Tài liệu gồm các bài toán giải nhanh về giới hạn. tài liệu giúp học sinh phản xạ nhanh khả năng tính toán, giúp giáo viên lấy tư liệu kiểm tra 15 phút. Tài liệu là do giáo viên trực tiếp giảng dạy tự biên soạn nên hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn
CÂU TẬP TRẮC NGHIỆM : GIỚI HẠN A – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Dãy số có giới hạn n Dãy số sau có giới hạn khác 0? A Dãy số sau có giới hạn 0? �5 � A � � �3 � Dãy số sau có giới hạn 0? A 0,909 Dãy số sau khơng có giới hạn? A 0,99 Gọi L lim A n 1 Khi L n4 n Dãy số sau có giới hạn khác 0? A n B C n B 1 n � 4� D � � � 3� B D 1,901 n C 0,99 n D 0,89 n C – 1 n C � � D B 2n C 1, 013 cos n n n � 5� C � � � 3� B 1, 012 n D n �1 � B � � �3 � n 2n n n n D n �4 � �� 1 n n Dãy số có giới giạn hữu hạn 4n Cho un Khi un A 5n n n 5 Cho un Khi limun A 5n cos 2n Gọi L lim L số sau đây? n B 5 C C B A B 1 10 Tổng cấp số nhân vô hạn , , , , n , n 1 1 1 11 Tổng cấp số nhân vô hạn , , , , n , 27 n 1 1 1 12 Tổng cấp số nhân vô hạn , , , , , 18 2.3n 1 n 1 1 1 13 Tổng cấp số nhân vô hạn: 1, , , , , n 1 , n 1 14 Kết L lim 5n 3n 3 n 2n lim 5n n 3n3 2n lim 4n 2n n 2n lim n 2n 5n 3n lim 4n 2n 2n 3n3 lim 4n 2n 17 lim 18 19 20 21 22 B D C C D C D A B C D C D 2 A B D � B C D � A � B – C – D � A � B C – D C D � B A B � A B � A A B B 1 B C – A D A Dãy số có giới hạn vơ cực A � B – 15 Biết L lim 3n 5n 3 L A � 16 lim 3n 2n A D C C D 11 D C D C D � 23 Dãy số sau có giới hạn �? 3 A un 3n n B un n 4n 24 Dãy số sau có giới hạn - ∞? A un n 3n3 B un 3n3 2n 4n n 2n 26 Kết lim n 10 n 25 lim C un 4n 3n D un 3n n C un 3n2 n D un n 4n A B C D � A +∞ B 10 C 10 D B C B L + C 2n 4n A 4n 5n 28 Nếu lim un L lim un A L + 29 Nếu lim un L lim bao nhiêu? un 27 Kết lim L A B L 8 2n 2n 104 n 31 lim bao nhiêu? 10 2n n 32 lim bao nhiêu? 2n 3 n n 33 lim 6n 30 lim 34 lim n 35 lim C A L 2 B B 10000 A B n n bao nhiêu? n sin 2n số sau đây? n5 B A +∞ A C 2n 5n 3n L9 D A � A D D L 3 L 8 C D � C 5000 D C C D � D B C D – 1 C D B 36 Dãy số sau có giới hạn 0? A un 2n 5n 3n n 2n 5n 3n B n 2n 5n 5n B 9n n n n2 B un 37 Dãy số sau có giới hạn +∞? A un 2n 5n 5n C un 38 Dãy số sau có giới hạn +∞? A un n2 5n D un n2 5n 3n D un n2 5n 5n3 2007 2008n C un 2008n 2007 n n 1 D un n 39 Trong giới hạn sau đây, giới hạn – 1? A lim 2n 2 n B lim 2n 2 n B lim 2n n3 B lim 2n 2 n C lim 2n 3n3 2 n C lim 2n 3n 2n C lim 40 Trong giới hạn sau đây, giới hạn 0? A lim 41 Trong giới hạn sau đây, giới hạn �? A lim 42 Dãy số sau có giới hạn ? 2n 2n3 2n2 D lim 2n 2n 2n 3n 2n3 n D lim 2n 2n 2n 3n 2n3 n D lim 2n 2n 1 2n n 2n 2n u u B C n n 5n 5n 5n 5n 2 n n n �thì L 43 Nếu L lim � A � � � n n n � Khi L A � 44 Gọi L lim � � � A un 4n n 2n cos 2n 46 lim 3n 45 lim 47 lim A A 1 2n n B un 3n 2n 5n 5n 1 C.3 D C D C D � C D C D � B B 29 B B A � n 2n n 2n có kết D un B 50 Dãy số sau có giới hạn ? n 3n3 A un 9n n n n3 n 2n C un D un 3n 2n 3n 4n Bài tập tổng hợp : Câu 1: Giới hạn dãy số sau bao nhiêu: lim A B C D � Câu 2: Giới hạn dãy số sau bao nhiêu: A B 1 C D � A B C D � C D � Câu 3: Giới hạn dãy số sau bao nhiêu: Câu 4: Giới hạn dãy số sau bao nhiêu: Câu 5: Giới hạn dãy số sau bao nhiêu: n2 n 1 lim n2 7n2 lim n 2 2n lim n 3n n 1 lim n 1 Câu 6: Giới hạn dãy số sau bao nhiêu: lim n3 n n2 Câu 7: Giới hạn dãy số sau bao nhiêu: lim n2 n A B A B C 1 D A B C A B � C D C D � D 2 sin n Trong giới hạn sau đây, tìm kết giới hạn trên? n n �1 � B lim 2n C lim � � D lim( n n 1) �2 � Câu 8: Cho giới hạn lim A lim 2n n Câu 9: Trong dãy sau đây, dãy có giới hạn A un sin n B un cos n C un (1) n 1 D un Câu 10: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn sau: là: Câu 11: Hình vng có cạnh 1, người ta nối trung điểm cạnh liên tiếp để hình vng nối lại tiếp tục làm hình vng (như hình bên) Tồng diện tích hình vng liên tiếp A B C 12 D 3 A B Câu 12: Trong dãy số sau, dãy số có giới hạn hữu hạn? Câu 13: lim n 50n 11 2n3 11n C un 2 n n2 n 2 A - � B + � C D – Câu 14: lim 7n n3 A - � B + � C A -1/2 B 3/2 C - � D + � A 2/3 B C - � D Đáp án khác A 2/3 B -2/3 C - � D + � A -6 B C - � D + � A B C - � D + � Câu 20: lim A B C - � D + � Câu 21: A B C - � D + � A -1 B C - � D + � A B C - � D + � A B C ½ D Đáp án khác B C - � n n A un B un 3n n3 2n 15 2n n Câu 16: lim 3n 2n 15n 11 Câu 17: lim 3n n 2n 1 3n Câu 18: lim 3 n 7n Câu 15: lim Câu 19: lim Câu 22: Câu 23: Câu 24: Câu 25: 2n n n 1 n 3n 11 lim 7.2n 2n 1 3.5n lim 3.2n 7.4n lim n n2 10 lim n 2.4 � 2sin n � lim � 10 � n � � A 10 � 1 n n � �1 � Câu 26: lim � n1 � 3.2 � � � � 2 n sin n 3n Câu 27: lim n2 n2 n Câu 28: lim 2n 2n 32 Câu 29: lim n 2n n 3n n2 Câu 30: lim n 2n 2n n Câu 31: lim 2n 2n 1 3n 11 Câu 32: lim n n 3 2 4 13.3n 15 Câu 33: lim n 3.2 4.5n Câu 34: lim n n n A -1/2 B 1/3 D un n 2n n D – D Tất sai C ½ D -1/3 A B -3 C D - � A B -1 C -1/2 D ½ A B - � A B A 2 A – 1/9 C + � C - � 2 B - B 1/9 A B 13 A B -1 D Tất sai D + � C C -1/2 C 13/2 C D - D ½ D 13/4 D ½ 2n n n2 Câu 35: lim 2n 1 Câu 36: lim 3n 2n 1 5n 3n 1 C - � A B A 2/3 B 1/3 2n3 n2 3n ta được: 3n n3 n2 3n ta được: lim 4n 3n2 n ta được: lim 2n3 3n2 5n ta được: lim 2n2 n n4 n2 ta được: lim 2n3 7n 2n2 n ta được: lim 3n 2n 2n lim ta được: n 4n2 3n3 2n2 n ta được: lim n3 n4 lim ta được: (n 1)(2 n)(n2 1) D + � Câu 37: Tìm lim A B Câu 38: Tìm A � B Câu 39: Tìm Câu 40: Tìm Câu 41: Tìm Câu 42: Tìm Câu 43: Tìm Câu 44: Tìm Câu 45: Tìm Câu 46: Tìm lim Câu 47: Tìm lim Câu 48: Tìm lim Câu 49: Tìm lim n2 ta được: 2n4 n 2n4 n2 3 3n 2n 4n2 2n n 4n n n2 n n 2 n 3 A A A ta được: ta được: B B B C � D C � D C � D C D � C � D � B C A � B C D A D 3 B C � D A B C D � C � D A A ta được: C D B C D � A 3 B A B C � D A B C D A B C D A � B D Câu 50: Tìm lim n2 1 n6 ta được: n4 n2 (2n n 1)( n 3) Câu 51: Tìm lim ta được: (n 1)(n 2) Câu 52: Tìm lim Câu 53: Tìm lim n2 4n 4n2 3n2 n n2 2 4n ta được: ta được: A 3 A B B C 3 1 C C D D 1 3 Câu 54: Tìm lim 8n ta được: A 4 Câu 55: Tìm lim 4n n ta được: A Câu 56: Tìm lim A 3 2n 3n 3n 2n2 3n n n 1 3n Câu 57: Tìm lim 3n2 2n 3n2 2n Câu 58: Tìm lim 4n n 4n Câu 59: Tìm lim ta được: ta được: ta được: ta được: 3n2 2n 2n 3n4 n3 4n2 n ta được: 3n2 Câu 60: Tìm lim n n Câu 61: Tìm lim n n ta được: D C � D B � C D B C D B A B � A B A B A � B A 3 C � D B � C 1 D B � C D C � 3 A B A B A 1 Câu 66: Tìm lim 3n 2n n ta được: A n 3n Câu 70: Tìm lim 3n 3n ta được: Câu 68: Tìm lim Câu 69: Tìm limn n n ta được: n 2n n3 n2 4n3 3n n 1 3n n 4 ta được: B 3( 2) C D � C � 3( 1) C D 3 D C � D A B � C D A � B C D A A B D 21 B C D � B � C D B – GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C D B ta được:A � Câu 71: Tìm lim n 2n n ta được: Câu 72: Tìm lim B 2n2 2n2 ta được: A 1 Câu 67: Tìm lim D � D Câu 63: Tìm lim n 2n 4n ta được: Câu 65: Tìm lim n 3n n ta được: C 3 A n 1 3 n Câu 64: Tìm lim ta được: 2n2 n C Câu 62: Tìm lim 8n 4n ta được: 5n C x x xlim � 1 3x 3x xlim � 2 x 3x x �1 x 1 3x3 x lim x � 1 x2 3x x5 lim x �1 x x 3x x5 lim x � 1 x x x x3 lim x � 2 x x x4 x5 lim x �1 x 3x x x3 lim x � 2 x x 10 lim x x lim x � 1 11 xlim � 1 12 13 14 15 16 x 1 A B C D � A 2 B C D 10 A 1 B C D � A B C 2/3 A A A 12 10 A B B | x 3| 3x x3 lim x �1 3x x x2 lim x �1 x x2 lim x �1 x x3 x lim x � 2 x2 2x C C C B 1 C 1 15 A B B D D D � 7 B 18 lim D � D � D 5 1 2 D D D � C � D � C C D B C D B C 35 D � B C D � Giới hạn bên 19 xlim �3 A 20 A C A B C C x x 3x x 16 x x � 1 C B x2 2 x x3 x lim A 2 x � � x 2x4 3x x lim A x � � x x x x5 lim A x � � x x 5 3x x lim A � x � � x x 3x x5 A lim x � � x x x � 2 23 B 12 10 A 17 lim 22 B A x4 x2 A x2 x 1 21 B D A B B B C D � C � D � D � A � B C A � B C D � C D � 24 lim x �0 25 xlim � 1 2x x 5x x x2 4x x3 x 2 A � B A 1 B C 1 D � C D � �x 3x x f x bằng: A 11 B C 1 D 13 f x 26 Cho hàm số: � Khi xlim �2 x x � � x x x �1 � f x A – B –3 C –2 D f x 27 Cho hàm số Khi lim �3 x �1 �x x x �2 x x �1 � � x2 1 f x A B C D � 28 Cho hàm số y f x � Khi xlim �1 8 �1 x � �8 �x neu x � f x A –1 B C D � 29 Cho hàm số: f x �1 x Khi xlim �1 � 2x neu x �1 � � 2x neu x � f x 30 Cho hàm số f x � x Khi xlim A � B C D � �1 � x neu x �1 � Một vài quy tăc tìm giới hạn vô cực (dạng vô định) x 3x Khi x �1 x2 x2 32 Cho L lim Khi x � 2 x x x2 3x 33 lim x �2 2x x 12 x 35 34 lim x �2 x 5 x 12 x 35 35 lim x �5 x 25 x x 3x 36 xlim �� 4x2 x 31 Cho L lim 37 xlim �� x x x 38 xlim � � x x 39 lim x x � � x x t 1 t �1 t t a4 41 lim t �a t a y4 1 42 lim y �1 y x x5 43 lim x � � x x 40 lim A L A L B L B L A � B A � B A � B A 4 C L 2 C C C B C L C 2 D D L 2 D D D D C D � D � A � B A B A � B C D A � B C D � A 4a B 3a C 4a D � A � B C A � B C –1 C D D � 4x2 x A x � � 2x x x2 x A lim x �0 x x 1 lim A � x � 1 x2 x x 15 lim A –8 x � 5 x 10 x x 15 lim A –4 x �5 x 10 x x 20 lim A x �5 2 x 10 3x x lim A x � � x x x 1 lim A –3 x � 1 x x x lim x A x � � x 1 x2 3x lim A x �1 x 1 2x x lim A � x � � x lim x x A � 44 lim B C 45 B –1 C B C 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 3x x 56 lim x �3 2x 2 x3 x �1 x2 C B –2 C D � D D � D � D � C � D � B –1 C D B C D � C D B C D � B C D � B C D � B A 57 lim B –1 B A 2 C B –4 x �� D � B C D Câu tập tổng hợp x x) Câu 1: Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim(5 x �3 A 24 B C � D Không có giới hạn x x 15 A � B C D x �3 x3 x3 x x Câu 3: Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim A B C D � x �1 x 1 x4 a Câu 4: Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim A 2a2 B 3a4 C 4a3 D 5a4 x �a x a x x2 x Câu 5: Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim x �0 x A B C � D Câu 2: Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim Câu 6: Giới hạn hàm số sau x tiến đến : f ( x) A B C D 1 1 x x x 3x Câu 7: Giới hạn hàm số sau x tiến đến 2: f ( x) bao nhiêu: ( x 2) A B D � C 5x2 x A B C D � x �� x x ( x 1)( x 1) Câu 9: Giới hạn hàm số sau x tiến đến �: f ( x) : A B � C D (2 x x)( x 1) (2 x 1)(2 x x) Câu 10: Giới hạn hàm số sau x tiến đến �: f ( x) : (2 x x)( x 1) A B � C D Câu 8: Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim ( x x x) A B � Câu 11: Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: xlim � � C Câu 12: Khi x tiến tới �, hàm số sau có giới hạn: f ( x) ( x x x) A B + � C � D D �2 x neu x �1 � � x Câu 13: cho hàm số: f ( x) � Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? �x x neu x �x A lim f ( x) B lim f ( x) C lim f ( x) D Không xác định x tiến tới x �1 x �1 x �1 �x x neu x � Câu 14: cho hàm số: f ( x) � x Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? �x x neu x � f ( x ) không xác định A lim x �1 f ( x) không xác định B xlim �1 f ( x) không xác định C lim x �1 Câu 1: lim x�1 Câu 2: lim Câu 3: lim D f(1) không xác định x2 x x 1 x 1 x 5 x2 x �5 x 16 x �0 x2 lim x �0 x2 x x 3 Câu 4: Câu : lim x �3 x x 1 1 x 1 1 x2 x Câu : lim x �0 lim Câu 7: x �� x3 5x x 1 2x 1 x x2 2 Câu : lim x �6 x6 x 1 1 Câu 10 : lim x �0 x4 2 Câu 8: lim x �0 x2 3x x Câu 11: xlim � � A B C D.4 A ½ B C ¼ D A B C D.4 A 1/3 B ẵ C ẳ D A B C ¼ D 4/3 A B ½ C -1 A B 5/3 C 3/5 A B A ẵ B C ẳ C ½ A ½ B 4/3 A ½ B 2/3 D Không tồn D Không tồn D C 2/3 C ẳ 10 D ẵ D ắ D 3/2 x 3x x2 1 x6 x Câu 12 : lim x �1 Câu 13: lim x �1 x 1 x 1 x 1 x �0 x x x x3 Câu 15: lim x �0 x x 1 Câu 16: lim x � 1 x 1 x x2 Câu 17: lim x �0 1 x 1 x Câu 14: lim x 1 x 1 x2 Câu 19: lim x �0 x2 x3 3x Câu 20: lim x �1 x 1 Câu 45: lim x Câu 18: lim x �1 x �3 x2 x x � 1 x x x 1 Câu 47: lim x �1 x x 1 1 x Câu 48: lim x �0 1 x x2 x lim Câu 49: x �3 x 3x Câu 46: lim Câu 50: x lim x 6 B 2/3 C 3/8 D 4/3 A B 11 C 13 D 15 A ẵ B 5/6 C ẳ D ắ A B ½ C.1/4 D 1/3 A 2/3 B 5/3 C 4/3 D.1 A ẳ B ẵ C 1/3 D A ẵ B 1/3 C ẳ D A 1/12 B ¼ C 1/6 D.1/3 A.1 B C ½ A 81 B 80 D 3/2 C A B -1 C A B -2 C 1/3 A D ½ C - � B -1 D Tất sai D -3 D + � A 3/5 B 5/3 C - � A B C -1 A.2/3 B 3/2 C A B - C a D Tất sai x3 x 2x 1 Câu 51: lim x x � � 3x x 2x Câu 52: xlim �� 2x2 3 xx Câu 53: lim x �0 2x x x x x 10 Câu 54: lim x � 2 x 3x 2 x 1 x Câu 55: lim x � � x 5x2 2x Câu 56: xlim �� x2 x x � 2 A 5/8 A 15 A 2/5 A b c � B -15 D D d � C -3 C 11 C B -2/5 B -2 D D Tất sai D Tất sai D -1 Câu 57: lim x �0 3x x 2x a 2x 1 x � � x x2 3x Câu 59: lim x x � � x3 x 3 Câu 60: xlim �3 x x2 Câu 58: lim x 1 b c b a 3 a D Tất sai c.0 c.3 D Tất sai b.2 A - � B + � D Không tồn C D – C_HÀM SỐ LIÊN TỤC: �x neu x �1 � Câu 1: cho hàm số: f ( x) �x để f(x) liên tục điêm x0 = a bằng? � a neu x � A B +1 C D -1 �x neu x mệnh đề sau, mệnh đề sai? neu x �0 �x Câu 2: cho hàm số: f ( x) � f ( x) A lim x �0 f ( x) B lim x �0 ax � Câu 3: cho hàm số: f ( x) � C f ( x) neu x �1 �x x neu x D f liên tục x0 = để f(x) liên tục tồn trục số a bằng? A -2 B -1 C D Câu 4: Cho hàm số f ( x ) x x Xét phương trình: f(x) = (1) mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai? A (1) có nghiệm khoảng (-1; 1) B (1) có nghiệm khoảng (0; 1) C (1) có nghiệm R D Vô nghiệm Câu 5: Cho hàm số: (I) y = sinx ;`(II) y = cosx ; (III) y = tanx ; (IV) y cotx Trong hàm số sau hàm số liên tục R A (I) (II) B (III) IV) C (I) (III) D (I0, (II), (III) (IV) �x 16 neu x �4 � Câu 6: cho hàm số: f ( x) �x đề f(x) liên tục điêm x = a bằng? � a neu x � A B C D Câu 7: Cho hàm số f(x) chưa xác định x = 0: f ( x) f(0) giá trị bao nhiêu? A -3 B -2 Câu 8: Cho hàm số f(x) chưa xác định x = 0: f ( x) f(0) giá trị bao nhiêu? � ax � Câu 9: cho hàm số: f ( x) �2 A neu x �2 �x x neu x x2 2x Để f(x) liên tục x = 0, phải gán cho x B C -1 D x 2x Để f(x) liên tục x = 0, phải gán cho x2 C D để f(x) liên tục R a bằng? A B C D 5/4 Câu 10: Cho phương trình x x Xét phương trình: f(x) = (1) mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng? A (1) Vơ nghiệm B (1) có nghiệm khoảng (1; 2) C (1) có nghiệm R D (1) có nghiệm Câu 11: Khẳng định sau A Hàm số có giới hạn x = a liên tục B Hàm số có giới hạn trái x = a liên tục 12 C Hàm số có giới hạn phải x = a liên tục D Hàm số có giới hạn trái phải x = a liên tục (A) Câu 12: Cho hàm sồ f(x) Khẳng định sau A Nếu f(a) f(b) < hàm số liên tục (a, b) B Nếu hàm sô liên tục (a, b) f(a).f(b) < C Nếu hàm số liên tục (a, b) f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm D Cả khẳng định sai (C) Câu 13: Cho phương trình 2x4 – 5x2 + x + = Khẳng định đúng? A Phương trình khơng có nghiệm khoảng (-1, 1) B Phương trình khơng có nghiệm khoảng ( -2, 0) C Phương trình có nghiệm khoảng (-2, 1) D Phương trình có nghiệm khoảng (0,2) (D) Câu 14: Khẳng định sau A Hàm số f x x 1 liên tục R x 1 x 1 B Hàm số f x liên tục R x C Hàm số f x x 1 liên tục R x D Hàm số f x x 1 liên tục R x (A) Câu 15: Trong hàm số sau hàm số không liên tục (-1, 1) A f x x x B f x x C f x 1 x2 D f x x2 x x (D) Câu 16: Ham số sau liên tục x = A f x x2 x 1 x B f x x2 x 1 x x2 x x2 D f x x 1 x x2 x C f x x 1 D f x x 1 x C f x (B) Câu 17: Hàm số sau không liên tục x = x2 x 1 A f x x x2 x 1 B f x x (B) 3x x 0 Khẳng định sau sai x a x Câu 18: Cho hàm số f x A Hàm số liên tục phải x = C Hàm số liên tục R (C) B Hàm số liên tục trái x = D Hàm số gián đoạn x = 3x x 0 Ham số liên tục R a = ? x a x Câu 19: Cho hàm số f x A (A) B -1 C -2 D x2 x x Câu 20: Cho hàm số f x x liên tục R m = ? m x 2 A (C) B C D 13 ... Tìm Câu 40 : Tìm Câu 41 : Tìm Câu 42 : Tìm Câu 43 : Tìm Câu 44 : Tìm Câu 45 : Tìm Câu 46 : Tìm lim Câu 47 : Tìm lim Câu 48 : Tìm lim Câu 49 : Tìm lim n2 ta được: 2n4 n 2n4 n2 3 3n 2n 4n2 ... 3x lim A x �1 x 1 2x x lim A � x � � x lim x x A � 44 lim B C 45 B –1 C B C 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 3x x 56 lim x �3 2x 2 x3 x �1 x2 C B –2 C D � D D... �1 x 1 x4 a Câu 4: Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim A 2a2 B 3a4 C 4a3 D 5a4 x �a x a x x2 x Câu 5: Giới hạn hàm số sau bao nhiêu: lim x �0 x A B C � D Câu 2: Giới hạn hàm số sau