Bài viết trình bày về việc tổ chức dạy học vận dụng nguyên hàm - tích phân giải bài toán thực tế thông qua mô hình hóa toán học. Hoạt động này giúp học sinh nắm vững kiến thức nguyên hàm - tích phân và kĩ năng vận dụng nguyên hàm - tích phân giải bài toán thực tế.
NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN Tổ chức dạy học vận dụng ngun hàm - tích phân giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa tốn học Phan Anh Tài Trường Đại học Nguyễn Tất Thành 300A Nguyễn Tất Thành, Quận 4, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Email: patai@ntt.edu.vn TĨM TẮT: Bài báo trình bày việc tổ chức dạy học vận dụng nguyên hàm - tích phân giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa toán học Hoạt động giúp học sinh nắm vững kiến thức nguyên hàm - tích phân kĩ vận dụng ngun hàm - tích phân giải tốn thực tế Tạo động cơ, khuyến khích em tích cực vận dụng tri thức toán học để giải vấn đề thực tiễn Qua đó, giúp học sinh hiểu sâu mối liện hệ Toán học thực tiễn, rèn luyện cho em lực giải vấn đề TỪ KHĨA: Mơ hình hóa; ngun hàm; tích phân; toán thực tế Nhận 11/4/2020 Đặt vấn đề Dạy học Toán, điều quan trọng giáo viên (GV) làm để giúp học sinh (HS) hiểu, nắm vững vận dụng tri thức toán học vào giải vấn đề (GQVĐ) Trong đó, cần quan tâm giải vấn đề thực tiễn Chủ đề nguyên hàm - tích phân chứa đựng nhiều tiềm to lớn việc phát huy lực nhận thức sáng tạo HS Đây chủ đề thú vị chương trình tốn học trường trung học phổ thơng (THPT) với hệ thống lí thuyết tập phong phú, đa dạng, có nhiều độc đáo phương pháp giải tạo nên hấp dẫn say mê HS Vận dụng kiến thức ngun hàm - tích phân giải số vấn đề thuộc mơn Tốn Ngồi ra, cịn áp dụng để GQVĐ ngành khoa học khác Vật lí, Hóa hoc, Sinh học vấn đề thực tế Do đó, để HS nắm vững chất nội dung cách tốt em phải làm chủ tri thức đó, em phải người chủ động lĩnh hội tri thức vận dụng chúng cách thành thạo Dạy học giải tốn thơng qua mơ hình hóa (MHH) tốn học giúp cho mong muốn, yêu cầu khả thi Để giải toán thực tế, HS phải trải qua trình MHH tốn học - q trình chuyển vấn đề thuộc lĩnh vực ngồi tốn học thành vấn đề tốn học, sử dụng cơng cụ tốn để tìm câu trả lời cho vấn đề đặt Nội dung nghiên cứu 2.1 Bài toán thực tế Lí thuyết Giáo dục Tốn học theo thực tế (Theory of Realistic Mathematíc Education) hình thành phát triển Viện Freudenthal Hà Lan vào khoảng năm 1970 kỉ XX Theo Freudenthal (1991), Giáo dục Tốn học theo thực tế có hai quan điểm cốt lõi [1] - Toán học phải kết nối với giới thực tế, gần 20 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM Nhận chỉnh sửa 17/6/2020 Duyệt đăng 15/9/2020 gũi với trẻ em có liên quan đến tình sống hàng ngày - Toán học nên xem hoạt động người, liên quan đến xã hội loài người Bài tốn thực tế bao gồm tình liên quan đến giới thực tế tình có vấn đề (problem situation) với nội dung liên quan đến Tốn học mơ từ thực tế bối cảnh dạy học cụ thể Lang (1996) khẳng định rằng, tình có vấn đề bao hàm ứng dụng tình mơ hình hóa (modeling) Theo Phạm Văn Hồn [2], việc áp dụng toán để giải toán thực tế thường tiến hành qua bước sau: Bước 1: Chuyển tốn thực tế dạng ngơn ngữ thích hợp với lí thuyết tốn học dùng để giải (lập mơ hình tốn học tốn); Bước 2: Giải tốn khn khổ lí thuyết tốn học; Bước 3: Chuyển kết lời giải toán học tốn ngơn ngữ lĩnh vực thực tế (thể cụ thể lời giải tốn học) 2.2 Mơ hình tốn học quy trình giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa tốn học Theo Common Core State Standards (2016) [1], mơ hình hóa tốn học tiến trình lựa chọn, sử dụng cơng cụ tốn học thống kê thích hợp để phân tích tình thực tế, để hiểu chúng tốt để cải tiến định Như vậy, mơ hình tốn học hiểu thể vấn đề thực tế dạng ngơn ngữ tốn học MHH tốn học q trình sử dụng cơng cụ tốn học tạo mơ hình để giải vấn đề liên quan đến tình thực tiễn Nhiều nhà nghiên cứu thiết lập quy trình giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học dạng sơ đồ Các sơ đồ chất hoạt động MHH toán học hướng dẫn để thiết Phan Anh Tài kế nhiệm vụ MHH thực MHH dạy học Dưới đây, chúng tơi giới thiệu số quy trình MHH toán học dạng sơ đồ Thứ nhất, quy trình giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học theo Common Core State Standards Sơ đồ 1: Quy trình giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học theo Common State Standards [2] Quy trình giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học theo Sơ đồ trình bày thực bước sau: Bước 1: Từ vấn đề (problem) phát sinh tình huống, ta xác định biến số tình lựa chọn khung lí thuyết để mô yếu tố then chốt; Bước 2: Xây dựng (formulate) mơ hình cách tạo lựa chọn đối tượng hình học, đồ thị, biểu bảng, đại số thống kê để mô tả mối quan hệ biến số; Bước 3: Phân tích, thiết lập phép toán mối quan hệ tính tốn (compute) để tìm kết luận; Bước 4: Diễn giải (interpret) kết toán học kết luận lại tình ban đầu; Bước 5: Xác nhận (validate) lại xem kết luận có phù hợp hay khơng việc so sánh với tình ban đầu cải tiến mơ hình (sau đó, lặp lại chu trình từ Bước 2) chấp nhận kết thì… Bước 6: Viết báo cáo (report) kết luận giải thích lí chấp nhận kết Thứ hai, quy trình giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học theo OECD Sơ đồ 2: Quy trình giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học theo OECD [3] Quy trình giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học theo Sơ đồ 2, bao gồm bước có nội dung sau: Bước 1: Bắt đầu từ vấn đề đặt thực tế; Bước 2: Nhận kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo khái niệm toán học; Bước 3: Không ngừng cắt tỉa yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành toán mà thể trung thực cho tình huống; Bước 4: Giải toán; Bước 5: Làm cho lời giải tốn có ý nghĩa tình thực tế, xác định hạn chế lời giải Các quy trình giải tốn thực tế thơng qua MHH toán học số quy trình khác Về cấu trúc, phân hoạch thành bước diễn đạt chi tiết nhiệm vụ bước khác Một nhiệm vụ cụ thể thuộc bước quy trình thuộc bước khác quy trình kia, nhiệm vụ trình tự thực quy trình có tương đồng quy trình 2.3 Tổ chức dạy học vận dụng nguyên hàm - tích phân giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa tốn học 2.3.1 Tổ chức dạy học Tốn thơng qua mơ hình hóa tốn học Trong dạy học Tốn, việc thực quy trình MHH ln tuân theo chế linh hoạt, mềm dẻo có điều chỉnh phù hợp với tốn thực tế để vấn đề trở nên đơn giản hơn, dễ hiểu HS phổ thông, giúp em vận dụng kiến thức Toán học vào giải tốn thực tế Do đó, để phù hợp với thực tiễn dạy học Tốn, chúng tơi xây dựng quy trình tổ chức hoạt động MHH toán học dạy học giải toán thực tế gồm bước sau: Bước 1: Tìm hiểu tốn thực tế GV tổ chức cho HS phân tích, xác định giả thuyết, tham số, biến số, đơn giản hóa vấn đề, làm sáng tỏ, lọc yếu tố quan trọng sử dụng phạm vi toán thực tế, thiết lập mối liên hệ yếu tố Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học HS tiếp tục lựa chọn sử dụng ngơn ngữ tốn học mơ tả toán thực tế, xây dựng nội dung toán tốn học dự đốn tính phức tạp Bước 3: Giải toán Các em liên tưởng, huy động kiến thức, sử dụng cơng cụ tốn học thích hợp để giải tốn tốn học Bước 4: Hiểu lời giải toán Từ kết bước 3, HS hiểu lời giải toán ý nghĩa mơ hình tốn học bối cảnh thực tiễn Bước 5: Đánh giá mơ hình Tổ chức cho HS kiểm tra tính hợp lí tối ưu mơ hình tốn học xây dựng; đưa kết luận, giải thích phù hợp với thực tế; dự đốn, cải tiến mơ hình (có độ phức tạp cao hơn) bắt đầu lại quy trình Kết thúc Số 33 tháng 9/2020 21 NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN bước này, GV hướng dẫn HS sử dụng ngôn ngữ cơng cụ Tốn học để mơ tả ý tưởng toán học, biểu diễn vấn đề thực tiễn Tóm lược q trình tổ chức hoạt động MHH toán học dạy học giải toán thực tế theo Sơ đồ 3: Sơ đồ 3: Quy trình tổ chức hoạt động MHH toán học giải toán thực tế Trong dạy học Tốn, thơng qua hoạt động MHH toán học giải toán thực tế HS thực thao tác tư duy, khám phá tri thức Từ đó, rèn luyện cho em lực giải vấn đề thực tiễn sống 2.3.2 Ví dụ tổ chức dạy học vận dụng nguyên hàm - tích phân giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa toán học Trong phần này, tổ chức dạy học vận dụng ngun hàm - tích phân giải tốn thực tế thơng qua MHH tốn học với mục đích tạo hứng thú, kích thích tính tị mị, tạo quan tâm đến tình gợi lên định hướng áp dụng ngun hàm - tích phân giải tốn thực tế Đưa số toán thực tế làm ví dụ tổ chức cho HS làm việc theo nhóm, mong đợi HS số câu trả lời trình bày chiến lược cho tình dự kiến Ví dụ: Xét tốn: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s gặp cố phía trước, tài xế đạp phanh (đạp “thắng”) Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = -40t + 20 (m/s) Trong đó, t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng bao nhiêu? Tổ chức dạy học thông qua MHH tốn học theo quy trình bước sau: Bước 1: Tìm hiểu tốn thực tế GV tổ chức cho HS nghiên cứu thảo luận nhóm số liệu cần thiết cần thu thập nhằm đơn giản hóa tốn; Hướng dẫn HS tìm từ khóa, xác định yếu tố (tham số) có liên quan đến vấn đề đơn vị tính nhằm thiết lập điều kiện ban đầu toán; Xác định tham số quan trọng loại bỏ tham số phụ Các từ khóa cần xác định: Ơ tơ chạy, vận tốc, đạp phanh, chuyển động chậm dần đều, thời gian, quãng đường, ô tô dừng Các tham số xuất tốn (được nhóm đưa ra): vận tốc, chuyển động, chậm dần đều, thời gian, quãng đường, đạp phanh, dừng hẳn Sau nghiên cứu 22 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM kĩ lưỡng thảo luận theo nhóm, GV hướng dẫn HS lựa chọn tham số bản: Chậm dần đều, quãng đường, vận tốc, thời gian; Loại bỏ số tham số phụ: chuyển động, đạp phanh, dừng hẳn; Thống đơn vị tính m Bước 2: Xây dựng mơ hình toán học Sau xác định tham số bản, GV tiếp tục định hướng cho HS thiết lập điều kiện ban đầu, xác định biến số xây dựng hàm số Thời gian lúc ô tô bắt đầu phanh t = 0; T thời điểm ô tô dừng lại, vận tốc lúc dừng v(T) = 0; Thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng v(T) = Û -40T + 20 = ⇔ T = ; s(t) quãng đường ô tô khoảng thời gian T; GV tiếp tục cho HS thảo luận để mối liên hệ “vận tốc” “quãng đường” tốn chuyển động Từ đó, để giải toán cần huy động kiến thức nào? v(t) = s ‘(t) suy s(t) nguyên hàm v(t) HS áp dụng tích phân để tính quãng đường Bước 3: Giải toán HS sử dụng số liệu, kiến thức cần huy động để tìm quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn Trong (s) ô tô quãng đường là: T t ∫ v(t )dt =∫ ( −40t + 20 )dt =( −20t + 20t ) =5(m) Bước 4: Hiểu lời giải toán Từ kết Bước 3, GV hướng dẫn HS quay trở lại vấn đề đặt để hiểu yêu cầu toán HS thảo luận để nhận biết s(t) nguyên hàm v(t), áp dụng tích phân để tính quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn Bước 5: Đánh giá mơ hình Từ kiến thức tốn học (tích phân, ngun hàm, tốn học vật lí,…) sử dụng q trình giải vấn đề, GV định hướng HS thảo luận tìm hiểu thực tế để kiểm nghiệm lời giải toán GV kết luận kết tốn Tiếp đó, HS thảo luận ưu điểm, hạn chế mơ hình cải tiến mơ hình cách thay đổi tham số Chẳng hạn, cho biết quãng đường từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn yêu cầu xác định vận tốc ban đầu a tơ Từ đó, thành lập tốn Đại diện nhóm HS trình bày ý kiến thảo luận nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm lực giải vấn đề nhóm giới thiệu thêm cho HS việc mở rộng toán Bài tốn thực hành: Phan Anh Tài Bài 1: Một tơ chạy với vận tốc a(m/s) người lái đạp phanh Từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = -5t + a(m/s), t thời gian tính giây kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ vận tốc ban đầu a ô tô bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn ô tô di chuyển 40 mét Bài 2: Một chuông (xem Hình 5) Giả sử cắt chng mặt phẳng qua trục chng, thiết diện có đường viền phần parabol (xem Hình 6) Biết chng cao 4m, bán kính miệng chng 2 m Tính thể tích chng? Hình Hình Bài 3: Trong đợt xả lũ, nhà máy thủy điện D tiến hành xả lũ với tốc độ lưu lượng nước thời điểm t giây v(t) = 10t + 500 (m3/s) Hỏi sau thời gian 45 phút xả lũ hồ chứa nước nhà máy thoát lượng nước bao nhiêu? Kết luận Cùng với hạn chế kiến thức tốn, thực MHH tốn học, HS gặp khó khăn như: Khơng hiểu nội dung tốn thực tế; Xác định khơng đúng, khơng đầy đủ giả thiết, chưa nhận biến quan trọng để thiết lập mơ hình tốn; Khơng biết huy động kiến thức lựa chọn phương pháp giải phù hợp giải thích kết hợp lí Hoạt động MHH dạy học Tốn trường phổ thơng vận dụng dựa theo quy trình bước chúng tơi đề xuất báo giúp HS vượt qua khó khăn q trình giải toán thực tế Nhất em GV giới thiệu bước quy trình MHH cách chi tiết, khoa học Với tốn, hướng dẫn để HS thực toàn hay số bước quy trình Tổ chức dạy học vận dụng dụng ngun hàm - tích phân giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa tốn học, chúng tơi sử dụng phương pháp thảo luận nhóm Đây phương pháp hiệu giúp HS thiết lập mơ hình tốn học vận dụng kiến thức Toán học giải toán thực tiễn đặt Kiến thức nguyên hàm - tích phân phản chiếu cách sâu sắc qua thực tiễn sống Thơng qua q trình MHH tốn học, HS hiểu sâu mối liên hệ chặt chẽ kiến thức nguyên hàm - tích phân với thực tiễn sống giúp HS phát triển khả nhận thức tri thức toán học mức độ cao hơn, rèn luyện kĩ hợp tác nâng cao kĩ giải vấn đề thực tiễn Tài liệu tham khảo [1] Bùi Anh Tuấn - Ngô Tùng Hiếu - Bùi Hồng Duyên, (2017), Xây dựng toán thực tế lớp 10: thực nghiệm nhỏ thành phố Cần Thơ, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Cần Thơ, Tập 48, Phần C, tr.1-11 [2] Phạm Văn Hồn - Nguyễn Gia Cốc - Trần Thúc Trình, (1981), Giáo dục học mơn Tốn, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] OECD, (2003), The Pisa 2003 - Assessment Framework - Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills, OECD, Paris, France [4] Stewart J, (2012), Caculus: Early Transcendentals, Senventh Edition, Cengage Learning, 1194 pages [5] Blum Werner, (2011), Can Modelling Be Taught and Learnt? Some Answers from Empirical Research, In Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modeling, edited by Gabriele Kaiser, Werner Blum, Rita Borromeo Ferri, and Gloria Stillman, pp 15-30, New York: Springer ORGANIZING TEACHING TO APPLY THE PRIMITIVE - INTEGRAL IN SOLVING PRACTICAL PROBLEMS THROUGH MATHEMATICAL MODELING Phan Anh Tai Nguyen Tat Thanh University 300A Nguyen Tat Thanh, District 4, Ho Chi Minh City, Vietnam Email: patai@ntt.edu.vn ABSTRACT: This article is aimed to present the organization of teaching and applying a primitive - integral to solving practical problems through mathematical modeling This activity helps students master the knowledge of the primitive - integral and the skills of applying the primitive - integral to solving the real problems It is also effective in promoting learners motivation and encouraging them to actively use mathematical knowledge in solving practical problems Thereby, students will gain a deeper understanding of the relationship between mathematics and practice; contributing to improving their problemsolving competence KEYWORDS: Modeling; primitive; integral; practical problems Số 33 tháng 9/2020 23 ... đề thực tiễn sống 2.3.2 Ví dụ tổ chức dạy học vận dụng ngun hàm - tích phân giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa tốn học Trong phần này, tổ chức dạy học vận dụng nguyên hàm - tích phân giải. .. thực quy trình có tương đồng quy trình 2.3 Tổ chức dạy học vận dụng nguyên hàm - tích phân giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa tốn học 2.3.1 Tổ chức dạy học Tốn thơng qua mơ hình hóa tốn học. .. tiết, khoa học Với tốn, hướng dẫn để HS thực tồn hay số bước quy trình Tổ chức dạy học vận dụng dụng nguyên hàm - tích phân giải tốn thực tế thơng qua mơ hình hóa tốn học, chúng tơi sử dụng phương