Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu bao gồm toàn bộ lý thuyết và bài tập về giới hạn dãy số, giới hạn hàm số trong chương 4 đại số 11. Tài liệu gồm các bài tập dạng tự luận giúp học sinh luyên tập tròn quá trình học tập giúp củng cố kiến thức và nâng cao kĩ năng tính giới hạn của mình. tài lệu giúp giáo viên có thêm tư liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy
Chương – Đại 11 Hà Nguy ễn CHƯƠNG IV IV CHƯƠNG GIỚI HẠN HẠN GIỚI I Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc bieät: 1 lim (k �� ) lim ; k n��n n��n lim qn ( q 1) ; lim C C n�� n�� Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b u a lim n (neáu b 0) b Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: lim n � limqn �(q 1) Định lí: a) Nếu lim un � lim c) Neáu lim un = a 0, lim = u � � ne� u a.vn lim n = � � ne� u a.vn � un a c) Neáu un �vn ,n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un a Tổng cấp số nhân lùi vô haïn u1 S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 q q 1 0 un b) Neáu lim un = a, lim = u lim n = b) Nếu un 0, n lim un= a a vaø lim limnk �(k �� ) d) Neáu lim un = +, lim = a � � ne� u a lim(un.vn) = � � ne� u a � * Khi tính giới hạn có � dạng vô định: , , – , � 0. phải tìm cách khử dạng vô định Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số: Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n 1 n 1 lim n VD: a) lim b) 2n 2 n n2 n 3n lim lim 1 2n 1 3 n 1 2 n 1� 2� 1 � � c) lim(n 4n 1) limn � � n n2 � Nhaân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức Trang 49 Chương – Đại 11 VD: Nguyễn hà a b a2 ab b2 a b a b a b a b; lim n 3n n = lim n2 3n n n2 3n n n2 3n n = lim 3n n2 3n n Dùng định lí kẹp: Nếu un �vn ,n lim = VD: = lim un = sinn sinn sinn � lim nên lim Vì 0 n n n n n 3sinn 4cosn b) Tính lim Vì 3sinn 4cosn � (32 42)(sin2 n cos2 n) 2n 3sinn 4cosn � neân 2 2n 2n 3sinn 4cosn neân lim 0 Maø lim 2n 2n2 a) Tính lim Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu Bài 1: a) Tính giới hạn sau: lim 2n2 n 3n2 2n n4 d) lim b) lim e) lim 2n n3 4n2 n2 (n 1)(2 n)(n2 1) 2n4 n Bài 2: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim Bài 3: a) lim d) lim 1 3n 3n b) lim 4.3n 7n1 2.5n 7n 2n 5n1 1 2.3n 7n e) lim 1 5n 5n 2.7n Tính giới hạn sau: 4n2 2n n2 4n n 4n2 2n n2 4n n b) lim e) lim c) lim f) lim c) 3n3 2n2 4n1 6n2 5n 8n 1 2.3n 6n f) lim n n1 (3 5) c) n2 n Trang 50 n3 2n4 n2 lim n2 n (2n n 1)( n 3) (n 1)(n 2) 3n3 2n2 n f) lim lim n2 1 n6 n4 1 n2 n2 4n 4n2 3n2 1 n Chương – Đại 11 Hà Bài 4: Tính giới hạn sau: �1 � 1 a) lim� � 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) � � � 1� � 1� 1 � 1 � c) lim� � � 22 � � 32 � 1 n e) lim n 3n Nguy ễn �1 1 � b) lim� � 1.3 2.4 n(n 2) � � � 1� 1 � � � n2 � �1 1 � d) lim� � 1.2 2.3 n(n 1) � � 1 22 2n f) lim 1 3 32 3n Bài 5: Tính giới hạn sau: � � � � �3 � a) lim � n 2n n 1� b) lim� n n n � c) lim � 2n n n 1� � � � � � � � 1 n2 n4 3n 1� d) lim� f) lim � e) lim n2 n n � � n2 n2 g) lim Baøi 6: a) lim 4n2 2n n2 1 n6 h) lim n2 4n n n4 1 n2 Tính giới haïn sau: 2cosn2 n 1 3sin6 n 5cos2(n 1) b) lim (1)n sin(3n n2) 3n i) lim c) lim 3sin2(n3 2) n2 n2 4n 4n2 3n2 1 n 2ncosn 3n 3n2 2n d) lim e) lim f) lim n(3cosn 2) n2 2 3n2 � 1� � 1�� 1� 1 � 1 � � 1 �, với n Bài 7: Cho dãy số (un) với un = � � � 22 � � 32 � � n2 � a) Rút gọn un b) Tìm lim un 1 Bài 8: a) Chứng minh: (n N*) n n (n 1) n n n 1 1 b) Rút gọn: un = 2 3 n n 1 (n 1) n c) Tìm lim un � u 1 �1 Bài 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: � un1 un (n �1) � � 2n a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n c) Tìm lim un � u 0; u2 Baøi 10: Cho dãy số (un) xác định bởi: �1 2un un1 un, (n �1) � a) Chứng minh raèng: un+1 = un 1, n 2 b) Đặt = un – Tính theo n Từ tìm lim un Trang 51 Chương – Đại 11 Nguyễn hà II Giới hạn hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; lim c c (c: � ne� u k cha� n lim xk �; lim xk � x� x0 x�x0 � x�� � ne� u k le� x�� � số) c lim c c ; Định lí: lim 0 x��� x��� xk lim f ( x ) L a) Neáu x�x vaø 1 lim �; lim � lim g(x) M x�0 x x�0 x x� x0 1 f (x) g(x) L M lim lim � thì: xlim � x0 x�0 x x�0 x Định lí: lim f ( x) g( x) L M x� x0 f (x) L vaø lim g(x) �� Neáu xlim �x0 x� x0 lim f (x).g(x) L M x�x0 thì: f (x) L � �ne� u L va� lim g(x) cu� ngda� u lim (neáu M 0) � x�x0 x� x0 g(x) lim f (x)g(x) � M �ne� u L va� lim g(x) tra� i da� u x� x0 � x�x0 lim f ( x ) L � b) Neáu f(x) vaø x�x � ne� u lim g(x) �� x� x0 f (x) L � L xlim f (x) � �x0 lim �ne� u lim g(x) va� L g(x) x� x0 g(x) � x�x0 lim f ( x ) L � c) Nếu x�x0 �ne� u lim g(x) va� L g(x) � x� x0 � lim f (x) L x� x0 * Khi tính giới hạn có Giới hạn bên: � dạng vô định: , , – , 0. lim f (x) L � x�x0 phải tìm cách khử dạng vô định lim f (x) lim f (x) L x� x0 x�x0 Một số phương pháp khử dạng vô định: Dạng P (x) a) L = lim với P(x), Q(x) đa thức P(x 0) = Q(x0) x�x0 Q( x) =0 Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn Trang 52 Chương – Đại 11 Hà Nguy ễn (x 2)(x2 2x 4) x2 2x 12 lim 3 x�2 x2 x�2 x�2 (x 2)(x 2) x P (x) b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu x�x0 Q(x) thức chứa bậc Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu VD: lim x3 lim x 4 x 2 4 x 1 lim lim x�0 x�0 x�0 x x x x P (x) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêåu thức x�x0 Q(x) chứa không đồng bậc VD: lim Giả sử: P(x) = m u(x) n v(x) Ta phân tích P(x) = v� � i mu(x0) n v(x0) a mu(x) a a n v(x) �3 x 1 1 x � x 1 x lim � � x�0 x�0� x x x � � �1 1 � � = xlim �0� 3 � x ( x ) x � � P (x) � Dạng : L = lim với P(x), Q(x) đa thức x���Q(x) � biểu thức chứa – Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp 2 2x 5x x x2 lim 2 VD: a) lim x�� x 6x x�� 1 x x2 VD: lim b) xlim �� 2x x2 x 2 lim x�� 1 1 x2 Dạng – : Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu VD: lim x�� 1 x x lim 1 x 1 x x 1 x x 1 x x x�� lim x�� 1 x x 0 Dạng 0. : Ta thường sử dụng phương pháp dạng VD: lim (x 2) x�2 x x2 lim x�2 x x x Trang 53 0 Chương – Đại 11 Bài 1: Nguyễn hà Tìm giới hạn sau: 1 x x2 x3 x�0 1 x � � sin�x � � 4� lim x x� a) lim b) lim 3x x x�1 x1 c) x1 d) lim x�1 x�2 x�1 Baøi 2: x3 x2 x x�1 x2 3x x�1 d) lim x3 5x2 3x x�3 x4 8x2 x4 b) lim x3 2x2 x x 5x5 4x6 e) lim x�1 (1 x)2 x�1 (1 x)(1 2x)(1 3x) x x2 xn n h) lim x�0 x x�1 x1 Bài 3: Tìm giới hạn sau: g) lim a) lim x�2 d) lim x�2 g) lim 4x x2 x x 1 x x�0 1 x 1 b) lim x 1 x�1 4x 2x 3x x1 e) lim x�1 h) lim x�3 x2 2x x f) lim x h) lim 3x 3x x x�2 x Tìm giới hạn sau: g) lim a) lim x4 x x2 x x1 e) lim x 3 2x x2 3x i) lim x2 sin x�0 x5 c) lim x3 x�1 f) lim xm x�1 xn x4 16 i) lim x�2 x3 2x2 c) lim 1 x x�0 x x2 1 f) lim x�0 x2 16 i) x x 16 x�0 x Bài 4: Tìm giới hạn sau: lim a) lim x�0 d) lim x�0 g) lim x�0 Baøi 5: a) lim 1 x 1 x x 1 4x 1 6x x2 x��� x2 3x x�2 e) lim 8x 11 x x�2 8x 11 x 2x2 5x 1 4x 1 6x 1 2x.3 1 4x h) lim x�0 x x Tìm giới hạn sau: x2 x�� 2x2 x d) lim b) lim x2 2x 4x 4x2 x 2x2 x x��� x b) lim e) lim 4x2 2x x x��� Trang 54 9x2 3x 2x 1 x 8 x x�0 x c) lim 3 f) lim 5 x x x�1 x2 x 1 1 x i) lim x�0 x c) lim 2x2 x�� x3 3x2 f) lim x x 1 x�� x2 x Chương – Đại 11 Hà Nguy ễn x2 2x 3x x2 5x g) lim (2x 1) x h) lim i) lim x�� x�� x x�� x 5x2 4x2 x Bài 6: Tìm giới hạn sau: � � � 2x 1 4x2 4x 3� a) lim � x x x� b) lim � � x��� x��� � � � � 3 � � c) lim � x x 1� d) lim � x x x x � x�� � x�� � � � e) lim 2x 1 2x 1 x�� f) lim 3x3 1 x�� x2 �1 � � � g) lim � h) lim � � � x�1 � x�2 � 1 x 1 x � x 3x x 5x � Bài 7: Tìm giới hạn sau: x 15 x 15 1 3x 2x2 a) lim b) lim c) lim x�2 x x�2 x x x�3 d) lim x�2 Baøi 8: chæ ra: 2 x 2 x x2 e) lim f) lim x�2 2x 5x x�2 2x 5x x Tìm giới hạn bên hàm số điểm � 1 x �9 x2 x � �3 1 x � ta� i x ta� i x a) f (x) � b) f (x) �x x �3 � 1 x x �3 x �0 � � �2 �x2 2x �x2 3x x � x � �8 x3 � x2 f ( x ) ta� i x f ( x ) ta� i x c) d) �4 � x x 16 � � x �1 x � � �2 �x Bài 9: Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm chæ ra:: �1 �x3 x � � x ta� i x1 ta� i x1 a) f (x) �x b) f (x) �x x 2 � �m x 3mx x �1 mx x �1 � � �x m x �2 f ( x ) ta� i x d) c) �x 100x x � � � x �x 3m x 1 f (x) � ta� i x 1 �x x m x �1 III Hàm số liên tục Trang 55 Chương – Đại 11 Nguyễn hà Hàm số liên tục điểm: lim f (x) f (x0) y = f(x) liên tục x0 x�x0 Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x ta thực bước: B1: Tính f(x0) f (x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f (x) , B2: Tính xlim �x x� x 0 lim f (x) ) x� x0 f (x) với f(x0) rút kết luận B3: So sánh xlim �x Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) vaø lim f (x) f (a), lim f (x) f (b) x�a x�b Hàm số đa thức liên tục R Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 f (x) Hàm số y = liên tục x0 g(x0) g(x) Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b) f (x) , M = Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = a;b max f (x) Khi với T (m; M) tồn số c a;b (a; b): f(c) = T Bài 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra: �x � x �1 ta� i x 1 a) f (x) �x b) � 1 x � � x x �1 � � f (x) � x ta� i x1 �1 x �4 Trang 56 Chương – Đại 11 Hà �2 7x 5x2 x3 � x �2 ta� i x d) c) f (x) � x2 3x � x � Nguy ễn � x x � f (x) � 2x ta� i x � (x 5) x �5 � � x1 � ta� i x f) f (x) � 2 x � 2x � Baøi 2: Tìm m, n để hàm số liên tục điểm �x3 x2 2x �x2 � x ta� i x1 a) f (x) � b) f (x) � x1 2mx x �1 � � �3x m � cos x x �0 e) f (x) � � x x � m x � �x x c) f (x) � x �0, x �3 �x(x 3) n x � � �x2 x � d) f (x) � x � �m =1 f) f x x 3x x x �2 ta� i x1 x �1 chæ ra: x �1 ta� i x1 x ta� i x va� x ta� i x x x x x = x 1 x9 x8 2x e) f x x 4 x 1 x x 1 2x x 2 g) f x x 1 x 2 x = x 5x x h) f x x x = 2x x 3 x x x l) f x x = x 3 12x x k) f x x 3 x3 f x x 1 x 5 x 5 x 1 x = x 1 Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau định chúng: �x3 x �x2 3x x �1 � � x3 � f ( x ) a) b) f (x) � � �4 � x khi x 1 � � �3 �x2 �x2 � � x �2 c) f (x) �x d) f (x) �x � � 4 x 2 � 2 � Trang 57 x = tập xác x x x x� x Chương – Đại 11 Nguyễn hà x2 x x 3x x x e) f x x f) f x x 3 x 2 x 2 x2 3x x x x g) f x x h) f x x 2x - 20 2x x 1 x 2 Bài 4: Tìm tham số để hàm số sau liên tục điểm xét đ 3x x1 x x x a) f x x = b) f x x x = ax x 1 x 2 3ax 2x 1 x x x x x x f x f x c) x = -½ d) x = ax x 1 a x x2 x x 2x x 1 x -1 e) f x x = e) f x x x = -1 3x a 3x a x 1 mx x -1 Bài 5: Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng: �x2 x �x2 x x � � x � a) f (x) � x b) f (x) � x � � m x m x x � � �x3 x2 2x �x2 � x x �1 f ( x ) c) f (x) � d) � x1 m x x �1 � � 3x m x � x3 x x 10 x 1 x e) f x x f) f x x a - 2m x 1 x 2 x3 g) f x x 5m - 3x h) f x - a x x x 2 x -1 x - x - Bài 6: Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x3 3x 1 b) x3 6x2 9x 1 c) 2x 63 1 x Bài 7: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) x5 3x b) x5 x 1 c) x4 x3 3x2 x 1 Bài 8: Chứng minh phương trình: x5 5x3 4x 1 có nghiệm (–2; 2) Bài 9: Chứng minh phương trình sau có nghiệm với giá trị tham soá: a) m(x 1)3(x 2) 2x b) x4 mx2 2mx c) a(x b)(x c) b(x c)(x a) c(x a)(x b) d) (1 m2)(x 1)3 x2 x Trang 58 Chương – Đại 11 Nguy ễn Hà e) cos x mcos2x f) m(2cos x 2) 2sin5x Bài 10: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) ax2 bx c với 2a + 3b + 6c = b) ax2 bx c với a + 2b + 5c = c) x3 ax2 bx c Bài 11: Chứng minh phương trình: ax2 bx c có � 1� 0; nghiệm x � với a vaø 2a + 6b + 19c = � 3� � Bài 11: Chứng minh phương trình sau a) 3x2 + 2x – = có nghiệm b) 4x4 +2x2 – x – = có hai nghiệm thuộc (-1, 1) c) x3 – 3x + =0 có nghiệm phân biệt d) x4 – x – = có nghiệm thuộc (1, 2) e) 2x3 – 6x + = có nghiệm thuộc -2, 2 Trang 59 ... n 3) (n 1)(n 2) 3n3 2n2 n f) lim lim n2 1 n6 n4 1 n2 n2 4n 4n2 3n2 1 n Chương – Đại 11 Hà Bài 4: Tính giới hạn sau: �1 � 1 a) lim� � 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) �... x�� x2 x Chương – Đại 11 Hà Nguy ễn x2 2x 3x x2 5x g) lim (2x 1) x h) lim i) lim x�� x�� x x�� x 5x2 4x2 x Bài 6: Tìm giới hạn sau: � � � 2x 1 4x2 4x 3� a) lim... mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu Bài 1: a) Tính giới hạn sau: lim 2n2 n 3n2 2n n4 d) lim b) lim e) lim 2n n3 4n2 n2 (n 1)(2 n)(n2 1) 2n4 n Bài 2: Tính giới hạn