Thuyết tương đối của EINSTEIN dưới hình thức luận của đại số tenxơ

Lời cảm ơn. Đầu tiên cho em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa và các thầy cô trong khoa giúp đỡ em trong những năm học tại Khoa Vật lý và tạo điều kiện cho em đợc làm luận văn tốt nghiệp. Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Võ Thanh Cơng, ngời trực tiếp hớng dẫn, đã hết lòng quan tâm, tận tình chỉ bảo để luận văn đợc hoàn thành chất lợng tốt và đúng thời hạn. Em cũng xin chân thành cảm ơn hai thầy giáo Nguyễn Viết Lan và Nguyễn Văn Phú và các Thầy cô trong tổ đại cơng đã có những ý kiến đóng góp quý báu cho luận văn. Do bản thân đang là sinh viên, lại là lần đầu thực hiện một đề tài nghiên cứu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Em mong tiếp tục nhận đ- ợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và đông đảo các bạn sinh viên. Vinh,tháng 5 năm 2003 Nguyễn Thị Diệu 1 Mở đầu Thuyết tơng đối ra đời vào những năm đầu thế kỷ 20 đã đóng góp vai trò rất quan trọng trong việc giải thích rất nhiều hiện tợng mà cơ học Newton và thuyết điện từ Maxwell không thể giải thích đợc. Với thuyết tơng đối ta có thể hiểu sâu sắc các hiện tợng vật lý nh: Vì sao sóng điện từ lan truyền mà không cần môi trờng đàn hồi, giải thích về sự lan truyền của ánh sáng trong nớc (thí nghiệm Fizeau), hiện tợng tinh sai trong thiên văn học vv . Chỉ có thuyết tơng đối của Einstein mới chứng minh sự không tồn tại của ete vũ trụ một vấn đề đã làm mất rất nhiều thời gian của các nhà bác học những năm cuối thế kỷ 19. Thuyết tơng đối ra đời không những có ý nghĩa to lớn về mặt vật lý học mà còn có đóng góp nhiều khái niệm mới cho toán học nh: không gian cong, tôpô, đạo hàm hiệp biến . Các khái niệm sự trễ lại của thời gian, sự co của không gian trong các hệ quy chiếu khác nhau của thuyết tơng đối hoàn toàn mới lạ với cơ học Newton, là môn học đã khẳng định không gian là đẳng hớng và thời gian là đồng nhất, nhng thuyết tơng đối Einstein vẫn là lợng kiến thức không thể thiếu đợc đối với giáo viên vật lý phổ thông. Thuyết tơng đối giúp cho ngời giáo viên hiểu một cách sâu sắc bản chất hiện tợng vật lý trên nhiều góc cạnh khác nhau để truyền thụ kiến thức cho học sinh. Vì vậy nghiên cứu thuyết tơng đối là rất cần thiết không chỉ đối với ngời nghiên cứu khoa học mà con đối với cả giáo viên phổ thông. Đó là lý do tại sao tôi chọn đề tài này. Trong luận văn mục đích nghiên cứu chính bao gồm các vấn đề sau: Các mâu thuẫn trong cơ học Newton và thuyết điện từ Maxwell dẫn đến sự ra đời thuyết tơng đối của Einstein 2 Tổng quan lại một cách có hệ thống những nội dung chính của thuyết tơng đối hẹp của Einstein và các hệ quả của nó nh: - Phép biến đổi Lorentz - Công thức cộng vận tốc Einstein - Sự co của không gian, sự trễ của thời gian trong hệ quy chiếu chuyển động. - Nghịch lí hai anh em sinh đôi. Mở rộng thuyết tơng đối hẹp của Einstein dới hình thức luận của đại số tenxơ : - Tóm tắt một số vấn đề cơ bản về đại số tenxơ nh metric tenxơ, véc tơ hiệp biến, véc tơ phản biến . - Phép biến đổi Lorentz dới dạng phơng trình tenxơ mà trong đó các trờng hợp đã học ở đại học là những trờng hợp đặc biệt của phép biến đổi trên. Đa ra khái niệm lực 4-chiều, các lực Newton và lực điện từ là các trừơng hợp riêng của lực trên. Với khái niệm lực 4-chiều nghiên cứu các phơng trình của Maxell theo quan điểm của thuyết tơng đối. Luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, phần nội dung chính đợc chia ra làm hai chơng: Chơng I: Thuyết tơng đối hẹp Chơng II: Thuyết tơng đối dới hình thức luận của đại số tenxơ. 3 ChơngI thuyết tơng đối hẹp 1.1. Sự ra đời của thuyết tơng đối hẹp. Vật lý học vào thời kỳ trớc khi thuyết tơng đối ra đời đã đạt đợc nhiều thành tựu to lớn. Đặc biệt là môn cơ học Newton và thuyết điện từ của Maxwell. Cùng với những thành tựu đã đạt đợc Vật lý học cũng gặp phải những mâu thuẫn trong các lý thuyết khi tiến hành giải thích hiện tợng tinh sai, thí nghiệm Fizeau, thí nghiệm Michelson-Moriley. Để giải quyết các mâu thuẫn trong đó thì phải cần tới sự ra đời của một thuyết mới. Cơ học Newton khẳng định rằng khi nói tới đứng yên (hay chuyển động) bao giờ cũng phải gắn với một vật nào đó gọi là vật quy chiếu hay hệ quy chiếu. Ví dụ nh nếu ta lấy ôtô chuyển động làm hệ quy chiếu thì hành khách trong xe ở trạng thái đứng yên, nh- ng nếu lấy bến xe làm hệ quy chiếu thì ngời hành khách đó lại đang trong trạng thái chuyển động. Từ kết luận này suy ra chuyển động của một vật bao giờ cũng phải đợc mô tả trong một hệ quy chiếu xác định. Đối với các hệ quy chiếu khác nhau thì chuyển động sẽ diễn ra khác nhau. Chẳng hạn 1 hành khách ngồi trên ôtô đang chuyển động đều trên một quảng đ- ờng thẳng thì đối với một ngời đứng yên trên đờng quỹ đạo chuyển động của hành khách đó là một đoạn đờng thẳng, trên đó hành khách chuyển động không có gia tốc. Nhng cũng là chiếc xe đó, nh- ng đối với 1 ngời đang đi trên 1 đoạn đờng vòng thì quỹ đạo của hành khách lúc này lại là 1 đoạn đờng cong và chuyển động của hành khách đó là có gia tốc. Nếu xét chuyển động của hành khách ngồi trên ôtô đối với một ngời thứ ba đang đi xe đạp, xe đạp chuyển động thẳng đều đối với ngời thứ nhất đứng trên đờng, khi đó chuyển động của hành khách trên ôtô so với ngời thứ 3 đang đi xe đạp thì 4 quỹ đạo chuyển động vẫn là đoạn thẳng và chuyển động của hành khách vẫn là chuyển động không có gia tốc. Theo ngôn ngữ của cơ học thì ở đây ta đã xét chuyển động của một vật đối với 3 hệ quy chiếu khác nhau. Đối với hệ quy chiếu thứ nhất và thứ ba chuyển động của vật vẫn là chuyển động thẳng đều, nghĩa là quy luật chuyển động đối với 2 hệ quy chiếu đó là nh nhau. Hai hệ quy chiếu này đợc gọi là 2 hệ quy chiếu quán tính. Các hệ quy chiếu quán tính thì chuyển động thẳng đều đối với nhau. Quy luật chuyển động của các vật diễn ra nh nhau trong hệ quy chiếu quán tính. Từ sự nghiên cứu, khảo sát chuyển động cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính, Galile đã đa ra giả thuyết có tên gọi là Nguyên lý tơng đối Galile: Các hiện tợng cơ học diễn ra nh nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Nguyên lý tơng đối của Galilê đã khẳng định rằng không thể tiến hành các thí nghiệm cơ học trong một hệ quy chiếu nào đó để tìm hiểu xem hệ quy chiếu đó chuyển động hay không. Galilê khi khảo sát chuyển động của 1 vật trong 2 hệ quy chiếu quán tính K và K. Trong đó K đợc coi là đứng yên còn K chuyển động thẳng đều đối với K (K chuyển động dọc theo trục x và x'). Hình 1 Khi t = t' = 0 thì 0 0' . Gọi v là vận tốc chuyển K K động của hệ K' Galilê đã đa ra các công thức biến đổi có tên gọi công thức biến đổi Galilê: O O x x Hình 1 x= x +v t x = x - v t y = y y = y 5 z = z z = z t = t t = t và công thức cộng vận tốc vuu += ' u và ' u là vận tốc của vật trong hệ K và K. Công thức này chứng tỏ vận tốc của một chất điểm chuyển động là một đại lợng tơng đối, nghĩa là đại lợng phụ thuộc hệ quy chiếu Ta thấy: ' uu = Đạo hàm theo thời gian của vận tốc là gia tốc. Phép biến đổi Galile có 2 đại lợng bất biến là gia tốc và khoảng cách giữa 2 điểm cùng với đại lợng bất biến là khối lợng. Đến giữa thế kỷ XIX thuyết trờng điện từ của Maxwell ra đời đã tiên đoán rằng trờng điện từ cũng lan truyền trong không gian dới dạng sóng gọi là là sóng điện từ. Tiên đoán này đã đợc Hetz chứng minh bằng thực nghiệm dẫn đến sự thắng lợi hoàn toàn của lý thuyết sóng điện từ. Dựa vào lý thuyết của mình Maxwell đã tính ra vận tốc truyền sóng điện từ, nó có giá trị bằng giá trị của vận tốc ánh sáng thu đợc bằng thực nghiệm. Từ kết quả đó Maxwell đa ra giả thuyết rằng ánh sáng cũng là sóng điện từ. Lý thuyết điện từ không phải là lý thuyết cơ học, nó vợt ra ngoài phạm vi cơ học. Nhng vào thời kỳ bấy giờ những quan điểm cơ học Newton còn đang giữ địa vị độc tôn. Vì vậy ngời ta đã cố giải thích lý thuyết Maxwell và cả những lý thuyết vật lý khác theo quan điểm cơ học. Điều đó đã dẫn đến sự xuất hiện của các môi trờng mới (thuật ngữ mới) đó là: ete ánh sáng (Môi trờng đàn hồi để truyền ánh sáng), ete điện từ (Môi trờng đàn hồi để truyền sóng điện từ ) Và khi coi ánh sáng là sóng điện từ thì ete ánh sáng và ete điện từ đợc coi là đồng nhất và có tên gọi là ete vũ trụ. 6 Theo tính toán thì ete vũ trụ có những tính chất khó hiểu, ví dụ nh môi trờng đó phải là môi trờng trong suốt, thấm vào mọi vật nhng lại phải có khối lợng rất lớn. Sau đây, ta đi tìm hiểu các tính chất đặc biệt của ete vũ trụ để xem môi trờng đó có tồn tại thực sự hay không? ta tiến hành nghiên cứu các thí nghiệm. 1.1.1. Thí nghiệm Fizeau: Thí nghiệm đo vận tốc của ánh sáng trong dòng nớc: Sơ đồ thí nghiệm: Hình 2 Tia sáng đơn sắc SA xuất phát từ nguồn S tới gặp 1 gơng phản xạ bán phần tại A. Tại đó SA tách thành 2 tía kết hợp truyền theo 2 đờng ABCDAG và ADCBAG (tại B, C, D, có các gơng phản xạ) rồi cùng đi tới giao thoa H.2 kế tại G. Trên đờng đi mỗi tia sáng phải truyền 2 lần qua nớc đang chuyển động với vận tốc v trong 1 ống uốn gấp khúc, một tia truyền theo chiều của v , một tia truyền theo chiều ngợc lại. Do đó thời gian truyền của 2 tia chênh lệch nhau và tại G có hiện tợng giao thoa ánh sáng. Biết hình ảnh giao thoa tại G có thể tính ra hiệu thời gian t của 2 tia. Biết t có thể tính ra vận tốc truyền ánh sáng ( theo chiều xuôi và ngợc so với chuyển động của nớc). Nếu gọi vận tốc của ánh sáng trong chân không là c, chiết suất của nớc là n thì vận tốc của ánh sáng trong nớc đứng yên là n c 7 D C v v S A G B Theo công thức cộng vận tốc cổ điển thì vận tốc tia sáng trong dòng nớc sẽ là: n c v tuỳ theo tia sáng đi cùng chiều hay ngợc chiều dòng n- ớc. Nhng kết quả thí nghiệm Fizeau lại đa ra rằng, vận tốc của ánh sáng trong dòng nớc là: u = n c v( 1- 2 1 n ) (1.1.1) Kết quả này đợc giải thích rằng ete đã bị nớc kéo theo một phần cùng với nó: Một vật chuyển động trong ete vũ trụ kéo theo ete một phần. 1.1.2. Hiện tợng tinh sai: Giả sử có một ngôi sao ở đỉnh đầu, khi muốn quan sát ngôi sao đó, ngời ta không hớng ống kính thiên văn vuông góc với mặt đất mà hớng kính lệch đi 1 góc so với phơng nằm ngang (hình 3) Góc đợc xác định bằng điều kiện tg = = c/. Hiện tợng này đợc giải thích bằng thuyết ete đứng yên: Trong ete đứng yên ánh sáng truyền từ S đến A với vận tốc bằng c và bắt đầu đi vào vật kính, sau đó truyền theo AB' trong thời gian t: AB' = c t S Khi đó thì kính đã di chuyển đợc A một đoạn bằng vt v (v là vận tốc dài của trái đất trong vũ trụ) B B Hình 3 Để ánh sáng từ A rơi đúng vào thị kính B thì : BB' = vt Từ đó: tg = = v c Công thức thu đợc phù hợp với thực nghiệm và phù hợp với giả thuyết coi ete là đứng yên khi trái đất chuyển động hay nói cách khác ete không bị kéo theo cùng với mặt đất. 8 Qua hiện tợng tinh sai và thí nghiệm Fizeau ta đã nhận thấy xuất hiện một mâu thuẫn nội tại trong lý thuyết: Khi thì coi ete không bị kéo theo hoàn toàn cùng với vật chuyển động, khi thì coi ete bị kéo theo một phần. Còn có thể có thêm tính chất nào của ete nữa không? 1.1.3. Thí nghiệm Michelson-Moriley: Mục đích của thí nghiệm Michelson-Moriley là nhằm phát hiện ra sự chuyển động của trái đất trong môi trờng ete vũ trụ. T tởng về thí nghiệm phát hiện chuyển động tuyệt đối của trái đất đã đợc Maxwell đề xuất với nguyên tắc nh nguyên tắc của thí nghiệm Fizeau. Biết rằng trái đất chuyển động với vận tốc 30km/s. Vì ete đợc coi là đứng yên tuyệt đối nên nếu lấy trái đất làm hệ quy chiếu thì có thể coi nh có 1 luồng gió ete có vận tốc 30km/s thổi song song với mặt đất. Cho ánh sáng truyền cùng chiều và ngợc chiều gió ete. Sau đó so sánh vận tốc của ánh sáng truyền theo 2 chiều ngợc nhau đó ta có thể rút ra vận tốc chuyển động của trái đất ở thời điểm thí nghiệm. Từ t tởng của Maxwell, Michelson-Moriley đã thực hiện thí nghiệm năm 1881, tuy nhiên ông đã không tìm thấy sự khác nhau của vận tốc ánh sáng . Năm 1887 Michelson-Moriley đã thực hiện thí nghiệm bằng những dụng cụ và phơng tiện chính xác. Sơ đồ thí nghiệm đợc mô tả ở hình 4. Tia sáng xuất phát từ nguồn S đến gơng nửa phản xạ P. Tại P một phần xuyên qua P và một phần phản xạ từ P. Tia xuyên qua P đến gặp gơng phản xạ A nên tia PA bị phản xạ tại A (bố trí thí nghiệm sao cho phơng PA cùng phơng với gió ete). Vì vậy trên ph- ơng PA tia sáng 1 lần đi cùng chiều và 1 lần đi ngợc chiều B v 9 S P A T Hình 4 với gió ete ( v là vận tốc gió ete) Tia phản xạ tại P gặp gơng B và bị phản xạ tại B. Trên đoạn PB tia sáng luôn vuông góc với gió ete. Sau khi phản xạ tại A và B, một phần của tia AP phản xạ tại P, một phần của tia BP xuyên qua P. Hai tia phản xạ và xuyên qua P lần này cũng rơi vào ống kính T. Ngời ta đánh dấu hệ vân giao thoa thu đợc. Sau đó quay bộ thí nghiệm đi 90 o sao cho PB trở thành cùng ph- ơng còn PA thì vuông góc với phơng của gió ete. Ngời ta lại quan sát hệ vân giao thoa mới thu đợc. Nếu gió ete là có thực thì từ các phép tính ngời ta thấy rằng hai hệ vân giao thoa phải lệch nhau một khoảng cách nào đó. Nhng kết quả thí nghiệm Michelson-Moriley lại cho thấy rằng hai hệ vân giao thoa hoàn toàn trùng nhau. Để giải thích thí nghiệm này ngời ta đã coi rằng khi trái đất chuyển động lớp ete gần mặt đất bị kéo theo hoàn toàn cùng với mặt đất. Nếu ete bị kéo theo hoàn toàn thì thí nghiệm đợc coi nh tiến hành trong điều kiện không có gió ete. Vì vậy, ánh sáng truyền theo mọi hớng đều nh nhau nên hệ vân giao thoa không bị dịch chuyển. Nh vậy, nếu coi ete bị kéo theo hoàn toàn thì giải thích đợc kết quả thí nghiệm Michelson-Moriley nhng nó lại làm cho những mâu thuẫn nội tại của lý thuyết càng trở nên trầm trọng. Hiện tợng tinh sai thì càng chứng tỏ rằng ete không bị kéo theo. Thí nghiệm Fizeau lại chứng tỏ rằng ete bị kéo theo một phần, còn thí nghiệm 10