Tài liệu bao gồm các bài toán cơ bản và trọng tâm nhất về Cấp số cộng và cấp số nhân, giúp học sinh và giáo viên có thêm tài liệu để ôn tập và tham khảo. tài liệu giúp học sinh đạt điểm cao trong các bài kiểm tra và các đề thi giua kì
Đề I Phần trắc nghiệm ( mỗi câu 0,5 điểm) −n Câu 1.Cho dãy số (un ) với u = n + Khẳng định sau ? A số hạng đầu dãy −1 ; −2 ; −3 ; −1; −5 B Là dãy số tăng C số hạng đầu dãy −1 ; −2 ; −3 ; −4 ; −5 D Là dãy số không tăng không giảm Câu Cho dãy số (un) có số hạng đầu 5,10,15,20,25,…số hạng tổng quát dãy là: A un = 5(n-1) B un= 5n C un= 5+n D un = 5n+1 n Câu Cho dãy số (un ) với un = u1 = số un +1 = un + n hạng thứ dãy A 15 B 16 C 20 D 10 Câu Công thức sau với CSC có số hạng đầu u1 ,công sai d A.un= un +d B.un= u1 +(n+1)d C.un= u1- (n+1)d D.un= u1 +(n-1)d Câu Cho cấp số cộng 1, 8, 15, 22, 29,….Công sai cấp số cộng là: A B C.9 D.10 Câu Cho cấp số cộng có u = 2; d = số hạng liên tiếp của cấp số là: A 2; 4; 6; 8; 10 B 2; 5; 8; 11; 14 C 0; 1; 2; 3; D 2;5; 8; 11; 14; 17 Câu 7.Cho cấp số cộng u1= -3, u6 = 27 Cơng sai cấp số cộng là: A B C D 1 1 Câu Cho dãysố 1; ; ; ; 16 ; khẳng định sau sai? A.Dãy CSN có u1 = 1,q = ½ C.Số hạng tổng quát un = 2n B Dãy CSC có u1 = 1; d = D Dãy số giảm Câu Cho CSN u1 = -2, q= -5 ba số hạng dãy A 10;50;-250 B.10;-50;250 C.-10;50;250 D.10;50;250 Câu 10 Cho CSN với u1 = -2, u8= 256 công bội q CSN là: A q = ±2 B.q =-2 C.q = D.q = ± II Phần tự luận Câu 1.(3 điểm) Cho CSN với u1=3 , q= -2 a) Tính u10 ? b) Tính S9 ? c) Số 192 số hạng thứ CSN? Câu 2.(2 điểm) Chứng minh rằng với mọi n ∈ Ν * , ta có: n3 + 3n + 5n chia hết cho Đề A/ TRẮC NGHIỆM ( ĐIỂM ) Cho dãy số (un) có số hạng đàu 8,15,22,29,36,…số hạng tổng quát dãy a.un = 7n+7 b.un= 7n c un= 7n+1 d un= 7n+3 n +1 (−1) (với n∈ N * ) khẳng định sau sai? n +1 a.Số hạng thứ dãy b.là dãy số giảm 10 Chodãysố (un) với un= c.Bị chặn số M= d.số hạng thứ 10 dãy - 11 u1 = số hạng tổng quát dãy un +1 = un + n Chodãysố (un) với un = a.un= (n − 1)n b un = + (n + 1)n c.un= + (n − 1)n d.un= + (n − 1)(n + 2) Trong dãy số ( un ) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số bị chặn : A un = 2n B un = 3n C un = n + un = n D Cho CSC có u1 = -1, d= 2, Sn = 483 Số số hạng CSCđó là: a.n =20 b.n= 21 c.n= 22 d.n= 2317 Với giá trị x để số 1+3x; x +5 ;1-x lậpthành CSC a b ±1 c ± d khơngcó Cho CSC có tổng chúng bằng 22, tổng bình phương bằng 166 Bốn số hạng CSC là: a.1;4;7;10 b.1;4;5;10 c.2;3;5;10 d.2;3;4;5 Cho CSC có u2+ u22 = 60 Số hạng thứ 23 a.690 b.680 c.600 d.500 u2 + u5 = 42 Tổng 346 số hạng đầu là: u3 + u10 = 66 Cho CSC(un ) thỏa mãn a.242546 b.242000 c.241000 d.240000 Viết số xen hai số 25 để CSC có bảy số hạng a.21; 17; 13; 9; b.21; -17; 13; -9; c.-21; 17; -13; 9; d 21; 16; 13; 9; 10 Cho cấp số cộng u1= - ,1 ; d = 0,1 Số hạng thứ cấp số cộng là: a.1,6 b.0,5 c.6 0,6 11 Cho CSN với u1 = 4,q= -4 ba số CSN a.-16;64;-256 b.-16;-64;-256 c.16;64;256 d.-16;64;256 12 Cho CSN với u1 a.q= ± −1 ; u7 = −32 Công bội CSN là: b.q= ±4 c.q= ±2 d.q= ±1 u4 − u2 = 54 u1và q CSN u5 − u3 = 108 13 Cho CSN với a.u1= q = b.u1= q = -2 14 Cho CSN có u1= -3,q= Số c.u1= -9 q = d.u1= -9 q = -2 −96 số hạng thứ mấycủa CSN 243 a.5 b.6 c.7 d Không phải làsố hạng CSN 15 Tìm haisố x y cho x; 2x-3y;y theo thứ tự lập thành CSC, số x2; xy-6 ; y2lập thành CSN −3 ) và( − 7; ) 7 −3 ) và( −2; ) C.( 2; 2 −3 ) và( 7; ) 7 −3 ) và( 2; ) D.( −2; 7 A.( 7; B.( − 7; 16 Trong dãy số ( un ) cho số hạng tổng quát un sau, dãy số không phải cấp số cộng: A u n = − 2n n B u n = n C un = − D u n = − 3n 2 17 Cho tổng S ( n ) = + + + n Khi cơng thức S(n) là: n ( n + 1) ( 2n + 1) A n ( n − 1) ( n + 1) S ( n) = C S ( n) = B S ( n) = ( n + 1) n ( 2n + 1) ( 3n + 1) S ( n) = D 18 Ba số x,y,z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời số x,2y,3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai khác Tìm q? A q= B q= C q=− D u1 + u3 = 19 Cho cấp số nhân ( un ) có 2 u1 + u3 = A S = 10 63 32( − 1) B S10 = 63 32 C S10 = q = −3 Tổng 10 số hạng cấp số nhân là: 63 32(1 − 2) D S10 = 63 32( − 1) 20 Cho cấp số nhân ( un ) có tổng n số hạng là: Sn = n−−11 Số hạng thứ n cấp số nhân? A u5 = 35 B u5 = B/ TỰ LUẬN ( ĐIỂM ) 35 C u5 = 35 D u5 = 35 Chứng minh bất dẳng thức sau : 1+ + + … + , với mọi n ∈ N * Cho số a,b,c khác có tổng 74 số hạng liên tiếp cấp số nhân đồng thời số hạng đầu, số hạng thứ tư, số hạng thứ tám cấp số cộng Tìm a,b,c Xét tính tăng , giảm dãy số (un) đượ cho công thức sau: un = Tìm điều kiện tham số m để phương trình x– 2(m+1)x+ 2m +1=0 có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Cho tam giác ABC vng A có a=BC, b=AC, c= AB a; thành cấp số nhân Chứng minh Bµ = 600 b ; c theo thứ t ú lp Trắc nghiệm khách quan (6 điểm) Trong câu sau hÃy chọn lựa phơng án Mỗi câu chọn đợc 0,75 điểm C©u 1: Cho d·y sè cã un = 3n – 2, n = 1, 2, 3, … Sè nµo sau số hạng dÃy (A) -1 (B) 32 (C) 21 (D) 2008 C©u 2: Cho u1 = -1, un+1 = un - 2, n = 1, 2, 3, Khi u2007 nhận giá trị bằng: (A) (B) -2 (C) -1 (D) 2007 C©u 3: DÃy số sau lập thành cấp số cộng (A) 1,2,3,1,2,3,… (B) 11,17,23,29, (C) 2,-5,8,-11,… (D)2,1,3,5,7,9,… … C©u 4: Cho cÊp sè céng cã u1 = -2, u20 = 55 Khi công sai d bằng: (A) (B) 57 (C) 19 (D) 53 C©u 5: CÊp sè céng cã u1 = 20, u2 = 16 th× tỉng số hạng 204 (A) 17 (B) (C) 36 (D) C©u 6: Bé số sau số hạng liên tiÕp cđa mét cÊp sè nh©n (A) 8,13,18 (B) +1, 1, - (C) 8,24,-72 (D) 19,95,5 C©u 7: Cho cÊp sè nh©n cã u1 = -1, u11 = -4 Khi công bội q bằng: (B) (A) (C) - C©u 8: CÊp sè nh©n cã u1 = (A) (B) (D) , q = - th× sè hạng thứ (C) 16 (D) Tự luận (4 điểm) Bài1 (2,5điểm): Với số nguyên dơng n, chứng minh phơng pháp quy nạp toán họ đẳng thức sau 13 + 23 + … + n3 = n2.(n + 1)2 Bµi (1,5 điểm): Xét tính tăng, giảm bị chặn d·y sè (un) cho bëi un = n + − n , n = 1, 2, 3, … Giải A.Trắc nghiệm khách quan (6 điểm) Câu Đáp án Điểm D 0,75 C 0,7 B A A B C D 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 B.Tự luận (4 điểm) Bài NộI DUNG Điểm Kiểm tra đẳng thức với n =1 0,5 Viết giả thiết quy nạp 0,5 Chứng minh kết luận quy nạp 1,25 Kết luận ®óng 0,25 Un = n+4 − n= ( n + + n ).( n + − n ) n+4 + n = , víi mäi n = 1, 2, 3, … n+4 + n Do ®ã un > n* Vì n nên Suy n ≥ 1, n+4 > n + + n > 3, hay un < 0,5 = ,n* 0,25 Nh dÃy (un) bị chặn Víi mäi n∈Ν* ta cã < Suy < 0< n+4 + n < n+4 < n+5 n < n +1 n + + n + ,∀n∈Ν* ⇒ 1 > ,∀n∈Ν* n+4 + n n + + n +1 ⇔ > n+4 + n ,∀n∈Ν* n + + n +1 0,25 0,5 Tøc lµ un+1 < un , ∀n∈Ν* VËy d·y (un) gi¶m Đề Phần I: Chọn câu trả lời đúngA, B, C D u1 = ∀n ∈ N * Tìm tổng ba số hạng dãy số Câu Cho dãy số ( u n ) có u n +1 = −2u n + A S3 = B S3 = C S3 = D S3 = −2 Câu Cho ( u n ) cấp số cộng có u = 4; u = −2 Tìm giá trị u10 A u10 = −17 B u10 = −20 C u10 = 37 D u10 = −29 Câu Dãy số sau dãy số tăng ? 1 1 A 3; −6;12; −24 B 2; 4;6;7 C 1;1;1;1 D ; ; ; 27 81 Câu Dãy số sau cấp số cộng ? A 4;6;8;10 B 3;5;7;10 C −1;1; −1;1 D 4;8;16;32 Câu Dãy sau cấp số nhân A u n = n n +1 B u n = n + 3n C u n +1 = u n + ∀n ∈ N * D u n +1 = 6u n ∀n ∈ N * u1 = ∀n ∈ N * Tìm cơng sai d cấp số cộng Câu Cho ( u n ) cấp số cộng u n +1 = u n − A d = B d = C d = −2 D d = Câu Cho ( u n ) cấp số nhân có u = 6; u = Tìm cơng bội q cấp số nhân A q = B q = C q = D q = −4 Câu Cho dãy số ( u n ) có số hạng tổng quát u n = 201 2n + Số số hạng thứ dãy số 11 n +1 A 11 B 12 C D 10 Câu Cho ( u n ) cấp số nhân có u1 = −2;q = Số hạng tổng quát cấp số nhân A u n = −2 + (n − 1).3 n −1 B u n = −2 + n −1 C u n = −2.3 n D u n = −2.3 Câu 10 Cho dãy số ( u n ) cấp số nhân có u1 = 2;q = Hỏi số 1458 số hạng thứ dãy số A B C 1458 D 729 Câu 11 Tìm x để ba số x; + x;3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng A x = B x = C x = D ± 3 Câu 12 Cho dãy số (u n ) cấp số cộng u1 = −2;d = Tính tổng 100 số hạng dãy số 100 A S100 = 295 B S100 = 14650 C S100 = − D S100 = 100 Câu 13 Cho ( u n ) cấp số nhân có u = 8;q = −2 Số hạng u1 cấp số nhân −1 A u1 = B u1 = −1 C u1 = D u1 = u1 = 4; u = ∀n ∈ N * Tìm tổng 200 số hạng dãy số Câu 14 Cho dãy số ( u n ) có u n + = u n +1 − u n A S200 = B S200 = C S200 = D S3 = −2 Câu 15 Cho số x + 2; x + 14; x + 50 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Khi P = x + 2019 A P = 2023 B P = C P = 16 D P = 2035 Câu 16 Tìm m để phương trình x − 10x + m + = có nghiệm lập thành cấp số cộng Giá trị m thuộc khoảng A ( −1;5 ) B ( 5;11) C ( 11;17 ) D ( 17; 23) 3n + a Câu 17 Cho dãy số ( u n ) có số hạng tổng quát u n = Tìm tất cả giá trị a để ( u n ) dãy số tăng 4n + 3 3 A a < B a > C a = D a ≠ 4 4 Câu 18 Cho ( u n ) cấp số cộng có u + u + 2u = 100 Tính tổng 12 số hạng dãy số A S12 = 600 B S12 = 1200 C S12 = 300 D S12 = 100 Câu 19 Cho ( u n ) cấp số nhân hữu hạn biết u1 + u + u + + u 2n = 5(u1 + u + u + + u 2n −1 ) ≠ Tìm công bội q cấp số nhân A q = B q = C q = D q = Câu 20 Cho hình vng ABCD có cạnh AB=1, diện tích S1 Nối trung điểm A1 ; B1 ;C1 ; D1 cạnh hình vng ABCD ta hình vng thứ hai A1B1C1D1 có diện tích S2 Tiếp tục ta hình vng thứ ba A B2C2 D có diện tích S3 tiếp tục ta hình vng có diện tích S4 ;S5 Tính S = S1 + S2 + S3 + + S100 2100 − 2100 + 299 − 4100 − B C D S = S = S = 299 299 299 3.499 Phần II: Tính kết điền vào đáp án tương ứng u1 = ∀n ∈ N* , Tính số hạng tổng quát u n Câu Câu 21 Cho dãy số ( u n ) có số hạng tổng quát u = u + 3n n +1 n u = −5 ∀n ∈ N * Tính u100 22 Cho dãy số ( u n ) có u n +1 = −2u n + Câu 23 Cho dãy số 20; 23; 26; ,x lập thành cấp số cộng Tìm x biết 20 + 23 + 26 + + x = 1905 u1 = ∀n ∈ N * Tính u 2019 Câu 24 Cho dãy số ( u n ) có u n +1 = 3n.u n A S = Câu 25 Từ tam giác H1 có cạnh a Chia cạnh tam giác thành ba đoạn bằng Từ đoạn thẳng dựng tam gác phía ngồi xóa đoạn ta hình H Tiếp tục ta hình H , H , , H n Gọi P1 , P2 , P3 , , Pn chu vi hình H1 , H , H , , H n Tính diện tích Pn theo a Đề Phần I: Chọn câu trả lời đúngA, B, C D u1 = ∀n ∈ N * Tìm tổng ba số hạng dãy số Câu Cho dãy số ( u n ) có u n +1 = −2u n + A S3 = B S3 = C S3 = D S3 = −2 Câu Cho ( u n ) cấp số cộng có u = 4; u = −2 Tìm giá trị u10 A u10 = −17 B u10 = −20 C u10 = 37 D u10 = −29 Câu Dãy số sau dãy số tăng ? 1 1 A 3; −6;12; −24 B 2; 4;6;7 C 1;1;1;1 D ; ; ; 27 81 Câu Dãy số sau cấp số cộng ? A 4;6;8;10 B 3;5;7;10 C −1;1; −1;1 D 4;8;16;32 Câu Dãy sau cấp số nhân n A u n = B u n = n + 3n C u n +1 = u n + ∀n ∈ N * D u n +1 = 6u n ∀n ∈ N * n +1 u1 = ∀n ∈ N * Tìm cơng sai d cấp số cộng Câu Cho ( u n ) cấp số cộng u n +1 = u n − A d = B d = C d = −2 D d = Câu Cho ( u n ) cấp số nhân có u = 6; u = Tìm cơng bội q cấp số nhân A q = B q = C q = D q = −4 201 2n + Câu Cho dãy số ( u n ) có số hạng tổng quát u n = Số số hạng thứ dãy số 11 n +1 A 11 B 12 C D 10 Câu Cho ( u n ) cấp số nhân có u1 = −2;q = Số hạng tổng quát cấp số nhân A u n = −2 + (n − 1).3 n −1 B u n = −2 + n −1 C u n = −2.3 n D u n = −2.3 Câu 10 Cho dãy số ( u n ) cấp số nhân có u1 = 2;q = Hỏi số 1458 số hạng thứ dãy số A B C 1458 D 729 Câu 11 Tìm x để ba số x; + x;3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng A x = B x = C x = D ± 3 Câu 12 Cho dãy số (u n ) cấp số cộng u1 = −2;d = Tính tổng 100 số hạng dãy số 100 A S100 = 295 B S100 = 14650 C S100 = − D S100 = 100 Câu 13 Cho ( u n ) cấp số nhân có u = 8;q = −2 Số hạng u1 cấp số nhân −1 A u1 = B u1 = −1 C u1 = D u1 = u1 = 4; u = ∀n ∈ N * Tìm tổng 200 số hạng dãy số Câu 14 Cho dãy số ( u n ) có u n + = u n +1 − u n A S200 = B S200 = C S200 = D S3 = −2 Câu 15 Cho số x + 2; x + 14; x + 50 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Khi P = x + 2019 A P = 2023 B P = C P = 16 D P = 2035 Câu 16 Tìm m để phương trình x − 10x + m + = có nghiệm lập thành cấp số cộng Giá trị m thuộc khoảng A ( −1;5 ) B ( 5;11) C ( 11;17 ) D ( 17; 23) 3n + a Tìm tất cả giá trị a để ( u n ) dãy số tăng 4n + 3 3 A a < B a > C a = D a ≠ 4 4 Câu 18 Cho ( u n ) cấp số cộng có u + u + 2u = 100 Tính tổng 12 số hạng dãy số A S12 = 600 B S12 = 1200 C S12 = 300 D S12 = 100 Câu 17 Cho dãy số ( u n ) có số hạng tổng quát u n = Câu 19 Cho ( u n ) cấp số nhân hữu hạn biết u1 + u + u + + u 2n = 5(u1 + u + u + + u 2n −1 ) ≠ Tìm cơng bội q cấp số nhân A q = B q = C q = D q = Câu 20 Cho hình vng ABCD có cạnh AB=1, diện tích S1 Nối trung điểm A1 ; B1 ;C1 ; D1 cạnh hình vng ABCD ta hình vng thứ hai A1B1C1D1 có diện tích S2 Tiếp tục ta hình vng thứ ba A B2C2 D có diện tích S3 tiếp tục ta hình vng có diện tích S4 ;S5 Tính S = S1 + S2 + S3 + + S100 2100 − 2100 + 299 − 4100 − B C D S = S = S = 299 299 299 3.499 Phần II: Tính kết điền vào ô đáp án tương ứng u1 = ∀n ∈ N* , Tính số hạng tổng quát u n Câu Câu 21 Cho dãy số ( u n ) có số hạng tổng quát u n +1 = u n + 3n u = −5 ∀n ∈ N * Tính u100 22 Cho dãy số ( u n ) có u n +1 = −2u n + Câu 23 Cho dãy số 20; 23; 26; ,x lập thành cấp số cộng Tìm x biết 20 + 23 + 26 + + x = 1905 u1 = ∀n ∈ N * Tính u 2019 Câu 24 Cho dãy số ( u n ) có u n +1 = 3n.u n A S = Câu 25 Từ tam giác H1 có cạnh a Chia cạnh tam giác thành ba đoạn bằng Từ đoạn thẳng dựng tam gác phía ngồi xóa đoạn ta hình H Tiếp tục ta hình H , H , , H n Gọi P1 , P2 , P3 , , Pn chu vi hình H1 , H , H , , H n Tính diện tích Pn theo a Giải Câu 21 u n +1 − u n = 3.n u − u1 = 3.1 u − u = 3.2 u n − u n −1 = 3.(n − 1) ⇒ u n − u1 = 3.(1 + + + + n − 1) ⇒ u n = + (n − 1)n v1 = −6 ⇒ u100 = v100 + = 6.299 + Câu 22 Đặt v n = u n − ⇒ (v n )csn q = −2 Câu 23 x=107 Câu 24 u n +1 = 3n un u2 = 3.1 u1 u3 = 3.2 u2 u4 = 3.3 u3 u 2019 u = 3.2018 ⇒ 2019 = 32018.2018! ⇒ u 2019 = 32018.2018! u 2018 u1 Câu 25 Gọi C n , a n, Pn số cạnh độ, dài cạnh , chu vi hình H n a1 = a p = 3a c1 = a n −1 ⇒ c n = 3.4 ; a n ⇒ a n = n −1 ; n −1 c n +1 = 4c n a n +1 = p n = c n a n = 3a( ) ... Viết số xen hai số 25 để CSC có bảy số hạng a. 21; 17 ; 13 ; 9; b. 21; -17 ; 13 ; -9; c.- 21; 17 ; - 13 ; 9; d 21; 16 ; 13 ; 9; 10 Cho cấp số cộng u1= - ,1 ; d = 0 ,1 Số hạng thứ cấp số cộng là: a .1, 6 b.0,5... D u1 + u3 = 19 Cho cấp số nhân ( un ) có 2 u1 + u3 = A S = 10 63 32( − 1) B S10 = 63 32 C S10 = q = ? ?3 Tổng 10 số hạng cấp số nhân là: 63 32 (1 − 2) D S10 = 63 32( − 1) 20 Cho cấp số nhân... ⇒ u100 = v100 + = 6.299 + Câu 22 Đặt v n = u n − ⇒ (v n )csn q = −2 Câu 23 x =10 7 Câu 24 u n +1 = 3n un u2 = 3 .1 u1 u3 = 3. 2 u2 u4 = 3. 3 u3 u 2 019 u = 3. 2 018 ⇒ 2 019 = 32 018 .2 018 ! ⇒ u 2 019