Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số có lời giải chi tiết mức 9-10 điểm

Chuyên đề về tính đơn điệu của hàm số chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiếttừng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về tính đơn điệu của hàm số 11, 12 và để ôn thi THPQG.

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chuyên đề DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH – 10 ĐIỂM Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x)=f[u(x)] biết đồ thị hàm số f’(x) Cách 1: g ( x ) g ′ ( x ) = u′ ( x ) f ′ u ( x )  Bước 1: Tính đạo hàm hàm số , f ′( x) g′ ( x ) Bước 2: Sử dụng đồ thị , lập bảng xét dấu Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 2: g ( x ) g ′ ( x ) = u′ ( x ) f ′ u ( x )  Bước 1: Tính đạo hàm hàm số , g ( x) ⇔ g′( x) ≥ g ( x) ⇔ g′( x) ≤ Bước 2: Hàm số đồng biến ; (Hàm số nghịch biến ) (*) ( *) (dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ) từ kết luận khoảng đồng Bước 3: Giải bất phương trình biến, nghịch biến hàm số Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y = f ( x) Hàm số y = f '( x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (2 − x ) đồng biến khoảng A ( 2; +∞ ) B ( −2;1) ( −∞; −2 ) C Lời giải D ( 1;3) Chọn B Cách 1:  x ∈ (1; 4)  ( 1; ) ( −∞; −1) suy Ta thấy f '( x) < với  x < −1 nên f ( x) nghịch biến g ( x) = f (− x ) đồng biến (−4; −1) ( 1; +∞ ) Khi f (2 − x ) đồng biến biến khoảng (−2;1) ( 3; +∞ ) Cách 2:  x < −1 f ′( x) < ⇔  y = f ′( x) 1 < x < Dựa vào đồ thị hàm số ta có Ta có ( f ( − x) ) ′ = ( − x) ′ f ′( − x) = − f ′( − x) Để hàm số y = f ( − x) đồng biến ( f ( − x) ) ′ > ⇔ f ′( − x) <  − x < −1 x > ⇔ ⇔ 1 < − x <  −2 < x < Câu f ( x) (Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số Hàm số A y = f ( − 2x) ( 3; ) , bảng xét dấu f ′ ( x) sau: đồng biến khoảng đây? B ( 1;3) ( −∞ ; − 3) C Lời giải D ( 4;5 ) Chọn D Ta có y′ = f ′ ( − x ) = −2 f ′ ( − x )  − x = −3 x =  ⇔ 5 − x = −1 ⇔  x = 5 − x =  x = y′ = ⇔ −2 f ′ ( − x ) =  − x < −3 x > 5 − x > x < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ f ′ ( − x ) <  −1 < − x <  < x < f ′ ( − x ) >  −3 < − x < − 3 < x < ; Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên hàm số Câu y = f ( − 2x) đồng biến khoảng ( 4;5 ) (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu f ′( x) sau: Hàm số A y = f ( − 2x) ( 0; ) đồng biến khoảng đây? B ( 2;3) ( −∞ ; − 3) C Lời giải D ( 3; ) Chọn D y′ = −2 f ′ ( − x ) ≥ ⇔ f ′ ( − x ) ≤ Ta có 3 − x ≤ −3 x ≥ ⇔ ⇔  −1 ≤ − x ≤ 1 ≤ x ≤ Vậy chọn Câu A (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f ( x ) có bảng dấu f ′( x) sau: Hàm số y = f (5 − x) nghịch biến khoảng đây? ( 3;5) ( 5; + ∞ ) ( 2;3) ( 0; ) A B C D Lời giải Chọn D Hàm số y = f ( x) có tập xác định ¡ suy hàm số y = f (5 − x ) có tập xác định ¡ Hàm số y = f (5 − x) có y′ = −2 f ′(5 − x), ∀ x ∈ ¡  −3 ≤ − x ≤ −1 3 ≤ x ≤ y′ ≤ ⇔ f ′(5 − x) ≥ ⇔  ⇔ 5 − x ≥ x ≤ Vậy hàm số nghịch biến khoảng Câu (Mã đề 101 - 2019) Cho hàm số f ( x) ( −∞ ; ) ; ( 3;4 ) Do B phương án chọn , bảng xét dấu f '( x) y = f ( − 2x ) Hàm số nghịch biến khoảng đây? ( −2;1) ( 2; ) ( 1; ) A B C Lời giải Chọn A y′ = −2 f ′ ( − x ) sau: D ( 4; + ∞ )  −3 ≤ − 2x ≤ −1 ⇔ y′ ≤ ⇔ −2 f ′ ( − x ) ≤ ⇔ f ′ ( − x ) ≥ 3 − 2x ≥ Hàm số nghịch biến 2 ≤ x ≤ ⇔ x ≤1 Vậy chọn đáp án Câu B (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ′( x) có bảng xét dấu sau: y = f ( x2 + x ) Hàm số nghịch biến khoảng đây? ( −2;1) ( −4; −3) ( 0;1) A B C Lời giải Ta có: Đặt: y = g ( x) = f ( x + x ) ; D ( −2; −1) g ′( x) =  f ( x + x)  ′= ( x + ) f ′( x + x)  x = −1   x = −1  x = −1 −  x + x = − 2( VN ) 2 x + = ⇔ ⇔ ⇔  x = −1 + 2  x + 2x =  f ′( x + x ) = x =1    x + x =   x = −3 g ′( x) = ⇔ ( x + ) f ′( x + x) = (Trong đó: x = −1 − ; x = −1 + nghiệm bội chẵn PT: x + x = ) + Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, suy hàm số Chú ý: Cách xét dấu g ′( x) : Chọn giá trị ( y = f ( x2 + 2x ) nghịch biến khoảng ) x = ∈ −1; −1 + ⇒ x + x = ⇒ g ′(0) = f ′(0) > ( ) ( −2; −1) ( dựa theo bảng xét dấu g ′( x) > ∀x ∈ −1; −1 + hàm f ′( x) ) Suy , sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “ lẻ đổi, chẵn ′ không” suy dấu g ( x) khoảng lại Câu (Chuyên Thái Nguyên -2019) Cho hàm số đồ thị hàm số khoảng đây?    − ; +∞ ÷  A  y = f '( x) Hàm số 3   −∞; ÷ 2 B  y = f ( x) có đạo hàm g ( x ) = f ( x − x2 ) f '( x) ¡ Hình vẽ bên nghịch biến khoảng 1   ; +∞ ÷  C  Lời giải 1   −∞; ÷ 2 D  Phương pháp Hàm số y = g ( x) nghịch biến ( a; b ) ⇔ g ' ( x ) ≤ ∀x ∈ ( a; b ) hữu hạn điểm Cách giải Ta có: g ' ( x ) = ( − 2x ) f ' ( x − x2 ) Hàm số Ta có Câu y = g ( x) nghịch biến g ' ( −1) = f ' ( −2 ) > ⇒ ( a; b ) ⇔ g ' ( x ) ≤ ∀x ∈ ( a; b ) hữu hạn điểm Loại đáp án A, B D (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y = f '( x) có đồ thị hình vẽ y = f ( − x2 ) Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ( 0;1) ( 1; ) A B C Lời giải Chọn B Hàm số y = f ( − x2 ) y ' = −2 x f ' ( − x ) có ( 0; +∞ ) y ' = −2 x f ' ( − x )  x >  x >    1 < − x <   −1 < x < 0 < x <  > ⇔ x < ⇔  x < ⇔    x < −1 2 − x2 <    x < −1   x >    − x >  Do hàm số đồng biến Câu D ( 0;1) (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hàm số f ( x) , đồ thị hàm số y = f ′( x ) hình vẽ Hàm số y = f ( 3− x ) A ( 4;6 ) đồng biến khoảng đây? B ( −1;2 ) ( −∞ ; −1) C Lời giải D ( 2;3) Ta có: y = f ( − x ) ⇒ f ′( − x ) = − f ′( − x ) = ⇔ − ( − x) 3− x f ′ ( − x ) ( x ≠ 3)  f ′( − x ) = f ′( − x ) = ⇔  3− x 3 − x = ( − x)  − x = −1( L )  x = −1  x =  − x = 1( N ) ⇔ ⇔ x =  3− x = 4( N )   x = 3( L) x =  Ta có bảng xét dấu f ′( − x ) : Từ bảng xét dấu ta thây hàm số Câu 10 y = f ( 3− x ) đồng biến khoảng (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hàm số y = f ( x) ( −1;2 ) Hàm số y = f '( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x) = f ( x − 2) Mệnhvđề sai? A Hàm số C Hàm số g ( x) g ( x) nghịch biến nghịch biến ( −∞; −2 ) ( −1;0 ) B Hàm số D Hàm số g ( x) g ( x) đồng biến ( 2; +∞ ) nghịch biến ( 0; ) Lờigiải ChọnA x = x = x =   2 g '( x ) = x f '( x − 2) = ⇔  ⇔  x − = −1 ⇔  x = ±1  f ( x − 2) =  x2 − =  x = ±2  Ta có x > f '( x − 2) > ⇔ x − > ⇔   x < −2 Từ đồ thị f '( x) ta có BBT Từ BBT ta thấy đáp án C sai Câu 11 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số số y = f '( x ) Hỏi hàm số A y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ đồ thị hàm hình bên g ( x) = f ( − 2x) ( −1; +∞ ) B nghịch biến khoảng khoảng sau? ( −∞; −1) C ( Lời giải 1;3) D ( 0;2 ) Chọn B  x = −2 f ' ( x ) = ⇔  x =  x = Ta có Khi g ' ( x ) = −2 f ' ( − x )  x = 3 − x = −2  g ' ( x ) = ⇔ f ' ( − x ) = ⇔ 3 − x = ⇔  x =  3 − x =  x = −   Với Bảng biến thiên: Câu 12 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: A Hàm số ( −2; −1) Xét hàm số y = f ( x2 − 2) nghịch biến khoảng đây? ( 2; +∞ ) ( 0;2 ) B C Lời giải g ( x ) = f ( x2 − 2) g ' ( x) Dựa vào bảng xét dấu Câu 13 ( −1;0 ) g ' ( x ) = x f ' ( x − ) x = x =1 x = x =    ⇔  x − = −1 ⇔  x = ⇔  x = −  x =  x2 − =  x2 = x =   g '( x) = ⇔   x = −2  f ' ( x − ) = Ta có bảng xét dấu Ta có: D : g '( x) ta thấy hàm số (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y = f ( x2 − 2) y = f ( x) nghịch biến khoảng ( 0; ) có bảng xét dấu đạo hàm sau y = f ( − 3x ) Hàm số đồng biến khoảng sau đây? ( 2;3) ( 1; ) ( 0;1) A B C Lời giải Chọn A g ( x ) = f ( − x ) ⇒ g ′ ( x ) = −3 f ′ ( − x ) Đặt g ′ ( x ) ≥ ⇔ f ′ ( − 3x ) ≤ Ta có  − 3x ≤ −3 ⇔ 0 ≤ − 3x ≤ D ( 1;3)  x ≥ ⇔ 1 ≤ x ≤  3 1 2  ; ÷ g ( x) Suy hàm số đồng biến khoảng  3  khoảng 5   ; +∞ ÷ 3  , hàm số đồng biến ( 2;3) Câu 14 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số số y = f ′( x) có đồ thị hình vẽ Đặt y = f ( x) biết hàm số g ( x ) = f ( x + 1) A Hàm số g ( x) đồng biến khoảng ( 3;4 ) B Hàm số g ( x) đồng biến khoảng ( 0;1) C Hàm số g ( x) nghịch biến khoảng ( 2; + ∞ ) D Hàm số g ( x) nghịch biến khoảng ( 4;6 ) f ( x) có đạo hàm f ′( x) hàm Kết luận sau đúng? Lời giải Chọn B g ( x ) = f ( x + 1) Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x + 1) x +1 > x > ⇔ g ′ ( x ) > ⇔ f ′ ( x + 1) > ⇔  ⇔ g ( x) 1 < x + < 0 < x < Hàm số đồng biến 3 < x + < 2 < x < ⇔ g ′ ( x ) < ⇔ f ′ ( x + 1) > ⇔  ⇔ g ( x)  x +1 < x < Hàm số nghịch biến g ( x) ( 0; ) ; ( 4; + ∞ ) nghịch biến khoảng ( 2; ) ; Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) Câu 15 Hàm số (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số sau: g ( x ) = f ( − 2x ) A ( 3; +∞ ) y = f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm đồng biến khoảng sau B ( −∞; −5 ) ( 1; ) C Lời giải D ( 2;7 ) Chọn C Ta có Để g ' ( x ) = −2 x ln f ' ( − x ) g ( x) = f ( − x ) đồng biến g ' ( x ) = −2 x ln f ' ( − x ) ≥ ⇔ f ' ( − x ) ≤ ⇔ −5 ≤ − x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Vậy hàm số đồng biến Câu 16 ( 1;2) (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số số y = f ′( x) hình vẽ Xét hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm g ( x ) = f ( x2 − 2) A Hàm số g ( x) nghịch biến ( 0;2 ) C Hàm số g ( x) nghịch biến ( −1;0 ) Mệnh đề sai? B Hàm số D Hàm số Lời giải g ( x) đồng biến ( 2;+∞ ) g ( x) nghịch biến ( −∞; −2 ) Chọn C Ta có g ′ ( x ) = ( x − ) ′ f ′ ( x − ) = x f ′ ( x − )   x ≤    f ′ ( x − ) ≥ ⇔   x ≥  ′ f x − 2) ≤ g ′ ( x ) ≤ ⇔ x f ′ ( x − ) ≤   ( Hàm số nghịch biến Từ đồ thị hình hàm số y = f ′( x) hình vẽ, ta thấy f ′( x ) ≤ ⇔ x ≤ f ′( x ) ≥ ⇔ x ≥ x ≤   x ≤ x ≤  x ≤ ⇔  x ≥ ⇔ ⇔    x ≤ −2 f ′ x2 − ≥ x −2≥2    x ≥ ⇔ x ≤ −2  + Với ( ) 10 h ( x) = − ⇒   h ( x) ≥ − x∈ ;2 ÷ ( 3) 2  Từ bảng biến thiên suy x = m≤− 1) ( ) 3) ( ( Từ , suy m ∈ ( −2020; 2020 ) m ∈ { −2019; − 2018; ; −2; −1} Kết hợp với m ∈ ¢ , Vậy có tất 2019 giá trị m cần tìm Câu Cho hàm số f ( x) f ′ ( x ) = x2 ( x − 2) ( x2 − 6x + m ) ¡ liên tục có đạo hàm với x Ỵ ¡ [ −2020; 2020] để hàm số g ( x) = f ( 1- x) nghịch biến Có số nguyên m thuộc đoạn khoảng A 2016 ( −∞; −1) ? B 2014 C 2012 Lời giải D 2010 Chọn C Ta có: g′ ( x ) = f ′( 1− x) = − ( 1− x ) ( − x − 1) ( − x ) − ( − x ) + m  = ( x - 1) ( x +1) ( x + x + m - 5) g ( x) ( −∞; −1) Hàm số nghịch biến khoảng ⇔ g ′ ( x ) ≤ 0, ∀x < −1 ( *) , (dấu " = " xảy hữu hạn điểm) ( x − 1) > x + < nên ( *) Û x + x + m - ³ 0, " x 2, ∀x ∈ ( −∞;1) U ( 3; +∞ ) ⇔ f ′ ( x − ) > 0, ∀x ∈ ( −∞;1) U ( 3; +∞ ) f ′ x * > 0, ∀x* ∈ ( −∞; −1) U ( 1; +∞ ) Đặt x* = x − suy ra: ( ) f x −∞; −1) , ( 1; +∞ ) Vậy: Hàm số ( ) đồng biến khoảng ( Câu 16 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm hàm số có đồ thị hình vẽ bên Hàm số A ( −3; −1) , ( 1;3) Chọn B Hàm số B y = f ′ ( x + 2) − f ( x) ( −1;1) , ( 3;5 ) có đồ thị ( C) f ′( x) y = f ′ ( x + 2) − ¡ Biết hàm số nghịch biến khoảng nào? −∞; −2 ) , ( 0; ) C ( Lời giải D ( −5; −3) , ( −1;1) sau: C Dựa vào đồ thị ( ) ta có: f ′ ( x + ) − < −2, ∀x ∈ ( −3; −1) U ( 1;3 ) ⇔ f ′ ( x + ) < 0, ∀x ∈ ( −3; −1) U ( 1;3 ) f ′ x * < 0, ∀x* ∈ ( −1;1) U ( 3;5 ) Đặt x* = x + suy ra: ( ) f x −1;1) , ( 3;5 ) Vậy: Hàm số ( ) đồng biến khoảng ( 45 Câu 17 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm hàm số có đồ thị hình vẽ bên Hàm số A ( −∞; ) Chọn B Hàm số B y = f ′ ( x − 2) + f ( x) y = f ′ ( x − 2) + ¡ Biết hàm số nghịch biến khoảng nào? 3 5  2;2÷  C  Lời giải ( −1;1) có đồ thị f ′( x) ( C) D ( 2; +∞ ) sau: f ′ x − ) + < 2, ∀x ∈ ( 1;3) ⇔ f ′ ( x − ) < 0, ∀x ∈ ( 1;3) ta có: ( f ′ x * < 0, ∀x* ∈ ( −1;1) Đặt x* = x − ( ) Dựa vào đồ thị Vậy: Hàm số Cách khác: ( C) f ( x) nghịch biến khoảng ( −1;1) C Tịnh tiến sang trái hai đơn vị xuống đơn vị từ đồ thị ( ) thành đồ thị hàm y = f ′( x) f ′ x < 0, ∀x ∈ ( −1;1) Khi đó: ( ) f x −1;1) Vậy: Hàm số ( ) nghịch biến khoảng ( f ′( x) Phân tích: Cho biết đồ thị hàm số sau tịnh tiến dựa vào để xét đồng biến hàm số Câu 18 Cho hàm f ( x) số y = f ( x) f ( x ) f ′′′ ( x ) = x ( x − 1) h ( x ) = g ( x2 − x ) A ( −∞;1) ( x + 4) có đạo hàm với x ∈ ¡ cấp liên tục ¡ thỏa mãn g ( x ) =  f ′ ( x )  − f ( x ) f ′′ ( x ) Hàm số đồng biến khoảng đây? ( 2; +∞ ) ( 0;1) B C Lời giải D ( 1; ) Chọn D Ta có g ′ ( x ) = f ′′ ( x ) f ′ ( x ) − f ′ ( x ) f ′′ ( x ) − f ( x ) f ′′′ ( x ) = −2 f ( x ) f ′′′ ( x ) ; 46 h ( x ) ) ′ = ( 2x − 2) g ′ ( x ( Khi − x ) = −2 ( x − ) ( x − x ) ( x − x − 1) (x − 2x + 4) x =0 x = h′ ( x ) = ⇔  x =   x = ± Ta có bảng xét dấu Suy hàm số h′ ( x ) h ( x ) = g ( x2 − x ) đồng biến khoảng ( 1; ) y = g ( x) = f ' ( x + 3) + Câu 19 Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ Hàm số có đồ thị I ( 2; −1) A ( 1; ) parabol với tọa độ đỉnh qua điểm Hỏi hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng đây? ( 5;9 ) ( 1; ) ( −∞;9 ) ( 1;3) A B C D Lời giải Chọn A g ( x ) = f ' ( x + 3) + Xét hàm số có đồ thị Parabol nên có phương trình dạng: y = g ( x) = ax + bx + c ( P) Vì ( P) có đỉnh I ( 2; −1) ( P) nên  −b  −b = 4a  4a + b =  =2 ⇔ ⇔  2a  g ( ) = −1  4a + 2b + c = −1  4a + 2b + c = −1  g ( 1) = ⇔ a + b + c = nên  4a + b = a =    4a + 2b + c = −1 ⇔ b = −12 a + b + c = c = 11 g ( x ) = x − 12 x + 11   Ta có hệ phương trình nên y = g ( x ) Đồ thị hàm qua điểm A ( 1; ) Theo đồ thị ta thấy f '(2 x + 3) ≤ ⇔ f '(2 x + 3) + ≤ ⇔ ≤ x ≤ 47 Đặt t = 2x + ⇔ x = t −3 t −3 f '(t ) ≤ ⇔ ≤ ≤3⇔5≤t ≤9 ( 5;9 ) Vậy y = f ( x ) nghịch biến khoảng Câu 20 Cho hàm số Hàm số A y = f ( x) , hàm số g ( x) = f ( f ′ ( x ) ) ( 1; +∞ ) f ′ ( x ) = x3 + ax + bx + c ( a, b, c ∈ ¡ ) có đồ thị hình vẽ nghịch biến khoảng đây? B ( −∞; −2 ) ( −1;0 ) C Lời giải  3 ;  − ÷ 3 ÷   D Chọn B ( −1;0 ) , ( 0; ) , ( 1;0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nên ta có hệ: Vì điểm −1 + a − b + c =  a =   ⇔ b = −1 ⇒ f ′ ( x ) = x − x ⇒ f '' ( x ) = 3x − c = 1 + a + b + c = c =   Ta có: g ( x ) = f ( f ′ ( x ) ) ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( f ′ ( x ) ) f '' ( x )  x3 − x =  x − x =1 g ′ ( x ) = ⇔ g ′ ( x ) = f ′ ( f ' ( x ) ) f ′′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x − x ) ( 3x − 1) = ⇔  x − x = −1  3 x − = Xét   x = ±1  x =  ⇔  x = x1 ( x1 ≈ 1,325 )  x = x2 ( x2 ≈ −1,325)    x = ± Bảng biến thiên 48 Dựa vào bảng biến thiên ta có Câu 21 Cho hàm số y = f ( x) g ( x) nghịch biến có đạo hàm tham số m thuộc đoạn [ −10; 20] ( −∞; −2 ) f ' ( x ) = x + x − 3, ∀x ∈ ¡ để hàm số Có giá trị nguyên g ( x ) = f ( x + 3x − m ) + m + đồng biến ( 0; ) ? A 16 B 17 C 18 Lời giải D 19 Chọn C  t ≤ −3 f ' ( t ) = t + 2t − ≥ ⇔  ( *) t ≥  Ta có Có g ' ( x ) = ( x + 3) f ' ( x + x − m ) Vì x + > 0, ∀x ∈ ( 0; ) nên g ( x) ⇔ f ' ( x + 3x − m ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) đồng biến ( 0; ) ⇔ g ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; )  x + x − m ≤ −3, ∀x ∈ ( 0; )  x + x ≤ m − 3, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ ⇔  x + x − m ≥ 1, ∀x ∈ ( 0; )  x + x ≥ m + 1, ∀x ∈ ( 0; ) (**)  m − ≥ 10  m ≥ 13 ⇔  h ( x ) = x + 3x ( 0; ) nên từ (**) ⇒  m + ≤  m ≤ −1 Có ln đồng biến m ∈ [ −10; 20] ⇒  m∈¢   Vì Có 18 giá trị tham số m Vậy có 18 giá trị tham số m cần tìm Câu 22 Cho hàm số y = f ( x) y = f '( x) có đạo hàm liên tục ¡ đồ thị hàm số hình vẽ 49 Đặt g ( x) = f ( x − m) − ( x − m − 1) + 2019 với m tham số thực Gọi S tập giá trị y = g ( x) ( 5;6 ) Tổng phần tử S nguyên dương m để hàm số đồng biến khoản bằng: A B 11 C 14 D 20 Lời giải Chọn C g ' ( x ) = f ' ( x − m ) − ( x − m − 1) Ta có h ( x ) = f ' ( x ) − ( x − 1) y = f '( x) Đặt Từ đồ thị đồ thị y = x − hình vẽ ta suy  −1 ≤ x ≤ h ( x) ≥ ⇔  x ≥  −1 ≤ x − m ≤  m − ≤ x ≤ m + g '( x) = h ( x − m) ≥ ⇔  ⇔ x − m ≥ x ≥ m + Ta có y = g ( x) ( m − 1; m + 1) ( m + 3; +∞ ) Do hàm số đồng biến khoảng  m − ≤ 5 ≤ m ≤  ⇔  m + ≥ ⇔  m ≤  m + ≤ y = g ( x) 5;6 ) ( Do vậy, hàm số đồng biến khoảng m ∈ { 1; 2;5;6} S = { 1; 2;5;6} Do m nguyên dương nên , tức Tổng phần tử S 14 Câu 23 Cho hàm số y = f ( x) hàm đa thức có đồ thị hàm số y = f ′( x) hình vẽ 50 Có giá trị ngun tham số m , m ∈ Z , − 2020 < m < 2020 để hàm số   g ( x ) = f ( x ) + mx  x + x − ÷   đồng biến khoảng ( −3;0 ) A 2021 B 2020 C 2019 Lời giải D 2022 Chọn B Ta có g ′ ( x ) = xf ′ ( x ) + 4mx ( x + x − 3) Hàm số  xf ′ ( x g ( x) đồng biến khoảng ) + 4mx ( x ( −3;0 ) + x − 3) ≥ 0, ∀x ∈ ( −3;0 ) ⇔ f ′ ( x ⇔ f ′ ( x ) ≤ 2m ( − x − x + 3) , ∀x ∈ ( −3;0 ) ⇔ m ≥ ⇔ m ≥ max ( −3;0) f ′ ( x2 ) ( − x − x + 3) ) − 2m ( − x f ′ ( x2 ) − x + 3) ≤ 0, ∀x ∈ ( −3; ) ( − x − x + 3) , ∀x ∈ ( −3;0 ) −3 < x < ⇒ < x < ⇒ f ′ ( x ) ≤ −  Ta có g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −3;0 ) suy dấu “ = ” x = ⇔ x = −1 − x − x + = − ( x + 1) + ⇒ < − x − x + ≤ 4, ∀x ∈ ( −3;0 )  1 ≥ , − x − x + dấu “ = ” x = −1 f ′ ( x2 ) −3 −3 ≤ = 2 ( − x − x + 3) 2.4 ∀x ∈ ( −3;0 ) Suy , , dấu “ = ” x = −1 f ′ ( x2 ) ⇒ max =− − 3;0 ( ) ( x + x + 3) m≥− , mà m ∈ ¢ , −2020 < m < 2020 nên có 2020 giá trị tham số m thỏa mãn Vậy toán ⇔ Câu 24 Cho hàm số f ( x) Hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình sau 51 Có tất giá trị nguyên dương tham số m đề hàm số g ( x) = f ( x − m) + x − 2mx + 2020 đồng biến khoảng (1;2) A B C D Lời giải Chọn A Ta có g ' ( x) = f ' ( x − m) + x − 2m g ' ( x ) ≥ ⇔ f ' ( x − m) ≥ − Đặt t = x − m Vẽ đường thẳng x−m (*) (*) ⇔ f ' (t ) ≥ − y=− t x hệ trục Oxy với đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ sau f ' (t ) ≥ − − ≤ t ≤ m − ≤ x ≤ m t ⇔ ⇔ t ≥ x ≥ m + Từ đồ thị ta có Hàm số g (x) đồng biến khoảng (1;2) ⇔ g ' ( x) ≥ ∀x ∈ (1;2 ) m − ≤ < ≤ m ⇔ ⇔ m + ≤ 2 ≤ m ≤  m ≤ −3  Vì m nguyên dương nên m ∈ { 2;3} Vậy có hai giá trị nguyên dương m đề hàm số g (x) đồng biến khoảng (1;2) Câu 25 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) ; ∀x ∈ ¡ Có số nguyên 2− x  g ( x) = f  − m÷  1+ x  đồng biến ( 2; + ∞ ) m < 2020 để hàm số A 2018 B 2019 C 2020 D 2021 Lời giải Chọn B 52 g′( x ) = − Ta có: Hàm số g ( x)  2− x  f ′ − m÷  1+ x  ( x + 1) đồng biến ( 2; + ∞ ) ⇔ g ′ ( x ) ≥ 0; ∀x ∈ ( 2; + ∞ ) 2− x  ⇔− f ′ − m ÷ ≥ 0; ∀x ∈ ( 2; + ∞ ) ( x + 1)  + x   2− x  f ′ − m ÷ ≤ 0; ∀x ∈ ( 2; + ∞ )  1+ x  ⇔  x ≤ −1 f ′ ( x ) ≤ ⇔ ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) ≤ ⇔ 1 ≤ x ≤ Ta có: 2 − x  + x − m ≤ −1; ∀x ∈ ( 2; + ∞ )  2− x   1 ≤ − x − m ≤ 4; ∀x ∈ ( 2; + ∞ ) f ′ − m ÷ ≤ 0; ∀x ∈ ( 2; + ∞ )  ⇔  + x Do đó:  + x Hàm số h( x) = ( 1) ( 2) 2− x − m x ∈ 2; + ∞ ( ) có bảng biến thiên: 1+ x ; Căn bảng biến thiên suy ra: Điều kiện ( 2) khơng có nghiệm m thỏa mãn ( 1) ⇔ −m ≤ −1 ⇔ m ≥ ,kết hợp điều kiện m < 2020 suy có 2019 giá trị m Điều kiện thỏa mãn yêu cầu toán Nhận xét: Có thể mở rộng tốn nêu sau: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) ; ∀x ∈ ¡ Có số nguyên  2− x  g ( x) = f  + h ( m) ÷  1+ x  đồng biến ( 2; + ∞ ) m < 2020 để hàm số Câu 26 Cho hàm số đoạn A 2018 y = f ( x) có đạo hàm [ −2019; 2019] để hàm số B 2019 f ' ( x ) = ( x + 1) e x , có giá trị nguyên tham số m y = g ( x ) = f ( ln x ) − mx + mx − C 2020 Lời giải nghịch biến D 2021 ( 1;e ) Chọn B ( 1;e ) Trên Để hàm số g ' ( x ) = f ' ( ln x ) − 2mx + m = ln x + − ( x − 1) m x ta có y = g ( x) ( 1;e ) nghịch biến g ' ( x ) = ln x + − ( x − 1) m ≤ 0, ∀x ∈ ( 1; e ) 53 ⇔ ln x + − ( x − 1) m ≤ 0, ∀x ∈ ( 1; e ) ⇔ ln x + ≤ m, ∀x ∈ ( 1; e ) 2x − 1 − ln x h '( x) = x < 0, ∀x ∈ ( 1; e ) ( x − 1) − ln x + 2 x − ( 1;e ) , ta có Xét hàm số m ≥ Vậy có 2019 giá trị nguyên m thỏa toán h( x) = , từ suy 54 ... x ≤ Vậy hàm số đồng biến Câu 16 ( 1;2) (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số số y = f ′( x) hình vẽ Xét hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm g ( x ) = f ( x2 − 2) A Hàm số g ( x)... Hàm số ( ) đồng biến khoảng ( Câu 16 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm hàm số có đồ thị hình vẽ bên Hàm số A ( −3; −1) , ( 1;3) Chọn B Hàm số B y = f ′ ( x + 2) − f ( x) ( −1;1) , ( 3;5 ) có. .. thỏa mãn Vậy có 2016 số nguyên m < 2019 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 15 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm hàm số có đồ thị hình vẽ bên Hàm số f ( x) f ′( x) y = f ′ ( x − 2) + ¡ Biết hàm số đồng biến