Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đường tròn tâm I... Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG Môn : Toán Năm học : 2015-2016 Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6 điểm) [ 1,Cho biểu thức: K = x +3 √ x +2 x + √ x − : x−1 x +√ x − ] [√ 1 + x +1 √ x − ] a/ Rút Gọn K b/ Tính giá trị biểu thức K x = 24+ 5 3 29 12 √ x +1 c / Tìm x để : K − ≥ 2,Cho các số thực dương x , y ,z thỏa mãn điều kiện x √ 1− y 2+ y √ − z 2+ z √ 1− x2 = chứng minh x 2+ y + z 2= 2 Bài 2: (4điểm) a ) Giải phương trình √ 7− x+ √ x +1=x −6 x +13 b ) Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn : a + b +c = √ a+ √ b+ √ c=2 √ a √b √ c Chứng minh : 1+ a + 1+b + 1+ c = (1+ a)(1+ b)(1+ c) √ Bài 3: (3điểm) x2 y2 z2 A x y y z z x biết x, y, z > , a) Tìm GTNN xy yz zx 1 a b c 2 bc a c a b với a, b, c > b) Chứng minh Bài 4:(6 điểm).Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài A (R>r) Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC ( B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đường tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E a) Chứng minh tam giác ABC vuôngtại A b) OE cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F; A cùng nằm trên đường tròn c) Chứngtỏ BC2 =4 Rr Tính diện tích tứ giác BCIO theo R ;r Bài5: (1 điểm )Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = Hết -(Cán coi thi không giải thích gì thêm) (2) Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp PHÒNG GD&ĐT THANH OAI N¨m häc 2015- 2016 M«n thi : To¸n TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG Bài Ý 1.(4đ) a)(2đ) Bài (6đ) b)(1 đ) c )(1đ ) ĐIỂM NỘI DUNG CẦN ĐẠT a, Với x0 , x≠ ta có: √ x +1 K= √x b,Ta có : x = 24+ = 24+ = 24+ = 24+ = 25 Thay x = 25 vào K ta có: √25+1 = K= √25 0,5 0,75 0,75 √ x +1 √ x √ x+ − x+6 √ x − − ≥1⇔ − −1 ≥0 ⇔ ≥ (*) Do : K 8 8( √ x+1) √ x +1 √ x −3 ¿ ≤ 8( √ x +1)≥ ∀ x nên (*) √ x −3 ¿2 ≥ ⇔¿ mặtkhác ⇔− ¿ √ x −3 ¿ ≥ ⇔ √ x=3 ⇔ x=9 ¿ Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm ta có 2 2 0,75 0,75 x + 1− y y +1 − z z +1 − x x √ 1− y + y √ − z + z √ 1− x ≤ + + ¿+ = 2 2 x=√ 1− y ¿ y =√1 − z 0,5 z=√ 1− x ⇔ ¿ x =1− y 0,5 Đẳngthứcsảyra : y 2=1 − z 2 z =1 − x ⇒(dpcm) ¿ 0,5 ¿{{ ¿ ¿ ¿¿ 2)(2đ) 0,5 2 0,5 a,(2đ) a, (3) 0,5 −1 ≤ x ≤7 ĐK: Ápdụng BĐT Bunyakovsky Bài (4đ) tacó √ 7− x+ √ x +1 ¿ ≤ 2(7 − x + x +1)=16 ⇔ √ − x + √ x+1 ≤ ) ¿ x − ¿2+4 ≥ lạicó x −6 x +13=¿ đó PT b(2đ) 0,5 ⇔ √ 7− x=√ x+1 x −3=0 ⇔ x=3 ¿{ 0,5 b) Đặt x=√ a ; y=√ b ; z= √ c thì 0,5 0,5 x + y + z =x + y + z=2 ⇒ 2(xy+ yz+ zx)=22 −2=2⇒ xy + yz+zx=1 1+a=xy+ yz+ zx+ x =( x+ y)( x + z) Do đó : 1+b=xy + yz+zx + y 2=( y + z)( y + x ) 1+c =xy + yz+zx + z 2=( z+ x )( z+ y) 0,5 0,5 Vìvậy √ a + √b + √ c = x y z + + 1+ a 1+b 1+ c ( x+ y )( x + z) ( y + z)( y+ x ) (z + x )( z+ y) 2( xy+ yz+ zx) ¿ = ( x + y )( y+ z)(z + x) √(1+a)(1+b)(1+ c) a(1,5đ ) x2 y2 z2 xyz a : x y yz zx Theo bất đẳng thức Cauchy : 0,5 0,5 0,5 xy yz zx xy yz zx x+y+z xy ; yz ; zx nên 2 2 0,5 1 x y z A = Bài (3đ) b )Theo bấtđẳngthức Cauchy : b(1,5) bc bca bc 1 : a 2a a a 2a Do đó : b c a b c Tươngtự : 0,5 (4) b 2b c 2c ; ac abc ab abc a b c 2(a b c) 2 ca ab abc Cộngtừngvế : b c a b c b c a a b c 0 Xảyradấuđẳngthức : c a b , tráivớigiảthiết 0,5 0,5 a, b, c > Vậydấuđẳngthứckhôngxảyra a(1,5đ ) Hìnhvẽ B E C N F O Bài (6đ) A I 0,5 0,5 a )Ta có : BE và AE là tiếptuyếncắtnhauAE = BE AE=BE=EC= BC Tươngtự ta có AE =EC tam giác ABC vuông tai A b(1,5đ ) b) Theo tínhchất tiếptuyếncắtnhauthì EO làphângiáccủa tam giáccân AEB OE làtrungtrực AB hay ❑ OE ⊥ AB ⇔ ENA=900 0,5 0,5 0,5 ❑ Tươngtự EÈA =90 ❑ Mà NAF =900 ⇒ tứgiác FANE là hìnhchữnhật điểm F ;A ; N ;E cùngnằmtrênđườngtròn 0,5 0,5 c )tứgiác FANE là hìnhchữnhật ⇒ ΔOEI vuôngtại E và EA ⊥OI ( tínhchấttiếptuyến ) Ápdụnghệthứclượngtrongtamgiácvuông ta có AE =OA AI 0,5 c(1,5) BC BC AE= ; OA=R ; AI=r ⇒ =Rr ⇔ BC2=4 Rr Mà d/SBCIO=? Ta cótứgiác BCIO là hìnhthangvuông 0,5 0,5 (5) d(1,5) SBCIO= OB+IC × BC S= (r + R) √ rR 0,5 Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = x(y + 1)2 = 243y (1) Từ (1) vớichú ý (y + 1; y) = ta suy (y + 1) làướccủa 0,5 243 Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8) 0,5 Bài 1đ (6)