Chuyên đề về tính đơn điệu của hàm số chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiếttừng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về tính đơn điệu của hàm số 11, 12 và để ôn thi THPQG.
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chuyên đề TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH MỤC TIÊU 7-8 ĐIỂM Dạng Tìm m để hàm số đơn điệu khoảng xác định Xét hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d – Bước Tập xác định: D = ¡ – Bước Tính đạo hàm y′ = f ′( x) = 3ax + 2bx + c a f ′( x ) = 3a > y′ = f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇒m ? ∆ = b − 12 ac ≤ ′ f ( x ) f ( x ) + Để đồng biến ¡ ⇔ a f ′ ( x ) = 3a < ¡ ⇔ y′ = f ′( x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇒m ? ∆ = b − 12 ac ≤ f ′ ( x ) + Đề f ( x) nghịch biến Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c a > a < f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ × f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ × ∆ ≤ ∆ ≤ • Để • Câu (Đề Tham Khảo Lần 2020)Có giá trị nguyên của tham số m cho hàm số f ( x) = x3 + mx + x + 3 đồng biến ¡ A B C Lời giải Chọn A D Ta có f ′( x) = x + 2mx + Hàm số cho đồng biến ¡ và f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ (Dấu ‘=’ xảy tại hữu hạn điểm) Ta có f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ' ≤ ⇔ ∆ ' = m2 − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ m ∈ { −2; − 1;0;1; 2} Vì m ∈ ¢ nên , vậy có giá trị nguyên của m thỏa mãn Câu (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y = − x3 − mx2 + ( 4m+ 9) x + giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến khoảng A B C , với m là tham số Hỏi có ( −∞; +∞ ) D Lời giải Chọn D Ta có: +) TXĐ: D = ¡ +) y' = −3x2 − 2mx + 4m+ Hàm số nghịch biến Câu ( −∞; +∞ ) y' ≤ 0,∀x∈ ( −∞ ; +∞ ) a = −3 < ⇔ ∆ ' = m + 3( 4m+ 9) ≤ ⇔ m∈ − 9; −3 ⇒ có giá trị nguyên của m thỏa mãn y = − x3 + mx + ( 3m + ) x + Cho hàm số Tìm tất giá trị của m để hàm số nghịch biến ¡ m ≥ −1 m > −1 m ≤ −2 A B −2 ≤ m ≤ −1 C −2 < m < −1 D m < −2 Lời giải Chọn B TXĐ: D = ¡ , y ¢=- x + 2mx + 3m + Hàm số nghịch biến ¡ và y′ ≤ , ∀x ∈ ¡ a = −1 < ⇔ ∆′ = m + 3m + ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ −1 Câu y = x − 3mx + ( 2m − 1) + Tìm m để hàm số đờng biến ¡ A Khơng có giá trị m thỏa mãn B m ≠ C m = D Luôn thỏa mãn với m Lời giải Chọn C y′ = x − 6mx + ( 2m − 1) ∆′ = ( −3m ) − 3.3 ( 2m − 1) Ta có: Để hàm số ln đờng biến ¡ ∆′ ≤ ⇔ 9m − 18m + < ⇔ ( m − 2m + 1) ≤ ⇔ ( m − 1) ≤ ⇔ m = Câu Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số A m ≥ B m < y = x − x + ( m + 1) x + C m < Lời giải đồng biến ¡ D m ≥ Chọn D Tập xác định: D = ¡ y′ = x − x + ( m + 1) Ta có: YCBT ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆′ = −9m ≤ ⇔ m ≥ Câu y = x3 + mx + x − m Tìm tập hợp tất các giá trị của tham số thực m để hàm số đồng biến khoảng [ −2;2] A ( −∞; +∞ ) B ( −∞; ) ( −∞; −2] C Lời giải D [ 2; +∞ ) Chọn A 2 Ta có: y′ = x + 2mx + Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; +∞ ) và y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) ⇔ ∆′ = m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Câu y = x3 – 2mx + ( m + 3) x – + m Giá trị của m để hàm số đồng biến ¡ là 3 − ≤ m ≤1 m≤− − < m ⇔ x > − ⇒ m = không thảo mãn + Với m = ta có m > ⇔ m < m − m > m ≠ ⇔ −3 ≤ m ≤ m ≠ ′ y ≥ ∆′ = m + 3m ≤ ∀ x ∈ ¡ ⇔ −3 ≤ m < + Với ta có với Tổng hợp các trường hợp ta −3 ≤ m ≤ m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { −3; − 2; − 1;0} Vậy có giá trị nguyên của m thỏa mãn bài y = mx + mx + m ( m − 1) x + Câu 11 Tìm tất các giá trị của tham số thực m để hàm số đồng biến ¡ 4 m≤ m≥ và m ≠ B m = A C m≥ D m≤ Lời giải Chọn C TH1: m = ⇒ y = là hàm nên loại m = y′ = 3mx + 2mx + m ( m − 1) TH2: m ≠ Ta có: Hàm số đờng biến ¡ ⇔ f '( x) ≥ ∀x ∈ ¡ ⇔ m≥ m − m ≤ ( ) ∆′ = m − 3m ( m − 1) ≤ ⇔ ⇔m≥ ⇔ m > 3m > m > 2 Câu 12 Có tất giá trị nguyên của tham số m để hàm số biến ¡ A B C Lời giải Chọn D Ta có y′ = mx − 4mx + 3m + y= m x − 2mx + ( 3m + ) x đồng D Với a = ⇔ m = ⇒ y′ = > Vậy hàm số đồng biến ¡ Với a ≠ ⇔ m ≠ Hàm số cho đồng biến ¡ và m>0 a > ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ( 2m ) − m ( 3m + 5) ≤ ∆ ≤ m > m > ⇔ ⇔ ⇔0 ∆′ ≤ Hàm số cho đồng biến ¡ và y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ m = m = m > ⇔ ⇔ m > 9 ( m − 1) − ( m − 1) ≤ 1 ≤ m ≤ ⇔ ≤ m ≤ Câu 14 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018) Số giá trị nguyên của m để hàm số y = (4 − m ) x3 + ( m − 2) x + x + m − ( 1) đồng biến ¡ A B C D Lời giải TH1: − m = ⇔ m = ±2 m = : ( 1) ⇔ y = x + ⇒ hàm số tăng ¡ ⇒ m = (nhận) 1 −∞; ÷ , giảm m = −2 : ( 1) ⇔ y = −4 x + x − là hàm số bậc hai nên tăng khoảng 1 ;+ ∞÷ ⇒ m = −2 (loại) khoảng TH2: − m ≠ y ′ = ( − m ) x + ( m − ) x + ∆′ = ( m − ) − ( − m ) = m − m − hàm số đồng biến ¡ ⇔ y′ ≥ ∀x ∈ ¡ 2 m ∈ ( −2; ) 4 − m > a > ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ [ −1; 2] ⇔ m ∈ [ −1; ) m ∈ ¢ ⇒ m = −1 ; m = ; m = 4m − 4m − ≤ ∆ ≤ Vậy có giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán Câu 15 (Chun Hồng Văn Thụ - Hịa Bình - 2018) Số các giá trị nguyên của tham số m đoạn [ −100;100] để hàm số A 200 y = mx3 + mx + ( m + 1) x − nghịch biến ¡ là: C 100 D 201 Lời giải B 99 Trường hợp 1: m = Ta có: y = x − có y′ = > với x ∈ ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ Do loại m = ∆′ = −2m − 3m = m ( −2m − 3) Trường hợp 2: m ≠ Ta có: y ′ = 3mx + 2mx + m + , Hàm số nghịch biến ¡ và y′ ≤ với x ∈ ¡ m < ⇔ m < m < ⇔ ⇔ ⇔m≤− m − m − ≤ ( ) ′ ∆ ≤ − m − ≥ [ −100;100] nên m ∈ { −2; −3; ; −99; −100} Vì m là số nguyên thuộc đoạn Vậy có 99 giá trị m Câu 16 (Liên trường Nghệ An - 2020) Tổng bình phương của tất các giá trị nguyên của tham số m để hàm số A y = ( 3m − 12 ) x3 + ( m − ) x − x + nghịch biến ¡ là? C D 14 Lời giải B Chọn C Tập xác định: D = ¡ Ta có: y′ = ( m2 − ) x + ( m − ) x − Hàm số nghịch biến ¡ ⇔ y ' ≤ 0∀x ∈ ¡ ( dấu " = " xãy tại hữu hạn x ∈ ¡ ) TH1: m − = ⇔ m = ±2 + Với m = ta có y ' = −1 ≤ ∀x ∈ ¡ nên m = thỏa mãn + Với m = −2 ta có y ' = −24 x − ≤ ⇔ x ≥ − 24 (không thỏa với x ∈ ¡ ) nên loại m = −2 TH2: m − ≠ ⇔ m ≠ ±2 Ta có a = ( m − ) < −2 < m < m∈¢ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ m < → m ∈ { 0;1} ' 0≤m≤2 ∆ = m − + m − ≤ ( ) ( ) V ậy Câu 17 m ∈ { 0;1; 2} ⇒ 02 + 12 + 22 = (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Hỏi có số nguyên m để hàm số y = ( m − 1) x3 + ( m − 1) x − x + A B nghịch biến khoảng C ( −∞ ; +∞ ) D Lời giải Chọn A Ta có y′ = ( m − 1) x + ( m − 1) x − Hàm số cho nghịch biến khoảng ( −∞ ; +∞ ) ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ( m − 1) x + ( m − 1) x − ≤ 0, ∀x ∈ ¡ * Trường hợp 1: m − = ⇔ m = ±1 + Với m = , ta −1 ≤ 0, ∀x ∈ ¡ (luôn đúng), suy m = (nhận) + Với m = −1 , ta −4 x − ≤ ⇔ x ≥ , suy m = −1 (loại) * Trường hợp 2: m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 ∆′ = ( m − 1) + ( m − 1) = m − 2m + + 3m − = 4m − 2m − 2 Ta có Để −1 < m < m − < y′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ m 0, ∀x ∈ D ⇔ a.d − b.c > ⇒ m ? + Để f ( x) nghịch biến D ⇔ y′ = f ′( x) < 0, ∀x ∈ D ⇔ a.d − b.c < ⇒ m ? ★ Lưu ý: Đối với hàm phân thức khơng có dấu " = " xảy tại vị trí y ′ mx − 2m− y= x− m Câu 18 (Mã 105 - 2017) Cho hàm số với m là tham số Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến các khoảng xác định Tìm số phần tử của S B A Vô số C Lời giải D Chọn B y' = − m2 + 2m+ ( x − m) hàm số đồng biến khoảng xác định −1< m< nên có giá trị của m nguyên mx + 4m x + m với m là tham số Gọi S là tập hợp tất các giá trị Câu 19 (Mã 104 - 2017) Cho hàm số nguyên của m để hàm số nghịch biến các khoảng xác định Tìm số phần tử của S y= A B Vô số C Lời giải D Chọn D D = ¡ \ { −m} y′ = ; m − 4m ( x + m) Hàm số nghịch biến các khoảng xác định y′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m − 4m < ⇔ < m < Mà m ∈ ¢ nên có giá trị thỏa mãn Câu 20 y= (THPT Hoa Lư A - 2018) Có tất số nguyên m để hàm số biến khoảng xác định của nó? A B C D Lời giải TXĐ: y′ = ( m + 1) x − x−m đồng D = ¡ \ { m} −m − m + ( x − m) ( −∞; m ) và Để hàm số đồng biến khoảng xác định của ta cần tìm m để y′ ≥ ( m; + ∞ ) và dấu " = " xảy tại hữu hạn điểm các khoảng ĐK: − m − m + > ⇔ −2 < m < Vì m ∈ ¢ nên m = −1, Câu 21 (SGD&ĐT Bắc Giang - 2018) Có giá trị nguyên của tham số m để hàm số x + m2 x + đồng biến khoảng xác định của nó? A B C Lời giải y= TXĐ: D = ¡ \ { −4} y′ = , D − m2 ( x + 4) Để hàm số đồng biến khoảng xác định của − m > ⇔ −2 < m < Do có giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn Câu 22 Câu 23 y= x+ 2−m x +1 (THPT Hà Huy Tập - 2018) Tìm tất giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến các khoảng mà xác định? A m ≤ B m ≤ −3 C m < −3 D m < Lời giải ( ∀x ≠ −1) nên không nghịch biến Với m = hàm số là hàm m −1 y′ = , x + 1) ∀x ≠ −1 ( Ta có Hàm số nghịch biến khoảng của tập xác định và y′ < 0, x ≠ −1 ⇔ m < (SỞ GD&ĐT Yên Bái - 2018) Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến khoảng xác định của m ≤ −2 m < −2 m≥2 A B −2 < m < C m > D −2 ≤ m ≤ y= mx − x−m Lời giải Tập xác định y= Ta có D = ( −∞; m ) U ( m; +∞ ) mx − −m + ⇒ y'= x−m ( x − m) Vì hàm số nghịch biến khoảng xác định của nên m < −2 −m2 + < ⇔ m>2 Câu 24 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Tìm tất các giá trị thực của m để mx − 2 x − m đồng biến khoảng xác định hàm số m < −2 m ≤ −2 m ≥ A B −2 < m < C m > Lời giải y= y′ = Ta có: −m2 + ( 2x − m) , ∀x ≠ D −2 ≤ m ≤ m Hàm số đồng biến khoảng xác định −m + > ⇔ −2 < m < Dạng Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu khoảng cho trước Câu f ( x) = (Đề Tham Khảo Lần 2020) Cho hàm số mx − x − m ( m là tham số thực) Có ( 0; + ∞ ) ? giá trị nguyên của m để hàm số cho đồng biến khoảng A B C D Lời giải Chọn D Tập xác định D = ¡ \ { m} f ′( x) = Đạo hàm −m2 + ( x − m) Hàm số đồng biến ( 0; + ∞ ) và −2 < m < −m + > f ′ ( x ) > ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m ≤ m ≤ m ∉ ( 0; + ∞ ) Do Câu m ∈ ¢ ⇒ m = { −1;0} Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài (Mã 101 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến khoảng [ 4;7 ) A ( −∞ ; − ) B y= x+4 x+m là ( 4;7] C ( 4;7 ) D ( 4; + ∞ ) Lời giải Chọn B D = ¡ \ { - m} Tập xác định: m−4 y′ = x + m) ( Ta có: m − > ⇔ ( −∞ ; − ) ⇔ y′ > , ∀x ∈ ( −∞ ; − ) − m ∉ ( −∞ ; − ) Hàm số cho đồng biến khoảng m > m > ⇔ ⇔ ⇔4