Vậy khi điểm M thay đổi trên xy thì các dây cung PQ luôn luôn đi qua điểm I cố định.. Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA Bài : (5,0 điểm) ( √ x + √ y + √ x−√ y : 1+ x+ y+2 xy 1− xy 1−√ xy 1+ √ xy )( Cho biểu thứcP = a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P ỹx = 2+ √ b) Tính giá trị P ) c) Tìm giá trị lớn P Bài 2: (4,0 điểm) √ √ √ √ a) Giải phương trình: x+ x −1+ x− x −1=2 b) Tìm số tự nhiên n ≥ cho 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! là số chính phương Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho x.y > và x + y = 1 ( x + y ) + ≥5 xy hứng minh rằng: C b) Chứng minh bất đẳng thức sau: √ 6+√ 6+√ 6+√ 6+ √6+ √30+ √30+ √30+ √30+√ 30<9 Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao Từ điểm M tùy ý trên xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O), đó P, Q là các tiếp điểm Qua O kẻ OH vuông góc với xy, dây PQ cắt OH I, cắt OM K Chứng minh: a) OI.OH = OK.OM = R2 b) PQ luôn luôn qua điểm cố định điểm M thay đổi trên xy Bài 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, trực tâm H Tính độ dài AD biết AH = 14cm; BH = CH = 30cm -Hết - (2) ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM Bài Bài (5điểm) Nội dung Điểm 0,5 a)ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ P= ( P= √ x + √ y + √ x−√ y : 1+ x+ y+2 xy 1− xy 1−√ xy 1+ √ xy )( ) ( √ x+ √ y ) ( 1+ √ xy ) + ( √ x−√ y )( 1−√ xy ) 1−xy +x + y +2 xy : ( 1−xy = = 1−xy ) 2√x x+1 ( 2−√ ) 2 = =( √ 3−1 ) ; √ x= √3−1 2+ √ ( √3−1 ) √3+2 b ) ỹx = P= = 4−2 √ 3+1 13 c ) P= √2 2 √ 2x+1+√ 2x−1+|√2 x+1−√ 2x−1|=2 √ √ x+1= √2 1,0 ta được: √ ( √2 x+1+√ 2x−1 ) + √( √2 x+1−√ 2x−1) =2 √ x= 0,5 0,5 0,25 a) ĐKXĐ: x ≥ Nhân vế với 1,5 0,5 √ x x +1 ≤ =1 x +1 x +1 (Dấu ‘=’ xảy x = và y ≠ 1) Vậy Max P = và x = và y ≠ 1, y≥ Bài (4điểm) 0,5 (TMĐK) b)- Với n = thì 1! =1= 12 là số chính phương - Với n = thì 1!+2! = 1+1.2 = không là số chính phương - Với n = thì 1! + 2! + 3! =1 + 1.2 + 1.2.3 =9 = 32 là số chính phương - Với n ≥ thì 1! + 2! + 3! + 4! =1 + 1.2 + 1.2.3 +1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; 7!;…; n! có tận cùng Do đó : 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! có tận cùng nên không là số chính phương Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn là n = 1; n = 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 (3) Bài (4điểm) a) Từ giả thiết Ta có: xy > x + y =1 > ⇒ x , y> ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 0,5 1 1=x + y≥2 √ xy ⇒ ≥xy ⇒ ≥4(1 ) xy 0,5 Lại có: 2 x y 4.(12 12 ).( x y ) 4.( x y ) (12 12 ).( x y ) x y 1 Suy ra: 8.(x4 + y4) ¿ Từ (1) và (2) suy ra: ( x 4+ y 4) + (2) 0,5 ≥1+4=5 xy 0,5 Ta có đpcm b) Vì nên √ 6<√ => √ 6<3 ; và √ 30< √ 36=> √ 30<6 0,5 0,5 √ 6+√ 6+√ 6+√ 6+ √6< √6+ √ 6+√ 6+√ 6+3=3 √ 30+√30+ √30+ √30+ √30< √30+ √30+ √30+√ 30+6=6 0,5 0,5 Cộng vế ta suy điều phải chứng minh Bài (5điểm) 0,5 O I P K Q x M H y đồng dạng với Δ OIK (g-g), ta có: 1,0 suy OI.OH = OM.OK (1) ¿ Tam giác OPM vuông P mà PK OM nên: 2 R =OP = OK.OM (2) Từ (1) và (2) suy ra: OI.OH = OK.OM = R2 1,0 0,5 a) Δ OMH OM OH = OI OK (4) Câu (2điểm) R b)Từ câu a) suy OI= OH 1,0 Do R không đổi, OH không đổi nên OI không đổi, đó điểm I cố định Vậy điểm M thay đổi trên xy thì các dây cung PQ luôn luôn qua điểm I cố định Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC Ta có BHCE là hình thoi, ΔABE vuông B nên BE2 = ED.EA Đặt DE =x Có hai trường hợp: 1,0 TH1: B A^ C <90 ta có:x(2x+ 14) = 302 Giải phương trình ta x =18 thỏa mãn Từ đó tính AD=32cm 0,75 A 0,5 H B D C x E 0,75 TH2: B A^ C >90 Ta có x(2x-14) = 302 Giải phương trình ta được: x= 25 thỏa mãn Từ đó tính AD = 11cm H A B C D xx E (5)