1. Trang chủ
  2. » Cao đẳng - Đại học

De Dap an HSG Toan 9 20122013

5 5 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 152,57 KB

Nội dung

- Thí sinh làm bài cách khác với Hớng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm tơng ứng với biểu điểm của Hớng dẫn chấm - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0,[r]

(1)phòng giáo dục và đào tạo cẩm khê kú thi chän häc sinh giái c¸c m«n v¨n ho¸ líp cÊp huyÖn n¨m häc 2012 - 2013 §Ò chÝnh thøc đề thi môn toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: (4 điểm) a Chứng minh với số tự nhiên n thì An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ là số chính phương b Tìm các số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - chia hết cho x2 + Câu 2: (4 điểm) x x5  x3  3x   2 a Tính giá trị biểu thức A = x  x  11 với x  x  a  b2  b  c2  c  a  b Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: Chứng minh rằng: Câu 3: ( điểm) a  b2  c2  3 2 Giải phương trình: x  x  12  x  3x   x  Câu 4: (7 điểm) Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC đường tròn a Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH b Tính AH theo R và PO = d c Đường thẳng a qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng a R , đường thẳng vuông góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P trên đường thẳng a để diện tích  POM đạt giá trị nhỏ Câu 5: (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1  a2  1  b2  1  c2  -Hết- Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chú ý: Cán coi thi không giải thích gì thêm phòng giáo dục và đào tạo HUYỆN cẩm khê (2) kú thi chän häc sinh giái líp cÊp huyÖn n¨m häc 2012 - 2013 híng dÉn chÊm m«n to¸n (§Ò chÝnh thøc, ngµy thi 26 th¸ng 12 n¨m 2012) I Mét sè chó ý chÊm: - Híng dÉn chÊm díi ®©y chØ dùa vµo lêi gi¶i s¬ lîc cña mét c¸ch, chÊm gi¸m kh¶o cÇn bám sát yêu cầu đề bài, lời giải chi tiết học sinh đảm bảo lôgic đúng kiến thức m«n - Thí sinh làm bài cách khác với Hớng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống cho điểm tơng ứng với biểu điểm Hớng dẫn chấm - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0, 25 điểm II §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm: §¸p ¸n §iÓm Câu 1: (4 điểm) a Chứng minh với số tự nhiên n thì A n = n(n+1)(n+2)(n+3)+ là số chính phương b Tìm các số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - chia hết cho x2 + a Ta có: An n(n 1)(n  2)(n  3) 1 (n  3n)(n  3n  2)  1 (n2  3n)2  2(n  3n) 1 (n  3n 1)2 Vậy An là số chính phương với n  N b Đặt A = x3 - 2x2 +9x - = x(x2 +5) - 2(x2 + 5) + 4x + Do đó: A  (x2 +5)  (4x + 1)  (x2 + 5) (1) Vì 4x  -1 và 4x  1, nên từ (1) suy (4x + 1)(4x - 1)  (x2 + 5)  (16x2 - 1)  (x2 + 5)  16(x2 + 5) - 81  (x2 + 5)  81  (x2 +5) Vì x2 +  nên xảy hai trường hợp sau: x2 + = 81  x2 = 76 (không có giá trị x nguyên nào thoả mãn) x2 + = 27  x2 = 22 (không có giá trị x nguyên nào thoả mãn) x2 + =  x2 =  x = (t/m) x = -2 (không thoả mãn (1) Vậy với x = thoả mãn điều kiện bài toán Câu 2: (4 điểm) 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 x x5  x3  3x   2 a Tính giá trị biểu thức A = x  x  11 với x  x  b Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: Chứng minh rằng: a  b2  c2  a  b2  b  c2  c  a  3 x   x  x  x   x2 3x  a Ta có x  x  0.5 Do đó: x  x x (3x  1).x 3 x  x 3(3x  1)  x 8 x  x  x x (8 x  3).x 8 x  3x 8.(3x  1)  3x 21x  x  x x (21x  8).x 21x  x 21.(3x  1)  x 55 x  21 Từ đó ta có: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (3) x5  x  3x  55x  21  4(8 x  3)  3x  28x 0.25 x  x  15 21x   7(3x  1)  15 42 x x  x3  3x  28 x   42 x (vì x 0 ) Vậy A = x  x  11 b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: a  b2  b  c  c  a  a 1  b2 b2 1  c2 c   a    2 2 Đẳng thức sảy và khi: a   b  a 1  b    2 2 b   c  b 1  c  a  b  c    c 1  a 2 c   a   đpcm Câu 3: ( điểm) Giải phương trình: x  x  12  x  3x   x  (1) 0.25 0.5 0.25 2 Đặt u  x  x  12, v  x  3x  ( u  0, v  0)  u 2 x  x  12, v 2 x  3x   u  v 2 x  10 2( x  5) 2 Từ (1)  2(u  v) (u  v )  (u  v)(u  v  2) 0 (2) Vì u  0, v  , từ (2) suy ra: u  v  0 Vì x  x  12  x  3x   (3) 0.5 0.25 Bình phương vế và thu gọn ta phương trình 2 x  x   x   x  0   2 x  x   x   x    7 x  x  0  x    (7 x  7)  (6 x  6) 0  x     x  1, x   tm   x  1, x   x   ( x  1)(7 x  1) 0 0.25 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Câu 4: (7 điểm) Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC đường tròn a Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH b Tính AH theo R và PO = d c Đường thẳng a qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng a R , đường thẳng vuông góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P trên đường thẳng a để diện tích  POM đạt giá trị nhỏ (4) P A 0.5 N C H K O B M a j NH CH NH CH    PB OB (1) a Vì AH//PB , áp dụng định lý Talét vào  CPB ta có: PB CB ABC BPO    HAC BPO Ta cã: (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) ;   ¬ng øng song song)  BPO HAC  ACH POB (g,g)  (gãc cã c¹nh t- AH CH  PB OB (2) 0.75 0.75 0.5 Tõ (1) vµ (2) suy ra: AH = 2NH hay AN = NH b Trong  ABC vuông A có đờng cao AH áp dụng hệ thức lợng tam giác vu«ng ta cã: AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH (3) NH OB PB Tõ (1) ta cã vào (3) , kết hợp với AH = 2NH ta đợc: AH.CB   AH.CB    2R    2PB   2.PB  AH2 =   4PB2.AH2 = (4R.PB - AH.CB).AH.2R = 8R2.PB.AH - 4R2.AH2  PB2.AH = 2R2.PB - R2.AH  AH(PB2 + R2) = 2R2.PB 0.5 CH  0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 2R d -R 2 Thay PB2 = d2 - R2 vào đẳng thức trên ta đợc: AH = d 1 c Ta cã: SMOP = MP.OB = ( PB + BM ) OA = ( PB + MB ) R áp dụng bất đẳng thức Cô si có: (PB + MB)  PB.BM DÊu b»ng x¶y vµ chØ PB = BM  MOP vu«ng t¹i O, cã : PB.MB = OB2 = R2 Tõ (1), (2), (3) suy SMOP  R2   MOP cã diÖn tÝch nhá nhÊt b»ng R2 vµ chØ PB = BM = R   PBO vu«ng c©n t¹i B  OP = R 0.5 (1) (2) (3) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (5) Vậy  MOP có diện tích nhỏ OP = R Khi đó P là chân đờng vuông góc hạ từ O đến đờng thẳng a Câu 5: (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1  a2     b2  c2 Vì vai trò a, b, c là nhau, giả sử a b c Do abc = nên bc  và a  0.25 Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:     b 2c     b 2c            1    b2  c2  2   2 (1  b )(1  c )    b  c    (1  bc)    4bc 4a    (Vì bc  1; a  1)  bc  bc  a 1 a  2 a 1  c2 Suy ra:  b (1) (1  a) (12  12 )(12  a )  Mặt khác, ta có:   a  a (2) a   a 1  a (3) - Chứng minh:   3a  2a (a  1) 0  ( 2a   a ) 0 Thật vậy, ta có (3)   1b 1 c Từ (1), (2) và (3) suy ra:  a Đẳng thức xảy và a = b = c =  0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (luôn đúng với  a) (6)

Ngày đăng: 24/06/2021, 22:18

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w