Tính giá trị của biểu thức: 3.. Gọi M là giao của AB và EF; N là giao của AE và BF..[r]
(1)TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – TT KIM BÀI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN Năm học 2015-2016 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I: (6đ) Tính giá trị biểu thức: 1 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y A= + + + : √ x √ y √ x +√ y x y √ x y+ √ xy [( ] ) Với x= 8+ √15 − 8− √ 15 ; y=√3 5+2 √ 13+ √3 − √ 13 √ √ √ x +11 Tìm tất các số hữu tỉ x để B= là số nguyên √ x+ Cho các số thực x, y thỏa mãn ( x + √ 1+ x )( y + √1+ y ) =1 Tính giá trị biểu thức C=x 2015 + y 2015 Câu II(4,5đ) Giải các phương trình sau: a) √ x+ x + √ x − x 2=x +1 −8 b) x +2 x − x= c) x ( x + x+ )=4 y ( y+1 ) Câu III(1,5đ) Tìm GTNN biểu thức D= ( x, y ∈Z ) ( x 3+ y ) − ( x + y ) ( x −1 ) ( y −1 ) đó x, y là số thực lớn Câu IV (8đ) 1) Cho (O) và (O/) ngoài Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và chung EF ( A , E ∈(O); B , D∈(O❑ ) ) Gọi M là giao AB và EF; N là giao AE và BF Chứng minh a) Δ AOM ∞ Δ BMO ❑ b) AE BF c) O, N, O/ thẳng hàng Cho Δ ABC nhọn Chứng minh Cos2A + Cos2B + Cos2C < ===Hết=== ĐÁP ÁN TOÁN Câu 1: (6đ) (2) (2,5) Đặt đk : x>0, y>0 √ x + √ y + + : ( √ x + √ y )( x − √ xy + y ) + √ xy ( √ x+ √ y ) Rút gọn A= √ xy √ x + √ y x y √ xy (x+ y ) x+ y ( √ x+ √ y)(x + y ) + : = √ xy xy √ xy( x + y ) ( √ x + √ y ) √ xy = xy √ x+ √ y √ x +√ y = √ xy 16+2 √ 15 16 − √15 Biến đổi x= − ( ) )( ( ) √ √ 15+1 √ 15 −1 ¿√ − 2 ¿ 2 y =5+2 √ 13+5 −2 √13+ − ( √ 13 ) y y =10 − y y + y −10=0 }} ¿ ¿ ( y − ) ( y 2+ y +10 )=0 y=1 } ¿ √ 1+ √ =2 ⇒ A= √ 1 √ 2, ĐK x √ x +11 = =3+ B= là số nguyên √ x+2 √ x+2 ⇔ là số nguyên √ x +2 5 ≤ Lập luận 0< √ x +2 ⇒ =1 √ x +2 0,25đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 =2 √ x +2 3, Ta có ( √ x 2+1+ x )( √ x 2+ 1− x ) =1 0,25đ =1 0,25đ ⇒ √ x +1 − x= √ y +1+ y Tương tự √ y 2+1 − y =√ x +1+ x ⇔ x=9 x = 0,25 0,25 0,25 (3) 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ √ x 2+1+ √ y +1− x − y=√ x2 +1+ √ y +1+ x+ y ⇒2(x + y )=0 ⇒ x + y=0 ⇒ x=− y ⇒ C=0 Câu 2:(4,5đ) (1,5đ) 0,25 ¿ x + x2 ≥ x − x2 ≥ ¿{ ¿ ĐK 0,75 Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm ta có 2 √ x+ x +√ x − x 2= √( x + x ) 1+√ ( x − x ) ≤ x + x2 + + x − x2 +1 =x+ Dấu “ =” xảy ⇔ x + x 2=1 x − x 2=1 ¿{ 2, (1,5đ) x +2 x − x= ⇒ 0,5 ¿ x∈ o ¿ 0,25 0,5 0,25 0,25 −8 ⇔ x + x −12 x+ 8=0 ⇔ x − ( x3 −6 x +12 x −8 )=0 3 ⇔ x =( x − ) ⇔ √ x=x − 2 ⇔ x= 1− √3 0,25 0,25 (1,5đ) x ( x + x +1 )=4 y ( y+ ) 2 ⇔ x + x + x +1=4 y +4 y+ ⇔ ( x +1 ) ( x2 +1 ) =( y+1 ) Đặt d = ƯCLN ( x+ 1, x 2+ ) ⋮ 0,25 0,5 0,25 d= ⇒ x +1 và x +1 ⇒ ( k − x ) ( k + x )=1 ⇒ k − x =k + x=1 ¿ k − x=k + x=−1 ¿ ⇒ x =0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ là các số chính phương ⇒ x 2+ 1=k ( (k ∈ Z) 0,25 0,25 0,25 2 x y + Câu III Biến đổi D= y−1 x−1 Do x >1, y >1 ⇒ x − 1> , y −1> 0,25 0,25 (4) Áp dụng BĐT Cô si ta có D≥ Theo BĐT Cô si ta có xy √ x −1 √ y −1 0,25 ( x − ) +1 x = 2 ( y − )+ y = √ y − 1=√ ( y − ) 1≤ 2 xy ⇒D≥ =8 x y 2 ⇔ x , y> ⇔ x2 y2 x =2 = D = y −1 x − y=2 x − 1=1 ¿{ y −1=1 ¿{{{ Vậy Min D = ⇔ x=2 , y=2 √ x −1=√ ( x −1 ) ≤ 0,25 0,25 Câu IV B A M I K E N O O’ 0,75 1đ F a) Δ AOM ∞ ΔBMO ❑ Vì AOM = BMO/ (cùng phụ với OMA) b) MO AE, MO/ BF, MO MO/ ⇒ AE BF c) Δ OIN ∞ Δ OMO/ : vì AI và BK là hai đường cao tương ứng hai Δ đồng dạng AOM và BMO/ (câu a) OI MK OI IN = ⇒ = mà MK = IN ❑ OM MO OM MO❑ ⇒ ΔOIN ∞ Δ OMO❑ (c.g.c) ^ N=M OO ^ ❑ ⇒ O , N , O ❑ thẳng hàng ⇒IO 0,5 0,5đ ⇒ 2) A 0,25 (5) E F B C D Kẻ đường cao AD, BE, CF Δ AEB ∞ Δ AFC (g.g) AE AB AE AF ⇒ = ⇒ = AF AC AB AC ⇒ Δ AEF ∞ Δ ABC (c.g.c) S AEF AE 2 ⇒ = =Cos A S ABC AB SBDF S CDE Tương tự S =Cos B ; S =¿ Cos2 C ABC ABC S +S +S ⇒ Cos2 A +Cos2 B+Cos C= AEF BDF CDE <1 S ABC ( ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5đ (6)