- Thí sinh làm bài cách khác với Hớng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm tơng ứng với biểu điểm của Hớng dẫn chấm - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0,[r]
(1)phòng giáo dục và đào tạo cẩm khê kú thi chän häc sinh giái c¸c m«n v¨n ho¸ líp cÊp huyÖn n¨m häc 2012 - 2013 §Ò chÝnh thøc đề thi môn toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: (4 điểm) a Chứng minh với số tự nhiên n thì An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ là số chính phương b Tìm các số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - chia hết cho x2 + Câu 2: (4 điểm) x x5 x3 3x 2 a Tính giá trị biểu thức A = x x 11 với x x a b2 b c2 c a b Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: Chứng minh rằng: Câu 3: ( điểm) a b2 c2 3 2 Giải phương trình: x x 12 x 3x x Câu 4: (7 điểm) Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC đường tròn a Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH b Tính AH theo R và PO = d c Đường thẳng a qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng a R , đường thẳng vuông góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P trên đường thẳng a để diện tích POM đạt giá trị nhỏ Câu 5: (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1 a2 1 b2 1 c2 -Hết- Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chú ý: Cán coi thi không giải thích gì thêm phòng giáo dục và đào tạo HUYỆN cẩm khê (2) kú thi chän häc sinh giái líp cÊp huyÖn n¨m häc 2012 - 2013 híng dÉn chÊm m«n to¸n (§Ò chÝnh thøc, ngµy thi 26 th¸ng 12 n¨m 2012) I Mét sè chó ý chÊm: - Híng dÉn chÊm díi ®©y chØ dùa vµo lêi gi¶i s¬ lîc cña mét c¸ch, chÊm gi¸m kh¶o cÇn bám sát yêu cầu đề bài, lời giải chi tiết học sinh đảm bảo lôgic đúng kiến thức m«n - Thí sinh làm bài cách khác với Hớng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm thống cho điểm tơng ứng với biểu điểm Hớng dẫn chấm - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần làm tròn đến 0, 25 điểm II §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm: §¸p ¸n §iÓm Câu 1: (4 điểm) a Chứng minh với số tự nhiên n thì A n = n(n+1)(n+2)(n+3)+ là số chính phương b Tìm các số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - chia hết cho x2 + a Ta có: An n(n 1)(n 2)(n 3) 1 (n 3n)(n 3n 2) 1 (n2 3n)2 2(n 3n) 1 (n 3n 1)2 Vậy An là số chính phương với n N b Đặt A = x3 - 2x2 +9x - = x(x2 +5) - 2(x2 + 5) + 4x + Do đó: A (x2 +5) (4x + 1) (x2 + 5) (1) Vì 4x -1 và 4x 1, nên từ (1) suy (4x + 1)(4x - 1) (x2 + 5) (16x2 - 1) (x2 + 5) 16(x2 + 5) - 81 (x2 + 5) 81 (x2 +5) Vì x2 + nên xảy hai trường hợp sau: x2 + = 81 x2 = 76 (không có giá trị x nguyên nào thoả mãn) x2 + = 27 x2 = 22 (không có giá trị x nguyên nào thoả mãn) x2 + = x2 = x = (t/m) x = -2 (không thoả mãn (1) Vậy với x = thoả mãn điều kiện bài toán Câu 2: (4 điểm) 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 x x5 x3 3x 2 a Tính giá trị biểu thức A = x x 11 với x x b Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: Chứng minh rằng: a b2 c2 a b2 b c2 c a 3 x x x x x2 3x a Ta có x x 0.5 Do đó: x x x (3x 1).x 3 x x 3(3x 1) x 8 x x x x (8 x 3).x 8 x 3x 8.(3x 1) 3x 21x x x x (21x 8).x 21x x 21.(3x 1) x 55 x 21 Từ đó ta có: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (3) x5 x 3x 55x 21 4(8 x 3) 3x 28x 0.25 x x 15 21x 7(3x 1) 15 42 x x x3 3x 28 x 42 x (vì x 0 ) Vậy A = x x 11 b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: a b2 b c c a a 1 b2 b2 1 c2 c a 2 2 Đẳng thức sảy và khi: a b a 1 b 2 2 b c b 1 c a b c c 1 a 2 c a đpcm Câu 3: ( điểm) Giải phương trình: x x 12 x 3x x (1) 0.25 0.5 0.25 2 Đặt u x x 12, v x 3x ( u 0, v 0) u 2 x x 12, v 2 x 3x u v 2 x 10 2( x 5) 2 Từ (1) 2(u v) (u v ) (u v)(u v 2) 0 (2) Vì u 0, v , từ (2) suy ra: u v 0 Vì x x 12 x 3x (3) 0.5 0.25 Bình phương vế và thu gọn ta phương trình 2 x x x x 0 2 x x x x 7 x x 0 x (7 x 7) (6 x 6) 0 x x 1, x tm x 1, x x ( x 1)(7 x 1) 0 0.25 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Câu 4: (7 điểm) Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là các tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC đường tròn a Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH b Tính AH theo R và PO = d c Đường thẳng a qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng a R , đường thẳng vuông góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P trên đường thẳng a để diện tích POM đạt giá trị nhỏ (4) P A 0.5 N C H K O B M a j NH CH NH CH PB OB (1) a Vì AH//PB , áp dụng định lý Talét vào CPB ta có: PB CB ABC BPO HAC BPO Ta cã: (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) ; ¬ng øng song song) BPO HAC ACH POB (g,g) (gãc cã c¹nh t- AH CH PB OB (2) 0.75 0.75 0.5 Tõ (1) vµ (2) suy ra: AH = 2NH hay AN = NH b Trong ABC vuông A có đờng cao AH áp dụng hệ thức lợng tam giác vu«ng ta cã: AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH (3) NH OB PB Tõ (1) ta cã vào (3) , kết hợp với AH = 2NH ta đợc: AH.CB AH.CB 2R 2PB 2.PB AH2 = 4PB2.AH2 = (4R.PB - AH.CB).AH.2R = 8R2.PB.AH - 4R2.AH2 PB2.AH = 2R2.PB - R2.AH AH(PB2 + R2) = 2R2.PB 0.5 CH 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 2R d -R 2 Thay PB2 = d2 - R2 vào đẳng thức trên ta đợc: AH = d 1 c Ta cã: SMOP = MP.OB = ( PB + BM ) OA = ( PB + MB ) R áp dụng bất đẳng thức Cô si có: (PB + MB) PB.BM DÊu b»ng x¶y vµ chØ PB = BM MOP vu«ng t¹i O, cã : PB.MB = OB2 = R2 Tõ (1), (2), (3) suy SMOP R2 MOP cã diÖn tÝch nhá nhÊt b»ng R2 vµ chØ PB = BM = R PBO vu«ng c©n t¹i B OP = R 0.5 (1) (2) (3) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (5) Vậy MOP có diện tích nhỏ OP = R Khi đó P là chân đờng vuông góc hạ từ O đến đờng thẳng a Câu 5: (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1 a2 b2 c2 Vì vai trò a, b, c là nhau, giả sử a b c Do abc = nên bc và a 0.25 Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có: b 2c b 2c 1 b2 c2 2 2 (1 b )(1 c ) b c (1 bc) 4bc 4a (Vì bc 1; a 1) bc bc a 1 a 2 a 1 c2 Suy ra: b (1) (1 a) (12 12 )(12 a ) Mặt khác, ta có: a a (2) a a 1 a (3) - Chứng minh: 3a 2a (a 1) 0 ( 2a a ) 0 Thật vậy, ta có (3) 1b 1 c Từ (1), (2) và (3) suy ra: a Đẳng thức xảy và a = b = c = 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (luôn đúng với a) (6)