Vẽ hình đúng đến câu a + Chứng minh được tứ giác DBCE là hình thang cân + Chỉ ra BE = CD Bài IV Áp dụng hệ thức lượng váo tam giác vuông AOB đường cao OD chứng 2 minh được DA.DB = R2... [r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2015 - 2016 Thanh oai Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài I: (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức: x x 3 A : x 2 x 2x x 5x 10 x a) Rút gọn P b) Tìm x để A có giá trị nguyên 2n 3 24n 1 chia hết cho 25 2) Tìm số tự nhiên n để Bài II: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 12 x x 36 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 2y 2xy 3y 0 Bài III: (4,0 điểm) 1) Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = Tìm giá trị lớn x y z y2 z2 P = 1 x 2) Cho a, b, c dương thỏa mãn: a b c abc 1 Tính giá trị biểu thức: a b c b 1 c a c 1 a 1 b abc 2015 B= Bài IV:(6 điểm) Cho đường tròn (O,R) từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (D, E là tiếp điểm) Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt tia AD, AE B và C 1) Chứng minh: DC = EB 2) Chứng minh: DA.DB = R2 3) Gọi K là điểm trên cung nhỏ DE Tiếp tuyến K đường tròn (O,R) cắt AD, AE M, N Chứng minh BC2 = 4BM.CN 4) Cho OA = 2R.Tìm vị trí K để BM + CN đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ đó (2) y Bài V: (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn x 5x 3 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài I 1) a 1)a Điểm ĐKXĐ: x > 0, x 4 A 0,25 Rút gọn x x 7 x 2 x 1 x 3 =…= 2 x 1 x 2 x 1 x x x 3 : x 3 x x =… x = …= x 2,0 Chứng minh A > x và x 5 x 2 x 1 2 x Lại có A = = Suy ra: < A < 2,5 x 1)b (2điểm) A = => x = … x = (thỏa mãn ĐK x > 0, x 4 ) x A = => x = … x = (không thỏa mãn ĐK x > 0, x 4 ) Kết luận… Bài I 2) 0,5 0,5 0,5 0,25 2n 4n 2n 2n 4n n n 32n 3 24n 1 = 27.3 2.2 25.3 = BS25 16 02,5 n n Nếu n lẻ thì 16 Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25 0,25 n n Nếu chẵn thì 9n tận cùng 1, còn 16n tận cùng suy 16 (1điểm) 9n 16n tận cùng băng => tận cùng =>A không chia hết cho 0,25 25 0,25 Vậy n lẻ thì A chia hết cho 25 ĐK: x 1 0,25 Bài II 1) (2điểm) x 12 x x 36 x 12 x x 36 0 0,5 x 2x x 12 x 36 0 x 1 x 0 x 7 Giải pt: x x vô nghiệm Giải pt: x x ĐK x 5 x 1 x x 0 0,5 0,5 (3) Bài II 2) … x 11x 24 0 x = (loại) ; x = (chọn) Biến đổi phương trình x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 ⇔ (x2+2xy+ y2) + y2 + 3y - = ⇔ (y + 4)(y -1) = -(x+y)2 ¿ 0,25 0.5 0.5 0.5 - ¿ y ¿ vì y thuộc Z nên y ¿ {−4 ;−3;−2;−1;0;1 } KL Có cặp (x;y) thỏa mãn phương trình là 0,5 (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) Từ điều kiện xy + yz + xz = => 1+ x2 = xy + yz + xz + x2 = (x + y)( + z) x x x 1 x x 0,5 x y x z x y x z x2 0,5 y y y z 1 z z 2 Bài III 2 x y y z z x z y y z Tương tự ; 0,5 1) Cộng vế các bất đẳng thức (2điểm) 1 y x y z x z 2 x y y x z y y z x z x z P = 0,5 Tìm dấu xảy x = y = z = ⇒ (2điểm) a b c abc 1 b abc 1 c a Từ diều kiện: c abc 1 b a; a abc 1 b c; Xét Bài III 2) a b c a b c bc a a abc bc a 2a abc abc (2điểm) a abc a abc Tương tự… Khi đó B = a b c abc Kết luận… 0,5 0,5 0,5 0,5 abc 2015 2016 (4) B D Bài IV 1) O A (1,5điểm) E C Vẽ hình đúng đến câu a + Chứng minh tứ giác DBCE là hình thang cân + Chỉ BE = CD Bài IV Áp dụng hệ thức lượng váo tam giác vuông AOB đường cao OD chứng 2) minh DA.DB = R2 0,25 1,0 0,25 1,5 (1,5điểm) B M D K O A N E C Bài IV 3) B C 180 A (2,5điểm) Chứng minh (1) DOE 180 A MON 2 Chứng minh 0,5 0,5 (2) C MON B Từ (1) và (2) ta có: MON đồng dạng với MBO (gg) Chứng minh BM BO BC BC BC BM.NC 2 Suy OC NC Hay Kết luận Bài IV Áp dụng bất đẳng thức Cô si 4) BM CN BM.CN 2OB (1,5điểm) 2R 4R OB 2OB 3 Tính ; 0,5 0, 0,5 0,5 0,5 (5) Bài V (1điểm) 4R 3 Kết luận: min(BM + CN) = Khi K là giáo điểm AO với đường tròn x 5x 0 u y = thì pt trở thành Nế x = 2; x = x 5x 0 Nếu y = thì pt trở thành x = 1; x = y y 2 9 Nếu thì Xét x = 3k ( k N ) thì VT = = 9k 15k không chia hết cho 0,25 kN 9k 9k x = 3k +1 ( Xét ) thì VT = = không chia hết cho 0,25 0,25 kN 9k 3k Xét x = 3k +2 ( ) thì VT = -= không chia hết cho không có số tự nhiên lớn thỏa mãn bài toán Kết luận (x;y) = (2;0); (3;0); (4;1); (1;1) 0,25 (6)