Ôn tập, Tổng hợp công thức Toán Ứng Dụng, Phương pháp tính

ÔN TẬP CUỐI KỲ PHƯƠNG PHÁP TÍNH I.. Phương pháp trình phi tuyến: 1... Phương pháp Jacobi và phương pháp Gauss: 1... Công thức sai số như trên.. Đa thức nội suy Largrange, Newton, Spli

ÔN TẬP CUỐI KỲ PHƯƠNG PHÁP TÍNH

I Số gần đúng và sai số:

Sai số tương đối: a Sai số tuyệt đối: a = a | a |

Số chữ số đáng tin: k  log ( 2a )

Sai số luôn luôn làm tròn lên (bất kể quá bán hay không)

1 2

y  f x x x

1

, , ,

n

f

x







II Phương pháp trình phi tuyến:

1 Sai số tổng quát:

| f '( ) | x  m  0 | *x x| | ( *) |f x

m

 

2 Phương pháp chia đôi:

1

2n

b a

3 Phương pháp lặp đơn:

[a,b] g (x)

| g’(x) | ≤ q ; 0 ≤ q < 1 : hệ số co ( + x : lấy a , - x : lấy b )

 Sai số:

| xn – x | ≤

q

qn



1 | x1 – x0 | (công thức tiên nghiệm)

=> xác định số lần lặp n

| xn – x | ≤

q

q



1 | xn – xn-1 | (công thức hậu nghiệm)

 Tính sai số và nghiệm:

A = ( q ) B = ( x0 )

C = g (B) :

1

A A

 (C – B) : B = C

 Tính nghiệm:

( x0 ) = g (Ans) =

 Tính số lần lặp:

1 0 log

log

n

n

q

    



4 Phương pháp Newton :

 Điều kiện: f ‘(x) ≠ 0 trên [a,b]

f (x) f ’’(x)> 0

f ’(x) f ’’(x) < 0 => x0 = a

f ’(x) f ’’(x) > 0 => x0 = b

 Tổng quát:

xn = xn-1 –

) ( '

) (

1

1





n

n

x f

x f

| f '( ) | x  m  0

 Tính nghiệm:

( x0 ) = Ans - ( )

'( )

f Ans

f Ans =

 Tính sai số và nghiệm:

A = ( x0 )

B = A - ( )

'( )

f A

f A :

( )

f B

m : A = B

III Phương pháp Jacobi và phương pháp Gauss:

1 Phương pháp Jacobi:

 Khi n = 3:

A = ( x1

0

) B = ( x2

0

) C = ( x3

0

)

D =

11

1

a ( b1 – a12 B – a13 C ) :

E =

22

1

a ( b2 – a21 A – a23 C ) :

F =

33

1

a ( b3 – a31 A – a32 B ) :

A = D : B = E : C = F

 Sai số:

2 Phương pháp Gauss – Serdel:

 Khi n = 3:

B = ( x20 ) C = ( x30 )

D =

11

1

a ( b1 – a12 B – a13 C ) :

E =

22

1

a ( b2 – a21 D – a23 C ) :

F =

33

1

a ( b3 – a31 D – a32 E ) :

B = E : C = F

( ) || || ( ) ( 1)

T





13 12

23 21

0

0

0

a a

a a

T

( ) || || (1) (0)

m

T



 Sai số: T = (D – L )-1 U Công thức sai số như trên

=> (D-L)-1(bấm máy)

IV Nhân tử LU:

1j 1j

u  a l ii 1 21 21

11

a l

a



31 12 32

11 32

21 12 22

11

a a a

a l

a a a

a







21 12

22 22

11

a a

a

  23 23 21 13

11

a a

a

11

a l

a



31 12 21 13

31 13

33 33

21 12 11

22

11

a a

a a

a



u21 = u31 = u32 = 0

V Phương pháp Choleski:

b  a

2 21

11

a

a

21

11

a b

a

11

a b

a



31 21 32

11

21 22

11

a a a

a b

a a

a





b  a  b  b b12  b13  b23  0

VI Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận:

||A||1 : max tổng cột

||A||∞ : max tổng dòng

k(A) = ||A|| ||A-1|| : số điều kiện

k càng gần 1 : càng ổn định

k càng xa 1 : càng không ổn định

VII Đa thức nội suy Largrange, Newton, Spline:

1 Đa thức nội suy Largrange:

 Bài toán: cần tìm 1 đa thức Ln(x) có bậc ≤ n thỏa

n = số điểm – 1

11

21 22

31 32 33

0 0 0

a

D L a a

12 13

23

0

 Lập bảng:

x x0 x1 … xn Dk = tích theo hàng

x0 (x – x0) (x0 – x1) … (x0 – xn) D0

x1 (x1 – x0) (x – x1) … (x1 – xn) D1

xn (xn – x0) (xn – x1) … (x – xn) Dn

w(x)





n k

k x x

0

) (

Ln(x) = w(x) 



n

k D

y

0

 Sai số:

Mn+1 = |max[f(n+1)(x)]| ; x[x0, xn]

|f(x) – Ln(x)| ≤

)!

1 (

1





n

Mn

|w(x)|

2 Đa thức nội suy Newton:

 Tổng quát: trường hợp các điểm nút cách đều với bước h:

Δyk = yk+1 – yk

Δpyk = Δp-1yk+1 – Δp-1yk

N(1)n(x) = y0 +

! 1

0

y



q +

! 2

0 2

y

 q(q – 1) +…+

!

0

n

y

n



q(q – 1)…(q – n + 1) ;

q =

h

x

x  0

(công thức Newton tiến)

N(2)n(x) = yn +

! 1

1

 yn

p +

! 2

2

2



 yn

p(p + 1) +…+

!

0

n

y

n

 p(p+1)…(p + n – 1) ;

p =

h

x

x  n

(công thức Newton lùi)

 Cách làm: lập bảng => N

x0 y0 Δ0= y1 – y0 Δ20 = Δ1 – Δ0

x1 y1 Δ1= y2 – y1 …

 Chú ý: với cùng 1 bảng số: Ln(x) = N(1)n(x) = N(2)n(x) Tuy nhiên, nếu bảng

số có tăng thêm hay giảm bớt biến, ta chỉ cần thêm hoặc bớt sô hạng cuối trong Nn(x) thay vì làm lại từ đầu đối với Ln(x)

3 Spline bậc 3 tự nhiên:

 Trường hợp 3 số: a0  y0 a1  y1

0 2 0

c  c 

1

2 0

2

c

x x







0

1 0

3

y y c x x b

x x



1

3

b



1 0

1 0

c d

x x





1 1

2 1

c d

x x







g0(x) = a0 + b0(x –x0) + c0(x-x0)2 + d0(x-x0)3 x  [x0, x1]

g1(x) = a1 + b1(x –x1) + c1(x-x1)2 + d1(x-x1)3 x  [x1, x2]

VIII Phương pháp bình phương bé nhất:

1 Tổng quát: cần tìm hàm F(x) “xấp xỉ tốt nhất bảng số đã cho”

1

2









n k

k

x F

Điểm dừng:

g A g B g C

































=> chuyển vế => giải hệ phương trình 3 ẩn (A, B, C) Cách bấm máy:

Ví dụ: ta cần tính các giá trị: 4

1

n k k

x



1

sin

n

k



1

n

k k k

x y



1

sin

n k k

x



1

sin

n

k

y x





A=A+X4:B=B+X2sinY:C=C+X2Y:D=D+(sinX)2:E=E+YsinX CALC

- Lần đầu nhập A, B, C, D, E là 0 để khởi tạo giá trị

- Khi thấy X? và Y? thì sẽ nhập xk và yk tương ứng

- Lần 2 bỏ qua khi được hỏi A? B? C? D? E?

2 Cách sử dụng máy tính đối với 1 số hàm:

 Bước 1: chọn chế độ clear all

 shift_9_3 đối với 570ES

 shift_mode_3 đối với 570MS

 Bước 2:

 chọn chế độ STAT : mode 3 đối với 570ES

 chọn chế độ REG : mode_mode_2 đối với 570MS

 Bước 3: chọn dạng của F(x)

Phím ấn Dạng F(x)

570ES 570MS

F(x) = _+Cx2 = A +B + Cx2 3 Quad

F(x) =

Bx

A 

 Bước 4: nhập bảng giá trị

 nhập vào bảng như trong màn hình đối với 570ES

 nhập xk , yk (dấu , ) M+ cho đến khi hết bảng đối với 570MS

 Bước 5: tính giá trị A, B

 shift_1_7_1(tính A)/2(tính B) đối với 570ES

 shift_2 _►_►_1 (tính A) / 2 (tính B) đối với 570MS

IX Tính gần đúng đạo hàm:

1 Bảng 2 điểm:

 Sai phân tiến (x0, x0+h)

f x

h



 Sai phân lùi (x0-h, x0)

f x

h



 Sai số :

2

2

M h

[ , ]

x a b





2 Bảng 3 điểm:

 Đạo hàm cấp 1

 Sai phân tiến (x0, x0+h, x0+2h)

'( )

2

f x f x h f x h

f x

h



 Sai phân hướng tâm (x0-h, x0, x0+h)

'( )

2

f x h f x

f x

h



 Sai phân lùi (x0-2h, x0-h, x0)

'( )

2

f x f x h f x h

f x

h



 Sai số :

2 3

6

M h

[ , ]

x a b





 Đạo hàm cấp 2

2

f x

h



Sai số:

2 4

12

M h

[ , ]

x a b





X Công thức hình thang (xấp xỉ tích phân):

 Bài toán cần xấp xỉ tích phân  

b a

dx x f

 Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia b a

h n



có công thức sau:

h

I  y  y  y   y   y

 Sai số:

2 2

12

M h

b a

[ , ]

x a b





XI Công thức Simpson (xấp xỉ tích phân):

 Bài toán: cần xấp xỉ tích phân  

b a

dx x f

 Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n = 2m đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia

m

a b h

2



 Ta có công thức sau:

h

I  y  y  y   y   y  y   y   y

 Sai số:

4 4

180

M h

b a

] , [

M

b a x



XII Công thức Euler với hệ phương trình vi phân xấp xỉ:

1 Bài toán: tìm yk và sai số

0 0

' ( , )

, ( )

y f x y

x a b

y x y





 







2 Công thức Euler:

n





Có nghiệm chính xác là y x ( k)

Khi đó sai số : | ( y xk)  yk |

Bấm máy:

A = (x0) B = (y0) y(xkA) – B : B = B + h y’(A, B) : A = A + h

3 Công thức Euler cải tiến:

1 2

k k

h n





1 k, k

k  hf x y k2  hf x  k  h y , k  k1

Có nghiệm chính xác là y x ( k) Khi đó sai số : | ( y xk)  yk |

Bấm máy nghiệm và sai số:

A = (x0) B = (y0) y(xkA) – B : C = h y’(A, B) : D = h y’(A+h, B+C) : B = B + 1

2(C+D) : A = A + h

,

x t f t x t g t x t h t

t a b



 





Cách giải:

x t x t hx t

x t x t hx t







XIII Công thức Range – Kutta bậc 4 với phương trình vi phân cấp 1

Cách giải: Trường hợp xấp xỉ tại x1 = x0 + h (n = 1)

1

2

,

,

,

, 1

6

K h

K h

















 Cách bấm máy:

 Tính K1:

A = hf(X, Y) CALC X? (nhập x0) = Y? (nhập y0) =

 Tính K2:

► thay A bằng B CALC X? (nhập x0+h/2) = Y? (nhập y0+A/2) =

 Tính K3:

► thay B bằng C CALC X? (nhập x0+h/2) = Y? (nhập y0+B/2) =

 Tính K4:

► thay C bằng D CALC X? (nhập x0+h) = Y? (nhập y0+C) =

 Tính y1:

y0 + 1/6(A + 2B + 2C + D) =

XIV Bài toán biên tuyến tính cấp 2:

1 Bài toán: tìm hàm y = y(x):





















b x a b

y a

y

x f x y x r x y x q x y x p

; ) (

; ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( '' ) (





2 Cách giải: chia [a,b] thành n đoạn

 Đặt y(x0) = y(a) = α = y0

y(xn) = y(b) = β = yn

pk = p(xk); qk = q(xk); rk = r(xk); fk = f(xk)

 Công thức:

Giải hệ phương trình tìm ra các giá trị y1,… ,yn-1

XV Phương trình Elliptic:

1 Bài toán: tìm hàm u = u(x,y) xác định trên miền D















d y c

b x a

thỏa:









































) ( )

, ( );

( )

, (

) ( )

, ( );

( )

, (

) , ( ) , (

2 1

2 1

2 2 2

2

x d

x u x c

x u

y y

b u y y

a u

D y

x y

x f y

u x

u









2 Cách giải: chia đều đoạn [a,b] thành n đoạn với

x

b a

n 

 chia đều đoạn [c,d] thành m đoạn với

y

b a

m 



 Đặt uij là giá trị xấp xỉ của hàm u(xi, yj): uij  u(xi, yj)  i 0, ;n  j 0,m

 Công thức tổng quát:

1, 1; 1, 1

i j i j i j i j i j i j

ij

f











 Trường hợp ∆x = ∆y = h

2 , 1, 1, , 1 , 1 4

1, 1; 1, 1

i j i j i j i j i j ij







 Giải hệ tính được giá trị của các ui,j

XVI Phương trình Parabolic:

1 Bài toán: cần xấp xỉ hàm u = u(x,t); x là biến không gian; t là biến thời gian xác định trong miền D = {a ≤ x ≤ b, t > 0} thỏa

2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( ); ( , ) ( ) 0 ( , 0) ( ) [ , ]

f x t x t D





 











2 Cách giải: chia đều [a,b] thành n đoạn với

x

b a

n 

 chọn bước thời gian  t 0; t j  j t

đặt uij = u(xi, tj); fij = f(xi, tj);

2 2

t x





 Sơ đồ hiện:







 Sơ đồ ẩn:

1, 2, ; 1, 2, , 1







 Giải hệ tính được giá trị của các ui,j

XVII Các đạo hàm cấp cao (phụ lục):

( 1)

ln

n

n

ax b





 

( )

1

n

n

a n f

ax b ax b 







( )

2

f ax  a   ax  n   

  

 

 