bài 1: Nguyên Hàm

Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 07/12/2005 chơng III: nguyên hàm và tích phân Tiết PPCT: 47 Đ1. nguyên hàm (Tiết 1: Định nghĩa Họ các nguyên hàm) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh nắm đợc khái niệm, định nghĩa nguyên hàm. Nắm vững nội dung và biết cách chứng minh các định lí về họ các nguyên hàm. Trọng tâm: Hs nắm vững định nghĩa nguyên hàm và nội dung các định lí. B. hớng đích và gợi động cơ. HĐ 1: Chúng ta đã biết rằng v(t) = f(t) với s=f(t). Tuy nhiên nhiều khi ta phải giải bài toán ngợc lại, tức là: Tìm hàm số s = f(t) khi biết đạo hàm f(t) của nó. C. làm việc với nội dung mới. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: Tìm hiểu SGK. Tại sao? Xét F 1 (x) = x 2 + 3? (sinx) = ? ? (sinx+5) = ? Giải thích tại sao? HĐ 3: Giải thích định lí? ý nghĩa? Giải thích Bổ đề? Chứng minh bổ đề? Định lí lagrange? 1. Định nghĩa. Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x(a; b), ta có: F(x) = f(x) Nếu thay khoảng (a; b) bằng đoạn [a; b] thì phải có thêm: F(a + ) = f(a) và F(b ) = f(b) Ví dụ: a) F(x) = x 2 là một nguuyên hàm của hàm số f(x) = 2x trên Ă . Vì (x 2 ) = 2x. Và F 1 (x) = x 2 + 3 cũng là một nguyên hàm của hs f(x) = 2x trên Ă . Vì ta cũng có (x 2 + 3) = 2x. b) G(x) = sinx là một nguyên hàm của hs g(x) = cosx trên Ă vì (sinx) = cosx. G 1 (x) = sinx+5 cũng là một nguyên hàm của hs g(x) = cosx trên Ă vì ta cũng có (sinx+5) = cosx. Nhận xét: Mọi hàm số dạng F(x) = x 2 + C (C = const) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x và mọi hs dạng G(x)=sinx+C đều là nguyên hàm của hàm số g(x) = cosx. Vì (x 2 + C) = 2x và (sinx + C) = cosx. Một cách tổng quát ta có: 2. Định lí. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì: i) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó. ii) Ngợc lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên (a; b) đều có thể viết dới dạng F(x) + C với C là một hằng số. Tức: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b) thì { } F(x) c / C+ Ă là họ các nguyên hàm của f(x). Để chứng minh định lí ta xét Bổ đề sau: Nếu F(x) = 0 trên (a; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. Chứng minh. Xét phần tử cố định x 0 (a; b). Nếu x = x 0 thì F(x) = F(x 0 ). Nếu xx 0 , theo định lí Lagrange tồn tại số c nằm giữa x và x 0 Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi. 93 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 F(c)=? tại sao? HĐ 4: C/m F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x)? C/m mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C? HĐ 5: Lu ý nắm vững các khái niệm. Tìm các nguyên hàm trong ví dụ? sao cho: F(x) F(x 0 ) = F(c)(xx 0 ) Nhng do c(a; b) nên F(c) = 0. Vậy ta có: F(x) F(x 0 ) = 0 hay F(x) = F(x 0 ). Nh vậy, với mọi x(a; b) ta có: F(x) = F(x 0 ). Do đó F(x) là một hàm số không đổi trên (a; b). Chứng minh định lí. 1) Theo giả thiết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b). Vì vậy F(x) = f(x) x(a; b). Khi đó ta cũng có: (F(x)+C) = F(x) + 0 = f(x) nên F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b). 2) Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b). Tức là G(x) = f(x) x(a; b). Khi đó ta có: (G(x) F(x)) =G(x) F(x) = f(x) f(x) =0 Theo Bổ đề trên suy ra: G(x) F(x) = C (C= const) Tức là G(x) = F(x) +C. Từ định lí ta có: Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một nguyên hàm nào đó của f(x). Kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của f(x) là: f (x)dx Đọc: Tích phân bất định của f(x) hoặc họ các nguyên hàm của f(x). Ta có: f (x)dx F(x) C = + , trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) và C là hằng số tuỳ ý. Dấu gọi là dấu tích phân, biểu thức f(x)dx gọi là biểu thức dới dấu tích phân. Ví dụ: 2 2 dx 2xdx x C; tgx C cos x dx sin xdx cos x C; ln x C x = + = + = + = + D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà: HĐ 6: - Nắm vững định nghĩa nguyên hàm. - Nội dung định lí, phép chứng minh định lí. Bài tập về nhà: Làm bài tập 1a, b, c, d SGK. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi. 94 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 07/12/2005 Tiết PPCT: 48 Đ1. nguyên hàm (Tiết 2: Các tính chất và sự tồn tại nguyên hàm) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh nắm đợc các tính chất của nguyên hàm và nội dung của định lí về sự tồn tại nguyên hàm. Từ đó biết cách vận dụng các tính chất để giải toán. Trọng tâm: Hs nắm vững các tính chất của nguyên hàm và biết cách vận dụng để giải toán. B. kiểm tra và đánh giá. HĐ 1: Phát biểu định nghĩa nguyên hàm. Tính ( ) 1 I x 1 dx; J (x )dx x = + = + ; C. làm việc với nội dung mới. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: Tìm hiểu SGK. F(x)=? af (x)dx ?= Chứng minh aF(x) cũng là một nguyên hàm của af(x)? f (x)dx g(x)dx ? + = Chứng minh F(x)+G(x) là một nguyên hàm của hs (f(x) +g(x))? HĐ 3: 3. Các tính chất của nguyên hàm. Tính chất 1: ( ) ' f (x)dx f (x)= Do f (x)dx F(x) C= + với F(x) là một nguyên hàm của f(x) và C = const nên ( ) [ ] ' ' f (x)dx F(x) C F'(x) f (x)= + = = . Tính chất 2: af (x)dx a f (x)dx (a 0)= Chứng minh Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ta có: [ ] af (x)dx a F(x) C aF(x) aC= + = + mà [ ] ' aF(x) a.F'(x) af (x)= = nên aF(x) là một nguyên hàm của af(x), vì a0 và C là hằng số tùy ý nên aC cũng là hằng số tùy ý. Hiển nhiên ta có a f (x)dx cũng là họ nguyên hàm của hs af(x). đpcm Tính chất 3: [ ] f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx+ = + Chứng minh. Nếu F(x) và G(x) là các nguyên hàm của f(x) và g(x) thì ta có: 1 2 f (x)dx g(x)dx F(x) G(x) C C+ = + + + . Mà [ ] ' F(x) G(x) F'(x) G '(x) f (x) g(x)+ = + = + nên F(x)+G(x) là một nguyên hàm của hs (f(x)+g(x)). Vì C 1 và C 2 là các hằng số tùy ý nên C = C 1 + C 2 cũng là hằng số tùy ý. Do đó ta có đpcm. Tính chất 4: Nếu ( ) ( ) f (t)dt F(t) C f u(x) .u '(x)dx F u(x) C= + = + Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi. 95 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ta cần chứng minh điều gì? [F(u(x))]=? F(u) = ? f (u)du ?= HĐ 4: 2 x dx ?; 3xdx ? = = Tơng tự tính J? Hay nếu F(t) là một nguyên hàm của hs f(t) thì F(u(x)) là một nguyên hàm của hàm số f(u(x)).u(x). Chứng minh. Ta sẽ chứng minh [ ] ' F(u(x)) f (u(x)).u '(x)= . Thật vậy, đặt u=u(x) thì ta có: [ ] ' F(u(x)) F'(u).u '(x) f (u).u '(x) f (u(x)).u '(x)= = = . Vì theo giả thiết ta có F'(t) f (t)= . Chú ý: Do u(x)dx = du nên nếu đặt u=u(x) thì tính chất 4 đợc phát biểu nh sau: ( ) f (t)dt F(t) C f (u)du F(u) C, u u(x)= + = + = 4. Sự tồn tại nguyên hàm. Định lí. Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Từ nay ta giả thiết các hàm số đợc xét đều liên tục (nếu không lu ý gì thêm) do đó chúng đều tồn tại nguyên hàm. Ví dụ: 1) Tính: 2 1 a) I (x 3x 1)dx; b) J x dx x = + + = + ữ Hớng dẫn giải. a) Ta có: 2 2 I (x 3x 1)dx x dx 3xdx dx= + + = + + 3 2 1 3 x x x C 3 2 = + + + b) 2 1 dx 1 J x dx xdx ln x x C x x 2 = + = + = + + ữ D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà: HĐ 5: - Nắm vững các tính chất của nguyên hàm. - Xem lại các ví dụ. Xem bảng các nguyên hàm cơ bản. Bài tập về nhà: Làm bài tập 2, 3 SGK. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi. 96 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 08/12/2005 Tiết PPCT: 49 Đ1. nguyên hàm (Tiết 3: Bảng các nguyên hàm cơ bản Ví dụ) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh hiểu các xây dựng bảng nguyên hàm và nắm vững các công thức tính nguyên hàm của một số hàm số thờng gặp. Từ đó biết cách vận dụng các tính chất để giải toán. Trọng tâm: Hs nắm vững nội dung bảng các nguyên hàm cơ bản B. kiểm tra và đánh giá. HĐ 1: Phát biểu các tính chất của nguyên hàm. C. làm việc với nội dung mới. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: Tìm hiểu SGK. x = ? dx =? (x 5 )=? 4 x dx ?= (lnx)=? (e x )=? (a x )=? (sinx)=? (cosx)=? (tgx)=? (cotgx)=? HĐ 3: Vận dụng x dx ? = I 1 =? Tích phân hàm luỹ thừa? 5. Bảng các nguyên hàm. Nguyên hàm các hs sơ cấp Nguyên hàm của hs hợp dx =x + C du = u + C 1 x x dx C 1 + = + + (1) 1 u u dx C 1 + = + + (1) dx ln x C x = + du ln u C u = + (u=u(x)0) x e dx = e x + C u e dx = e u + C x x a a C ln a = + (0<a1) u u a a C ln a = + (0<a1) sin xdx = cosx + C sin udu = cosu + C cos xdx = sinx + C cos udu = sinu + C 2 dx cos x = tgx + C 2 du cos u = tgu + C 2 dx sin x = cotgx + C 2 du sin u = cotgu + C 6. Các ví dụ về tính nguyên hàm. Ví dụ 1. 4 2 4 2 1 I (3x 4x 2x 1)dx 3 x dx 4 x dx 2 xdx dx= + + = + + = 5 3 2 3x 4x x x C 5 3 + + + Ví dụ 2. ( ) 3 4 1 3 2 2 1 1 1 32 2 2 x 2x x I dx x 2x x dx x + + = = + + Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi. 97 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 HĐ 4: u = 2x+5 du=? t = cosx đờng thẳng = ?dx d(e x +1)=? HĐ5: Tính du? I 6 = ? Biến đổi về cosx, cos2x? Tơng tự tính I 8 ? = 3 4 1 32 2 4 3 2x x x C 3 4 + + + Ví dụ 3. 5 5 3 6 1 I (2x 5) dx (2x 5) d(2x 5) 2 1 (2x 5) . C 2 6 = + = + + + = + Ví dụ 4. 5 4 4 4 sin x I sin x cos xdx sin xd(cos x) C 5 = = = + Ví dụ 5. x x x 5 x x e dx d(e 1) I ln(e 1) C e 1 e 1 + = = = + + + + Ví dụ 6. 3 6 (2ln x 3) I dx x + = , đặt u =2lnx+3 2 du dx x = Do đó 4 3 6 1 u I u du C 2 8 = = + . Hay 4 6 (2ln x 3) I C 8 + = + Ví dụ 7. ( ) 2 2 4 2 7 2 2 2 1 cos x sin x 1 I dx dx cos x 2 dx cos x cos x cos x = = = + ữ = dx 1 3 1 tgx 2x cos 2xd2x tgx x sin 2x C 2 4 2 4 = + + = + + Ví dụ 8. x 8 2 x 2x e I dx x e + = + . Đặt ( ) 2 x x u x e du 2x e dx= + = + 2 x 8 8 du I ln u C I ln(x e ) C u = = + = + + D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà: HĐ 6: - Nắm vững bảng các nguyên hàm cơ bản. - Xem lại các ví dụ. Bài tập về nhà: Làm bài tập 2, 3 SGK. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi. 98 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 08/12/2005 Tiết PPCT: 50 Đ1. nguyên hàm (Tiết 4: Luyện tập) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh củng cố đợc định nghĩa, các tính chất và khắc sâu bảng nguyên hàm cơ bản. Thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm các hàm số sơ cấp đơn giản. Trọng tâm: Hs khắc sâu bảng các nguyên hàm cơ bản Thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm các hàm số sơ cấp đơn giản. B. kiểm tra và đánh giá. HĐ 1: Tính các nguyên hàm: ( ) 2 1 2 2 I (x x)dx; I x tgx dx x = + + = + C. luyện tập. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: Nguyên hàm của tổng các hs? Nguyên hàm của hs lũy thừa? 2 x dx ? = 1 3 x dx ? = Đa về hs luỹ thừa? Nhận xét về hs dới dấu tích phân? HĐ 3: Nguyên hàm của hs mũ? x e dx ?= Nguyên hàm của các hs lợng Bài số 1. Tìm nguyên hàm các hàm số sau: ( ) ( ) 2 2 3 3 2 x 1 a) f (x) x 4x ; b) f (x) x x 1 1 c) f (x) ; d) f (x) x 1 x x 1 x x = + = = = + + + Hớng dẫn giải. a) = + = + ữ 2 2 2 1 2 2 I x 4x dx x dx 4 xdx 2 x dx x = + 3 2 1 1 x 2x 2x C 3 b) ( ) 2 1 5 2 3 3 3 3 2 3 x 1 3 3 I dx x x dx x x C 5 2 x = = = + c) ( ) 1 1 1 2 2 3 2 3 3 3 1 1 3 I dx x x dx 2x x C 2 x x = = = + ữ d) ( ) ( ) ( ) 4 I x 1 x x 1 dx x x 1 dx= + + = + ( ) 3 5 2 2 2 x 1 dx x x C 5 = + = + + Bài số 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: ( ) x x x x 2 x x x e a) f(x) e 1 e ; b) f(x) e 2 cos x c) f(x) 2a x; d) f(x) 2 3 = = + ữ = + = + Hớng dẫn giải. a) ( ) ( ) x x x 1 J e 1 e dx e 1 dx = = x x e dx dx e x C= = + b) x x x 2 2 2 e 1 J e 2 dx 2e dx cos x cos x = + = + ữ ữ Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi. 99 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 giác? 2 dx ? cos x = Tơng tự tính các nguyên hàm còn lại? HĐ 4: Xác định du theo dx? E 1 = ? Đặt u -=? Tính du? Tơng tự cho các nguyên hàm còn lại? = x 2e tgx C+ + c) ( ) x 1 3 x x 2 2 3 2a 2 J 2a x dx 2 a dx x dx x C ln a 3 = + = + = + + d) ( ) x x x x x x 4 2 3 J 2 3 dx 2 dx 3 dx C ln 2 ln 3 = + = + = + + Bài số 3. Tính: 2 3 1 2 3cosx 3 4 a) E cos(ax b)dx (a 0); b) E x x 5dx c) E tgxdx; d) E e .sin xdx = + = + = = Hớng dẫn giải. a) Đặt u = ax+b du = adx 1 1 E cos(ax b)dx cos(ax b)d(ax b) a = + = + + 1 sin(ax b) C a = + + b) Đặt 3 2 u x 5 du 3x dx= + = 3 3 2 2 3 3 3 2 1 1 2(x 5) E x x 5dx x 5d(x 5) . C 3 3 3 + = + = + + = + c) Đặt u = cosx du =sinxdx 3 sin x d(cosx) E tgxdx dx ln cosx C cos x cosx = = = = + d) Đặt u = 3cosx du = 3sinxdx 3cosx 3cosx 3cosx 4 1 1 E e sin xdx e d(3cos x) e C 3 3 = = = + Bài tập ra thêm: Bài số 4. Tính: 3 5 3 x 2 x 2x a) cos2x.cos3xdx; b) sin x cos xdx e dx c) ; d) x e dx e 4 + D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà: HĐ 5: - Nắm vững bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý nguyên hàm của hàm số hợp. - Xem lại các ví dụ. Bài tập về nhà: Làm bài số 4. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: Ngày: 14/12/2005 Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi. 100 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 Tiết PPCT: 51 Đ1. nguyên hàm (Tiết 5: Luyện tập) A. Mục tiêu. Sau tiết này Học sinh thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. Biết cách phân loại và định hình phơng pháp tìm nguyên hàm của các hàm số Trọng tâm: Học sinh thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. B. kiểm tra và đánh giá. HĐ 1: Tính các nguyên hàm: 1 5 3 2 1 2 2 2 x x x 1 I dx; I sin x dx 2x cos x + + = = ữ C. luyện tập. Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: Biến số là gì? Nguyên hàm của tổng các hs? 2 t dt ?= 2 1 dt ? t = Khai triển thành nguyên hàm của tổng? dx x =? Phân tích hs dới dấu tích phân thành tổng? sin 4xdx ?= HĐ 3: Phơng pháp giải? Bài số 1. Tính: 2 2 2 1 2 2 3 b 4a (1 x) a) I 7t t dt; b) I dx 2 t x c) I cos x.sin xdx = + + + = ữ = Hớng dẫn giải. a) 2 3 1 2 b dt I 7 t dt tdt dt 4a 2 t = + + 3 2 2 7 1 b 1 t t t 4a C 3 2 2 t = + + + b) 2 2 2 (1 x) 1 2x x 1 I dx dx 2 x dx x x x + = = = + ữ 2 x ln x 2x C 2 = + + c) Có ( ) 1 cos x.sin 3x sin 4x sin 2x 2 = + Do đó 3 1 1 I sin 4xdx sin 2xdx 2 2 = + = 1 1 1 1 sin 4xd(4x) sin2xd(2x) cos 4x cos2x C 8 4 8 4 = + = + Bài số 2. Tìm nguyên hàm F(x) của mỗi hàm số f(x) sau đây, biết rằng nguyên hàm đó thoả mãn điều kiện tơng ứng đã chỉ ra. 2 3 2 x a) f(x) 3x 8x 5; F(2) 0 x 1 b)f(x) ; F( 2) 0 x xe 1 c)f(x) ; F(1) 0 x = + = = = = = Hớng dẫn giải. Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi. 101 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 ( ) 2 3x 8x 5 dx ?+ = F(2) = 0 ? Tính 3 2 x 1 dx ? x = ữ C = ? Tơng tự giải câu c)? HĐ 4: Nhân với lợng liên hợp, khử căn ở mẫu thức? Tơng tự, giải câu b)? a) Có ( ) 2 3 2 3x 8x 5 dx x 4x 5x C+ = + + Vì F(2) = 0 nên 8 + 16 10 + C = 0 C = 14 Vậy nguyên hàm phải tìm là 3 2 F(x) x 4x 5x 14= + b) 3 2 2 2 x 1 1 1 1 dx x dx x C x x 2 x = = + + ữ ữ Vì F(2) = 0 nên ta có: 1 3 2 C 0 C 2 2 + = = Vậy nguyên hàm cần tìm là: 2 1 1 3 F(x) x 2 x 2 = + c) x x x xe 1 1 dx e dx e ln x C x x = = + ữ ữ Vì F(1) = 0 nên e + C = 0 C = e Vậy nguyên hàm cần tìm là x F(x) e ln x e= Bài số 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số: 2 9 2 2x a) f(x) ; b)f(x) x (x 1) x x 1 = = + Hớng dẫn giải. a) ( ) 2 2 2 2 2x(x x 1) f(x)dx dx 2x x x 1 dx x (x 1) = = 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 x dx 2 x x 1dx x x 1d(x 1) 3 2 2 x (x 1) C 3 3 = = = + b) Hớng dẫn: Đặt u = x1. D. Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà: HĐ 5: - Xem lại lời giải các bài toán đã trình bày? Chú ý nguyên hàm của hàm số hợp. Bài tập về nhà: Làm bài tập 3a, d, h, i SGK. E. Rút kinh nghiệm và Bổ sung: Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi. 102 [...]... x x Diện tích aABb? HĐ 5: x x 0 S(x) S(x 0 ) = f(x 0 ) hay S(x0) và 0 x x0 S(x0)=f(x0) Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b) Nếu x0=a S(a+)=f(a), x0=bS(b)=f(b) Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] Diện tích của hình thang cong aABb là S(b) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] thì tồn tại hằng số C sao cho S(x) = F(x) +C Với chú ý S(a) = 0 ta có: S(a) = F(a)... sử y = f(x) là một hàm số liên tục và f(x) 0 trên đoạn [a; b] Thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đờng thẳng x=a, x=b là S=F(b) F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f(x) trên [a; b] lim Do đó từ (3) x x D Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà: HĐ 6: Khái niệm tam giác cong, hình thang cong? Xem lại toàn bộ bài toán tính diện... một hàm số liên tục và f(x) 0 trên đoạn [a; b] Thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đờng thẳng x=a, x=b là S=F(b) F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f(x) trên [a; b] S(x) S(x 0 ) =? 0 x x0 lim x x Diện tích aABb? HĐ 5: D Củng cố hớng dẫn công việc ở nhà: HĐ 6: Khái niệm tam giác cong, hình thang cong? Xem lại toàn bộ bài. .. tam giac cong? Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đờng Cách tính diện tích hình đế cong có thể đa về bài toán tính diện tích của một số hình thang giày? cong (tam giác cong) Bài toán Tính diện tích của hình thang cong aABb giới hạởi HĐ 3: đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), f(x)0, trục Ox và các đờng thẳng x = a, x = b y y B B F E A A Q P M N a x O b x 0 Đa về bài toán đơn giản... đoạn đó f(x) là đơn điệu Do đó chỉ cần giải bài toán trên Có thể giả thiết f(x) đơn điệu với giả thiết f(x) đơn điệu trên [a; b] Chẳng hạn f(x) đồng biến không? trên [a; b] Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong đợc giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đờng thẳng đi qua a, x và song song với Oy Ta chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b] HĐ 4: Thật vậy, giả... x0=bS(b)=f(b) Vậy S(x) là một cong aABb với diện tích các hình nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] lim Do đó từ (3) x x Giáo viên: Võ Mạnh Thắng Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi 105 Giáo án giảng dạy Môn Giải tích Lớp 12 chữ nhật MNè và MNPQ? Từ (1) và (2) ta có? Giải thích (3)? Diện tích của hình thang cong aABb là S(b) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] thì tồn tại hằng số C sao cho S(x)... dạy Môn Giải tích Lớp 12 Ngày: 15/12/2005 Đ2 tích phân (Tiết 1: Diện tích hình thang cong) Tiết PPCT: 52 A Mục tiêu Sau tiết này Học sinh hiểu đợc bài toán tính diện tích hình thang cong Nắm đợc nội dung định lí về diện tích hình thang cong Trọng tâm: Học sinh hiểu đợc bài toán tính diện tích hình thang cong B hớng đích và gợi động cơ HĐ 1: Chúng ta đã biết cách tính diện tích của các hình đa giác... Đa về bài toán đơn giản hơn? 2) Nếu ax x0 tơng tự ta có: S(x) S(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (2) Có thể giả thiết f(x) đơn điệu x x0 không? Từ (1) và (2) suy ra: S(x) S(x 0 ) 0 f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (3) x x0 Do f(x) liên tục tại x0 nên HĐ 4: lim f(x) = f(x 0 ) lim f(x) f(x 0 ) = 0 Tức S(x)=? f(x 0 ) x x0 x x 0 S(x) S(x 0 ) = f(x 0 ) hay S(x0) và 0 x x0 S(x0)=f(x0) Vậy S(x) là một nguyên hàm của... tính tích phân B hớng đích và gợi động cơ HĐ 1: Phát biểu định lí về cách tính diện tích của hình thang cong? C Làm việc với nội dung mới Phân bậc hoạt động Nội dung 2 Định nghĩa tích phân HĐ 2: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K Nhận xét: Có thể chia đoạn [a; b] thành các đoạn con mà trên mỗi đoạn đó f(x) là đơn điệu Do đó chỉ cần giải bài toán trên Khái niệm hình thang cong với... đồng biến trên [a; b] và tam giac cong? Cách tính diện tích hình đế Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong đợc giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đờng thẳng đi qua a, giày? x và song song với Oy HĐ 3: Ta chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b] Thật vậy, giả sử x0 là một điểm tùy ý thuộc [a; b] ta chứng minh S(x0) và S(x0) = f(x0) 1) Nếu x0< xb, khi đó S(x) S(x0) . xác định nguyên hàm các hàm số sơ cấp đơn giản. Trọng tâm: Hs khắc sâu bảng các nguyên hàm cơ bản Thành thạo kỹ năng xác định nguyên hàm các hàm số sơ. Nhận xét: Mọi hàm số dạng F(x) = x 2 + C (C = const) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x và mọi hs dạng G(x)=sinx+C đều là nguyên hàm của hàm số g(x)