BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA và ý NGHĨA của đạo hàm

BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA và ý NGHĨA của đạo hàm

CHƯƠNG 5: ĐẠO HÀM BÀI ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM MỤC TIÊU: Kiến thức: - Hiểu khái niệm đạo hàm, đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải, đạo hàm khoảng, đoạn - Nắm quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số - Biết cách tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm - Trình bày ứng dụng đạo hàm vào giải tốn vật lý Kỹ năng: - Tính đạo hàm hàm số điểm, khoảng cách dùng định nghĩa - Biết cách tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm - Vận dụng đạo hàm vào giải toán vật lí I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng (a;b) x0   a; b  (a, b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) lim x  x0 f ( x)  f  x0  giới hạn gọi đạo hàm hàm x  x0 số y  f  x  x0 kí hiệu f '  x0  có nghĩa f   x0   lim x  x0 f ( x)  f  x0  y  lim x 0 x x  x0 x  x  x0 gọi số gia đối số x x0 y  f ( x)  f  x0   f  x0  x   f  x0  gọi số gia tương ứng hàm số Đạo hàm bên trái, bên phải f ( x)  f  x0  f   x0   lim x  x0 x  x0 f   x0   lim x  x0 f ( x)  f  x0  x  x0 Hệ quả: Hàm y  f  x  có đạo hàm x0 tồn f   x0  f   x0  đồng thời f   x0   f   x0  Đạo hàm khoảng, đoạn - Hàm số y  f  x  có đạo hàm (a;b) có đạo hàm điểm thuộc (a;b) - Hàm số y  f  x  có đạo hàm [a;b] f  x  + Có đạo hàm x (a,b); + Có đạo hàm trái f   b  ; + Có đạo hàm phải f   a   Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Trang Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm x0 liên tục x0 Chú ý: + Nếu y  f  x  gián đoạn x0 , khơng có đạo hàm x0 + y  f  x  liên tục x0 khơng có đạo hàm x0 Ý nghĩa hình học đạo hàm Đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến M 0T đồ thị hàm số điểm M  x0 ; f  x0   Phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; f  x0   y  y0  f   x0  x  x0  y0  f  x0  Ý nghĩa vật lí đạo hàm + Vận tốc tức thời: v  t0   s  t0  + Gia tốc: a  t0   v  t0    s  t0    + Cường độ dòng điện tức thời: I  t0   Q  t0  SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Dùng định nghĩa tính đạo hàm Bài tốn Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số điểm  Phương pháp giải Bước 1: Giả sử x số gia đối số x x0 Tính y  f  x0  x   f  x0  y x y Bước 3: Tìm lim x  x y y + Nếu lim tồn hữu hạn x0 , hàm số có đạo hàm f   x0   lim x  x x 0 x y + Nếu lim không tồn hữu hạn x0 hàm số khơng có đạo hàm x  x Bước 2: Lập tỉ số Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  2x2  x0  Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0  Ta có : y  f (2  x)  f (2)  2(2  x)2    2.22  3  2x(x  4) y 2x(x  4)   2x  x x y lim  lim (2x  8)  x 0 x x 0 Tỉ số Vậy f '   Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  2x 1 x0  x 1 Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0  2(3  x)  5  2x 3x ;      x  4  x 4(4  x) y 3x   x x  4(4  x) 4(4  x) y 3x 3 Do lim  lim  lim  x 0 x x 0 x  4(4  x) x 0 4(4  x) 16 Vậy f '  3  16 Ta có: y  f (3  x)  f (3)  Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x 1 x0  Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0  Ta có: y  f (1  x)  f (1)  2(1  x)    2x ; 2x   y 2x   x x( 2x   1) 2x   y  lim 1 x 0 x x0 2x   lim Vậy f ' 1  Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  sin x x0   Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x0     Ta có: y  f   x   3   x       x  f    sin   x   sin  2cos    sin 3 3  3  x sin y   x    cos    x x 3  x sin y   x   lim cos   Do đó: lim  x 0 x x 0   x x sin  nên lim y  lim cos    x   cos   Vì: lim   x 0 x 0 x x  x 3    Vậy: f    3 Trang ( x  1) , x  Ví dụ Chứng minh hàm số f ( x)   khơng có đạo hàm x = có đạo ,x 0  x hàm x = Hướng dẫn giải Ta có lim f ( x)  lim ( x  1)  1; lim f ( x)  lim   x    lim f ( x)  lim f ( x) x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Suy hàm số gián đoạn x = nên khơng có đạo hàm f (2  x)  f (2) (1  x)2  12  lim  lim(2  x)  x 0 x 0 x 0 x x Vậy hàm số y  f  x  có đạo hàm x = f  (2)  lim x  | x  1| Ví dụ Chứng minh hàm số f ( x)  liên tục x  1 khơng có đạo hàm x 1 điểm Hướng dẫn giải Vì f  x  hàm số sơ cấp xác định x  1 nên liên tục f ( x)  f (1) 2x  lim  1 x ( 1) x  x 1 f ( x)  f (1) f  (1)   lim   lim   x ( 1) x ( 1) x 1 Ta có: f  (1)   lim  x ( 1) Do f  (1)   f  (1)  nên f  x  khơng có đạo hàm x = -1 Ví dụ Cho đồ thị hàm số y  f  x  xác định khoảng (a;b) hình vẽ Dựa vào hình vẽ cho biết điểm x1, x2 , x3 x4 a) Hàm số có liên tục khơng? b) Hàm số có đạo hàm khơng? Tính đạo hàm có Hướng dẫn giải a) Hàm số gián đoạn điểm x1, x3 đồ thị bị đứt điểm Hàm số liên tục x2 , x4 đồ thị đường liền nét qua điểm b) Tại điểm x1, x3 hàm số khơng có đạo hàm hàm số gián đoạn điểm x1, x3 Hàm số khơng có đạo hàm x2 đồ thị bị gãy (khơng có tiếp tuyến đó) Trang Hàm số có đạo hàm x4 f '  x4   x4 đồ thị hàm số có tiếp tuyến tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc tiếp tuyến 0) Bài tốn Dùng định nghĩa tìm đạo hàm khoảng  Phương pháp giải Bước 1: Giả sử x số gia đối số x x0 Tính y  f  x0  x   f  x0  y x y Bước 3: Tìm lim x  x Bước 2: Lập tỉ số • Hàm số y  f  x  có đạo hàm (a;b) có đạo hàm điểm (a;b) • Hàm số y  f  x  có đạo hàm [a;b] có đạo hàm điểm thuộc (a;b) đồng thời tồn đạo hàm trái f   b   đạo hàm phải f   a   Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x2 khoảng  ;  Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x Ta có y  f ( x  x)  f ( x)  ( x  x)2  x2  2x  x  (x)2 y 2x  x  (x)2   x  x x x y lim  lim (2 x  x)  x x 0 x x 0 Vậy f  ( x)  2x  Ví dụ mẫu Tỉ số Ví dụ Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y  x khoảng ( ;1) (1; ) ? x 1 Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x x  x x x   x  x  x  ( x  x  1)( x  1) y x 1   x x  ( x  x  1)( x  1) ( x  x  1)( x  1) y 1 1 lim  lim  x0 x x0 ( x  x  1)( x  1) ( x 1)2 1 Vậy f  ( x)  ( x  1)2 Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y = cos x khoảng (; ) ? Hướng dẫn giải Giả sử x số gia đối số x x  x  Ta có: y  f ( x  x)  f ( x)  cos( x  x)  cos x  2sin  x    sin   Ta có y  f ( x  x)  f ( x)  Trang x  x x  x   2sin  x    sin sin  x    sin y  2       x x x x  x  sin  x    sin y   lim  lim    sin x x 0 x x 0 x  Vậy f ( x)   sin x Bài tốn Tìm điều kiện tham số để hàm số có đạo hàm  Phương pháp giải Sử dụng tính chất Hàm f  x  có đạo hàm x0 tồn f  x0  f   x0  đồng thời f   x0   f   x0   x2   Ví dụ Tìm m để hàm số f ( x)   x   2m  Hướng dẫn giải x  có đạo hàm x =1 x  x2 1 Ta có: lim f ( x)  lim  2; f (1)  2m x 1 x 1 x  Để hàm số có đạo hàm x = f  x  phải liên tục x = 1, suy lim f ( x)  f (1)  2m   m  x 1 Thay m =1 vào hàm số f  x  thỏa mãn có đạo hàm x =1  Ví dụ mẫu  x  3x Ví dụ Tìm a,b để hàm số f ( x)   ax  b Hướng dẫn giải x  có đạo hàm x = x  Ta có lim f ( x)  lim  x  3x   2; lim f ( x)  lim (ax  b)  2a  b x 2 x 2 x 2 x 2 Để hàm số có đạo hàm x = hàm số liên tục x = Do 2a + b = -2  b = -2a - Ta lại có: f ( x)  f (2) x  3x   lim  lim( x  1)  x 2 x 2 x 2 x2 x2 f ( x)  f (2) ax  b  (2) ax  b  lim  lim  lim x 2 x 2 x 2 x2 x2 x2 ax  b  ax  2a   ax  2a  lim  lim a Do b  2a  nên lim x 2 x 2 x 2 x2 x2 x2 Để hàm số có đạo hàm x = a  a  f ( x)  f (2) f ( x)  f (2) lim  lim   x 2 x 2 x2 x2 b  2a  b  4 lim x0 cos x, Ví dụ Chứng minh hàm số f ( x)   khơng có đạo hàm x =0  sin x, x  Hướng dẫn giải Ta có: lim f ( x)  lim cos x  1; lim f ( x)  lim(  sin x)   lim f ( x)  lim f ( x)  x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Trang Suy hàm số gián đoạn x = nên khơng có đạo hàm  x3  Ví dụ Tìm a, b để hàm số f ( x)   ax  b  Hướng dẫn giải Điều kiện cần x  có đạo hàm x = x   x3  1 Ta có f (1)  ; lim f ( x)  lim    lim f ( x)  lim( ax  b)  a  b x 1 x 1 x 1 x1  3 Để hàm số f  x  có đạo hàm x = f  x  liên tục x =1 x 1 x 1 x3  f ( x)  f (1) x2  x   lim 3  lim 1 Điều kiện đủ: f  1   lim x 1 x 1 x 1 x  x 1 f ( x)  f (1) f ( x)  f (1) ax  b  (a  b) ax  a f  1   lim  lim  lim  lim a x 1 x  x  x  x 1 x 1 x 1 x 1 Để hàm số f  x  có đạo hàm x = f  1   f  1   a   b   Vậy a  1; b   thỏa mãn yêu cầu toán  Bài tập tự luyện dạng Câu Số gia hàm số f ( x)  x3 điểm x0  ứng với x  Do lim f ( x)  lim f ( x)  f (1)  a  b  A B C D y Câu Biểu thức y hàm số y  x2 1 tính theo x x x y y 0  x  x A y  0, B y  (x)  x.x, x x y y  x  x  x C y  x  x  (x)  2, D y  (x) , x x Câu Đạo hàm hàm số y = 2x +1 điểm x0  1 A -1 B C Câu Đạo hàm hàm số y  x  x điểm x0 D A f   x0   lim (x)  x  x 0 B f   x0   lim (x)  x  x02  x0  x 0 C f   x0   lim  x0 x  (x)  x  x 0 D f   x0   lim  x  x0  1 x 0 Câu Đạo hàm hàm số y  x  x điểm x0  A B Câu Cho hàm số y  A  Giá trị y'(2) x B  x C D D C Câu Giá trị đạo hàm hàm số y  x 1 điểm x0  Trang A B.6 C D Câu Cho hàm số y  f  x  x  x Giá trị f '  0 A B.0  x2  1  Câu Cho hàm số f  x  xác định f ( x)   x 0  A D Không tồn C -1 B C  sin x  Câu 10 Đạo hàm hàm số f ( x)   x  x  x2  A B x  x  x  Giá trị f '  x  x  D Không tồn tại x0  C D x2  | x  1| Khẳng định sau đúng? x 1 A Hàm số f  x  ) liên tục có đạo hàm x = -1 Câu 11 Cho hàm số y  f ( x)  B Hàm số f  x  liên tục x = -1 khơng có đạo hàm x = -1 C Hàm số f  x  không liên tục x = -1 D Hàm số f  x  có tập xác định x  2 x   Câu 12 Đạo hàm hàm số f ( x)   x  x  x  x0  x   x 1  A B C D Không tồn Câu 13 Đạo hàm hàm số y = c (c số) khoảng (, ) Â A y  C y  B y  c Câu 14 Đạo hàm hàm số y  f ( x)  A y   x D y  x khoảng (;0) (0; ) x B y  C y  x D y    x2 Câu 15 Đạo hàm hàm số y  f ( x)  x khoảng (0; ) A y  x B y  C y  x x  x2   Câu 16 Giá trị m để hàm số f  x    x  m  A m  B m   x  ax  b Câu 17 Cho hàm số y    x  x  x  10 Giá trị ab A B x  D y  có đạo hàm x = x  C m  D m  x  biết hàm số có đạo hàm điểm x = x  C D -8 Trang 10  x4  x2   Câu 18 Nếu hàm số f ( x)   x 1 ax  ax  b  A -1 B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x  1 có đạo hàm giá trị a+b x  1 C D -4 C B D D B A C D C 11 B 12 D 13 A 14 D 15 B 16 B 17 D 18 B 10 A Câu Ta có y  f (2)  f (1)  23  13  Câu   Ta có y  f ( x  x)  f ( x)  ( x  x)2   x   xx  (x)2 ; y  x  x x Câu Ta có y  2(1  x)   (2(1)  1)  2x  y y  Suy lim  lim  x 0 x x 0 x Vậy y (1)  Câu Xét hàm số y  f ( x)  x2  x Gọi x số gia đối số x0 Ta có y  f  x0  x   f  x0    x0  x    x0  x    x02  x0   (x )2  x0 x  x   y  lim  x  x0  1 x 0 x x 0 Vậy f   x0   lim  x  x0  1 Suy lim x  Câu   Ta có y  f (1  x )  f (1)  (1  x )2  (1  x )  12   3x  x ; suy lim x 0 y  lim(3  x)  x x0 Câu Ta có y  1 x y 1 y 1     , suy lim  lim  x 0 x x 0 (2  x )2  x (2  x )2 x (2  x )2 Vậy y (2)   Câu Ta có y  f (5  x)  f (5)   2x  ; suy y  2x   x x y  2x  32  lim  lim  x  x x 0 x(  2x  3) x 0  2x  3 Do lim Vậy y (5)  Câu Trang 11 f ( x)  f (0) x | x | xx f ( x )  f (0) x | x | xx  lim  lim  2, lim  lim  lim  x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x 0 x x Vậy hàm số không tồn đạo hàm x0  Ta có: lim Câu Ta có f  (0)  lim x 0 f ( x)  f (0) x2  1 1  lim  lim  x  x  x0 x x 1 1 Câu 10 Ta có lim f ( x )  lim x 0 x 0  sin x  sin2 x  lim   sin x   0; lim f ( x )  lim x  x  nên hàm số liên tục x 0 x 0 x 0 x  x    x  Ta lại có: lim x 0 f ( x )  f (0) sin2 x f ( x )  f (0) x  x2  lim  vaø lim  lim  x 0 x 0 x 0 x x x x Vậy f  (0)  Câu 11 x  | x  1| Hàm số y  f ( x )  có tập xác định D  x 1 \ {1} x  | x  1| Ta có lim f ( x)  lim  1  f (1) nên hàm số liên tục x  1 x 1 x 1 x 1 2 x  x  | x  1|  Ta có y  f ( x )    2x  x  x 1   x 1 x  1 x  1, x  nên 2x2  x   (1) f ( x )  f (1) x   (1) f ( x )  f (1) x  lim  lim  vaø lim   lim  x ( 1) x ( 1) x ( 1) x ( 1) x  (1) x 1 x  (1) x 1  lim 1 x ( 1) 2x  x 1 Vậy không tồn lim x 1 f ( x )  f (1) Do hàm số khơng có đạo hàm  x  1 x  (1) Câu 12 x  3)  Ta có lim f ( x )  lim(2  x 1 x 1 x3  x  7x   lim x  3x   x 1 x 1 x 1 x 1 Suy lim f ( x )  lim f ( x )  hàm số không liên tục x  nên hàm số khơng có đạo hàm x0   lim f ( x)  lim x 1  x 1 Câu 13 Ta có lim x 0 f ( x  x)  f ( x) cc  lim  lim   f  ( x)   x  x x x0 Câu 14 1  f ( x  x )  f ( x ) 1 1 Ta có lim  lim x  x x  lim   Vậy f  ( x )   x 0 x 0 x 0 ( x  x ) x x x x x Câu 15 Trang 12 Ta có lim x  f ( x  x )  f ( x ) x  x  x 1  lim  lim   f  ( x)  x  x  x x x  x  x x x Câu 16 x2   x 2 x  Để hàm số liên tục x  lim f ( x )  f (2)   m  Ta dễ dàng chứng minh lim x 2 x2  4 f ( x )  f (2) x  Mặt khác lim  lim  x 2 x 2 x 2 x 2 Vậy với m  hàm số cho có đạo hàm x  Câu 17 Để hàm số có đạo hàm x  hàm số phải liên tục x      Do lim x3  x  8x  10  lim x  ax  b  2   2a  b  2a  b  6 x 2 x 2 Hàm số có đạo hàm điểm x  nên lim x 2 f ( x)  f (2) f ( x )  f (2)  lim   a   a  4 x 2 x 2 x 2 Suy a  Vậy ab  8 Câu 18 Với x  1 hàm số ln có đạo hàm nên để hàm số có đạo hàm với x  hàm x  1 hàm số phải có đạo x4  2x2   0; lim ax  ax  b  b Để hàm số liên tục x  1 x  x 1 x 1 lim f ( x )  lim f ( x )  f (1)   b   Ta có lim x 1  x 1 Với b = 0; a , ta có x4  2x2  0 f ( x )  f (1) ax  ax  f ( x )  f (1) x   lim  a lim  lim1  ; lim x 1 x 1 x 1 x  r x  (1) x 1 x  (1) x 1 Hàm số có đạo hàm điểm x  lim x 1 f ( x )  f (0) f ( x )  f (1)  lim   a  4 x 1 x  (1) x  (1) Vậy a  4, b   a  b  4 Dạng Tìm hệ số góc tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến điểm Phương pháp giải Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) điểm M  x0 ; y0   (C ) • Hệ số góc tiếp tuyến x0 k  f   x0  • Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M  x0 ; y0  có dạng y  y0  f   x0  x  x0  Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k tiếp tuyến + Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm, ta có f   x0   k (1) + Giải phương trình (1) tìm x0 từ y0  f  x0  Trang 13 + Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng y  k  x  x0   y0 Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y  2x3 1 điểm  1;1 Hướng dẫn giải  (1  x)3  1   2(1)3  1 y lim  lim x 0 x x 0 x  lim  2(x)  6x    x 0  k  y (1)  Phương trình tiếp tuyến y   6( x  1)  y  x  Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm hệ số góc tiếp tuyến parabol y  x2 x = Hướng dẫn giải (1  x)2  (1)2  lim(2  x)  x 0 x0 x Vậy hệ số góc k  y (1)  Ví dụ Cho hàm số y = x3 Tìm hệ số góc tiếp tuyến giao điểm đồ thị với đường thẳng y  3x  Ta có lim Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x3 đường thẳng y  3x  x  (1  x)3  (1)3 x  3x     Tại x =1 ta có lim  lim  (x)2  3x  3   x  x 0 x  x  2 Hệ số góc k1  y (1)  (2  x)3  (2)3  lim  (x)2  6x  12   12 x 0 x 0 x Hệ số góc k2  y (2)  12 Tại x = -2 ta có lim Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y   x3 điểm có tung độ 27 Hướng dẫn giải Ta có: y  27  x  3 y (3  x)3  27  lim  lim  (x)2  9x  27   27 x 0 x x 0 x 0 x   k  y (3)  27 Phương trình tiếp tuyến y  27  27( x  3)  y  27 x  54 x Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  biết hệ số góc tiếp tuyến  x 1 Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm Ta có lim y 1 1  lim  x 0 x x 0  x  x  1 x  1  x0  1 0 f   x0   lim x  1 f   x0   k         x0  1    9  x0 1  x0  2 Trang 14  4 phương trình tiếp tuyến  4;   3 16 y   ( x  4)   y   x  9 2  + Với x0  2 ta có y0  phương trình tiếp tuyến  2;  3  + Với x0  ta có y0  y   ( x  2)   y   x  9 Ví dụ Chứng minh để đường thẳng (d): y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số (G): y  f  x  a  f   x0   điểm  x0 ; f  x0   điều kiện cần đủ   ax0  b  f  x0  Hướng dẫn giải Đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến đồ thị (G): y  f  x  điểm  x0 ; f  x0   đồng thời xảy •(d) (G) qua điểm  x ; f  x  tức ax 0  b  f  x0  • Hệ số góc (d) đạo hàm f x0 tức a  f   x0  Từ suy điều cần chứng minh Bài tập tự luyện dạng Câu Cho đồ thị hàm số f  x  khoảng (a; b) Biết điểm M1; M ; M3 đồ thị hàm số có tiếp tuyến thể hình vẽ Dựa vào hình vẽ xét dấu f   x1  , f   x2  , f   x3  A f   x1   0, f   x2   0, f   x3   B f   x1   0, f   x2   0, f   x3   C f   x1   0, f   x2   0, f   x3   D f   x1   0, f   x2   0, f   x3   điểm có hồnh độ -1 x C y = x - D y = - x + Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  A x + y +2 = B y = x + Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x3  3x  điểm có hồnh độ song song với đường thẳng y = ax + b Giá trị a+b A B C D -1 1 Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  biết hệ số góc tiếp tuyến  x A x  y   x  y   B x  y   x  y   Trang 15 1 C y   x  y   x  4 D y   x Câu Hệ số góc tiếp tuyến parabol y  x2 x  1 A B C D  2 Câu Hệ số góc tiếp tuyến parabol y  x giao điểm parabol với đường thẳng y = 3x - A B C D 3 Câu Phương trình tiếp tuyến đường cong y  x điểm(-1;-1) A y  3x  B y  1 C y  3x  D y  3x  Câu Phương trình tiếp tuyến đường cong y  x3 điểm có tung độ A y = -12x+16 B y = C y = 12x - 24 D y = 12x – 16 Câu Phương trình tiếp tuyến đường cong y  điểm có hồnh độ -1 x A x  y   B y  x  C y  x  D y   x  Dạng Ứng dụng đạo hàm vật lý Phương pháp giải s (t  t )  s (t ) Vận tốc trung bình: vtb  t Vận tốc tức thời v  t0   s  t0  Cường độ tức thời điểm t0 dòng điện với điện lượng Q  Q  t  l  t0   Q  t0  Ví dụ Một vật rơi tự có phương trình chuyển động s  gt g = 9,8m/s2 t tính giây a) Tính vận tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian từ t đến t  t trường hợp t  0,1 t = b) Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t =5s Hướng dẫn giải 1 g (t  t )  gt s (t  t )  s (t ) 2  a) vtb  t t  gt  g t Với t  0,1 t=3 vtb  9,8.3  9,8.0,1  28,89(m / s) 1 g (5  t )  g  52 s  lim b) lim t 0 t t 0 t    lim  g  g t   49 t 0   Trang 16 v(5)  s (5)  49(m / s) Ví dụ Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu điện hàm số Q = 6t + (t tính giây, Q tính Coulomb) Tính cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t = 10 Hướng dẫn giải Vì Q'(t)= nên cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t = 10 l (10)  Q (10)   Ví dụ mẫu Ví dụ Một chất điểm có phương trình chuyển động s  f (t )  t  t  (t tính giây, s tính mét) Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = Hướng dẫn giải t  t    t02  t0   f (t )  f  t0   lim  lim  t  t0  1  2t0  Ta có: lim0 t  t0 t  t0 t t t  t0 t  t0 Vậy f   t0   2t0  Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = vtt  f  (2)  2.2   5(m / s) Ví dụ Cho chuyển động xác định phương trình S  t  3t  9t  t tính giây S tính mét Tính gia tốc thời điểm vận tốc triệt tiêu Hướng dẫn giải t  3t  9t    t03  3t02  9t0   f (t )  f  t0   lim  3t02  6t0  Ta có v  t0   lim t  t0 t  t t  t0 t  t0 3t  6t     3t02  6t0    v(t )  v  t0  a  t0   lim  lim  6t0  t  t0 t t0 t  t0 t  t0 Do a  v  6t0  Khi vận tốc triệt tiêu ta có v(t )   3t  6t    t  Khi gia tốc a(3)  6.3   12m / s2 Ví dụ Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q  3t  8t  (t tính giây, Q tính Coulomb) Tính thời điểm cường độ dịng điện dây dẫn I  50 A Hướng dẫn giải 3t  8t    3t02  8t0   f (t )  f  t0   lim  lim  3t  3t0  8  6t0  Ta có: lim t t t t0 t t0 t  t0 t  t0 Vậy Q (t )  6t  Do ta có phương trình I  Q (t )  6.t   50( A)  t  7(s) Bài tập tự luyện dạng Câu Một chuyển động có phương trình s(t )  t  2t  (trong s tính mét, t tính giây) Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t =1,5 (giây) A 6m/s B 1m/s C 8m/s D 2m/s   Câu Xét chuyển động có phương trình s(t )  6sin  3t   t tính giây s 4  tính mét Vận tốc tức thời thời điểm t chuyển động Trang 17   A v(t )  18cos  3t   4    B v(t )  18cos  3t   4      C v(t )  6cos  3t   D v(t )  6cos  3t   4 4   Câu Một chất điểm chuyển động có quãng đường cho phương trình s(t )  t  t  t  10t ,trong t >0 với t tính giây (s) s tính mét (m) Hỏi thời điểm gia tốc vật đạt giá trị nhỏ vận tốc vật bao nhiêu? A 1m/s B 3m/s C 16m/s D 13m/s Câu Một chất điểm chuyển động có phương trình s (t )  t  t  6t , t tính giây, s tính mét Gia tốc chất điểm thời điểm vận tốc 24m/s A 20 m/s2 B 12 m/s2 C 39 m/s2 D 21m/s2 Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S  t  3t  9t , t tính giây S tính mét Tính vận tốc chuyển động thời điểm gia tốc triệt tiêu A 11 m/s B O m/s C 12 m/s D 6m/s Câu Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t )  t  6t với t thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, s  t  quãng đường khoảng thời gian t Thời điểm t vận tốc đạt giá trị lớn A t = B t = C t = D t = Câu Một vật giao động điều hịa có phương trình qng đường phụ thuộc thời gian s  A sin(t   ) ,trong A,  ,  số, t thời gian Khi biểu thức vận tốc vật A v  A cos(t   ) B v   A cos(t   ) C v  A cos(t   ) D v   A cos(t   ) Câu Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q  3t  6t  (t tính giây, Q tính Coulomb) Cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t = A 16 A B 18 A C 7A D A Câu Tomahawk loại tên lửa hành trình có khả mang đầu đạn hạt nhân, phóng từ hệ thống phóng mặt đất Giả sử Tomahawk (không gắn động cơ) bắn lên cao theo phương trình s(t )  196t  4,9t t thời gian (t > 0, đơn vị giây) s  t  khoảng cách tên lửa so với mặt đất tính kilomet Khoảng cách tên lửa so với mặt đất thời điểm vận tốc bằng bao nhiêu? A 1069 B 1960 C 1690 D 1906 Câu 10 Một chất điểm chuyển động có phương trình S  2t  6t  3t  với t tính giây (s) S tính mét (m) Hỏi gia tốc chuyển động thời điểm t  3 s  bao nhiêu? A 228 m/s2 B 64 m/s2 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT C A A B B C 88 m/s2 C D D D 76 m/s2 A Câu Trang 18 Đồ thị hàm số có tiếp tuyến điểm M1; M2 ; M3 nên hàm số f  x  có đạo hàm điểm x1 , x2 , x3 Dựa vào đồ thị ta thấy: +) Tiếp tuyến điểm M1 , đường thẳng song song với trục hồnh nên hệ số góc tiếp tuyến Suy f   x2   +) Tiếp tuyến điểm M2 , đường thẳng lên từ trái sang phải nên hệ số góc tiếp tuyến Số dương Suy f   x2   +) Tiếp tuyến điểm M3 , đường thẳng xuống từ trái sang phải nên hệ số góc tiếp tuyến số âm Suy f   x3   Câu Ta có x  1  y  1 Khi lim x 0 y  lim  1  k  y (1)  1  x  x 1  x Phương trình tiếp tuyến: y   x  Câu Ta có y0  y(2)  4 Hệ số góc tiếp tuyến f ( x )  f (2)  x  3x    lim  lim  x  x   9 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ y  9 x  14 Vậy a  9; b  14  a  b   y (2)  lim  Câu Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm y 1  lim  2; x  x x  x  x x   x0 lim f   x0   k   1    x02   x0  2 x0 Với x0   y0  , phương trình tiếp tuyến  1  2;  y   x   x  4y    2 phương trình tiếp tuyến Với x0  2  y0   , phương trình tiếp tuyến  1  2;   y   x   x  4y   2  Câu 2 1  1   x         lim(1  x )  Ta có lim  x 0 x 0 x 1 Hệ số góc k  y    2 Câu x  Phương trình hồnh độ giao điểm: x  3x     x  Trang 19 (1  x)2  (1)2  lim(2  x)  x 0 x 0 x Tại x  : lim Hệ số góc k1  y (1)  (2  x )2  (2)2 Tại x  : lim  lim(4  x)  x 0 x 0 x Hệ số góc k2  y (2)  Câu y  lim  3x  (x)2   k  y (1)  x 0 x x 0 Phương trình tiếp tuyến: y   3( x  1)  y  3x  Câu y 8 x  lim lim x 0   y  lim 12  6x  (x)2  12 x x 0    k  y (2)  12 Phương trình tiếp tuyến: y   12( x  2)  y  12 x  16 Câu Ta có x  1  y  1 y  lim  1  k  y (1)  1 x 0 x x 0 1  x Phương trình tiếp tuyến: y   x  Dạng Ứng dụng đạo hàm vật lý B A D D C 6.D lim C B B 10 A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Bằng định nghĩa tính s (t)  2t  Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t  1,5 (giây) v(1,5)  s (1,5)  2.1,5   1(m / s) Câu   Bằng định nghĩa tính s (t )  18cos  3t   4    Vận tốc tức thời thời điểm t chuyển động v(t )  s (t )  18cos  3t   4  Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v(t)  t3  3t  5t  10 Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: Bằng định nghĩa tính a(t)  3t  6t  Ta có a(t)  3t  6t   3(t 1)2   với t Dấu “=” xảy t  Khi đó, vận tốc chuyển động v 1  13 (m/s) Trang 20 Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v(t)  s (t)  3t  9t   24  t  2(s) Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: Bằng định nghĩa tính a(t)  s (t)  6t   a(2)  21(m / s2 ) Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tỉnh v  S   3t  6t  Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: Bằng định nghĩa tính a  v  S   6t  Gia tốc triệt tiêu S    t  Khi vận tốc chuyển động S (1)  12m / s Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v(t)  s (t)  3t  12t  3(t  2)2  12  12 |Dấu xảy t  Vậy v(t)max  t  Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v  s  ( A sin(t   ))  A(t   ) cos(t   )  A cos(t   ) Câu Bằng định nghĩa tính Q (t)  6t  Cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t  I  Q (2)  6.2   18( A) Câu Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v(t)  s (t)  196  9,8t  v(t)   t  20(s) s(20)  196.20  4,9.202  1960 Câu 10 Vận tốc chuyển động đạo hàm cấp quãng đường: Bằng định nghĩa tính v(t)  (S(t))  8t3  12t  Gia tốc chuyển động đạo hàm cấp hai quãng đường: Bằng định nghĩa tính a(t)  S (t)  24t  12  a(3)  24.32  12  228(m / s2 ) Vậy gia tốc chuyển động thời điểm t   s  228m / s2 Trang 21 ... Trang 10  x4  x2   Câu 18 Nếu hàm số f ( x)   x ? ?1 ax  ax  b  A -1 B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x  ? ?1 có đạo hàm giá trị a+b x  ? ?1 C D -4 C B D D B A C D C 11 B 12 D 13 A 14 D 15 B 16 B 17 ... D x2  | x  1| Khẳng định sau đúng? x ? ?1 A Hàm số f  x  ) liên tục có đạo hàm x = -1 Câu 11 Cho hàm số y  f ( x)  B Hàm số f  x  liên tục x = -1 khơng có đạo hàm x = -1 C Hàm số f  x...  Câu 11 x  | x  1| Hàm số y  f ( x )  có tập xác định D  x ? ?1 {1} x  | x  1| Ta có lim f ( x)  lim  ? ?1  f (? ?1) nên hàm số liên tục x  ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 2 x  x  | x  1|  Ta