Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB.. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian thi: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI x 3 x 2 x 2 : x x x x Bài (4 điểm): Cho biểu thức Với x 0; x 4; x 9 ; A x ; x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A x 6 c) Với giá trị nào x thì A đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ đó? Bài ( 3điểm): Cho tam giác ABC có góc A = 20 0, AB = AC = b; BC = a Chứng minh hệ thức a3 +b3 = 3ab2 Bài (4 điểm): B 111 222 n 2n a) Chứng minh với số nguyên dương n thì số là số chính phương 2 b) Chứng minh a và a là các số nguyên tố thì a là số nguyên tố Bài (6 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax, By C và D a) Chứng minh OC OD và CD AC BD b) Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn để CD có độ dài nhỏ Bài (3 điểm): Cho các số a, b, c thỏa mãn a b c 1 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: C ab 2bc 3ca ; Hết (2) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán Năm học: 2012-2013 x 3 x 2 x 2 : x 3 x x x 6 A Bài (4 điểm):Cho biểu thức Với x 0; x 4; x 9 (*) a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị A x 6 ; x ; x c) Với giá trị nào x thì A đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ đó? Lời giải sơ lược Điểm * a) Với điều kiện ta có: x 3 x x 2 x A : x 1 x x x 2 x 0,50 x 9 x4 x 2 : x x x 1 0,50 x x : x x 1 0,50 1 x 1 : x x 1 x x 6 b) Dễ thấy : x 51 51 0,50 5 thoả mãn điều kiện Khi đó: 0,50 Do vậy, giá trị biểu thức A là: x x 0,25 1 1 5 0,25 5 1 c) Viết lại, A = x Để A có GTNN thì x có GTLN, hay x 1 0,25 có GTNN Ta có: x 1 , dấu "=" xảy x = 1 Giá trị nhỏ A là 1 1 , xảy x = 0,75 (3) Bài ( 3điểm):Cho tam giác ABC có A = 200 , AB = AC = b; BC = a Chứng minh hệ thức a3 +b3 = 3ab2 Lời giải sơ lược Điểm A M N B C Vẽ tia BX cho Abx = 600 cắt AC N; vẽ AM vuông góc với Bx 1,00 M => tam giác ABM là nửa tam giác => BM = b/2 Ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCN từ đó tính CN = a 2/b => b a2 3b b ; AM2 = ; MN = b/2 - a 2,00 AN = AM2 = AN2 - MN2 Thay tính kết a3 +b3 = 3ab2 Bài (4 điểm): B 111 222 n 2n a) Chứng minh với số nguyên dương n thì số là số chính phương 2 b) Chứng minh a và a là các số nguyên tố thì a là số nguyên tố Lời giải sơ lược Điểm a) Ta có : B 111 222 111 1000 111 X 111 n 2n n n n n 1,00 111 111 X (999 1) 111 X (9 X 111 1) 111 n a 111 n n n n n 2 n Đặt , ta được: B a(9a 1) a 9a a a 9a (3a ) Vì a là số tự nhiên nên B là số chính phương b) Xét phép chia số tự nhiên a cho 3, xảy khả năng: a 3k ; a 3k 1và a 3k (k N ) 2 + Nếu a 3k 1(k N ) thì a BS BS 93 , mà a nên a không là số nguyên tố; 0,75 0,25 0,75 (4) + Nếu a 3k 2(k N ) thì a BS BS 123 , mà a nên 0,75 a không là số nguyên tố; 2 Suy ra: a 3k Nếu a là số nguyên tố thì a = 3, đó: a 17, a 11 0,50 là các số nguyên tố Bài (6 điểm):Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, bán kính R Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax, By C và D a) Chứng minh OC OD và CD AC BD ; b) Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn để CD nhỏ Lời giải sơ lược Điểm 2 a) Vì Ax AB; By AB nên Ax, By là tiếp tuyến nửa đường tròn (O) 1,00 Vì CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nên CA = CM; O1 O2 (1) ; 1,00 Vì DB và DM là hai tiếp tuyến cắt nên DB = DM; O3 O4 (2) ; O (O O O O ) 900 O 3 Từ (1) và (2), suy ra: Hay OC OD ; CD = CM + MD = CA + DB b) Vì tam giác COD vuông O, OM CD nên CM.MD = OM2 = R2 Theo bất đẳng thức cô-si ta có: CD CM MD 2 CM MD 2 R 2 R 1,00 1,00 1,00 Dấu đẳng thức xảy CM = MD AC = BD Tứ giác ACDB là hình chữ nhật CD // AB, mà OM CD OM AB O, hay OM là 1,00 trung trực AB MA = MB hay M là điểm chính nửa đường tròn (O) Bài (3 điểm):Cho các số a, b, c thỏa mãn a b c 1 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: C ab 2bc 3ca Lời giải sơ lược Viết lại: C ab 2bc ca 2ca a(b c) 2c(a b) Vì a b c 1 nên C a(1 a) 2c(1 c) Điểm 1,00 0.75 (5) 1 1 1 a a 2c 2c (a ) 2(c ) 2 4 0.75 a c , b 0 Dấu đẳng thức xảy 0,50 a c , b 0 Vậy: giá trị lớn C là , xảy Các cách khác đúng cho điểm tối đa (6)