BÀI GIẢNG NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm file word

https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ⓣⓗⓑⓣⓝ Khái niệm nguyên hàm tính chất Khái niệm nguyên hàm — Cho hàm số f (x ) xác định K Hàm số F (x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) K nếu: F ¢(x ) = f (x ), " x Ỵ K K là: ị f (x ) ×dx = F (x ) + C , const = C Ỵ ¡ Tính chất: Nếu f (x ), g(x ) là hàm số liên tục K k ¹ ta ln có: ị kf (x )dx = k ị f (x )dx · ị f ¢(x )dx = · ò éëêf (x ) ± g(x )ùûúdx = ò f (x )dx ± ò g(x )dx f (x ) + C · Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C hằng số tùy ý) x a+1 +C a+1  a ị x ×dx =  ị x ×dx =  ịx  ị sin x ×dx = -  ị cosx ×dx =  ò sin  ò cos  òe 1 ×dx = - x x ln x + C x +C x cos x + C n ị (ax + b) ×dx = ị ax + b ×dx = ị (ax + b) (ax + b)n + × +C a n+1 ×ln ax + b + C a ×dx = - 1 × +C a ax + b ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C a sin x + C ò cos(ax + b) ×dx = ×sin(ax + b) + C a ×dx = - cot x + C ò sin (ax + b)dx = - ×dx = t an x + C ị cos (ax + b)dx = ×dx = e x + C 2 òe ax + b ×dx = cot (ax + b) + C a t an(ax + b) + C a ax + b ×e +C a https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui — Nếu F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) K thì họ nguyên hàm của hàm số f (x ) https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam ax  ị a ×dx = +C ln a òx x dx x- a = ×ln +C 2a x+a - a ♦ Nhận xét Khi thay x bằng (ax + b) lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm × a Một số lưu ý Cần nắm vững bảng nguyên hàm Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm) Dạng tốn TÍNH NGUN HÀM BẰNG BẢNG NGUN HÀM ⓣⓗⓑⓣⓝ A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN PP ¾ ® khai triển Tích của đa thức lũy tha ắ ắ PP ắ đ khai trin theo cụng thức mũ Tích các hàm mũ ¾ ¾ PP ¾ ® chuyển về lũy thừa Chứa ¾ ¾ PP ¾ ® khai triển theo cơng thức tích Tích lượng giác bậc một của sin và cosin ¾ ¾ thành tổng · sin ax cos bx = 1é sin(a + b)x + sin(a - b)x ù ú û êë · sin ax sin bx = 1é cos(a - b)x - cos(a + b)x ù ú û êë · cos ax cos bx = 1é cos(a + b)x + cos(a - b)x ù ỳ ỷ ờở PP ắ đ H bc Bậc chẵn của sin và cosin ¾ ¾ B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Tìm nguyên hàm của hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định): Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm hàm số vận dụng tính chất nguyên hàm https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui tích (thương) của các nguyên hàm của hàm thành phần https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam a) f (a ) = 3a + a × ĐS: F (a ) = a + a2 + C ……………………………………………………………………………………………………………………… b) f (b) = 2b3 - 5b + ĐS: F (b) = b4 5b2 + 7b + C 2 ……………………………………………………………………………………………………………………… c) f (c) = 6c - 12c + c - c3 ĐS: F (x ) = c - 3c + - 8c + C d) f (x ) = (x - 3x ) ×(x + 1) × ĐS: F (x ) = x 2x 3x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… e) f (x ) = (3 - x )3 (3 - x )4 + C ĐS: F (x ) = - ……………………………………………………………………………………………………………………… f) f (x ) = 1 x × x2 ĐS: F (x ) = - x3 x + C x 3 ……………………………………………………………………………………………………………………… g) f (x ) = 102x ĐS: F (x ) = 102x + C ln 10 ……………………………………………………………………………………………………………………… h) f (x ) = x - 4x + × x ĐS: F (x ) = x4 + 2x + ln x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… i) 2t + × t2 f (t ) = ĐS: F (t ) = ×t - + C t ……………………………………………………………………………………………………………………… j) f (x ) = x- × x2 ĐS: F (x ) = ln x + + C x ……………………………………………………………………………………………………………………… k) f (x ) = sin x × ĐS: F (x ) = x + sin x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… l) f (x ) = cos2 x ĐS: F (x ) = 1 x + sin 2x + C https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui ……………………………………………………………………………………………………………………… https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam ……………………………………………………………………………………………………………………… m) f (x ) = t an x ĐS: F (x ) = t an x - x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… n) f (x ) = × sin x cos2 x ĐS: F (x ) = - 2 + C sin 2x ……………………………………………………………………………………………………………………… o) f (x ) = sin 3x cos 2x ĐS: F (x ) = - cos 5x - cos x + C p) f (x ) = e x (e x - 1) ĐS: F (x ) = 2x e - ex + C ……………………………………………………………………………………………………………………… ỉ e- x ữ ữì q) f (x ) = e x ìỗỗỗ2 + ữ ữ ỗố cos x ứ S: F (x ) = 2e x + t an x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… r) I = ò( x + ĐS: I = x ) ×dx 3 23 ×x + C s) I = ổ ỗ ũ ỗỗỗố2x + ữ ữ ữìdx ì ÷ x ø ĐS: I = x + 33 x + C I = x + C x ……………………………………………………………………………………………………………………… t) I = ò2 + x 3 + x 5 ×dx × x ĐS: F (x ) = x + 25 x + x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… u) I = ò sin x ×dx ĐS: I = 2x - sin 2x + C ……………………………………………………………………………………………………………………… v) I = ò + cos 4x ×dx ĐS: I = x sin 4x + + C ……………………………………………………………………………………………………………………… w) I = ò (3 cos x - x- ) ×dx × 3x - + C ĐS: I = sin x ln ……………………………………………………………………………………………………………………… x) I = ò (t an x - cot x )2 dx ĐS: I = tan x - cot x - 9x + C https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui ……………………………………………………………………………………………………………………… https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam ……………………………………………………………………………………………………………………… y) I = ò ĐS: I = u (u - 4).du 33 u - 33 u + C ……………………………………………………………………………………………………………………… BT Chứng minh F (x ) một nguyên hàm của hàm số f (x ) các trường hợp sau: Phương pháp: Để F (x ) một nguyên hàm hàm số f (x ), ta cần chứng minh: F ¢(x ) = f (x ) b) F (x ) = ln(x + x + 3) f (x ) = x + c) F (x ) = (4x - 5) ×e x f (x ) = (4x - 1) ×e x d) F (x ) = t an x + 3x - f (x ) = t an x + t an x + æx + - 2x ÷ ÷ e) F (x ) = ln ỗỗỗ v f (x ) = ữ ỗốx + ữ (x + 4) ì(x + 3) ø f) F (x ) = ln x2 - x + x2 + x + f (x ) = 2(x - 1) x4 + https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui a) F (x ) = 5x + 4x - 7x + 120 f (x ) = 15x + 8x - https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam BT Tìm ngun hàm của hàm sớ thỏa mãn điều kiện cho trước các trường hợp sau: Phương pháp: Tìm ngun hàm ị f (x ) ×dx = F (x ) + C Rồi sau F (x ) + C o a) f (x ) = x - 4x + 5, F (1) = hàm số f (x ), tức tính = ××× để tìm số C ĐS: F (x ) = x4 - x + 5x - × 4 b) f (x ) = - cos x , F ( p ) = ĐS: F (x ) = 3x - sin x + - 3p c) f (x ) = - 5x , F (e) = x ĐS: F (x ) = ln x - 5x 5e + - 2 x2 + d) f (x ) = , F (1) = × x x2 ĐS: F (x ) = + ln x + e) f (x ) = x x + , F (1) = - ĐS: F (x ) = x 22 x +2 x× 5 f) I = ổp ỗỗ ÷ ¢ ÷ biết sin x cos x dx , F = ữ ũ ỗố ø ÷ ĐS: F (x ) = - 1 cos x - cos x + × 12 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam g) I = ò 3x - 2x + ×dx , biết F (1) = x2 ĐS: F (x ) = x - x - + x h) I = x + 3x + 3x - ×dx , biết F (0) = ò (x + 1)2 ĐS: F (x ) = x2 +x+ × x+1 i) I = ò sin ổp p x ữ ìdx , biờt F ỗỗỗ ÷ ÷= × è ø÷ ĐS: F (x ) = x sin x + - × 2 j) I = ổ ỗỗx + ữ ữ x ì ũ ỗố x ứữữìdx , biờt F (1) = × ĐS: F (x ) - x2 + 3x + + ln x + x ỉp ư÷ p cos2 x - ỗỗ ữ = ì ì dx , k) I = ũ biờt F ỗố ø÷ ÷ cos2 x ĐS: F (x ) = 2x - t an x + BT Tìm điều kiện của tham số m a, b, c để F (x ) một nguyên hàm của hàm số f (x ) : Phương pháp: Để F (x ) một nguyên hàm hàm số f (x ) Û F ¢(x ) = f (x ) Từ đó, ta sử dụng đồng thức để tìm tham số cần tìm ìï F (x ) = mx + (3m + 2)x - 4x + ï × a) í ïï f (x ) = 3x + 10x - ïỵ ĐS: m = https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam ìï F (x ) = ln x - mx + ïï × b) ïí 2x + ïï f (x ) = ïïỵ x + 3x + ĐS: m = - ĐS: a = 0, b = 1, c = - ìï F (x ) = (ax + bx + c ) ×e - 2x ï × d) í ïï f (x ) = - (2x - 8x + 7) ×e - 2x ïỵ ĐS: a = 1, b = - 3, c = ìï F (x ) = (ax + bx + c ) ×e - x ï × e) í ïï f (x ) = (x - 3x + 2) ìe - x ùợ S: a = - 1, b = 1, c = - ìï ïï F (x ) = (a + 1) sin x + b sin 2x + c sin 3x × f) í ïï f (x ) = cos x ïïỵ ĐS: a = b = c = https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui ìï F (x ) = (ax + bx + c ) ×e x ï × c) í ïï f (x ) = (x - 3) ìe x ùợ https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam ìï F (x ) = (ax + bx + c ) × 2x - ïï g) ïí × ïï f (x ) = 20x - 30x + ïï 2x - ỵ ĐS: a = 4, b = - 2, c = ĐS: a = 2 12 ; b= - ; c= × 5 C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của hàm số f (x ) = x + 3x + là hàm số nào các hàm số sau? Câu x 3x A F (x ) = + + 2x + C x4 B F (x ) = + 3x + 2x + C x4 x2 C F (x ) = + + 2x + C D F (x ) = 3x + 3x + C Hàm số F (x ) = 5x + 4x - 7x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? Câu A f (x ) = 15x + 8x - C f (x ) = 5x 4x 7x + Họ nguyên hàm của hàm số: y = x - 3x + Câu B f (x ) = 5x + 4x + D f (x ) = 5x + 4x - x A F (x ) = x3 - x + ln x + C B F (x ) = C F (x ) = x3 + x + ln x + C D F (x ) = 2x - - x3 - x + ln x + C +C x2 Tìm nguyên hàm của hàm số f (x ) = (x + 1)(x + 2) Câu https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui ìï f (x ) = x - x , (x £ 3) ï h) ïí × ïï F (x ) = (ax + bx + c ) ì - x ùợ https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam C F (x ) = 2x + + C Câu Nguyên hàm F (x ) của hàm số f (x ) = A F (x ) = - ln - 2x + ln x C F (x ) = ln - 2x + ln x - Câu A 3x - 6x D F (x ) = x3 2 - x + 2x + C 3 - 2x +C x +C x + B F (x ) = - ln - 2x + ln x + +C x D F (x ) = - ln - 2x - ln x + +C x x4 C - x + 5x + C D x - x + 5x + C B 3x - 6x + C x - 6x + C B - 20x + 8x + C D - x + - 20x + 8x C x +C Một nguyên hàm của hàm số f (x ) = (x - 3) A Câu + là hàm số nào? x x Một nguyên hàm của hàm số g(x ) = - 5x + 4x - là: A - x + Câu x3 2 + x + 2x + C 3 Một nguyên hàm của hàm số f (x ) = x - 3x + Câu B F (x ) = (x - 3) B (x - 3) C (x - 3) D (x - 3) Một nguyên hàm của hàm số f (x ) = x - 3x + A 3x - 6x B 3x - 6x + C C x4 - x + 5x + C D x - x + 5x + C Câu 10 Một nguyên hàm của hàm số g(x ) = - 5x + 4x - là: A - x + x - 6x + C B - 20x + 8x + C D - x + - 20x + 8x C x +C Câu 11 Một nguyên hàm của hàm số f (x ) = (x - 3) là: A 10 (x - 3) B (x - 3) C (x - 3) D (x - 3) https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui x3 + x + 2x + C A F (x ) = https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam sin x cos4 x +C Câu 190 Nguyên hàm của hàm số: y = D sin x - sin x cos4 x +C (x + x )e x ò x + e - x dx là: A F(x) = xe x + - ln xe x + + C B F(x) = e x + - ln xe x + + C C F(x) = xe x + - ln xe - x + + C D F(x) = xe x + + ln xe x + + C Câu 191 Nguyên hàm của hàm số: y = A x- a ln +C 2a x + a B a- x ln +C 2a a + x B dx là: - a2 x+a ln +C 2a x- a Câu 192 Nguyên hàm của hàm sớ: y = A ịx ịa ịx D x+a ln +C a x- a C x- a ln +C a x+a D x+a ln +C a x- a 4x + dx là: 3ù éê2 ( 4x + 7)2 - × (4x + 7)2 ú+ C ú 20 êë5 û 3ù éê2 ( 4x + 7)2 - × (4x + 7)2 ú+ C C ú 14 êë5 û A x- a ln +C a x+a dx là: - x2 a+x ln +C 2a a - x Câu 193 Nguyên hàm của hàm số: y = C 3ù éê2 ( 4x + 7)2 - × (4x + 7)2 ú+ C ú 18 êë5 û 3ù éê2 ( 4x + 7)2 - × (4x + 7)2 ú+ C D ú 16 êë5 û B Dạng toán TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN ⓣⓗⓑⓣⓝ 61 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui C sin x - https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Định lý: Nếu hai hàm số u = u (x ) và v = v(x ) có đạo hàm và liên tục K thi ũ u(x ) ìv Â(x ) ìdx = u(x ) ìv(x ) - ũ u Â(x ) ìv(x ) ×dx I = hay I = ị udv = uv - ị vdu × Vận dụng giải tốn: — Nhận dạng: Tích hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác ò e sin x dx , V i phõn ỡù u = ììììììììììì ắ ắ ắ ắđ du = ììììììììììdx ù ì Suy ra: I = — Đặt: í Nguyên #m ïï dv = ììììììdx ắ ắ ắ ắ ắđ v = ììììììììììì ïỵ ị udv = uv - ị vdu — Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv = phần còn lại Nghĩa là nếu có ln x dv = cịn lại Nếu khơng ln a có ln; log chọn u = đa thức dv = lại Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn ln hay loga x chọn u = ln hay u = loga x = u = lượng giác,… — Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm — Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm phần luân hồi B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 17 Tính các ngun hàm sau: a) I = ị x ×sin x ×dx × ĐS: I = sin x - cos x + C b) I = ị (1 - 2x ) ×e x ×dx × ĐS: I = (3 - 2x ) ×e x + C c) I = ịe x ×cos x ×dx × ex (sin x + cos x ) + C ĐS: I = 62 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui x https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam d) I = ị (2x - 1) ×ln x ×dx × ĐS: I = (x - x ) ln x - x2 + x + C e) I = ị x ×e 3x xe 3x e 3x ĐS: I = + C ×dx × f) I = ị x ×ln 2x ×dx × ĐS: I = x ln 2x x + C g) I = ị ln x ×dx × ĐS: I = x ln x - x + C h) I = ị (x + 1) ×sin 2x ×dx × ĐS: I = - x+1 cos 2x + sin 2x + C i) I = ò x ×e - x ×dx × ĐS: I = - (1 + x ) ×e - x + C 63 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam j) I = òe x e x ×(sin x - cos x ) ĐS: I = + C ×sin x ×dx × ị x ×cos x ×dx × ĐS: I = x sin x + cos x + C l) I = x ị x ×sin ×dx × ĐS: I = - 2x cos x x + sin + C 2 m) I = ò x ×e x ×dx × ĐS: I = xe x - e x + C n) I = ị x ×ln(1 - x ) ×dx × ĐS: I = x2 ln(1 - x ) (1 + x )2 ln(1 - x ) + C 2 o) I = ò x ×sin x ×dx × ĐS: I = x x sin 2x cos 2x + C 4 64 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui k) I = https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam p) I = ò ln(x + + x ) ×dx × ĐS: I = x ln(x + 1+ x2) - 1+ x2 + C q) I = 1+ x ị x ×ln - x ×dx × ĐS: I = x + x2 - 1 + x ln + C 1- x r) I = ò ln x ×dx × x3 ĐS: I = - ln x + C 2x 4x s) I = ò x ×sin x ×cos x ×dx × ĐS: I = - 1 x cos 2x + sin 2x + C t) I = ịe - 2x ×cos 3x ×dx × ĐS: I = - 2x e (3 sin 3x - cos 3x ) + C 13 u) I = x ×dx ị + cos 2x × ĐS: I = 1 x t an x + ln cos x + C 2 65 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam v) I = ị x ×(2 cos x - 1) ×dx × ĐS: I = x ×sin 2x + cos 2x + C w) I = ị x ×ln x ×dx × ĐS: I = x ln x x + C 16 x) I = x ị sin x ×dx × ĐS: I = - x cot x + ln sin x + C y) I = ị (x - 2) ×e 2x ×dx × ĐS: I = 1 (x - 2)e 2x - e 2x + C z) I = ò x ×ln(x + 1) ×dx × ĐS: I = (x + 1) ln(x + 1) - x - + C BT 18 Tính các nguyên hàm sau: a) I = x2 - ò x ìln x ìdx ì ổ 1ử ữ S: I = ỗỗx + ữ ì ln x x + + C ữ ỗố xữ x ứ 66 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam b) I = ị cos x ×dx × ĐS: I = x sin x - cos x + C ị sin x ×dx × ĐS: I = - x cos x + sin x + C d) I = ò (8x - 2x ) ×e x ×dx × 2 ĐS: I = (4x - 1) ×e x - 4e x + C e) I = ịx e x ×dx × ĐS: I = x2 x2 x e - e + C 2 f) I = òx ×e x ×dx × ĐS: I = x3 x3 x e - e + C 3 g) I = ịe sin x ×sin 2x ×dx × ĐS: I = sin x e sin x - 2e sin x + C 67 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui c) I = https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam h) I = ị x ×e x ×dx × ĐS: I = 2xe x - xe x + 4e x + C i) I = ị x ×ln(x + 1) ×dx × ĐS: I = (x + 1) ln(x + 1) - x - x + C j) I = ò + ln(x + 1) ×dx × x2 ĐS: I = - 1 x - ln x + + ln + C x x x+1 k) I = ịe x ×ln(e x + 1) ×dx × ĐS: I = (e x + 1) ln(e x + 1) - e x + C l) I = ò ln(4x + 8x + 3) ×dx × (x + 1)3 ĐS: 4x + 8x + ln 4x + 8x + - ln x + + C 2(x + 1)2 m) I = ỉ ị ỗỗỗỗố1 + ữ ữ ìln(x + ữ ữ xø x - 1) ×dx × ĐS: I = (x + x - 1) ln x + x - 1- x- x + C 68 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 194 Một nguyên hàm của hàm số f (x ) = xe x là: C e x (x + 1) + C B e x (x - 1) + C A e x + C D x2 x e +C Câu 195 Một nguyên hàm của hàm số f (x ) = (x + 2x ).e x là: B x 2e x A (2x + 2).e x D (x - 2x ).e x C (x + x ).e x Câu 196 Cho hàm số f (x ) = x e - x Một nguyên hàm F (x ) của f (x ) thỏa F (0) = là: C (x + 1)e - x + B - (x + 1)e - x + D (x + 1)e - x + Câu 197 Cho f (x ) = x sin x Nguyên hàm của f (x ) là: A - x cos x + C B x sin x + cos x + C C sin x + x cos x + C D - x cos x + sin x + C Câu 198 Nguyên hàm của hàm số f (x ) = xe x là hàm số: A F (x ) = 2e x B F (x ) = x2 e C F (x ) = 2x 2e x 2 D F (x ) = e x + xe x x Câu 199 Cho f (x ) = ò ln tdt Đạo hàm f '(x ) là hàm số nào đây? A x C ln x B ln x D ln x Câu 200 Một nguyên hàm của f (x ) = x 3e x là: A (x - 3x + 6x - 6)e x B (x - 6x + 6)e x C (x + 3x - 6)e x D 3x 2e x Câu 201 Một nguyên hàm của hàm số f (x ) = x e x : A F (x ) = 2e x B F (x ) = 2x 2e x C F (x ) = x2 e Câu 202 Hàm số f (x ) = (x + 1) sin x có nguyên hàm là: A F (x ) = (x + 1) cos x + s in x + C B F (x ) = - (x + 1) cos x + s in x + C C F (x ) = - (x + 1) cos x - s in x + C D F (x ) = (x + 1) cos x - s in x + C Câu 203 Hàm sớ f (x ) = ln x có nguyên hàm là: A F (x ) = x (ln x - 1) + C 69 B F (x ) = D F (x ) = xe x + e x +C x https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui A - (x + 1)e - x + https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam C F (x ) = ln x +C D F (x ) = x (ln x + 1) + C ỉ ÷ ÷ Câu 204 Hàm sụ f (x ) = cos x ỗỗ cú cỏc nguyờn hm l: + x ữ ỗốcos x ữ ứ ỉ x 2ư ÷ ÷ A F (x ) = sin x ỗỗ + +C ữ ỗốsin x x ø ÷ B F (x ) = x (1 + sin x ) - cos x + C C F (x ) = x (1 + sin x ) + cos x + C D F (x ) = x (1 - sin x ) + cos x + C A F (x ) = 1 x sin 3x + cos 3x + C B F (x ) = 1 x sin 3x + cos 3x + C F (x ) = x sin 3x D F (x ) = 1 x sin 3x + cos 3x + 9 ò xe dx , ta được kết quả là: A F (x ) = e – xe + C C F (x ) = - e – xe + C B F (x ) = e x + xe x + C ò x cos xdx , ta được kết quả là: A F (x ) = x sin x + cos x + C C F (x ) = - x sin x + cos x + C B F (x ) = x sin x - cos x + C Câu 206 Tính x x x x D F (x ) = - e x + xe x + C x Câu 207 Tính Câu 208 Tìm ị x cos 2xdx D F (x ) = - x sin x - cos x + C là: A 1 x sin 2x + cos 2x + C B C x sin 2x +C D sin 2x + C ( 1 x sin 2x + cos 2x + C 2 ) Câu 209 Một nguyên hàm của hàm số f (x ) = x + 2x e x A F (x ) = (2x + 2).e x B F (x ) = x 2e x C F (x ) = (x + x ).e x D F (x ) = (x - 2x ).e x Câu 210 Một nguyên hàm của f (x ) = x 2e x 70 x3 x e A F (x ) = (x - 2x + 2)e x B F (x ) = C F (x ) = (x - 2x - 2)e x D F (x ) = 2xe x https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui Câu 205 Gọi hàm số F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) = x cos 3x , biết F (0) = Vậy F (x ) là: https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam Câu 211 Nguyên hàm F (x ) của f (x ) = xe - x thỏa F (0) = A F (x ) = - (x + 1)e - x + B F (x ) = - (x + 1)e - x + C F (x ) = (x + 1)e - x + D F (x ) = (x + 1)e - x + Câu 212 Kết quả nào sai các kết quả sau ? ò x sin xdx = C ò x cos xdx = x sin x + cos x + C B ò x sin xdx = - x cos x + sin x + C D ò x sin 2xdx = B ò xe dx = xe D òe B ò ln xdx = - x cos 2x + sin 2x + C Câu 213 Kết quả nào sai các kết quả sau ? A 3x ò xe dx = C x ò xe dx = xe 3x 3x - e +C x2 x e + C x x x dx = x - ex + C -x - x +C x e e Câu 214 Kết quả nào sai các kết quả sau ? A ò ln xdx = x ln x - C ò x ln xdx = x+C x2 x2 ln x +C D +C x ò x ln xdx = x3 x3 ln x +C Câu 215 Kết quả nào sai các kết quả sau ? A ò ln C ò xdx = x ln x - (x ln x - x ) + C ln x - ln x dx = +C x x x ln x B ò ln xdx = +C ln x - ln x dx = +C x 2x 4x D ò -x +C 2x 2e 4e 2x B ò xe xe 3x 3x - e +C D Câu 216 Kết quả nào sai các kết quả sau ? x A òe C 3x ò xe dx = 2x dx = - x dx = - xe - x - e - x + C 2x ò xe dx = x 2x e + C Câu 217 Kết quả nào sai các kết quả sau ? 71 A ò x ln xdx = x3 +C x B ò x ln xdx = x3 x3 ln x +C https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui - x cos x +C A https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam C ò ln (x + D òe x ) ( + x dx = x ln x + sin xdx = e x (sin x - cos x ) ) 1+ x2 - 1+ x2 + C +C Câu 218 Tìm nguyên hàm của hàm số f (x ) = x sin (2x + 1) A ò f (x )dx = - x cos (2x + 1) + sin (2x + 1) + C D ò f (x )dx = - Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui x2 B ò f (x )dx = cos (2x + 1) + C x C ò f (x )dx = cos (2x + 1) - sin (2x + 1) + C x cos (2x + 1) + sin (2x + 1) + C 2 Câu 219 Tìm nguyên hàm của hàm số f (x ) = x ln (1 + x ) x2 +C 2(x + 1) A ò B ò f (x )dx = C ò f (x )dx = (x f (x )dx = x2 ln (1 + x ) - x ln(1 + x ) + C ) - ln (1 + x ) - x x + +C x2 x D ò f (x )dx = ln (1 + x ) - x + ln(x + 1) + C 2 Câu 220 Nguyên hàm của hàm số: I = A F(x) = 1 + sin 2x )ln (1 + sin 2x ) - sin 2x + C ( B F(x) = 1 + sin 2x )ln (1 + sin 2x ) - sin 2x + C ( C F(x) = 1 + sin 2x )ln (1 + sin 2x ) - sin 2x + C ( 4 D F(x) = 1 + sin 2x )ln (1 + sin 2x ) + sin 2x + C ( 4 Câu 221 Nguyên hàm của hàm sớ: I = A F(x) = 72 ị cos 2x ln(sin x + cos x )dx (x - 2)cos 3x + ò (x - 2)sin 3xdx sin 3x + C là: là: B F(x) = (x - 2)cos 3x + sin 3x + C https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam (x - 2)cos 3x 1 + sin 3x + C sin 3x + C D F(x) = 3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM – DẠNG TOÁN KHÁC ( ĐỌC THÊM ) C F(x) = - (x + 2)cos 3x + Câu 222 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Hàm số F (x ) = x + 6x + x + 10 G (x ) = nguyên hàm của một hàm 2x - 2x - số B Hàm số F (x ) = + sin x G (x ) = - cos 2x nguyên hàm của một hàm C Hàm số F (x ) = x - 2x + nguyên hàm của hàm số f (x ) = x- x - 2x + D Hàm số F (x ) = sin x nguyên hàm của hàm số f (x ) = cos x Câu 223 Các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI? ò kf (x )dx = k ò f (x )dx (k Î R ) B ò f (x ).g (x )dx = ò f (x )dx ò g (x )dx C ò éêf (x ) + g (x )ù údx = ò f (x )dx + ò g (x )dx ë û f (x ) D ò f (x ) f ¢(x )dx = +C m+1 A m+1 m Câu 224 Để F (x ) = (a sin x + b cos x )e x là một nguyên hàm của f (x ) = cos x e x thì giá trị của a , b : A a = 1, b = B a = 0, b = C a = b = D a = b = Câu 225 Cho hàm số f (x ) xác định K Hàm số F (x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) K nếu: A F ’(x ) = f (x ), " x Ỵ K B F (x ) f (x ), " x ẻ K C f (x ) = F (x ), " x Î K D f (x ) ¹ F (x ), " x Ỵ K Câu 226 Các tính chất ngun hàm sau tính chất nào sai? ò f '(x )dx = f (x ) + C C ò éêf (x ) ± g(x )ù údx = ò f (x )dx ± ò g(x )dx ë û A ò Kf (x )dx = K ò f (x )dx (K D ò F (x )dx = f (x ) + C B ¹ 0) Câu 227 Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai 73 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui sớ https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam f (x ) +C A ò f '(x ) f (x )dx = C ò éêëf (x ) + g(x )ùúûdx = ò f (x )dx + ò g(x )dx B ò éêëf (x ).g(x )ùúûdx = ò f (x )dx ò g(x )dx D ò kf (x )dx = k ò f (x )dx ( k hằng số) Câu 228 Nếu f (x ) = (ax + bx + c ) 2x - là một nguyên hàm của hàm số g(x ) = 10x - 7x + 2x - ÷ ÷ a + b + c có giá trị là ÷ ÷ ø A B C D Câu 229 Xác định a , b , c cho g(x ) = (ax + bx + c ) 2x - là một nguyên hàm của hàm số f (x ) = 20x - 30x + 2x - æ3 khoang ỗỗ ; + Ơ ỗố2 ữ ữ ữ ÷ ø A a = 4, b = 2, c = B a = 1, b = - 2, c = C a = - 2, b = 1, c = D a = 4, b = - 2, c = Câu 230 Tìm nguyên hàm f (x ) = e x là một nguyên hàm của ỉ p pư ÷ t an x trờn khoan ỗỗ- ; ữ ữ ỗố 2 ứ ÷ A F (x ) = e x C F (x ) = e Câu 231 Nếu F (x ) = e x (a t an x + b t an x + c ) x ổ1 ỗỗ ỗỗ t an x ỗố 2÷ ÷ t an x + ÷ 2 ÷ ÷ ø B F (x ) = e x ổ1 1ử ữ ỗỗ t an x + ữ ữ ỗỗ t an x + ữ 2ứ ữ ỗố2 ( ) F (x ) = ax + bx + c e - x ( là D F (x ) = e mợt x ỉ1 çç çç t an x çè ö 1÷ t an x + ÷ ÷ 2÷ ÷ ứ ổ1 ỗỗ ỗỗ t an x ỗố2 t an x nguyên hàm của hàm ) f (x ) = - 2x + 7x - e - x (a ;b; c ) bằng bao nhiêu? A (2; - 3;1) Câu 232 Cho A B (1; 3;2) ò f (x )dx = F (x ) + C Khi đó, với a ¹ F (ax + b) + C 2a C F (ax + b) + C C (1; - 1;1) D (- 2;7; - 4) , ta có ị f (ax + b)dx bằng B F (ax + b) + C a D a.F (ax + b) + C ìï cos x e sin x ; " x < ïï Câu 233 Cho f (x ) = ïí Nhận xét nào sau ? ïï ;"x ³ ïïỵ + x 74 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chun đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 2ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø ÷ sớ Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui ỉ1 khoảng çç ; + ¥ çè2 https://www.facebook.com/groups/TruongHocChui ìï e sin x ; " x < ï A F (x ) = ïí mợt ngun hàm của f (x ) ïï + x - 1; " x ³ ïỵ ïìï e cos x ; " x < B F (x ) = ïí mợt ngun hàm của f (x ) ïï + x - 1; " x ³ ïỵ ìï e sin x ; " x < ï C F (x ) = ïí mợt ngun hàm của f (x ) ïï + x ; " x ³ ïỵ ìï e cos x ; " x < ï D F (x ) = ïí mợt nguyên hàm của f (x ) ïï + x ; " x ³ ïỵ Câu 234 Kết Mợt ngun hàm ị (x - 2)sin 3xdx = - (x - a )cos 3x b + sin 3x + 2017 thì tổng c S = a.b + c bằng A S = 15 B S = 14 Câu 235 Cho các hàm số f (x ) = 20x - 30x + 2x - C S = ( ; F (x ) = ax + bx + c D S = 10 ) 2x - với x > hàm số F (x ) là một nguyên àm của hàm số f (x )thì các giá trị của a, b, c 75 A a = 4;b = 2; c = - B a = 4;b = 2; c = C a = 4;b = - 2; c = - D a = 4;b = - 2; c = https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ VIỆT NAM | SĐT: 0986772288 Để Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ Zalo 0383572270 Thích Học Chui FanPage: Adoba – Tài Liệu luyện thi số Việt Nam ... và cosin ¾ ¾ B - BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Tìm ngun hàm của hàm sớ sau (giả sử điều kiện được xác định): Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm hàm số vận dụng tính chất nguyên hàm https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/... b, c để F (x ) một nguyên hàm của hàm số f (x ) : Phương pháp: Để F (x ) một nguyên hàm hàm số f (x ) Û F ¢(x ) = f (x ) Từ đó, ta sử dụng đồng thức để tìm tham số cần tìm ìï F (x ) = mx... BT Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước các trường hợp sau: Phương pháp: Tìm ngun hàm ị f (x ) ×dx = F (x ) + C Rồi sau F (x ) + C o a) f (x ) = x - 4x + 5, F (1) = hàm