Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 48 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
48
Dung lượng
1,99 MB
Nội dung
BÀI NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM MỤC TIÊU Kiến thức -Nắm định nghĩa nguyên hàm; tính chất nguyên hàm bảng nguyên hàm bản, -Nắm vững phương pháp tính nguyên hàm - Hiểu rõ định nghĩa tính chất nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm Kỹ -Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm phương pháp tìm nguyên hàm -Vận dụng nguyên hàm vào toán thực tế I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f x xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số f x gọi nguyên hàm hàm số f x K F ' x f x với x K Ví dụ: F x x nguyên hàm hàm số f f ( x) 3x2 x3 ' 3x Định lí Giả sử hàm số f x nguyên hàm hàm số f x K.Khi •Với số C, hàm số F x C nguyên hàm f x K • Ngược lại, với nguyên hàm G x f x K tồn số C cho G x F x C với x K Do F ( x) C, C họ tất nguyên hàm f x K Ký hiệu f ( x)dx F ( x) C Nhận xét: Nếu F(x) G(x) nguyên hàm hàm số f(x) K thì: • F ( x) G ( x), x K • F x G x c, với C số Tính chất Nếu f x , g x lai hàm số liên tục K f ( x)dx f ( x) C b) k f ( x)dx k f ( x)dx, với k số thực khác c) mf x ng x dx m f ( x)dx n g ( x)dx với m,n số thực khác a) d) Với a, b a ta có f (ax b)dx a F (ax b) C F x nguyên hàm f x Ví dụ 1: 2sin x 3cos xdx 2 sinxdx 3 cosxdx 2( cos x) 3sin x C 2 cos x 3sin x C Ví dụ 2: Trang 1 3x 1dx ln | 3x 1| C Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục K có nguyên hàm K BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm hàm số sơ cấp hợp u u x hợp u ax b; a dx x C du u C x 1 C ( 1) 1 x dx 1 u (ax b) dx a ax b C dx x C x e dx e x x e du e C u u sinxdx cos x C sinudu cos u C cosxdx sin x C cosudu sin u C tanxdx ln | cos x | C tanu.du ln | cos u | C cotxdx ln | sin x | C cotu.du ln | sin u | C x dx cot x C cos x dx tan x C x sin xdx ln tan C x u sin u du cot u C cos u du tan u C u sin u du ln tan C ax bdx u (ax b) ax b C a 1 dx ax b C a ax b ax b ax b e dx a e C C au a du ln a C (a 0, a 1) sin ax a dx ln a C (a 0, a 1) x (ax b) dx a ax b C du u C u ax bdx a ln | ax b | C du C u udu u u C 2 (ax b)a 1 C ( 1) a 1 u du ln | u | C dx C x a (ax b) dx xdx ln | x | C x u a 1 C ( 1) 1 a u du d (ax b) ax b C a mx n a dx m ln a C (a 0, a 1) sin(ax b)dx a cos(ax b) C cos(ax b)dx a sin(ax b) C tan(ax b)dx a ln | cos(ax b) | C mx n cot(ax b)dx a ln | sin(ax b) | C sin 1 dx cot(ax b) C (ax b) a 1 cos (ax b)dx a tan(ax b) C dx sin(ax b) a ln tan dx cos xdx ln tan C cos u du ln tan C cos(ax b) a ln tan ax b C ax b C Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số f x xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số f x gọi nguyên hàm hàm số f x K F ' x f x với x K f ( x)dx F ( x) C Định lí Giả sử hàm số f x nguyên hàm hàm NGUYÊN HÀM s f x K Khi - Với số C, hàm số F x C nguyên hàm hàm số f x K - Hàm số F ( x) C, C gọi họ nguyên hàm hàm số f x ) K Kí hiệu f ( x)dx F ( x) C Tính chất Nếu hai hàm số f x , g x liên tục K k ta ln có a) f ' x dx f x C b) k f ( x)dx k f ( x)dx, với k số thực khác c) mf x ng x dx m f x dx ng x dx, với m,n số thực khác d) Với a, b a ta có f (ax b)dx a F (ax b) C Sự tồn nguyên hàm Mọi hàm số f x liên tục K có nguyên hàm K II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tìm nguyên hàm định nghĩa Bài toán Nguyên hàm hàm số sơ cấp hàm số mũ ► Phương pháp giải • Biến đổi hàm số dấu nguyên hàm • Áp dụng cơng thức ngun hàm bảng - nguyên hàm để tìm nguyên hàm Ví dụ 1: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) e x x -e* + x2 +C D e* +1+C A e x x2 C B e x x C C x e x C x 1 D e x C Trang Hướng dẫn giải e x dx e x dx xdx e x x C Chọn B x Ví dụ 2: Hàm số hàm số sau không nguyên hàm hàm số y x ? 2 A x x B x x 2019 C D x x 2020 3 x Hướng dẫn giải Ta có xdx x x C , với C số Nên phương án A,B,D nguyên hàm hàm số y x Chọn C Ví dụ 3: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) 3x2 3x A x3 3x ln C B x3 Hướng dẫn giải f ( x)dx 3x 3x C ln C x3 3x C D x3 ln C 3x 3x dx 3x dx 3x dx Ta có x3 3x C ln Chọn B →Ví dụ mẫu Ví dụ Nguyên hàm hàm số f ( x) x x x3 3 x x C x2 C x5 3x x C x 3 x x C x2 C D 20 x x 3 x2 A x5 Hướng dẫn giải Ta có x x B x5 x dx x x x C x Chọn A Ví dụ Nguyên hàm hàm số f ( x) 4x2 x x A x x 6ln | x | C B x x 6ln | x | C C x x 6ln | x | C D x x 3ln | x | C Hướng dẫn giải x2 x 6 dx x dx x x 6ln | x | C x x x abc a b c Tinh chất phân thức d d d d Chọn C Ví dụ Nguyên hàm hàm số Ta có Trang A 2x e x C x e ln 2x e x C x e (ln 1) Hướng dẫn giải C B 2x e x C x e (ln 1) D 2x e x C x e (ln 1) 2x 1 2x 2 Ta có : x dx dx e x dx x e x C e e e (ln 1) Chọn C Ví dụ Nguyên hàm hàm số f ( x) x( x 2)2019 x A ( x 2)2021 ( x 2) 2020 C 2021 1010 ( x 2)2021 ( x 2)2020 C 2021 1010 Hướng dẫn giải D B ( x 2)2020 ( x 2) 2018 C 2021 1009 D ( x 2)2021 ( x 2)2020 C 2021 1010 2x 1 2x 2 Ta có x dx dx e x dx x e x C e e e (ln 1) Chọn D Ví dụ Nguyên hàm hàm số f ( x) x e 1 A x ln e x C B x ln e2 x 1 C C ln e2 x 1 C Hướng dẫn giải x D x ln e x 1 C e2 x 1 e2 x e2 x Ta có x e 1 e2 x e2 x 2x e2 x d e 1 Do x dx 1 x x ln e2 x 1 C dx dx x e 1 e 1 e 1 Chọn B Ví dụ Nguyên hàm hàm số f ( x) A ( x 2)3 ( x 2)3 C 1 x ( x 2) x C C 6 Hướng dẫn giải Ta có x2 x2 B [ x x 2] C 1 x C D ( x 2) x 6 x2 x2 dx dx x2 x2 2 ( x 2) x ( x 2) x C 3 1 ( x 2) x ( x 2) x C 6 a b Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp a b a b Trang Lưu ý: ax bdx (ax b) ax b C 3a Chọn A A 2ln | x 3| 3ln | x | C x 13 x 5x B 3ln | x 3| 2ln | x | C C 2ln | x 3| 3ln | x | C D 2ln | x 3| 3ln | x | C Ví dụ Nguyên hàm hàm số f ( x) Hướng dẫn giải x 13 x 13 Ta có x x ( x 2)( x 3) Ta phân tích x 13 A x B x 3 1 Thế x x vào (1) ta có B A x 13 2( x 2) 3( x 3) Khi dx dx dx dx x 5x ( x 2)( x 3) x 3 x2 2ln | x 3| 3ln | x | C Chọn D Ví dụ Nguyên hàm hàm số f ( x) x4 x5 x A ln | x | ln x 1 C C ln | x | ln x 1 C Hướng dẫn giải B ln | x | ln x 1 C D ln x ln x 1 C x4 2x4 x4 x3 Ta có dx dx dx dx x x x x 1 x x 1 ln | x | ln x 1 C Chọn C Ví dụ Nguyên hàm hàm số f ( x) 3x 3x x3 3x C x 1 C C ln | x | ln | x 1| x 1 Hướng dẫn giải 3x 3x 3x 3x Ta có dx dx x 3x ( x 1)2 ( x 2) A ln | x | 2 ln | x 1| C x 1 C D ln | x | ln | x 1| x 1 B ln | x | 2 ln | x 1| Ta phân tích 3x2 3x A( x 1)2 B( x 1)( x 2) C( x 2) Ta dùng giá trị riêng, tính A 1, C B Trang (thay x 2 A 1; x C x B 2) 3x 3x 1 ( x 1)2 ( x 2)dx x 2dx 2 x 1dx 3 ( x 1)2 dx ln | x | 2 ln | x 1| C x 1 Chọn A Khi Lưu ý: Ta có kiến thức tổng quát dùng cho nguyên hàm hữu tỉ I P( x) dx, với P x Q x Q( x) đa thức, cụ thể sau: • Nếu deg P x deg Q x ta thực phép chia P( x) cho Q x (ở đây, kí hiệu deg P( x) bậc đa thức P( x) ) • Khi deg P x deg Q x ta quan sát mẫu số Q x ta tiến hành phân tích thành nhân tử, sau đó, tách P( x) theo tổ hợp nhân tử Đến đây, ta sử dụng đồng thức (hoặc giá trị riêng) để đưa dạng tổng phân thức Một số trường hợp đồng thức thường gặp: 1 a c Trường hợp 1: (ax b)(cx d ) ad bc ax b cx d Trường hợp 2: mx n A B ( Ac Ba) x Ad Bb (ax b)(cx d ) ax b cx d (ax b)(cx d ) Ta đồng thức mx n Ac Ba x Ad Bb 1 Cách Phương pháp đồng hệ số Ac Ba m Suy A, B Đồng đẳng thức, ta Ad Bb n Cách Phương pháp giá trị riêng b d Lần lượt thay x ; x vào hai vế (1), tim A,B a c mx n A B Trường hợp 3: (ax b) ax b (ax b) Trường hợp 4: mx n A B C 2 (ax b) (cx d ) (ax b) cx d ax b mx n A(cx d ) B (ax b) C (ax b)(cx d ) * b d Lần lượt thay x ; x ; x vào hai vế (*) để tìm A,B,C a c A Bx C Trường hợp 5: , với b2 4ac ( x m) ax bx c x m ax bx c Trường hợp 6: A B C D 2 ( x a ) ( x b) x a ( x a) x b ( x b) 2 Chú ý đến tính liên tục hàm số f x cách xử lí đấu giá trị tuyệt đối Ở đây, ta sử dụng hai số khác ứng với x 1 x 2 Trang 1 ; f (0) f 1 Giá \ ( thỏa mãn f ( x) 2x 1 2 Ví dụ 10 Cho hàm số f x xác định trị biểu thức P f 1 f 3 3ln ln A B 3ln ln C 3ln ln D ln15 Hướng dẫn giải ln(2 x 1) C1 x f ( x) f ( x)dx dx ln | x 1| C 2x 1 ln(1 x) C x f (0) C2 Vì f (1) C1 ln(2 x 1) x Suy f ( x) ln(1 x) x Do P f (1) f (3) ln ln ln15 Chọn D Ví dụ 11 Cho hàm số f x xác định 1 \{1,1} thỏa mãn f ( x) ; x 1 1 f (3) f (3) 2ln f f 2 2 Giá trị biểu thức P f 2 f f A 2ln ln Hướng dẫn giải f ( x) f ( x)dx B 6ln 2ln ln C 2ln 2ln ln D 6ln 2ln x 1 dx C dx ln x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ln x C1 x 1 1 x Hay f ( x) ln C ln C2 x 1 1 x x 1 C3 ln x 1 x x x 1 f (3) f (3) ln C C3 ln ra, ta có 1 f f C 2 2 Do f (2) f (0) f (4) ln C3 C2 ln C1 2ln 2ln ln 5 Chọn C Bài toán Nguyên hàm hàm số lượng giác →Phương pháp giải Yêu cầu chung: Nắm vững công thức lượng giác Trang • Biến đổi hàm số dấu nguyên hàm dạng tổng, hiệu hàm số lượng giác đó, hàm số dạng có bảng ngun hàm • Áp dụng công thức nguyên hàm bảng nguyên hàm để tìm ngun hàm Ví dụ: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) cos3x.cos 2x A f ( x)dx ta thu kết sin x sin x C 10 C f ( x)dx sin 3x.sin x C Hướng dẫn giải Ta viết f ( x) (cos x cos x) sin x sin x C Khi f ( x)dx 10 Chọn A →Ví dụ mẫu B f ( x)dx sin x sin x C D f ( x)dx sin x sin x C 10 Ví dụ Nguyên hàm hàm số (2 cos x 3cos x)dx A 2sin x 15sin 5x C C 2sin x sin x C Hướng dẫn giải B 2sin x sin x C D 2sin x 5sin 5x C Ta có (2cos x 3cos x)dx 2sin x sin x C Lưu ý: sin ax cosaxdx a C cos ax sinaxdx a C Chọn C Ví dụ Nguyên hàm hàm sin5 x sin xdx 1 cos x cos x C B sin 3x sin x C 10 14 1 1 C sin 3x sin x C D sin 3x sin x C 2 Hướng dẫn giải 1 Ta có sin5 x sin xdx (cos 3x cos x)dx sin 3x sin x C 14 Dùng công thức hạ bậc A Trang cos 2a cos 2a sin a Chọn B cos a Ví dụ Nguyên hàm hàm số cos xdx A x 2sin x C B 4cos3 x C C x sin x C D x sin x C Hướng dẫn giải Ta có cos xdx 2 (1 cos x)dx x sin x C Chọn D Ví dụ Nguyên hàm hàm số (1 2sin x) dx (1 2sin x)3 C D 3x 4cos x sin x C A 3x 4cos x sin x C B C 3x sin x C Hướng dẫn giải Ta có (1 2sin x) dx 1 4sin x 4sin x dx (3 4sin x cos x)dx 2 3x cos x sin x C Chọn A Ví dụ Nguyên hàm hàm số (sin x cos x) sin xdx 1 A x sin x cos x C 4 1 C x sin x cos x C 2 Hướng dẫn giải 1 B x sin x cos x C 4 1 D x sin x cos x C 4 Ta có (sin x cos x) sin xdx sin x sin x cos x dx 1 1 cos x sin x dx x sin x cos x C 2 2 2 Chọn B dx Ví dụ Nguyên hàm hàm số sin x cos x A tan x cot x C B tan x cot x C C tan x cot x C D cot x tan x C Hướng dẫn giải sin x cos x dx dx dx 2 2 Ta có sin x.cos x sin x cos x cos x sin x tan x cot x C Chọn B Trang 10 Đặt x a tan t , với t ; 2 ax dx ax Đặt x a cos 2t với t 0; 2 Bài tốn 3: Tính A3 Bài tốn 4: Tính A4 ( x a)(b x)dx Đặt x a (b a)sin t với t 0; 2 Bài tốn 5: Tính A5 x a dx |a| ; , với t sin t 2 Ví dụ mẫu Đặt x x2 Ví dụ Nguyên hàm I x2 dx x x x2 A arcsin C x x x2 B arccos C 2 x x x2 x x x2 C arccos D 2arcsin C C 2 Hướng dẫn giải Đặt x 2sin t vói t ; Ta có cos t dx 2cos tdt 2 cos tdt 4sin tdt (vì cos t 0, t ; ) 2 4sin t 4sin t Khi I Suy I 2 1 cos 2t dt 2t sin 2t C Từ x 2sin t t arcsin Vậy I x x2 x sin 2t 2sin t.cos t 2 x x x2 dx arcsin C 2 x2 x2 Chọn D Ví dụ Nguyên hàm I A 1 x C 1 x B x x2 dx C C x 1 x C D x2 C x Hướng dẫn giải Đặt x cos t ,0 t dx sin t.dt Khi I sin t.dt dt x cot t C hay I C sin t sin t x2 Trang 34 Vậy dx 1 x x x2 C Chọn B Ví dụ Nguyên hàm I A arctan x C Hướng dẫn giải dx x2 B arccot x C C arcsin x C D arccos x C Đặt x tan t với t ; , ta có dx 1 tan t dt 2 Khi I tan t dt dt t C tan t Vậy I dx arctan x C x2 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số f x có F 1 F Hàm số F x A ln x 1 B ln x 1 4 C ln x 1 Câu 2: Biết 2x 3x dx a 3x b 3x C, với a, b biểu thức P 12a 7b 23 241 A B 252 252 C D ln x 1 C số thực Giá trị 52 D Câu 3: Biết F x nguyên hàm hàm số f x sin x F =2 Giá trị F 2 2 A ln B ln C ln D ln 3 3 Câu 4: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục khoảng (0; ) Khi A f x C B f x C Câu 5: Họ nguyên hàm hàm số f x C 2 f x C f' x dx x D f , với x x 3x5 1 x4 A ln C 3x 36 x 1 x4 ln B C 12 x 36 x 1 x4 C ln C 3x 36 x 1 x4 ln D C 12 x 36 x Câu 6: Biết F x nguyên hàm hàm số f x A 2 8 B x C 2 8 Câu 7: Họ nguyên hàm hàm số f x x3 x 1 C 2019 sin x F Giá trị F 3cos x 2 8 D 8 Trang 35 2021 2020 x 1 x 1 C A 2021 2020 x B x C 2021 2000 x 1 x 1 C D 2021 2020 1 2021 2021 x 1 2020 C 2020 1 2021 2021 ( x 1)2017 x 1 ( x 1)2019 dx a x C, x 1 a, b x 1 2020 2020 C b Câu 8: Biết đúng? A a 2b B b 2a * C số thực Mệnh đề sau C a 2018b Câu 9: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định khoảng D b 2018a 0; 2 thỏa mãn f 1 f x x f ' x x 3x với x Giá trị f A B 10 C 20 D 15 Câu 10: Cho hàm số f x khơng âm, có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn f 2 f ( x) f '( x) f ( x).cos x với x 0; Giá trị f 2 2 A B C 2 D Câu 11: Xét I x3 x 3 dx Bằng cách đặt u x , khẳng định sau đúng? A I u 5du 16 Câu 12: Nguyên hàm B l x A sin C x u du 12 cos dx x B sin C x Câu 13: Cho hàm số f x có F ( x) A F ( x) ln x 1 A 2u u du C 2sin C x D l u du 4 D 2sin C x x3 dx F Hàm số F x x4 1 B F ( x) ln x 1 4 C F ( x) ln x 1 Câu 14: Khi tính nguyên hàm C I u du D F ( x) ln x 1 x 3 dx , cách đặt u x ta nguyên hàm nào? x 1 B u du C u du D u 3du Câu 15: Cho hàm số f ( x) sin 2 x.sin x Hàm số nguyên hàm hàm f x ? 4 A y cos3 x sin x C 4 C y sin x cos5 x C 4 B y cos3 x cos5 x C 4 D y sin x sin x C Trang 36 Câu 16: Cho hàm số f x nguyên hàm hàm số f ( x) cos x khoảng (0; ) Biết sin x giá trị lớn F x khoảng 0; Chọn mệnh đề mệnh đề sau 2 B F A F 3 6 C F 3 5 D F Câu 17: Cho hàm số f x có đạo hàm đến cấp hai xác định 1; thỏa mãn xf '( x) x 1 f ( x) f "( x) với x Biết f (1) f '(1) Giá trị f (2) B f (2) ln A f (2) 2ln C f (2) 2ln Câu 18: Cho F x nguyên hàm hàm số f x D f (2) ln 1 , thỏa mãn F 10 Hàm số F x 2e x A ln x ln 2e x 3 10 3 B x 10 ln 2e x 3 1 1 ln ln C x ln e x 10 ln ln D x ln e x 10 3 3 sin x Câu 19: Biết dx ln x x C Nguyên hàm hàm số f ( x) x2 cos x C ln x D ln x A ln cos x cos2 x C B ln cos x cos x C cos x C 3 Câu 20: Biết khoảng ; , hàm số 2 f ( x) cos x C 20 x 30 x có nguyên hàm 2x F ( x) ax bx c x ( a, b, c số nguyên) Tổng S a b c A B C D sin x dx Nếu đặt u cos x mệnh đề sau đúng? cos x sin x 1 1 A I du B I du C I du D I du u 1 2u u 1 u 1 Câu 22: Cho F x nguyên hàm hàm số f ( x) x , thỏa mãn F ln Tập nghiệm e 1 Câu 21: Cho nguyên hàm I S phương trình F ( x) ln e x 1 A S {3} C S B S={3} Câu 23: Biết hàm số F x nguyên hàm hàm số f ( x) y F ( x) qua điểm (e ; 2019) Khi F e A 2020 Câu 24: Cho f ( x) B 2018 2 x 1 x D S={ 3} ln x x ln x đồ thị hàm số C 2021 D 2019 x , biết F x nguyên hàm hàm số f x thỏa mãn 3 F Giá trị F 4 Trang 37 123 16 cos x (sin x cos x 1)" Câu 25: Cho dx C , với m, n (sin x cos x 2) (sin x cos x 2) n A 125 16 B 126 16 C biểu thức A m n A A B A dx Câu 26: Nguyên hàm I x2 x2 x2 C 9x A I Câu 27: Nguyên hàm I x3 x2 C I 127 16 C số thực.Giá trị C A x2 C 9x B I D D A x2 C 9x2 D I x2 C x2 dx x x C C I x x C x x C D I x x C A I B I 1-C 2-D 3-B 4-D ĐÁP ÁN 5-B 6-B 11-C 12-A 13-A 14-C 15-C 16-B 17-A 18-A 19-A 20-D 21-B 22-B 23-A 24-B 25-A 26-A 27-C 28-A 29-B 30-B 7-D 8-A 9-C 10-A Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp giải Cơ sở phương pháp Với u u( x) v v x hàm số có đạo hàm khoảng K ta có (u, v) ' u '.v v '.u Viết dạng vi phân d (uv) vdu udv Khi lấy nguyên hàm hai vế ta d (uv) vdu udv Từ suy udv uv vdu Công thức (1) cơng thức ngun hàm phần Ví dụ 1: Kết nguyên hàm A xex e x C B xe dx x x2 x e C C xex e x C D xe x x C Hướng dẫn giải u x du dx Đặt x x dv e dx v e xe dx xde Khi x x x.e x e x dx x.e x e x C Chọn A Trang 38 Ở ví dụ này, ta ưu tiên đặt u x (đa thức), phần lại dv, tức dv e x dx Dịng thứ tính đạo hàm, dịng thứ hai tìm ngun hàm Dấu hiệu nhận biết phải sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Bài tốn: Tìm I u ( x).v( x)dx, u x v x hai hàm có tính chất khác nhau, chẳng hạn: u x hàm số đa thức, v x hàm số lượng giác u x hàm số đa thức, v x hàm số mũ u x hàm số logarit, v x hàm số đa thức u x hàm số mũ, v x hàm số lượng giác Phương pháp nguyên hàm phần u u ( x) du u '( x)dx Bước Đặt v v( x)dx dv v( x)dx Bước Áp dụng công thức (1), ta udv uv vdu Lưu ý: Đặt u u( x) (ưu tiên) theo thứ tự: “Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” Tức là, có logarit ưu tiên đặt u logarit, khơng có logarit ưu tiên u đa thức, thứ tự ưu tiên xếp Còn nguyên hàm v v( x)dx ta cần chọn số thích hợp Điều làm rõ qua ví dụ minh họa cột bên phải Ví dụ 2: Kết nguyên hàm ln( x 2019)dx A ( x 2019) ln( x 2019) x C B ( x 2019)ln( x 2019) x C C ( x 2019) ln( x 2019) C D ln( x 2019) C Hướng dẫn giải dx u ln( x 2019) du Đặt x 2019 dv dx v x 2019 (ở từ dv dx v x C, ta chọn C 2019 để việc tính tốn đơn giản hơn) Khi ln( x 2019)dx ( x 2019) ln( x 2019) dx Vậy ln( x 2019)dx ( x 2019) ln( x 2019) x C Chọn B Ví dụ 3: Tìm e x sin xdx A 2ex (sin x cos x) C C e x (sin x cos x) C Hướng dẫn giải u sin x du cos xdx Đặt x x dv e dx v e B 2ex (sin x cos x) C D e x (sin x cos x) C Khi e x sin xdx e x sin x e x cos xdx Đến ta phải áp dụng phương pháp phần lần nữa, cụ thể Với e x cos xdx ta thực tương tự sau Trang 39 u cos x du sin xdx + Đặt x x dv e dx v e + Khi e x cos xdx e x cos x e x sin xdx Vậy e x sin xdx e x sin x e x cos xdx e x sin xdx e x sin x e x cos x e x sin xdx e sin xdx e (sin x cos x) C x x Chọn C Ở đây, lần phần thứ hai, ta nên nhớ tuân thủ nguyên tắc lần phần thứ Tức lần thứ ưu tiên u lượng giác u sinx lần thứ hai ta ưu tiên u lượng giác u cosx Ví dụ mẫu Ví dụ Kết nguyên hàm I x ln x dx A x2 x2 ln x C 2 B x ln x D C x ln x x C x2 C x2 x2 ln x C 2 Hướng dẫn giải 2x du dx u ln x x Đặt d v x dx v x 2 Khi l x2 x2 x2 ln x xdx ln x C 2 Chọn D -Thơng thường với dv xdx v x2 x2 Tuy nhiên trường hợp này, ta để ý v mang lại 2 hiệu ln(sin x cos x ) dx cos2 x A (tan x 2) ln(sin x 2cos x) x 2ln | cos x | C Ví dụ Kết nguyên hàm I B (tan x 2) ln(sin x 2cos x) x 2ln | cos x | C C (tan x 2) ln(sin x 2cos x) x 2ln(cos x) C D (cot x 2) ln(sin x 2cos x) x 2ln | cos x | C Hướng dẫn giải cos x 2sin x dx u ln(sin x cos x ) du sin x cos x Đặt dx sin x cos x dv v tan x cos2 x cos x Trang 40 cos x 2sin x dx cos x (tan x 2)ln(sin x 2cos x) x 2ln | cos x | C Khi I (tan x 2) ln(sin x cos x ) Chọn B - Ở ví dụ này, chọn v tan x rút gọn tử mẫu nguyên hàm vdu Ví dụ Kết nguyên hàm I x sin xdx 2 A x cos5x x sin 5x cos5x C 25 125 2 C x cos5x x sin 5x cos5x C 25 125 Hướng dẫn giải B 2 x cos5x x sin 5x cos5x C 25 125 2 D x cos5x x sin 5x cos5x C 25 125 Phân tích: Ở ta ưu tiên u x đa thức, nhiên bậc u nên ta phần hai lần thu kết Nhằm tiết kiệm thời gian, gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể sau Bước Chia thành cột + Cột 1: Cột u lấy đạo hàm đến + Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu phép toán đường chéo + Cột 2: Cột dự lấy nguyên hàm đến tương ứng với cột Bước Nhân chéo kết 2 cột với Dấu phép nhân có dấu (+), sau đan dấu (-),(+),(-), cộng tích lại với 2 Khi I x cos5x x sin 5x cos5x C 25 125 Chọn D - Kỹ thuật đơn giản tiết kiệm nhiều thời gian - Trong kĩ thuật tìm nguyên hàm theo sơ đồ đường chéo, yêu cầu độc giả cần tính tốn xác đạo hàm nguyên hàm hai cột Nếu nhầm lẫn đáng tiếc Ví dụ Ngun hàm I x e3x dx x 4 x 12 x 24 x 24 x A I e C 3 3 x 4 x 12 x 24 x 24 C l e3 x C 3 3 Hướng dẫn giải B I x e3 x C x 4 x 12 x D I e3 x C 3 Trang 41 Nếu làm thơng thường phần lần ta thu kết Ở đây, chúng tơi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết nhanh chóng x 4 x 12 x 24 x 24 Vậy I e3 x C 3 3 Chọn A Ví dụ Nguyên hàm I e x sin xdx A 2e x (sin x cos x ) C B 2e x (sin x cos x ) C x D e x (sin x cos x ) C e (sin x cos x ) C 2 Hướng dẫn giải Phân tích: Sự tồn hàm số mũ lượng giác nguyên hàm dễ gây cho người học nhầm lẫn, ta khơng biết điểm dừng bị lạc vào vịng luẩn quẩn Ở đây, để tìm kết ta phải phần hai lần ví dụ Tuy nhiên, sơ đồ đường chéo sao? Khi dừng lại? C Khi đó, ta kết luận I e x sin x e x cos x e x sin xdx Hay 2I e x sin x e x cos x Vậy I (sin x cos x ) e x C Chọn C - Chỉ dừng lại đạo hàm có dạng giống dịng Dòng cuối thu sinx e x dx 1 Ví dụ Tìm I ln n (ax b)v( x )dx, v x hàm đa thức, n * a, b , a Trang 42 Hướng dẫn giải Phân tích: Vì ưu tiên u( x ) lnn (ax b) nên du na ln n 1 (ax b) dx tiếp tục đạo hàm cột ax b khơng được, phải chuyển lượng t( x ) na từ cột sang nhân với v ( x ) cột để rút ax b gọn bớt; tiếp tục trình đạo hàm cột , ý sử dụng quy tắc đan dấu bình thường Ví dụ 6.1 Kết ngun hàm I x.ln xdx x2 x2 A ln x C x2 x2 B ln x C x2 x2 ln x C C Hướng dẫn giải x2 x2 ln x C D Vậy I x.ln xdx x2 x2 ln x C Chọn A - Chuyển lượng t( x ) x x2 bên cột sang nhân với v( x ) ta thu kết Khi bên cột x lại 1, đạo hàm 0; bên cột có nguyên hàm x x2 Ví dụ 6.2 Kết nguyên hàm I (4 x 1) ln3 (2 x )dx 3x x C 3x x C 3x x C 3x x C A x x ln3 (2 x ) x x ln (2 x ) x x ln(2 x ) B x x ln3 (2 x ) x x ln (2 x ) x x ln(2 x ) C x x ln3 (2 x ) x x ln (2 x ) x x ln(2 x ) D x x ln3 (2 x ) x x ln (2 x ) x x ln(2 x ) Hướng dẫn giải Trang 43 Vậy I x x ln3 (2 x ) x x ln (2 x ) x x ln(2 x ) 3x x C Chọn B Chú ý: - Chuyển , nhân với 2x x thu x x - Chuyển , nhân với 3x 3x thu x x - Chuyển , nhân với 3x x thu x x Ví dụ Cho F ( x ) ( x 1)e x nguyên hàm hàm số f ( x )e2 x Biết hàm số f x có đạo hàm liên tục Nguyên hàm hàm số f ( x )e2 x A (2 x )e x C B (2 x )e x C C (1 x )e x C D (1 x )e x C Hướng dẫn giải Ta có F ( x ) f ( x ) e2 x e x ( x 1) e x f ( x ) e2 x f ( x ) e2 x x e x Xét I f ( x ) e2 x dx 2x du 2e2 x dx u e Đặt dv f ( x ) dx v f ( x ) Do I f ( x ) e2 x f ( x )e x dx xe x 2( x 1)e x C Vậy I f ( x ) e2 x dx (2 x )e x C Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Họ nguyên hàm hàm số f x xsinx Trang 44 A xcosx sinx C B x cos x sin x C C x cos x sin x C D x cos x sin x C Câu 2: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) x(1 ln x) A x ln x 3x B x ln x x C x ln x 3x C D x ln x x C Câu 3: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) x ln x x3 C B x ln x x3 C x3 x C D x ln x x3 x C A x x ln x C x x ln x Câu 4: Tất nguyên hàm hàm số f ( x ) A x cot x ln(sin x) C C x cot x ln | sin x | C x khoảng (0; ) sin x B x cot x ln | sin x | C D x cot x ln(sin x) C Câu 5: Cho F x nguyên hàm hàm số f ( x ) e x x x Hàm số F x x có điểm cực trị? A B C D Câu 6: Gọi F( x ) ax bx c e x , với a, b, c nguyên hàm hàm số f ( x ) ( x 1)2 e x Giá trị biểu thức S a 2b c A S B S 2 Câu 7: Cho hàm số f x có đạo hàm C S thỏa mãn f ( x ) f ( x ) e , x x D S f(0)=2 Tất nguyên hàm f ( x )e2 x ( x 2)e x e x C A B ( x 2)e2 x e x C C ( x 1)e x C D ( x 1)e x C ln( x 3) thỏa mãn F(-2)+F(1)= x2 F(1) F(2) a ln2 b ln5, với a, b số hữu tỷ Giá trị 3a 6b Câu 8: Giả sử F x nguyên hàm hàm số f ( x ) A B C D 3 ln(1 x ) ln(1 x ) dx a.ln(1 x ) b ln | x | C với a, b số nguyên C x x số thực Giá trị a 2b A B C D Câu 9: Biết x Câu 10: Cho hàm số f x liên tục có đạo hàm 0; thỏa mãn f ( x ) tan x f ( x ) cos3 x 2 Biết 3f 3 f a b ln 3, a, b Giá trị biểu thức P a b 6 14 B C 9 Câu 11: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) sin x x ln x A A F ( x ) cos x x2 x2 ln x C 4 D B F( x) cos x ln x C Trang 45 x2 x2 D F( x) cos x C ln x C Câu 12: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) (2 x 1)ln x C F ( x ) cos x A x x ln x x2 x C C x x ln x x x C Câu 13: Cho F ( x ) B x x ln x x x C D x x ln x x2 x C x ln x x nguyên hàm hàm số f ( x) x ln x (a, b số) a b Giá trị a2 b A B C D Câu 14: Biết F x nguyên hàm hàm số f x x 2lnx F 1 Khẳng định khẳng định sau? A F( x ) x x ln x B F( x ) x x ln x C F( x ) x x ln x D F( x ) x x ln x Câu 15: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) x (1 3ln x ) 2x3 x ln x C B x ln x C C x ln x C Câu 16: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) (1 x)[1 ln( x 1)] D x x ln x C A A x x2 x x ln x C B x 3x x x ln x C C x x2 x x ln x C D x 3x x x ln x C Câu 17: Nguyên hàm I 2x e x dx có kết A x xe x 2e x C B x xe x e x C C x xe x 2e x C D x xe x e x C Câu 18: Nguyên hàm I (1 x )(cos x 1)dx có kết A (1 x)sin x cos x C C x x (1 x )sin x cos x C Câu 19: Công thức sau sai? A lnxdx C x C sinxdx cos x C B x x (1 x )sin x cos x C D x x (1 x )sin x cos x C B dx cos x tan x C D e x dx e x C Câu 20: Nguyên hàm hàm số f ( x ) x ln A f ( x )dx 23 x (3ln x 2) C B f ( x )dx 23 x (3ln x 2) C 23 23 x (3 ln x 1) C f ( x ) dx x (3ln x 2) C D 9 Câu 21: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) (2 x 1)ln x C f ( x )dx Trang 46 x2 x C x2 x C B x x ln x D x x ln x A x x ln x x x C C x x ln x x x C Câu 22: Mệnh đề sau đúng? A x x x xe dx e xe C B x xe dx x2 x e e x C C x x x xe dx xe e C D x xe dx x2 x e C 1 hàm số f ( x ) x 2eax (a 0) cho F F (0) a Câu 23: Gọi F x nguyên hàm Chọn mệnh đề mệnh đề sau A a B a