Câu 1: ( 2 điểm) Một ô tô đang chạy thì đột ngột tắt máy. Từ thời điểm tắt máy, ô tô chuyển động theo phương trình sau 5400yy 8,276y2 2000. Biết y y(t) (métgiây) là vận tốc của ô tô và t (giây) là thời gian. Thời điểm bắt đầu tắt máy ô tô có vận tốc là y(0) 15. a. y tính theo y là (1). b. Dùng phương pháp Euler với h 0,5 tính gần đúng y(1,5) (2). Gia tốc của xe tại t 1,5 là y (1,5) (3). c. Dùng phương pháp Euler cải tiến với h 0,5 tính gần đúng y(1,5) (4). Câu 2: (2 điểm) Công của một lực f (Newton) dùng để dịch chuyển một vật từ x a (mét) đến x b (mét) được tính như sau ( ) b a W f x dx , trong đó x (mét) là vị trí, đơn vị của W là Joule. Cho một vật có lực tác động tại vị trí x là 15 x 5 . a. Công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến x 4 tính bằng công thức hình thang 6 đoạn chia là (5) với sai số là (6). b. Công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến x 4 bằng công thức Simpson 6 đoạn chia là (7). c. Nếu số đoạn chia là n thì sai số khi tính công thực hiện để di chuyển vật đó từ x 1 đến x 4 bằng công thức hình thang n đoạn chia là (8). Câu 3: (2 điểm) Cho phân thức 2 5 3 ( ) ( 1)( 2)( 3) D x x x x x x . a. Biểu diễn D(x) thành dạng ( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) A x x B x x C x x x x x thì A (9), B (10). b. Biểu diễn D(x) thành dạng (x 1)(x 2)(x 3) (x 2)(x 3) (x 3) M N P thì P (11), N (12). Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình f (x) x3 x 5 0 () có khoảng tách nghiệm là 2,1 Ta sẽ giải phương trình trên bằng phương pháp lặp đơn.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN: TỐN - ĐỀ THI CUỐI KỲ HK II NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Mã mơn học: 1001030 Đề số/Mã đề: 1001030-15-2-01 Đề thi có trang Thời gian: 90 phút Được phép sử dụng tài liệu PHẦN I: TRẮC NGHIỆM Câu 1: ( điểm) Một ô tơ chạy đột ngột tắt máy Từ thời điểm tắt máy, tơ chuyển động theo phương trình sau 5400 yy ' 8, 276 y 2000 Biết y y (t) (mét/giây) vận tốc ô tô t (giây) thời gian Thời điểm bắt đầu tắt máy tơ có vận tốc y (0) 15 a y ' tính theo y (1) b Dùng phương pháp Euler với h 0,5 tính gần y(1,5) (2) Gia tốc xe t 1,5 y '(1,5) (3) c Dùng phương pháp Euler cải tiến với h 0,5 tính gần y(1,5) (4) Câu 2: (2 điểm) Công lực f (Newton) dùng để dịch chuyển vật từ x a (mét) đến x b (mét) tính sau b W f ( x )dx , x (mét) vị trí, đơn vị W Joule a 15 x5 a Công thực để di chuyển vật từ x đến x tính cơng thức hình thang đoạn chia (5) với sai số (6) b Cơng thực để di chuyển vật từ x đến x công thức Simpson đoạn chia (7) c Nếu số đoạn chia n sai số tính cơng thực để di chuyển vật từ x đến x cơng thức hình thang n đoạn chia (8) Cho vật có lực tác động vị trí x Câu 3: (2 điểm) x 5x ( x 1)( x 2)( x 3) A( x 1)( x 2) B( x 1)( x 3) C ( x 2)( x 3) a Biểu diễn D(x) thành dạng ( x 1)( x 2)( x 3) A (9), B (10) M N P b Biểu diễn D( x ) thành dạng P (11), (x 1)(x 2)(x 3) (x 2)(x 3) (x 3) N (12) Cho phân thức D( x ) Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình f (x) x x (*) có khoảng tách nghiệm 2, 1 Ta giải phương trình phương pháp lặp đơn Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1 a Biểu diễn phương trình (*) thành hai dạng x 1 (x) x (A) x (x) x (B) Phương pháp lặp đơn hội tụ với dạng phương trình (13) (chọn A B) Với dạng phương trình cho, chọn giá trị khởi đầu x0 1.5 b Tính x3 (14) c Nghiệm phương trình cho với điều kiện hai bước lặp liên tiếp khác không 10 5 (15) d Nghiệm phương trình cho với sai số không 10 5 (16) PHẦN II: TỰ LUẬN Câu 5: (2 điểm) Độ cao h bóng theo thời gian t ghi nhận bảng sau 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 t (giây) 0,0 12,6 20,2 23,0 20,8 13,8 1,8 h (mét) a Áp dụng phương pháp bình phương bé với dạng phương trình h At Bt cho bảng số liệu trên, tìm hệ số A, B b Từ phương trình tìm, cho biết thời điểm bóng chạm đất c Từ phương trình tìm, tính độ cao tối đa bóng Lưu ý: Các kết làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích đề thi Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) [CĐR 1.1]: Có khả vận dụng phương pháp Euler, Euler cải tiến vào giải phương trình vi phân thường với điều kiện đầu [CĐR 1.1, 1.2]: Có khả áp dụng cơng thức hình thang cơng thức Simpson vào tính gần đánh giá sai số tích phân xác định cụ thể [CĐR 1.1, 1.2]: Nắm ý nghĩa phương pháp sử dụng đa thức nội suy xấp xỉ hàm số cụ thể [CĐR 1.1, 1.2]: Có khả áp dụng phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton vào giải gần đánh giá sai số phương trình đại số cụ thể [CĐR 1.1, 1.2]: Nắm bắt ý nghĩa phương pháp bình phương bé vận dụng tìm số đường cong cụ thể Nội dung kiểm tra Câu Câu Câu Câu Câu Ngày 02 tháng 06 năm 2015 Thông qua môn (ký ghi rõ họ tên) Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN: TỐN - ĐỀ THI CUỐI KỲ HK II NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Mã mơn học: 1001030 Đề số/Mã đề: 1001030-15-2-02 Đề thi có trang Thời gian: 90 phút Được phép sử dụng tài liệu PHẦN I: TRẮC NGHIỆM Câu 1: ( điểm) Một tơ chạy đột ngột tắt máy Từ thời điểm tắt máy, ô tô chuyển động theo phương trình sau 5200 yy ' 8, 276 y 2200 Biết y y (t) (mét/giây) vận tốc ô tô t (giây) thời gian Thời điểm bắt đầu tắt máy tơ có vận tốc y (0) 15 a y ' tính theo y (1) b Dùng phương pháp Euler với h 0,5 tính gần y (1,5) (2) Gia tốc xe t 1,5 y '(1,5) (3) b Dùng phương pháp Euler cải tiến với h 0,5 tính gần y (1,5) (4) Câu 2: (2 điểm) Công lực f dùng để dịch chuyển vật từ x a (mét) đến x b (mét) tính sau b W f ( x )dx , x (mét) vị trí, đơn vị W Joule a 18 x3 a Công thực để di chuyển vật từ x đến x tính cơng thức hình thang đoạn chia (5) với sai số (6) b Cơng thực để di chuyển vật từ x đến x công thức Simpson đoạn chia (7) c Nếu số đoạn chia n sai số tính cơng thực để di chuyển vật từ x đến x cơng thức hình thang n đoạn chia (8) Cho vật có lực tác động vị trí x Câu 3: (2 điểm) x 5x Cho phân thức D( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) A( x 1)( x 2) B( x 1)( x 3) C ( x 2)( x 3) a Biểu diễn D(x) thành dạng ( x 1)( x 2)( x 3) A (9), B (10) M N P b Biểu diễn D(x) thành dạng P (11), (x 1)(x 2)(x 3) (x 2)(x 3) (x 3) N (12) Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình f (x) x x 10 (*) có khoảng tách nghiệm 2, 1 Ta giải phương trình phương pháp lặp đơn Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1 a Biểu diễn phương trình (*) thành hai dạng x 10 x 1 (x) 2 x 10 (A) x (x) (B) Phương pháp lặp đơn hội tụ với dạng phương trình (13) (chọn A B) Với dạng phương trình cho, chọn giá trị khởi đầu x0 1.5 b Tính x3 (14) c Nghiệm phương trình cho với điều kiện hai bước lặp liên tiếp khác không 10 5 (15) d Nghiệm phương trình cho với sai số không 10 5 (16) PHẦN II: TỰ LUẬN Câu 5: (2 điểm) Độ cao h bóng theo thời gian t ghi nhận bảng sau 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 t (giây) 0,0 15,0 25,2 30,5 30,7 26,3 16,7 h (mét) a Áp dụng phương pháp bình phương bé với dạng phương trình h At Bt cho bảng số liệu trên, tìm hệ số A, B b Từ phương trình tìm, cho biết thời điểm bóng chạm đất c Từ phương trình tìm, tính độ cao tối đa bóng Lưu ý: Các kết làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy Ghi chú: Cán coi thi không giải thích đề thi Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) [CĐR 1.1]: Có khả vận dụng phương pháp Euler, Euler cải tiến vào giải phương trình vi phân thường với điều kiện đầu [CĐR 1.1, 1.2]: Có khả áp dụng cơng thức hình thang cơng thức Simpson vào tính gần đánh giá sai số tích phân xác định cụ thể [CĐR 1.1, 1.2]: Nắm ý nghĩa phương pháp sử dụng đa thức nội suy xấp xỉ hàm số cụ thể [CĐR 1.1, 1.2]: Có khả áp dụng phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton vào giải gần đánh giá sai số phương trình đại số cụ thể [CĐR 1.1, 1.2]: Nắm bắt ý nghĩa phương pháp bình phương bé vận dụng tìm số đường cong cụ thể Nội dung kiểm tra Câu Câu Câu Câu Câu Ngày 02 tháng 06 năm 2015 Thông qua môn (ký ghi rõ họ tên) Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1 ĐÁP ÁN PHƯƠNG PHÁP TÍNH (ngày 3/6/2015) Đề I PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu Trả lời 0,00153y (1) 0,37037 y Điểm 0,5 Câu Trả lời (9) -1,5 Điểm 0,5 (2) 14,92853 0,5 (10) 0,5 (3) -0,04765 0,5 (11) 0,5 (4) 14,77465 0,5 (12) -2 0,5 (5) 16,52015 0,5 (13) (B) 0,5 (6) 7,97362 103 0,5 (14) -1,51603 0,5 (7) 16,51522 0,5 (15) -1,51598 0,5 (8) 0, 28705 n2 0,5 (16) -1,51598 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (câu 5) Cách 1: a) Đặt S ( Ati2 Bti hi ) S nhỏ S A' S B' Ta hệ phương trình i 1 7 ( t ) A ( t ) B ti2hi i i i 1 i 1 i 1 7 ( t ) A ( t ) t h i i i i i 1 i 1 i 1 Thay số liệu cho ta 142,1875 A 55,125B 260,75 55,125 A 22, 75B 142,5 0,5 đ Giải hệ ta A=-9,8125 (0,25 đ), B=30,04018 (0,25 đ), phương trình cần tìm h 9,8125t 30,04018t b) Thời điểm bóng chạm đất tương ứng với giá trị t làm cho h=0 phương trình tìm Giải ta hai nghiệm t=0 (loại) t=3,06142 (nhận) Số hiệu: BM2/QT-PĐBCL-RĐTV 0,5 đ 1/4 c) Tìm độ cao tối đa bóng tìm giá trị lớn hàm số h 9,8125t 30,04018t Đạo hàm bậc hàm số giải phương trình h’=0 ta t=1,53071 Thay vào phương trình ta hmax 22, 99140 0,5 đ Cách 2: a) Chia vế phương trình h At Bt cho t ta h At B t 0,5 đ Ta dùng bảng liệu cho h/t t (bỏ điểm h=0 t=0) dùng máy tính bỏ túi ta tìm A=-9,82705 (0,25 đ) B=30,07289 (0,25 đ) b) t=3,06022 0,5 đ c) hmax 23,00738 0,5 đ Đề I PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu Trả lời 0,00159 y (1) 0, 42308 y Điểm 0,5 Câu Trả lời (9) 12,5 Điểm 0,5 (2) 14,92191 0,5 (10) -15 0,5 (3) -0,05208 0,5 (11) 0,5 (4) 14,92190 0,5 (12) 0,5 (5) 23,26034 0,5 (13) (B) 0,5 (6) 0,02637 0,5 (14) -1,61265 0,5 (7) 23,24712 0,5 (15) -1,61262 0,5 (8) 0,94922 n2 0,5 (16) -1,61262 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (câu 5) Cách 1: a) Đặt S ( Ati2 Bti hi ) S nhỏ S A' S B' Ta hệ phương trình i 1 Số hiệu: BM2/QT-PĐBCL-RĐTV 2/4 7 ( t ) A ( t ) B ti2hi i i i 1 i 1 i 1 7 ( t ) A ( t ) t h i i i i i 1 i 1 i 1 Thay số liệu cho ta 142,1875 A 55,125B 535,05 55,125 A 22, 75B 255,7 0,5 đ Giải hệ ta A=-9,81161 (0,25 đ), B=35,01384 (0,25 đ), phương trình cần tìm h 9,81161t 35,01384t b) Thời điểm bóng chạm đất tương ứng với giá trị t làm cho h=0 phương trình tìm Giải ta hai nghiệm t=0 (loại) t=3,56861 (nhận) 0,5 đ c) Tìm độ cao tối đa bóng tìm giá trị lớn hàm số h 9,81161t 35,01384t Đạo hàm bậc hàm số giải phương trình h’=0 ta t=1,78431 Thay vào phương trình ta hmax 31, 23771 0,5 đ Cách 2: d) Chia vế phương trình h At Bt cho t ta h At B t 0,5 đ Ta dùng bảng liệu cho h/t t (bỏ điểm h=0 t=0) dùng máy tính bỏ túi ta tìm A=-9,78229 (0,25 đ) B=34,94733 (0,25 đ) e) t=3,57251 f) hmax 31, 21242 Số hiệu: BM2/QT-PĐBCL-RĐTV 0,5 đ 0,5 đ 3/4 ĐỀ THI MÔN: PHƯƠNG PHÁP Mã môn học: MATH121101 Thời gian: 75 phút Đề số 01 Đề thi có 01 trang Ngày thi: 05/11/2014 Sinh viên phép sử dụng tài liệu ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN TÍNH x 0, 25 0,12 0, 07 x 1, 72 Bài 1: (2,5 điểm) Xét hệ phương trình y 0,08 0,36 0, 02 y 7, 26 TX C z 0,18 0, 21 z 3, 68 a) Ta có T (1) b) Áp dụng phương pháp lặp đơn, X (0) C , ta nghiệm gần X D(2) (2) với sai số D (3) c) Áp dụng phương pháp lặp Seidel, X (0) C , ta nghiệm gần X S(2) (4) với sai số S (5) y ' y cos x Bài 2: (2,5 điểm) Cho toán Cauchy y (2) 0,5 a) Áp dụng công thức Euler với h = 0,1 ta có y(2,2) ≈ (6) y(2,5) ≈ (7) b) Áp dụng công thức RK2 với h = 0,2 ta có y(2,2) ≈ (8) y(2,4) ≈ (9) c) Áp dụng công thức Euler cải tiến vòng lặp với h = 0,2 ta có y(2,2) ≈ (10) Bài 3: (4 điểm) Cho bảng giá trị hàm y = f(x) sau x 0,2 0,4 0,6 y = f(x) 1,28 1,92 2,15 4,72 0,8 4,84 5,25 1,2 5,58 Giả sử f (3) ( x) 0,5; x 0, 2;0,6 f (4) ( x) 0,8; x 0;1, 2 a) Sai phân cấp cấp hàm f(x) x = 0,2 ∆1 = (11) ∆2 = (12) b) Áp dụng nội suy bậc mốc 0,2; 0,4; 0,6 ta có f(0,25) ≈ (13) sai số ∆ ≤ (14) 1,2 c) Áp dụng cơng thức SimpSon ta có f ( x)dx (15) với sai số không (16) d) Áp dụng phương pháp bình phương nhỏ với cơng thức xấp xỉ dạng f ( x) ax3 b cho bảng số liệu ta a = (17) b = (18) Bài 4: (1 điểm) Tự luận Biết phương trình x e x có nghiệm x * nằm (1; 2) Chứng minh với x0 (1; 2) tùy ý, dãy lặp xn 1 ln xn2 hội tụ nghiệm x* phương trình HẾT Ghi chú: Trong tính tốn lấy kết với chữ số thập phân Nghiệm hệ phương trình viết dạng vector dòng Cán coi thi khơng giải thích đề thi Ngày 29 tháng 10 năm 2014 Chủ nhiệm Bộ môn ĐỀ THI MƠN: PHƯƠNG PHÁP Mã mơn học: MATH121101 Thời gian: 75 phút Đề số 02 Đề thi có 01 trang Ngày thi: 05/11/2014 Sinh viên phép sử dụng tài liệu ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN TÍNH x 0, 25 0,12 0, 07 x 1, 72 y 7, 26 TX C Bài 1: (2,5 điểm) Xét hệ phương trình y 0, 08 0, 36 z 0,18 0, 05 0, 21 z 3, 68 a) Ta có T (1) b) Áp dụng phương pháp lặp đơn, X (0) C , ta nghiệm gần X D(2) (2) với sai số D (3) c) Áp dụng phương pháp lặp Seidel, X (0) C , ta nghiệm gần X S(2) (4) với sai số S (5) y ' y cos x Bài 2: (2,5 điểm) Cho toán Cauchy y (2) 0,5 a) Áp dụng công thức Euler với h = 0,1 ta có y(2,2) ≈ (6) y(2,5) ≈ (7) b) Áp dụng cơng thức RK2 với h = 0,2 ta có y(2,2) ≈ (8) y(2,4) ≈ (9) c) Áp dụng cơng thức Euler cải tiến vòng lặp với h = 0,2 ta có y(2,2) ≈ (10) Bài 3: (4 điểm) Cho bảng giá trị hàm y = f(x) sau x 0,2 0,4 0,6 y = f(x) 0,18 0,79 1,15 1,72 0,8 2,84 3,07 1,2 4,16 Giả sử f (3) ( x) 0, 2; x 0, 2;0, 6 f (4) ( x) 0,5; x 0;1, 2 a) Sai phân cấp cấp hàm f(x) x = 0,2 ∆1 = (11) ∆2 = (12) b) Áp dụng nội suy bậc mốc 0,2; 0,4; 0,6 ta có f(0,25) ≈ (13) sai số ∆ ≤ (14) 1,2 c) Áp dụng cơng thức SimpSon ta có f ( x)dx (15) với sai số không (16) d) Áp dụng phương pháp bình phương nhỏ với cơng thức xấp xỉ dạng f ( x) ax3 b cho bảng số liệu ta a = (17) b = (18) Bài 4: (1 điểm) Tự luận Biết phương trình x e x có nghiệm x * nằm (1; 2) Chứng minh với x0 (1; 2) tùy ý, dãy lặp xn 1 ln xn2 hội tụ nghiệm x* phương trình HẾT Ghi chú: Trong tính tốn lấy kết với chữ số thập phân Nghiệm hệ phương trình viết dạng vector dòng Cán coi thi khơng giải thích đề thi Ngày 29 tháng 10 năm 2014 Chủ nhiệm Bộ môn Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.HCM KHOA KHCB – Bộ mơn Tốn Đáp án mơn: PHƯƠNG PHÁP TÍNH Mã môn học: MATH121101 Ngày thi: 05/11/2014 A – PHẦN TRẮC NGHIỆM (9 điểm) BẢNG TRẢ LỜI - ĐỀ Câu hỏi Câu hỏi Trả lời Trả lời (1) 0,46 (10) 0,7863 (2) (0,6340; 10,6048; -2,9507) (11) 0,23 (3) 0,80 (12) 2,34 (4) (0,6185; 10,6546; -2,9968) (13) 1,7581 (5) 0,79 (14) 2,2*10 -4 (6) 0,7462 (15) 4,56 (7) 1,4142 (16) 8,5*10 -6 (8) 0,7773 (17) 2,2095 (9) 1,2313 (18) 2,5635 BẢNG TRẢ LỜI - ĐỀ Câu hỏi Trả lời Câu hỏi Trả lời (1) 0,44 (10) 0,0227 (2) (1,2096; -5,5827; 2,9770) (11) 0,36 (3) 0,84 (12) 0,21 (4) (1,1958; -5,5111; 3,0318) (13) 0,8603 (5) 0,72 (14) 8,7*10 -5 (6) 0,0745 (15) 2,3093 (7) -0,8862 (16) 5,3*10 -6 (8) 0,0245 (17) 2,0443 (9) -0,6066 (18) 0,9568 B– PHẦN TỰ LUẬN (1 điểm) Câu Ý Nội dung Thang điểm 2x Từ phương trình x e x ln x ( x) 0,5 4x '( x) Ta có 4x ''( x ) 16 x 20 4x 5 0 x 5 x 1; ta có max '( x ) ' 0, 447 x1;2 Suy dãy lặp xn 1 ln xn2 hội tụ nghiệm x* phương trình với x0 (1; 2) tùy ý 0,5 ... hệ phương trình viết dạng vector dòng Cán coi thi khơng giải thích đề thi Ngày 29 tháng 10 năm 2014 Chủ nhiệm Bộ mơn ĐỀ THI MƠN: PHƯƠNG PHÁP Mã mơn học: MATH121101 Thời gian: 75 phút Đề số 02 Đề. .. 1.2]: Có khả áp dụng phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton vào giải gần đánh giá sai số phương trình đại số cụ thể [CĐR 1.1, 1.2]: Nắm bắt ý nghĩa phương pháp bình phương bé vận dụng tìm số đường... 1.2]: Có khả áp dụng phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton vào giải gần đánh giá sai số phương trình đại số cụ thể [CĐR 1.1, 1.2]: Nắm bắt ý nghĩa phương pháp bình phương bé vận dụng tìm số đường