d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900.. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất..[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT-THANH OAI TRƯỜNG THCS KIM AN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ BÀI Câu (6 điểm) Cho P = ( x+ √3 x − 3 √ x − x+ √ x+ ) ( 1+ √3 x −√3 x 1+ √ x ) a, Rút gọn P b, Tìm các giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu (4 điểm) a, Giải phương trình: √ x + √ x +3 = x + b, Cho 00 < α < 900 và sin α + cos α ¿ Tính tan α Câu (3 điểm) a, Cho a, b, c > thỏa mãn biểu thức a + b + c = Chứng minh rằng: √ a+bc+ √ b+ac+ √ c +ab ≤ b, Cho < x < Tìm GTNN A= x + 1−x x Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC có ∠ A=1 v , kẻ đường cao AH (H thuộc BC) AH ) nó cắt AB P và AC Q Qua P và Q vẽ hai tiếp AH tuyến với đường tròn ( I; ), chúng cắt BC E và F Vẽ đường tròn ( I; Chứng minh rằng: a, PE// QF b, AB AP = AQ AC c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm Tính EF d, Giả sử BC cố định còn A di động luôn nhìn BC góc 900 Tìm vị trí A để diện tích tam giác APQ lớn Câu (1 điểm) Chứng minh không tồn x, y là số nguyên thỏa mãn biểu thức: 2012x2015 + 2013y2018 = 2015 Hết -Người đề: Nguyễn Thị Thu Hường Người kiểm tra đề: Hà Thị Thủy ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN (2) Câu (6 điểm) a, P = ( Năm học: 2015 – 2016 Nội dung x+ √3 x 1+ √3 x − −√3 x √3 x − x+ √ x+ 1+ √ x ) ( ¿ x≥0 x≠ ¿{ ¿ P= P= P= P= P= Điểm ) đk: 0,5đ 0,5đ ( x +4 √3 x − ( √3 x ) −8 x +2 √ x +4 ) ( ( √ ( 1+ ( √ x ) − √3 x 1+ √ x ) x+ − √3 x ( √ x − ) 1+ x ) ( 1− √ x +3 x ) −√3 x 1+ √ x ( √ x − ) ( x +2 √ x + ) x +4 −3 x+ √ x (1 - √ x + 3x - √ x ) ( √ x − ) ( x +2 √ x + ) x +2 √ x + (3x - √ x + 1) ( √ x − ) ( x +2 √ x + ) ( √3 x − ) x - 1) ¿ ( √3 x − ) ( √ √ x −2 b, Tìm các giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên 2 ( √3 x − ) ( √3 x − ) +2 ( √ x − ) +1 Ta có P ¿ ¿ √ x −2 √ x −2 P = ( √ x - 2) + + P = √3 x + √3 x − √3 x − ¿ x ∈ n (n ∈ Z) Để P có giá trị nguyên thì ( √ x −2 ) ∈U (1)ƯƯ (2) ¿{ ¿ ⇔ ⇔ x =3(TM) √ x −2=1 √ x=3 ¿ ¿ ¿ √ x −2=−1 √ x =1 x= ( loai) Từ (2) có ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,5đ ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Vậy với x = thì P có giá trị nguyên a, Giải phương trình: (4 điểm) √ x + √ x +3 = x + điều kiện: x -3 ⇔ √ x +4 √ x +3 = 2x + ⇔ 2x + - √ x −4 √ x +3 = ⇔ (x - √ x + 1) + x + - √ x+3 + = 0.5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (3) ⇔ ( √ x −1 ) + ( √ x +3 −2 ) ⇔ ¿ ( √ x −1 )2=0 ( √ x+3 − )2=0 ¿{ ¿ mãn) =0 ⇔ ⇔ √ x+3 − 2=0 x=1 (thỏa ¿{ ¿ b, Cho 00 < α < 900 và sin α + cos α b, 0,25đ ¿ √ x −1=0 ¿ 0,75đ Tính tan α Vì sin α + cos α Mà 2 sin α + cos =1 ¿ nên ⇒ sin α = ( ( 75 −cos α ) − cos α +cos α =1 0,25đ ) 49 14 − cos α +cos α +cos α =1 25 ⇔ 50 cos2 α −7 cos α + 24=0 ⇔ 25 cos α − 35 cos α +12=0 ⇔ 25 cos2 α − 20 cos α −15 cos α +12=0 ⇔ (5cos α - 4) (5cos α - 3) = 3 cos α = sin α = tan α = 5 ¿ ¿ ¿ 4 cos α = sin α = tan α = ⇔ ⇔ ⇔ 5 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy tan α = cos α = và sin α = 4 Hoặc tan α = cos α = và sin α = a, Ta có: √ a+ bc=√ a 1+ bc − √ a(a+ b+c )+bc= √( a+b)(a+c) Tương tự: √ b+ac=√( b+a)(b+ c) và √ c+ ab= √ (c +a)(c +b) Mà: √(a+ b)(a+ c) ≤ (a+b+ a+c ) √(b+ a)(b+ c)≤ (b+a+ b+c ) √(c +a)(c+ b)≤ (c +a+ c+b) Nên √ a+ bc+ √ b+ ac+ √ c +ab ≤ (4 a+ b+ c )=2(a+ b+c )=2 ¿ a+ b+c=1 a+b=a+c ⇔ a=b=c= Dấu (=) xảy b+ a=b+ c c +a=c +b ¿{{{ ¿ ⇒ b, Ta có: < x < 1–x>0 ⇔ (3 điểm) 0,25đ 0,25đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ (4) Và Vì x x −5 x +5 x + = + 1−x x 1−x x 5(1 − x ) x 5(1− x) x x A= + + = + +5 1−x x x 1− x x 5( 1− x ) x x 5(1 − x) + ≥2 =2 √ 1−x x 1− x x 0,25đ A= √ Do đó: A ≥2 √ 5+5 Dấu (=) xảy 0,25đ ¿ 5(1 − x) x = 1−x x x ¿ ¿ ¿¿ Kết luận: giá trị nhỏ A là (5 + √ ) x = Vẽ hình đúng 0,25điểm (6 điểm) 0,25đ 0,25đ 0,5đ − √5 A Q I I P K B a, Chứng minh được: E H F +) P, I, Q thẳng hàng +) PE, QF cùng vuông góc với PQ b, +) APHQ là hình chữ nhật +) góc BAH góc C +) góc APQ góc BAH +) tam giác APQ đồng dạng với tam giác ACB (g-g) c, +) Tính BC = 13cm +) E là trung điểm BH; F là trung điểm HC +) EF = BC = 6,5cm d, Kẻ AK 1 PQ ta có SAPQ= AK PQ = AK AH 1 AH nên S AH2 ⇔ SAPQ lớn ⇔ APQ AH lớn ⇔ AH là trung tuyến Δ ABC ⇔ Δ Vì AK ABC là vuông cân A Ta có với x thì 2012x2015 ⋮ nên là số chẵn (1 điểm) +) Nếu y là số chẵn thì 2013.y2018 là số chẵn, vì y2018 là số chẵn Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) là số chẵn mà 2015 Là số lẻ (vô lí) C 0,5đ 0,75đ 0,5đ 0,25d 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ (5) +) Nếu y là số lẻ thì y1009 là số lẻ Do đó chọn y1009 = (2n+1) (n Z ) Thì 2013 y2018 = 2013 (2n+1)2 = 2013 (4n2 + 4n + 1) = 2013 (n2 +n) +2013 Nên 2012.x2015 + 2013 y2018 chia cho dư Còn số 2015 chia cho dư (vô lí) Vậy không có số nguyên x, y nào mà 2012x2015 2013.y2018 = 2015 0,25đ 0,5đ (6)