tam giác ABC có

1 2 2 1

( ; ), ( ; ) 1

2 ABC

AB a a AC b b

S a b a b

 

2/ Đường thẳng:

a/Phương trình đường thẳng  : -Phương trình tổng quát: Ax By C  0 Vectơ pháp tuyến n( ; ); A B A2B2 0 -Phương trình tham số: 0

0

x x at

t R

y y bt

 





  

 Vectơ chỉ phương u ( ; )a b

và qua điểm M(x0; y0) -Phương trình chính tắc: x x0 y y0

 -Phương trình đoạn chắn:x y 1

a b 

 qua A( a; 0) ; B(0; b) b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:

0

Ax By C

A x B y C

  

' ' ' '

A A B B Cos

c/Khoảng cách từ một điểm M x y( ; )0 0 đến đường thẳng:

M

Ax By C d

A B





 d/Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng:

' '

AX By C A x B y C

 

e/Xác định phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài

Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía so với  t t1 2 0

Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm khác phía so

1 1 2 2

' '

Ax By C A x B y C

3/Đường tròn:

Phương trình đường tròn:

-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và

bán kính R

  2 2 2

x a  y b R

-Dạng 2: Phương trình có dạng

x y  ax by c 

Với điều kiện a2b2 c 0là phương trình đường

tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R a2b2c

-Phương tích của một điểm M0 (x0 ; y0) đối với một

đường tròn:

2 2

/( ) 0 0 2 0 2 0

M C

P x y  ax  by c

4/Elip:

-Phương trình chinh tắc Elip (E) x22 y22 1

a b 

2 2 2

(a b c ); a b

-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)

-Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0)

-Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b)

-Tâm sai : e c 1

a

 

-Phương trình đường chuẩn: x a

e

  -Bán kính qua tiêu:

1

2

M

M

MF a ex

MF a ex

 

 

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)

( )E



0 0

x x y y

a  b 

-Điều kiện tiếp xúc của

(E):x22 y22 1

a b  và  : Ax By C  0là:

2 2 2 2 2

A a B b C

5/Hypebol:

a/ Phương trình chinh tắc Elip (E) x22 y22 1

a b 

2 2 2

c a b -Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) -Đỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0) -Tâm sai : e c 1

a

  -Phương trình đường chuẩn: x a

e

  -Phương trình tiệm cận:y bx

a

  -Bán kính qua tiêu:

1 2

M M

MF ex a

MF ex a

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0) ( )E



0 0

x x y y

a  b  -Điều kiện tiếp xúc của (E):x22 y22 1

a b  và  : Ax By C  0là:

2 2 2 2 2

A a B b C 6/ Parabol:

-Phương trình chính tắc của Parabol:

2 ( ) :P y 2px -Tiêu điểm: ( ;0)

2

p F -Phương trình đường chuẩn:

2

p

x  -Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x0 ; y0) ( ) P :

0 ( 0 )

y y p x x -Điều kiện tiếp xúc của (P) và   :Ax By C  0

2 2AC B p

II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:

1/ Tích có hướng của hai vectơ:

a/Định nghĩa: cho hai vectơ ( ; ; )

( '; '; ')

u x y z

v x y z









, ; ;

' ' ' ' ' '

y z z x x y

u v

y z z x x y

 

Các ứng dụng:

- ,u v 

cùng phương u v , 0

- , ,u v w  

đồng phẳng u v w  ,  0

2

ABC

S   AB AC

-ABCD là tứ diện   AB AC AD m,   0

6

ABCD

b/ Mặt phẳng:

-Phương trình tổng quát mặt phẳng:

Dạng 1:

2 2 2

0

Ax By Cz D



Dạng 2:

0 0 0 0

( , , ), ( ; ; )

A x x B y y C z z

n A B C M x y z





-Phương trình mặt phẳng chắn:

1

x y z

a b  c

(() qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c))

-Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt

phẳng khác:

( ) : ' ' ' ' 0

Ax By Cz D

A x B y C z D





    là

(Ax By Cz D) ( 'A x B y C z D' ' ') 0

        

Trong đó 22 0

-Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai mặt

phẳng:

 

 

Ax By Cz D

A x B y C z D





   

   

   

/

/ //

 

 

 

b

c

3/Phương trình đường thẳng:

0

Ax By Cz D

A x B y C z D



 b/ Phương trình tham số:

0 0 0

x x at

y y bt

z z ct

 



  



  

 Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là ( ; ; )

u  a b c c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:

2 2 2

x x y y z z

a b c

    

   4/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:

Giả sử đường thẳng d qua M x y z0( ; ; )0 0 0 và có vectơ chỉ phương là u ( ; ; )a b c và đường thẳng d’ qua

0 0 0 0 ' ( ' ; ' ; ' )

M x y z và có vectơ chỉ phương là ' ( '; '; ')

u a b c

0 0

0 0

0 0

/ , ' ' ' 0

' ' 0

: : : ' : '

/ , ' ' ' 0

a d d u u M M

u u M M

b d d I

a b c a b c

c d d a b c a b c x x y y z z

d d d a b c a b c x x y y z z

e d d u u M M





 

 

   





 

  

  



  

5/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: trong không gian cho :

 

 

 

 

:

0 /

0 0 /

0

x x y y z z d

Ax By Cz D

aA bB cC

b d

Ax By Cz D

aA bB cC

c d

Ax By Cz D









    











6/ Các công hức tính khoảng cách:

-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng: