Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về định lí Ritt đối với không điểm của hàm đa thức mũ

Mục đích nghiên cứu của luận văn là: Tìm hiểu và trình bày lại một cách chi tiết, hệ thống kết quả cổ điển về các không điểm của hàm đa thức mũ đạt được bởi Ritt năm 1929 và một mở rộng đạt được gần đây theo một cách tiếp cận khác bởi Ji Guo. Mời các bạn tham khảo!

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THƯ VỀ ĐỊNH LÍ RITT ĐỐI VỚI KHƠNG ĐIỂM CỦA HÀM ĐA THỨC MŨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THƯ VỀ ĐỊNH LÍ RITT ĐỐI VỚI KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM ĐA THỨC MŨ Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Trần Văn Tấn Thái Nguyên, năm 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Về định lý Ritt không điểm đa thức mũ" khơng có chép người khác Khi viết luận văn tơi có tham khảo số tài liệu, tất có nguồn gốc rõ ràng hoàn thành hướng dẫn PGS TSKH Trần Văn Tấn Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả luận văn Trần Thị Thư Xác nhận Xác nhận chủ nhiệm khoa Toán người hướng dẫn PGS TSKH Trần Văn Tấn i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TSKH Trần Văn Tấn Thầy dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, trả lời thắc mắc giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ thành viên gia đình ln động viên, ủng hộ tơi suốt thời gian qua Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo trường Đại học Sư Phạm Thái Ngun ln nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tơi hồn thành chương trình học bảo vệ luận văn Bản thân tơi suốt q trình học tập nghiên cứu có nhiều cố gắng, nhiên thiếu sót chắn khó tránh Tơi mong thầy cô bạn đọc cho thiếu sót Thái Nguyên, tháng năm 2020 Học viên Trần Thị Thư ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii LỜI MỞ ĐẦU Chương ĐỊNH LÝ RITT CỔ ĐIỂN 1.1 Định lý thương hai đa thức mũ 1.2 Đa thức mũ với số mũ thực Chương MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM 11 2.1 Giới thiệu kết 11 2.2 Một số ký hiệu kết lý thuyết Nevanlinna 13 2.3 Một số kết lý thuyết Nevanlinna cho trường hợp mục tiêu di động 17 2.4 Bổ đề Borel định lý Green với mục tiêu di động 23 2.5 Chứng minh Định lý 2.2 Hệ 2.1 26 Tài liệu tham khảo 37 iii LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Năm 1929, Ritt đạt kết thú vị không điểm hàm đa thức mũ: Cho P (z) Q(z) hai đa thức (khác không) P (ez ) hàm nguyên Khi tồn đa thức với hệ số phức cho Q(ez ) R(z) với hệ số phức cho P (ez ) = Q(ez )R(ez ) Định lí nguồn cảm hứng cho nhiều nhà toán học sau thiết lập kết tương tự, với cách tiếp cận khác Với mục đích tìm hiểu chủ đề này, chúng tơi chọn đề tài “Về định lí Ritt khơng điểm hàm đa thức mũ” Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu trình bày lại cách chi tiết, hệ thống kết cổ điển không điểm hàm đa thức mũ đạt Ritt [2] năm 1929 mở rộng đạt gần theo cách tiếp cận khác Ji Guo [1] Đối tượng nghiên cứu: Hàm phân hình mặt phẳng phức Phương pháp nghiên cứu: Các phương pháp truyền thống Giải tích phức, Ứng dụng Lí thuyết Nevanlinna ánh xạ chỉnh hình Chương ĐỊNH LÝ RITT CỔ ĐIỂN Cho hàm đa thức mũ a0 eα0 z + + am eαm z (1.1) với hệ số a0 , , am α0 , , αm đôi phân biệt Sự phân bố không điểm hàm vậy, hàm tổng quát với hệ số đa thức biến z nghiên cứu Tamarkin, Pólya Schwenglert Trong chương chúng tơi trình bày lại hai kết sau Ritt [3] - Nếu không điểm đa thức mũ khơng điểm đa thức mũ thứ hai, thương chúng đa thức mũ - Xét hàm + a1 eα1 z + + am eαm z , với số thực α1 , , αm thỏa mãn < α1 < < αm Với dải nằm ngang mặt phẳng phức, ta tính tổng phần thực không điểm đa thức mũ dải, với phần ảo bị chặn Kết coi tương ứng với định lý nói tích không điểm + a1 eα1 z + + am eαm z (−1)m /am 1.1 Định lý thương hai đa thức mũ Định lý 1.1 Cho A(z) = a0 eα0 z + + am eαm z , Giả sử B(z) 6≡ 0, B(z) = b0 eβ0 z + + bn eβn z (1.2) A(z) hàm nguyên Khi đó, tồn B(z) hàm C(z) = c0 eγ0 z + + cm eγp z cho A(z) = B(z)C(z) Trước hết ta mô tả vắn tắt lại kết Tamarkin, Pólya Schwenglert Biểu diễn αi mặt phẳng phức, gọi A đa giác lồi nhỏ chứa chúng Nó giúp thu tính phân tích Bổ đề 1.1 Giả sử cạnh A xác định σ1 , , σl Xét di , (i = 1, , l) tia đối xứng qua trục thực với tia vng góc với σi phía ngồi A Các tác giả chứng minh tồn l nửa dải song song có hướng di (i = 1, , l) mà chúng chứa tất không điểm A Nếu si độ dài σi , số khơng điểm có mô-đun nhỏ r nằm nửa dải song song với di tương đương với rsi /(2π) (khi r tiến ∞) Bây ta xét đa giác lồi B tương ứng với B(z) Vì khơng điểm B không điểm A nên rõ ràng, từ công thức tiệm cận cho số không điểm nửa dải, cạnh τ B song song với cạnh A độ dài cạnh B không bé độ dài cạnh tương ứng A, hai hướng vuông góc với hai cạnh nói phía ngồi đa giác tương ứng trùng Giả sử α0 , , αm (1.1) xếp để phần thực tăng dần, trường hợp phần thực ta xét tiếp tới tăng dần phần ảo Khi α0 , , αm số thực không âm am 6= 0, gọi αm bậc hàm (1.1) Bổ đề 1.1 Giả sử A(z), B(z) 6≡ hai đa thức mũ với số mũ thực không âm Khi đó, ta biểu diễn A = QB + R, (1.3) Q R hai đa thức mũ với số mũ thực không âm, R đồng đa thức có bậc nhỏ bậc B Chứng minh Nếu (1.2) ta có αm < βn , ta có (1.3) với Q = 0, R = A Do đó, ta xét trường hợp αm ≥ βn Gọi αm , , αm−i tập tất số αi không bé βn Xét đa thức mũ (am eαm z + + am−i eαm−i z) B, C =A− bn eβn z (1.4) đó, số mũ khơng âm Nếu B gồm hạng tử Khi C 0, có bậc nhỏ B , ta có biểu diễn A = QB + R với R = C Q phân thức vế phải (1.4), tức là: (am eαm z + + am−i eαm−i z) Q= bn eβn z Bây giờ, giả sử B có hai hạng tử Nếu C khác 0, đó, bậc C nhỏ βn αm − (βn − βn−1 ) Nếu C 0, có bậc nhỏ βn , từ (1.4) ta đạt biểu diễn A = QB + R Với trường hợp lại, ta nhân chéo chuyển vế biểu thức (1.4) nhận (1.3) Tiếp tục trình trên, βn − βn−1 đại lượng cố định, sau hữu hạn bước ta nhận (1.3) Từ công thức xấp xỉ số không điểm nửa dải song song (ứng với cạnh đa giác bao tuyến tính tập số mũ), ta có biểu diễn (1.3) Chứng minh Định lý 1.1 Giả sử A 6≡ Nhóm số hạng A có số mũ có phần thực giống nhau, ta viết A = P1 eu1 z + + Pj euj z , (1.5) u1 , , uj số thực, tăng dần theo số P1 , , Pj có dạng g1 ev1 iz + + gp evp iz , (1.6) với số thực v1 , , vj tăng dần theo số Vì khơng làm thay đổi khơng điểm A khơng ảnh hưởng đến tính chia hết mà ta nghiên cứu, sau nhân A với hàm mũ, ta giả sử u1 số v nhỏ Pj Tương tự, giả sử B = Q1 ew1 z + + Qh ewh z , (1.7) với điều kiện tương tự A Đại lượng uj hiệu hoành độ điểm bên phải điểm ngồi bên trái A Vì cạnh B tương ứng với cạnh A chiều dài có hướng nên rõ ràng uj ≥ wh Nếu B có hạng tử, ta có kết định lí Bây ta giả sử B chứa hai hạng tử, tức là, (1.7), ta có h ≥ 2, Q1 , Qh 6≡ Đặt uj , , uj−r , u vượt uj − (wh − wh−1 ) Ta chứng minh thương Pj , , Pj−r với Qh đa thức mũ có dạng (1.6) < (2n + 4)π(B − A) amp f (z)dz − α (v − u)(A − B) m (1.18) v+Bi Do A B cố định, A = O(1), B − A = O(1), từ (1.14), (1.15), (1.16), (1.17) (1.18) ta nhận khai triển (1.9) cho R(u, v) 10 Chương MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM 2.1 Giới thiệu kết Dãy số {G(n)}n∈N ⊂ C gọi có cơng thức truy hồi tuyến tính G(n+k) = c0 G(n)+ +ck−1 G(n+k −1) với n ∈ N c0 , , ck−1 ∈ C Dãy {G(n)}n∈N có cơng thức truy hồi tuyến tính có cơng thức tường minh dạng G(n) = m X gi (n)αin , với n ∈ N, i=1 gi ∈ C[X] đa thức khác đa thức không αi ∈ C∗ số phân biệt Dãy truy hồi gọi "đơn" gi số Tương tự với kết số học cho thương hai dãy truy hồi tuyến tính Corvaja and Zannier, năm 2017 Guo Wang thiết lập kết thương hai dãy truy hồi tuyến tính hàm phức sau: Định lý 2.1 Cho l, m ≥ hai số nguyên dương; f1 , , fl g1 , , gm hàm nguyên khác số cho maxi=1, ,l Tfi (r)  maxj=1, ,m Tgj (r) Đặt F (n) = a0 + a1 f1n + + al fln 11 n G(n) = b0 + b1 g1n + + bm gm , a0 ∈ C a1 , , al , b0 , , bm ∈ C∗ Giả sử có hai điều sau thỏa mãn: (i) F (n)/G(n) hàm nguyên với vô hạn số n ∈ Z∗ ; (ii) f1 , , fl g1 , , gm hàm ngun khơng có khơng điểm, F (1)/G(1) hàm nguyên jm Khi f1i1 flil g1j1 gm ∈ Kg với (i1 , , il , j1 , , jm ) 6= (0, , 0) ∈ Zl+m Ở đây, Tf (r) hàm đặc trưng Nevanlinna Ký hiệu Tf (r)  Tg (r) có nghĩa tồn số dương a, b cho aTf (r) < Tg (r) < bTf (r) với r đủ lớn Mục đích chương trình bày lại kết Guo [3] tổng quát hóa Định lý 2.1 tới trường hợp hệ số hàm với độ tăng nhỏ Kết thu khơng tổng qt tốn thương dãy truy hồi, mà mang đến ứng dụng việc nghiên cứu đa thức mũ khởi xướng Ritt mà ta đề cập chương trước Với hàm nguyên g1 , , gm , đặt g = (g1 , , gm ) ánh xạ chỉnh hỉnh từ C vào Pm−1 Ta nói hàm phân hình a tăng chậm tương ứng với g Ta (r) = o(Tg (r)) Đặt Kg := {a| a hàm phân hình Ta (r) = o(Tg (r) } Theo tính chất cổ điển hàm đặc trưng, Kg trường Đặt Rg ⊂ Kg vành chứa tất hàm nguyên Kg Định lý 2.2 Cho l, m hai số nguyên dương; f1 , , fl g1 , , gm hàm nguyên khác cho max Tfi (r)  max Tgj (r), cho a0 ∈ Rg 1≤i≤l 12 1≤j≤m a1 , , al , b0 , , bm ∈ Rg \ {0} Đặt F (n) = a0 + a1 f1n + + al fln n G(n) = b0 + b1 g1n + + bm gm , Giả sử có hai điều sau thỏa mãn: (i) F (n)/G(n) hàm nguyên với vô hạn số n ∈ Z∗ ; (ii) fz , , fl g1 , , gm hàm ngun khơng có khơng điểm, F (1)/G(1) hàm nguyên jm Khi tồn (i1 , , il , j1 , , jm ) 6= (0, , 0) ∈ Zl+m để f1i1 flil g1j1 gm ∈ Kg , Áp dụng định lý cho đa thức mũ, ta thu hệ sau đây: Hệ 2.1 Cho F G hai đa thức mũ viết dạng F (n) = a0 + a1 eλ1 z + + al eλl z , G(n) = b0 + b1 eτ1 z + + bm eτm z , , bj đa thức khác C[z] λi , τj ∈ C Nếu F (z)/G(z) hàm nguyên, λ1 , , λl , τ1 , , τm phụ thuộc tuyến tính Q 2.2 Một số ký hiệu kết lý thuyết Nevanlinna Để chứng minh định lý chính, ta điểm lại vài ký hiệu, định nghĩa, số kết lý thuyết Nevanlinna Cho f hàm phân hình z ∈ C số phức Ký hiệu vz (f ) := ordz (f ), vz− := − min{0; vz (f )} vz+ := max{0; vz (f )}, 13 Ký hiệu nf (∞, r) số cực điểm f {z : |z| ≤ r} đếm bội Hàm đến f ∞ định nghĩa Z r nf (∞, t) − nf (∞, 0) Nf (∞, r) := dt + nf (∞, 0) log r t r X ... PHẠM TRẦN THỊ THƯ VỀ ĐỊNH LÍ RITT ĐỐI VỚI KHƠNG ĐIỂM CỦA HÀM ĐA THỨC MŨ Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Trần Văn Tấn Thái Nguyên,... Chương ĐỊNH LÝ RITT CỔ ĐIỂN 1.1 Định lý thương hai đa thức mũ 1.2 Đa thức mũ với số mũ thực Chương MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM 11... hàm tổng quát với hệ số đa thức biến z nghiên cứu Tamarkin, Pólya Schwenglert Trong chương chúng tơi trình bày lại hai kết sau Ritt [3] - Nếu không điểm đa thức mũ không điểm đa thức mũ thứ hai,