Đề+Dap an HSG toan 9 tinh phu tho 20162017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Hướng dẫn chấm có 05 trang I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu không làm tròn số II Đáp án – thang điểm Phần trắc nghiệm khách quan Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp A, án D C B B A D A B A B A A C A D C Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Phần tự luận Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) a) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a −b b−c c −a + + =0 + c + a + b2 Ta có + a = ab + bc + ca + a = (a + b)(a + c ) Tương tự + b = ab + bc + ca + b = (b + a )(b + c); + c = ab + bc + ca + c = (c + a )(c + b) a −b a −b 1 = = − Suy 1+ c (c + a )(c + b) c + b c + a b−c b−c 1 = = − ; 1+ a (a + b)(a + c) a + c a + b c−a c−a 1 = = − 1+ b (b + a )(b + c) b + a b + c a −b b−c c −a 1 1 1 + + = − + − + − = Vậy 2 1+ c 1+ a 1+ b c+b c+a a+c a+b b+a b+c b) Chứng minh a.b = hai phương trình: (a + a ) x + a y + a + = (1); 0,25 0,25 (b + b) x + b y + b + = (2) (a,b tham số) nghiệm nguyên chung Giả sử (1) (2) có nghiệm nguyên chung ( x0 ; y0 ) , ta có (a + a ) x0 + a y0 + a + = (3) ; (b + b) x0 + b y0 + b + = (4) Vì a, b ≠ ta có 1,5 0,25 0,25 0,5 1,5 0,25 0,25 Nội dung Điểm (3) ⇔ a + x0 a + y0 a + x0 a + = 2   1 1 1    ⇔  a + ÷+  a + ÷x0 + y0 = ⇔  a + ÷ + x0  a + ÷+ y0 − = 0; a   a a a    (4) ⇔ b + x0b + y0b + x0b + = 1  1 1 1    ⇔  b + ÷+  b + ÷x0 + y0 = ⇔  b + ÷ + x0  b + ÷+ y0 − = b   b b b    1 Suy t1 = a + ; t2 = b + hai nghiệm phương trình bậc hai (ẩn t) a b t + x0t + y0 − = Theo định lí Viet: 1  a+b  a + a + b + b = − x0 a + b + ab = − x0 ⇔  1     a + ÷ b + ÷ = y0 −  a + b + ab + = y −  a  b ab  b a Vì a.b = nên    2 a + b + 2ab = 16 x0 a + b = − x0  a + b = x0 − ⇒ ⇒ 16  a b 16 16 2 2  + =y − a + b = ab( y − )  a + b = y − 16 0   b a  3 x0 − = y0 − 16 ⇒ x02 = 48 y0 − 160 (4) Điều vô lí VT(4) chia hết Suy 16 cho VT(4) không chia hết cho Vậy a.b = hai phương trình (1), (2) nghiệm nguyên chung Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình x + − x + = (1) Điều kiện: x ≥ −1 Ta có: (1) ⇔ x + = x + + ⇔ 2x + = x + + x + ⇔ x +1 = x +1  x ≥ −1 ⇔ 4( x + 1) = x + x +  x ≥ −1 ⇔ x − 2x − = x = ⇔  x = −1 0,25 0,25 0,5 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = −1; x = Nội dung  x3 + x y = 3x + xy + y + x + y (1) b) Giải hệ phương trình  (2) 3 x − y + = x + Điều kiện x ≥ 0; y ≥ −1 Ta có: (1) ⇔ y − ( x − x − 1) y − ( x3 − x − x) = ⇔ ( y + x + 1)( y − x + x) = Điểm 1,5 0,25  y = x − 4x ⇔  y + x +1 = Từ (2) ⇒ x = y + + x + ≥ ⇒ x > ⇒ y + x + > y + x + > Vậy ta có (1) ⇔ y = x − x Thay y = x − x vào (1) ta có x − x − x + = x + (3) Vì x = không nghiệm (3) nên 1 (3) ⇔ x + + x+ −4 =3 x x 1 (t ≥ 2) ⇒ x + = t − Phương trình trở thành: Đặt t = x + x x t ≤ t + t2 − = ⇔ t2 − = − t ⇔  ⇔t= 2 t − = (3 − t ) x = 25 17 − ⇔ x − x +1 = ⇔  Suy x + = x = x 4  −15 ) Từ suy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (4;0);( ; 16 Câu Cho đường tròn (O; R ) điểm A cố định (O; R ) Gọi M, N giao ¼ điểm hai đường tròn (O; R ) ( A; R ) ; H điểm thay đổi cung nhỏ MN đường tròn ( A; R ) Đường thẳng qua H vuông góc với AH cắt (O; R ) B, C Kẻ HI ⊥ AB ( I ∈ AB ), HK ⊥ AC ( K ∈ AC ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4,0 N A K J t I O C M B H A' a) Chứng minh IK vuông góc với đường thẳng cố định 2,5 Nội dung Điểm AB AC = R Ta có ·AIH = 900 ; ·AKH = 900 Vì ·AIH + ·AKH = 1800 nên tứ giác AIHK nội tiếp Kẻ tiếp tuyến At đường tròn (O; R) A 0,5 ·  ·ACB + HAC = 900 ⇒ ·ACB = ·AHK (1) Ta có:  · ·  AHK + HAC = 90 Ta lại có: ·AHK = ·AIK (do tứ giác AIHK nội tiếp) (2) · BAt = ·ACB (cùng sđ »AB ) (3) · Từ (1), (2), (3) suy ra: BAt = ·AIK ⇒ At P IK Mặt khác OA ⊥ At ⇒ IK ⊥ OA Vậy IK vuông góc với đường thẳng cố định OA 0,5 Gọi J giao điểm AO IK; A’ điểm đối xứng với A qua O Ta có: ∆ACH ∼ ∆AA ' B ·AHC = ·ABA ' = 90 ; ·ACH = ·AA ' B ( ) AC AH = ⇒ AB AC = AH AA ' = R AH = R AA ' AB b) Tìm giá trị lớn diện tích ∆AIK H thay đổi ⇒ AK AH = ⇒ AK AC = AH Ta có ∆AKH ∼ ∆AHC ⇒ AH AC 0,5 0,5 0,25 0,25 1,5 0,25 Gọi S , S ' diện tích tam giác ABC AIK Ta có ∆AIK : ∆ACB ⇒ AI AK IK AJ = = = , suy ra: AC AB BC AH 2 S ' AJ IK AJ IK  AK   AK AC  AH AH = = = = = = = ÷  ÷ S AH BC AH BC  AB   AB AC  ( AH R ) R 1 R R R2 Suy S ' = S = AH BC = BC ≤ R = 8 R2 Vậy giá trị lớn tam giác AIK , đạt H ≡ O Câu Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2(a 2b + b 2c + c a ) + (a + b + c ) + 4abc Ta có: ab + bc + ca = (a + b + c )(ab + bc + ca ) = (a 2b + b 2c + c a ) + (ab + bc + ca ) + 3abc Suy a + b + c = (a + b + c ) − 2(ab + bc + ca ) = − 2(ab + bc + ca ) 0,25 0,5 0,25 0,25 1,5 0,25 = − ( a 2b + b 2c + c a ) + (ab + bc + ca ) + 3abc  Do đó: P = 2(a 2b + b 2c + c a ) + − (a 2b + b 2c + c 2a ) + (ab + bc + ca ) + 3abc  + 4abc = − 2(ab + bc + ca + abc) Không tính tổng quát giả sử a ≤ b ≤ c Suy 0,25 0,25 Nội dung a (a − b)(b − c) ≥ ⇒ (a − ab)(b − c) ≥ Điểm ⇒ a 2b − a 2c − ab + abc ≥ ⇒ ab + ca ≤ a 2b + abc Do ab + bc + ca + abc = (ab + ca ) + bc + abc ≤ (a 2b + abc ) + bc + abc = b(a + c )2 Với số dương x, y, z ta có: 2 x + y + x − 3 xyz = x + y + z  x − y + y − z + z − x  ≥   ( )( ) ( ) ( 0,25 )  x+ y+z Suy x + y + z ≥ xyz ⇒ xyz ≤  ÷ (*)   x = y = z Dấu xảy Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có a+c a+c   b+ + ÷  a + c  a + c   a+b+c b(a + c) = 4b  ÷ = 4 ÷ ÷≤  ÷ = 3      27  ÷   19 Suy P = − 2(ab + bc + ca + abc) ≥ − 2b(a + c) ≥ − = 27 27 19 Vậy MinP = P đạt giá trị nhỏ a = b = c = 27 3 ……….Hết……… 0,25 0,25 ... có ·AIH = 90 0 ; ·AKH = 90 0 Vì ·AIH + ·AKH = 1800 nên tứ giác AIHK nội tiếp Kẻ tiếp tuyến At đường tròn (O; R) A 0,5 ·  ·ACB + HAC = 90 0 ⇒ ·ACB = ·AHK (1) Ta có:  · ·  AHK + HAC = 90 Ta lại... a+b+c b(a + c) = 4b  ÷ = 4 ÷ ÷≤  ÷ = 3      27  ÷   19 Suy P = − 2(ab + bc + ca + abc) ≥ − 2b(a + c) ≥ − = 27 27 19 Vậy MinP = P đạt giá trị nhỏ a = b = c = 27 3 ……….Hết……… 0,25... OA 0,5 Gọi J giao điểm AO IK; A’ điểm đối xứng với A qua O Ta có: ∆ACH ∼ ∆AA ' B ·AHC = ·ABA ' = 90 ; ·ACH = ·AA ' B ( ) AC AH = ⇒ AB AC = AH AA ' = R AH = R AA ' AB b) Tìm giá trị lớn diện