Phân thớ tango trên không gian xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỒNG CÔNG PHÂN THỚ TANGO TRÊN KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỒNG CÔNG PHÂN THỚ TANGO TRÊN KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Chuyên ngành : Mã số : Người hướng dẫn : Đại số lí thuyết số 8460104 TS ĐẶNG TUẤN HIỆP Mục lục Mở đầu iii Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xạ ảnh 1.1.1 Đa tạp xạ ảnh 1.1.2 Tôpô Zariski không gian xạ ảnh 1.1.3 Bậc đa tạp xạ ảnh 1.1.4 Ánh xạ đa tạp xạ ảnh 1.2 Các số Stirling 12 1.2.1 Định nghĩa số Stirling loại 12 1.2.2 Đa thức Stirling 14 Chương Cơ sở Lý thuyết giao 17 2.1 Phân thớ véctơ 17 2.1.1 Định nghĩa phân thớ véctơ 17 2.1.2 Phân thớ phân thớ thương 21 2.1.3 Một số ví dụ phân thớ véctơ 21 2.2 Vành Chow .29 2.2.1 Chu trình đại số 29 2.2.2 Vành Chow đa tạp 30 2.3 Các lớp đặc trưng phân thớ véctơ 35 i 2.4 Định lý Hirzebruch-Riemann-Roch .39 Chương Phân thớ Tango 40 3.1 Xây dựng phân thớ Tango 40 3.2 Các lớp Chern phân thớ Tango 45 3.3 Đặc trưng Euler phân thớ Tango 47 Kết luận 52 Chỉ mục 53 Tài liệu tham khảo 55 ii LỜI MỞ ĐẦU Trong nghiên cứu cấu trúc phân thớ véctơ, đặc trưng Euler bất biến tôpô quan trọng Cho E phân thớ véctơ đa tạp X Khi đó, đặc trưng Euler phân thớ E , ký hiệu χ(X, E), định nghĩa tổng đan dấu (−1)i hi (X, E), χ(X, E) = i đó, hi (X, E) số chiều nhóm đối đồng điều thứ i phân thớ véctơ E X Tuy nhiên, việc tính tốn nhóm đối đồng điều phân thớ véctơ, hầu hết trường hợp, phức tạp Do đó, người ta đưa khái niệm lớp đặc trưng phân thớ véctơ đặc trưng Chern, đặc trưng Todd, ., từ đó, việc tính tốn đặc trưng Euler thơng qua lớp đặc trưng trở nên dễ dàng Đặc biệt, phân thớ véctơ không gian xạ ảnh, lớp đặc trưng Chern Todd có cấu trúc đơn giản Các lớp đặc trưng biểu diễn dạng đa thức thông qua lớp siêu phẳng Một phân thớ véctơ gọi khơng phân tích khơng thể phân tích thành tổng trực tiếp hai phân thớ véctơ khác có hạng nhỏ Năm 1976, Hiroshi Tango báo ông [10], đưa ví dụ phân thớ véctơ khơng phân tích có hạng n − khơng gian xạ ảnh Pn , gọi phân thớ Tango Việc tính toán đặc trưng Euler phân thớ véctơ giúp chúng ta, phần đó, hiểu cấu trúc Đồng thời, việc tính tốn khơng gian xạ ảnh giúp có dự đoán ban đầu đặc trưng Euler phân thớ Tango đa tạp Grassmanian, trường hợp tổng quát khơng gian xạ ảnh Do đó, việc nghiên cứu cấu trúc phân thớ Tango không gian xạ iii ảnh có ý nghĩa, lý định chọn đề tài Cấu trúc luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Chỉ mục Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị liên quan đến không gian xạ ảnh đa tạp xạ ảnh Bên cạnh chúng tơi nêu định nghĩa số Stirling loại đưa số tính chất chúng Chương 2: Cơ sở Lý thuyết giao Trong chương này, nêu định nghĩa đưa số ví dụ phân thớ véctơ đa tạp xạ ảnh Các lớp đặc trưng phân thớ véctơ trình bày theo ngơn ngữ Lý thuyết giao thông qua vành Chow đa tạp Cuối chương Định lý HirzebruchRiemann-Roch, kết quan trọng dùng để tính đặc trưng Euler phân thớ véctơ đa tạp xạ ảnh Chương 3: Phân thớ Tango Trong chương này, tập trung nghiên cứu phân thớ Tango không gian xạ ảnh Các kết phân thớ véctơ Chương áp dụng để tính tốn trường hợp phân thớ Tango Kết chương, kết luận văn này, cơng thức tính đặc trưng Euler phân thớ véctơ không gian xạ ảnh Đồng thời, áp dụng kết cho phân thớ Tango Luận văn hoàn thành hướng dẫn thầy giáo TS Đặng Tuấn Hiệp, Trường Đại học Đà Lạt Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê q thầy giáo giảng dạy lớp Cao học Đại số lí thuyết số khóa 19, 20 21 dày cơng giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực luận văn Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, iv điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Ngày 26 tháng năm 2019 Học viên thực Nguyễn Hồng Công v Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa kết bản, mang tính chất chuẩn bị cho lập luận phần sau luận văn Các kết liên quan đến đa tạp xạ ảnh, tính chất bất khả quy đa tạp xạ ảnh không gian xạ ảnh Pn tơpơ Zariski Các kết trình bày chủ yếu dựa theo tài liệu [3], [6] [7] Ngồi chúng tơi giới thiệu định nghĩa, số tính chất số Stirling loại (không dấu) mối liên hệ số với đa thức Stirling Các chi tiết số Striling loại đa thức Stirling tìm thấy [9] 1.1 Khơng gian xạ ảnh Chúng quan tâm đến không gian xạ ảnh trường K bất kì, nhiên chương sau, trường K xét trường số phức C 1.1.1 Đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 1.1.1 (Không gian xạ ảnh) Cho K trường Trên tập Kn+1 \{0}, xét quan hệ tương đương sau x ∼ y y = λx với λ ∈ K \ {0} Khi tập thương (Kn+1 \ {0})/ ∼ gọi không gian xạ ảnh n chiều K, ký hiệu Pn (K), trường K xác định, ta ký hiệu đơn giản Pn Ta xem Kn+1 khơng gian véctơ trường K Khi đó, khơng gian chiều Kn+1 hoàn toàn xác định véctơ khác không Kn+1 Hơn nữa, hai véctơ khác không xác định không gian chúng sai khác bội vơ hướng Do khơng gian xạ ảnh Pn (K) định nghĩa tập tất không gian chiều không gian véctơ Kn+1 Mỗi phần tử Pn gọi điểm không gian xạ ảnh Giả sử p điểm Pn Khi (a0 , a1 , , an ) lớp tương đương p gọi tọa độ (hay tọa độ xạ ảnh) p ký hiệu p = (x0 : x1 : : xn ) Tiếp theo ta xem xét tập nghiệm đa thức không gian xạ ảnh Giả sử f ∈ K[x0 , x1 , , xn ] đa thức Nếu đa thức f triệt tiêu p ∈ Pn f phải triệt tiêu điểm thuộc lớp tương đương p Do đó, khơng gian xạ ảnh, ta xét đa thức Định nghĩa 1.1.2 (Đa thức nhất) Một đa thức f ∈ K[x0 , x1 , , xn ] gọi bậc d đơn thức f có bậc d Mệnh đề 1.1.3 Giả sử f ∈ K[x0 , x1 , , xn ] đa thức bậc d λ ∈ k Khi f (λx0 , λx1 , , λxn ) = λd f (x0 , x1 , , xn ) Điều ngược lại K trường vơ hạn Nói chung, với trường K bất kì, đa thức f f (λx0 , λx1 , , λxn ) − λd f (x0 , x1 , , xn ), xem đa thức vành K[x0 , x1 , , xn , λ], đa thức không Chứng minh Giả sử f ∈ K[x0 , x1 , , xn ] đa thức bậc d Khi f viết dạng d ci xj00 xj11 xjnn , f (x0 , x1 , , xn ) = j0 ,j1 , ,jn =0 ci ∈ K j0 + j1 + · · · + jn = d Với λ ∈ K ta có d ci (λx0 )j0 (λx1 )j1 (λxn )jn f (λx0 , λx1 , , λxn ) = j0 ,j1 , ,jn =0 d ci λj0 +j1 +···+jn xj00 xj11 xjnn = j0 ,j1 , ,jn =0 = λd f (x0 , x1 , , xn ) Nhận xét rằng, f đa thức bậc d (khơng thiết nhất) ta viết f = f0 + f1 + · · · + fd , với fi đa thức bậc i với i = 0, 1, , d Ví dụ, cho đa thức f (x, y) = 2x3 + x2 y − 3x + y − Khi ta viết f = f0 + f1 + f2 + f3 , f0 = −1, f1 = −3x + y , f2 = f3 = 2x3 + x2 y Bổ đề 1.1.4 Cho f ∈ K[x0 , x1 , , xn ] đa thức bậc lớn với hệ số trường đóng đại số K Khi tồn a = (a0 , a1 , , an ) ∈ Kn+1 cho f (a) = vô hạn điểm b = (b0 , b1 , , bn ) ∈ Kn+1 thỏa mãn f (b) = Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo số biến đa thức f Trường hợp n = hiển nhiên K trường đóng đại số Giả sử mệnh đề chứng minh cho đa thức n biến Xét đa thức n + biến f ∈ K[x0 , x1 , , xn ], ta viết dạng f = f0 + f1 x0 + · · · + fd xd0 , fi đa thức theo biến x0 , x1 , , xn Nếu fd = f đa thức n − biến Theo giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh Giả sử fd = Bởi giả thiết quy nạp, tồn vô hạn điểm b = (b1 , b2 , , bn ) ∈ Kn cho fd (b) = Với điểm b vậy, xét đa thức g = f (x0 , b1 , , bn ) ta có g đa thức biến bậc d > Do có vơ hạn điểm b0 ∈ K thỏa mãn = g(b0 ) = f (b0 , b1 , , bn ) Thông qua phân thớ xạ ảnh liên kết ta có ánh xạ f : P(K) −→ Pn × P(H (Pn , E)) −→ P(H (Pn ), E) , (x, [s]) −→ [s] ánh xạ thứ hai phép chiếu lên thành phần thứ hai Với [s] ∈ P(H (Pn , E)), thớ f −1 ([s]) ∼ = {x ∈ Pn : s(x) = 0} đẳng cấu với tập không điểm s Đặt h0 (Pn , E) = N + Khi f ánh xạ từ đa tạp phức (n + N − r) chiều P(K) đến không gian xạ ảnh N chiều P(H (Pn , E)) Suy codim(f (P(K)), P(H (Pn , E))) ≥ r − n Do tồn khơng gian xạ ảnh (r − n − 1) chiều P(V ) P(H (Pn , E)) mà không giao với f (P(K)) Điều có nghĩa nhát cắt s ∈ V ⊆ H (Pn , E) không triệt tiêu Khi dãy ex V ⊗ OPn → H (Pn , E) ⊗ OPn −→ E cho ta phân thớ tầm thường mong muốn, V ⊗ OPn ⊆ E , phân thớ có hạng r − n Hệ 3.1.2 ([8]) Giả sử E phân thớ véctơ hạng r Pn , với r > n Khi tồn dãy khớp → OPn (a)⊕(r−n) −→ E −→ F −→ 0, F phân thớ véctơ hạng n Để tìm nhát cắt giải tích khơng triệt tiêu E , ta cần xét lớp Chern cao Bổ đề 3.1.3 ([8, Lemma 4.3.2]) Nếu lớp Chern cao cr (E) E triệt tiêu E chứa phân thớ tầm thường có hạng 41 Chứng minh Ta giả sử r ≤ n Ta lại xét dãy ev −→ K −→ H (Pn , E) ⊗ OPn −→ E −→ Ta tiếp tục đặt N + = h0 (Pn , E) Ánh xạ f : P(K) −→ P(H (Pn , E)) biến đa tạp phức (N + (n − r)) chiều P(K) thành không gian xạ ảnh N chiều Lấy [s] ∈ P(H (Pn , E)) giá trị quy f Khi f −1 ([s]) đa tạp con, phức, n − r chiều P(K), ký hiệu đa tạp Z Ta có Z = f −1 ([s]) ∼ = {x ∈ Pn : s(x) = 0} đẳng cấu với tập không điểm s Ta xem Z đa tạp Pn Ta có s hồnh quy nhát cắt không điểm E với tập khơng điểm Z , cr (E) đồng với lớp đối ngẫu dPn (Z) Z Bởi giả thiết ta có dPn (Z) = 0, hay deg Z = Điều xảy Z = ∅ Vậy s khơng có không điểm Bây ta xây dựng phân thớ Tango Pn Ta dãy khớp Euler sau ⊕(n+1) −→ OPn (−1) −→ OPn −→ TPn (−1) −→ Lũy thừa cấp n − dãy xác định ⊕(n+1) −→ Λn−2 TPn (−1) ⊗ OPn (−1) −→ OPn n−1 −→ Λn−1 TPn (−1) −→ Hơn nữa, Λn−1 TPn (−1) ∼ = Ω1Pn ⊗ det TPn (−1) ∼ = Ω1Pn (2) Đặt E = ((Λn−2 TPn (−1)) ⊗ OPn (−1))∗ Khi đối ngẫu dãy (3.1) ⊕(n+1) −→ TPn (−2) −→ OPn −→ E −→ Điều chứng tỏ E phân thớ toàn cục với hạng r= n+1 −n= 42 n (3.1) Với n ≥ ta có r ≥ n, tồn dãy khớp ⊕(r−n) −→ OPn −→ E −→ E −→ 0, E phân thớ véctơ hạng n Ta có E phân thớ tồn cục Lớp Chern cao E cn (E ) = cn (E) = Điều chứng tỏ E chứa phân thớ tầm thường có hạng Ký hiệu F phân thớ thương này, dãy −→ OPn −→ E −→ F −→ khớp Do ta tìm phân thớ F có hạng n − Pn với c(F ) = c(E ) = c(E) = − 2h = c(TPn (−2)) (1 − h)n+1 Ta chứng minh E phân thớ đơn, tức h0 (Pn , E ∗ ⊗ E) = Xét dãy ⊕(n+1) −→ TPn (−2) −→ OPn −→ E −→ 0, ⊕(r−n) −→ OPn −→ E −→ E −→ 0, −→ OPn −→ E −→ F −→ (3.2) (3.3) (3.4) Lấy tích tenxơ dãy đối ngẫu (3.4) với F xét dãy đối đồng điều liên kết, ta h0 (Pn , E ∗ ⊗ F ) ≤ h0 (Pn , E ∗ ⊗ F ) Ta phải chứng minh h0 (Pn , E ∗ ⊗ F ) = Lấy tích tenxơ (3.4) (3.3) với E ∗ , ta dãy khớp sau −→ E ∗ −→ E ∗ ⊗ E −→ E ∗ ⊗ F −→ 0, −→ E ∗⊕(r−n) −→ E ∗ ⊗ E −→ E ∗ ⊗ E −→ 43 Và E phân thớ đơn Với ý ΩkPn = Λk Ω1Pn ta có E ∗ = Λn−2 TPn (−1) ⊗ OPn (−1) ∼ = Λ2 Ω1Pn (1) ⊗ det TPn (−1) ⊗ OPn (−1) ∼ = Λ2 Ω1Pn (1) = Ω2Pn (2) Nhắc lại, số chiều nhóm đối đồng điều H q (Pn , ΩkPn (d)) tính Công thức Bott sau hq (Pn , ΩkPn (d)) =   d+n−k    d      1  −d+k    −d      0 d−1 k q = 0, ≤ k ≤ n, d > k ≤ k = q ≤ n −d−1 n−k q = n, ≤ k ≤ n, d < k − n trường hợp cịn lại Do từ Công thức Bott ta suy h0 (Pn , E ∗ ) = h1 (Pn , E ∗ ) = Tiếp theo ta lấy tích tenxơ (3.2) với E ∗ Khi dãy đối đồng điều liên kết cho ta h0 (Pn , E ∗ ⊗ E) = h1 (Pn , E ∗ ⊗ TPn (−2)) Cuối cùng, lấy tích tenxơ dãy Euler với E ∗ (−1) ta −→ E ∗ (−2) −→ E ∗ (−1)⊕(n+1) −→ E ∗ ⊗ TPn (−2) −→ 0, dãy đối đồng điều dãy cho ta kết mong muốn h1 (Pn , E ∗ (−1)) = h2 (Pn , E ∗ (−2)) = Đẳng thức cuối suy từ Cơng thức Bott với thực tế E ∗ (−1) = Ω2Pn (−1), Như ta chứng minh kết sau 44 E ∗ (−2) = Ω2Pn Định lý 3.1.4 ([8, Theorem 4.3.3]) Với số nguyên dương n, tồn phân thớ F bất khả quy, hạng n − không gian xạ ảnh Pn với c(F ) = − 2h (1 − h)n+1 Định nghĩa 3.1.5 (Phân thớ Tango) Phân thớ F Định lý 3.1.4 gọi phân thớ Tango Pn 3.2 Các lớp Chern phân thớ Tango Trong mục ta sử dụng ký hiệu F cho phân thớ Tango không gian xạ ảnh n chiều Pn Mệnh đề 3.2.1 Các lớp Chern phân thớ Tango F Pn xác định n+k k ck (F ) = −2 n+k−1 k−1 hk , k = 1, 2, Chứng minh Bởi Định lý 3.1.4, lớp Chern toàn phần phân thớ F c(F ) = − 2h (1 − h)n+1 (3.5) Ta có = (1 − h)n+1 n+k k h k k≥0 Khai triển (3.5) ta n n+k k h − 2h k c(F ) = k=0 n =1+ k=1 n n k=0 n+k k h −2 k n+k k =1+ k=1 n+k k h k −2 n k=1 n+k−1 k h k−1 n+k−1 k−1 hk Do đó, lớp Chern thứ k phân thớ Tango cho ck (F ) = ck hk , ck = n+k k −2 n+k−1 , với k = 1, 2, k−1 Ta có c0 = ck = với k ≥ n 45 Mệnh đề cho ta đặc trưng Chern phân thớ Tango Mệnh đề 3.2.2 Đặc trưng Chern phân thớ Tango không gian xạ ảnh Pn xác định công thức sau n (−2)k − (−1)k (n + 1) k h k! ch(F ) = (n − 1) + k=1 (3.6) Chứng minh Từ dãy khớp (3.2), (3.3) (3.4) ta có ch(F ) = ch(E ) − ch(OPn ) = ch(E) − (r − n + 1) ch(OPn ) = n+1 − (r − n + 1) ch(OPn ) − ch(TPn (−2)) = (2n − 1) ch(OPn ) − ch(TPn (−2)) Như ta cần tính đặc trưng Chern phân thớ TPn (−2) Xét dãy khớp sau ⊕(n+1) −→ OPn (−2) −→ OPn (−1) −→ TPn (−2) −→ Vì c(OPn (−1)) = − h c(OPn (−2)) = − 2h nên ta suy n ch(OPn (−1)) = k=0 (−h)k , ch(OPn (−2)) = k! n k=0 (−2h)k k! Do đó, từ dãy khớp (3.7) ta có ch(TPn (−2)) = (n + 1) ch(OPn (−1)) − ch(OPn (−2)) n = (n + 1) k=0 Từ suy n ch(F ) = (n − 1) + k=1 (−h)k − k! n k=0 (−2h)k k! (−2)k − (−1)k (n + 1) k h k! 46 (3.7) 3.3 Đặc trưng Euler phân thớ Tango Cho E phân thớ véctơ khơng gian xạ ảnh Pn Khi đặc trưng Euler phân thớ véctơ E tính theo Định lý Hirzebruch-Riemann-Roch sau, χ(Pn , E) = ch(E) td(TPn ), Pn Pn hiểu bậc chu trình Pn định nghĩa sau Định nghĩa 3.3.1 Cho α k -chu trình Pn với k = 0, 1, 2, Khi bậc α định nghĩa số nguyên d cho α tương đương hữu tỷ với d[Lk ], Lk khơng gian tuyến tính k chiều Pn Nhắc lại rằng, đặc trưng Chern lớp Todd biểu thị đa thức theo lớp siêu phẳng h ⊆ Pn Do Pn hệ số hn khai triển biểu thức dấu tích phân Đặc trưng Chern phân thớ E xác định Mệnh đề 2.3.3 Do đó, để tính đặc trưng Euler E ta cần tính lớp Todd phân thớ tiếp xúc không gian xạ ảnh Pn Mệnh đề 3.3.2 Lớp Todd phân thớ tiếp xúc Pn td(TPn ) = h − e−h n+1 Chứng minh Xét dãy khớp Euler Pn −→ OPn −→ OPn (1)⊕(n+1) −→ TPn −→ 0, TPn phân thớ tiếp xúc Pn Lớp Chern toàn phần phân thớ OPn + 0h = Ta có c(OPn (1)) = + h Từ suy c(OPn (1)⊕(n+1) ) = c(OPn (1))n+1 = (1 + h)n+1 Từ tính chất dãy Euler ta suy c(TPn ) = c(OPn (1)⊕(n+1) ) = (1 + h)n+1 c(OPn ) 47 Điều chứng tỏ TPn OPn (1)⊕(n+1) có lớp Chern, chúng có lớp Todd Vì nghiệm Chern phân thớ OPn (1)⊕(n+1) n + lần lớp h siêu phẳng nên ta có n+1 td(TPn ) = td(OPn (1)) h − e−h = n+1 Vậy mệnh đề chứng minh xong Định lý sau cho ta cơng thức tính đặc trưng Euler phân thớ véctơ không gian xạ ảnh Pn Định lý 3.3.3 Cho E phân thớ véctơ không gian xạ ảnh Pn Khi đặc trưng Euler phân thớ E χ(Pn , E) = rank(E) + n!   n n+1  k=1 k+1  det(Mk ) Chứng minh Áp dụng Định lý Hirzebruch-Riemann-Roch cho phân thớ véctơ E Pn ta χ(Pn , E) = Pn k≥0 hn+1 det(Mk ) k! (1 − e−h )n+1 Chú ý rằng, từ Định nghĩa 1.2.10 ta khai triển biểu thức tính td(TPn ) thành đa thức theo biến lớp siêu phẳng h sau hn+1 = (1 − e−h )n+1 ∞ k=0 Sk (n)hk k! Do đó, ta cần tìm hệ số hn khai triển     n  k=0 det(Mk )   k! 48 n k=0 Sk (n)hk  k! Hệ số hn khai triển tích xác định n k=0 det(Mk ) Sn−k (n) = k! (n − k)! n! = n! = = n! n k=0 n! Sn−k (n) det(Mk ) k!(n − k)! n n Sn−k (n) det(Mk ) k k=0 n   n+1  k=0 k+1  det(Mk ) 1 n! det(M0 ) + n! n! = rank(E) + n! n n k=1  n+1  k+1   det(Mk )  n+1  k=0  k+1  det(Mk ) Đẳng thức thứ ba suy từ Mệnh đề 1.2.12, đẳng thức thứ tư suy từ Mệnh đề 1.2.5 (i) Như ta vừa đưa cơng thức để tính đặc trưng Euler phân thớ véctơ không gian xạ ảnh Bây giờ, cách kết hợp công thức kết Mục 3.2, ta tính đặc trưng Euler phân thớ Tango Định lý 3.3.4 Đặc trưng Euler phân thớ Tango F không gian xạ ảnh Pn 2n − Chứng minh Vì hạng phân thớ Tango Pn n − nên từ Định lý 3.3.3 ta suy χ(Pn , F ) = (n − 1) + n! n  n+1  k=1  k+1  det(Mk ) Vì hệ số ma trận Mk lớp Chern phân thớ Tango F không gian xạ ảnh Pn nên từ Mệnh đề 3.2.2 Mệnh đề 2.3.3 ta suy det(Mk ) = (−2)k − (−1)k (n + 1) 49 Đặt Rn (x) = Rn (x) Chú ý Rn (0) = n! Bởi định nghĩa số Stirling loại x ta có n Rn (x) = (x + 1)(x + 2) (x + n) = n n+1  k=1 k+1   xk = (x + 1)(x + 2) (x + n) −   n+1  k=0 Khi đó, từ Mệnh đề 1.2.5 (i) ta suy    k+1  n+1  = (x + 1)(x + 2) (x + n) − n! Chú ý Rn (−2) = Rn (−1) = Do     n n+1  k=1 k+1 n  det(Mk ) = n+1  k=1 k+1  xk n  (−2)k − (n + 1)  n+1  k=1  k+1  (−1)k = Rn (−2) − n! − (n + 1)(Rn (−1) − n!) = n!n Từ suy χ(Pn , F ) = (n − 1) + n!n = 2n − n! Vậy ta có điều phải chứng minh Tiếp theo, ta áp dụng Định lý 3.3.3 để tính đặc trưng Euler phân thớ Tango Pn với vài giá trị n Ví dụ 3.3.5 Ta tính đặc trưng Euler phân thớ Tango P3 Hạng phân thớ Ta có c1 = c2 = c3 = det(M1 ) = det(M2 ) = det(M3 ) = −4 50 Từ suy        4  1 χ(P3 , F ) = + 2   +   −   = + (2.11 + 0.6 − 4.1) = Ví dụ 3.3.6 Ta tính đặc trưng Euler phân thớ Tango P4 Hạng phân thớ Ta có c1 = c2 = c3 = c4 = det(M1 ) = det(M2 ) = −1 det(M3 ) = −3 det(M4 ) = 11 Từ suy          5   5 5 − −   + 11   χ(P4 , F ) = + 3 24 =3+ (3.50 − 35 − 3.10 + 11.1) 24 = 51 Kết luận Luận văn “Phân thớ Tango không gian xạ ảnh” đạt kết sau: Nhắc lại số khái niệm kết liên quan đến không gian xạ ảnh đa tạp xạ ảnh Trình bày khái niệm phân thớ véctơ lớp đặc trưng phân thớ véctơ đa tạp xạ ảnh Đưa công thức tường minh để tính đặc trưng Euler phân thớ véctơ khơng gian xạ ảnh áp dụng để tính đặc trưng Euler phân thớ Tango 52 Chỉ mục ánh xạ định giá, 21, 40 hàm hữu tỷ, 10 Định lý sở Hilbert, hàm Hilbert, đồng cấu, hoành, 32 đặc trưng Chern, 36 hoành tổng quát, 32 đặc trưng Euler, 39 hoành theo chiều, 32 đại số ngoài, 22 iđêan nhất, định lý Hirzebruch-Riemann-Roch, 39 đa tạp bất khả quy, không gian tiếp xúc, đa tạp con, không gian xạ ảnh, đa tạp xạ ảnh, đa thức Hilbert, đa thức Stirling, 16 lớp Chern, 35, 45 lớp Chern toàn phần, 35 lớp Todd, 36, 47 đa thức nhất, ước, 29 mô tả địa phương, 20, 27 bội hình học, 31 nghiệm Chern, 36 nhát cắt, 19 công thức Bott, 44 công thức Newton-Girard, 37 chu trình, 29 nhát cắt khơng điểm, 19 nhát cắt tồn cục, 19 nhóm Chow, 31 chuỗi lũy thừa hình thức, 15 phân thớ đối ngẫu, 23, 27 dạng vi phân, 24 dãy khớp Euler, 29, 42 giao hoành, 32 phân thớ đối tiếp xúc, 24 phân thớ đường thẳng, 18, 25 phân thớ bện, 25 phân thớ con, 21 hàm quy, 11 53 phân thớ kéo về, 25 phân thớ siêu phẳng, 28 phân thớ Tango, 40, 45 phân thớ thương, 21 phân thớ tiếp xúc, 24, 29, 47 phân thớ toàn cục, 21 phân thớ véctơ, 17 phân thớ xạ ảnh, 24 số Stirling loại một, 12 siêu mặt, 28 tích tenxơ, 22 tơpơ Zariski, tọa độ nhất, tọa độ xạ ảnh, 2, 27 tổng Whitney, 22 tương đương hữu tỉ, 30 tương đương hữu tỷ, 47 vành địa phương, 11 vành Chow, 32 vành tọa độ nhất, 54 Tài liệu tham khảo [1] David Eisenbud, Joe Harris; Intersection theory in Algebraic geometry; 2011 [2] William Fulton; Intersection theory; second edition, Springer-Verlag, 1998 [3] Andreas Gathmann; Algebraic Geometry; Notes for a class taught at the University of Kaiserslautern, 2002 [4] Phillip Griffiths, Joseph Harris; Principles of algebraic geometry, Wiley, 1978 [5] Robin Hartshorne; Algebraic geometry; Graduate Texts in Mathematics 52, Springer-Verlag 1997 [6] Robin Hartshorne; Algebraic vector bundles on projective spaces: a problem list; Topology 18 (1979), no 2, 117–128 [7] Dang Tuan Hiep; Intersection Theory with Applications to the Computation of Gromov-Witten Invariants; Ph.D thesis, Technical University of Kaiserslautern, 2014 [8] Christian Okonek, Michael Schneider, Heinz Spindler; Vector bundles on complex projective spaces; With an Appendix by S.I Gelfand, Progress in Mathematics 3, Basel and Boston, Birkhăauser, 1980 [9] Steven Rotman; The umbral calculus; Pure and applied mathematics 111, Academic Press, Inc., 1984 [10] Hiroshi Tango; An example of indecomposable vector bundle of rank n − on Pn ; Journal of Mathematics of Kyoto University 16 (1976), no 1, 137–141 55 ... Euler phân thớ véctơ đa tạp xạ ảnh Chương 3: Phân thớ Tango Trong chương này, tập trung nghiên cứu phân thớ Tango không gian xạ ảnh Các kết phân thớ véctơ Chương áp dụng để tính tốn trường hợp phân. .. chi tiết cách xây dựng phân thớ Tango không gian xạ ảnh Pn theo tài liệu [8] [10] Đồng thời, kết lớp đặc trưng phân thớ véctơ đa tạp xạ ảnh Chương cụ thể hóa cho phân thớ Tango Từ đó, cách áp dụng... tính đặc trưng Euler phân thớ véctơ không gian xạ ảnh áp dụng vào trường hợp cụ thể cho phân thớ Tango 3.1 Xây dựng phân thớ Tango Bổ đề 3.1.1 ([8, Lemma 4.3.1]) Giả sử E phân thớ toàn cục với hạng