Các đường thẳng EP FQ cắt nhau tại K.. 1.0 điểm Trên bảng hình chữ nhật kích thước m n× m hàng và n cột, mỗi ô ghi một số không âm sao cho mỗi hàng, mỗi cột có ít nhất một ô chứa số d
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1 (3.0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2 2
2 2 2
= −
= −
= −
Câu 2 (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC và đường tròn ( ) O có đường kính EF nằm trên cạnh BC ( E nằm giữa
B và F, F nằm giữa E và C) tiếp xúc với hai cạnh AB AC tại , , Q P theo thứ tự đó Các
đường thẳng EP FQ cắt nhau tại K Chứng minh rằng , AK ⊥BC
Câu 3 (1.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương m, n thỏa mãn
4 3 2
9m −3m =n +2n +n +2n
Câu 4 (2.0 điểm)
Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn abc=2 Chứng minh rằng
3 3 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5 (1.0 điểm)
Trên bảng hình chữ nhật kích thước m n× (m hàng và n cột), mỗi ô ghi một số không âm
sao cho mỗi hàng, mỗi cột có ít nhất một ô chứa số dương Ngoài ra, nếu ô ( i; j) ghi số dương, thì tổng các số trên hàng i và tổng các số trên cột j bằng nhau
Chứng minh rằng m n=
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh: ……… Số báo danh: …………
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————— HDC THI HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2008-2009MÔN TOÁN
—————
I.
3.0 điểm
Viết lại hệ dưới dạng:
Từ (1)&(2) suy ra: (1−x)4 = −(1 y)2 = −1 z 0.75
Suy ra: (1−x)8 = −(1 y)4 = −(1 z)2 = −1 x 0.50
(1 ) 1
x
x
− =
1 0
= = =
Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm: ( ; ; ) (0; 0; 0)x y z = hoặc ( ; ; ) (1; 1; 1)x y z = 0.25
II.
3.0 điểm
H
K
F E
A
O
Q
P
Gọi H là hình chiếu của K trên BC Xét trường hợp O nằm trên đoạn HF
Do ∠KPF = ∠EPF=90o = ∠KHF nên tứ giác KHFP nội tiếp Do đó
1 2
KHP KFP QFP QOP
∠ = ∠ = ∠ = ∠
0.25 0.5
Do AP,AQ là hai tiếp tuyến của (O) nên 1
2
AOP AOQ QOP KHP
∠ = ∠ = ∠ = ∠
2
∠ = − ∠ = − ∠ = ∠
0.5 0.5
Từ đó, tứ giác AHOP nội tiếp, do đó AH ⊥BC , suy ra K∈AH 0.5
Trường hợp H O≡ thì tam giác ABC cân tại A, và kết quả hiển nhiên đúng 0.5
III
1.0 điểm
Phương trình đã cho tương đương với
( )
4 3m −3m + =1 4n +8n +4n +8n+ ⇔ × −1 2 3m 1 =4n +8n +4n +8n+1 0.5
Do ( )2
2 3× −m 1 là số chình phương và
( 2 )2 4 3 2 ( 2 )2
2n +2n <4n +8n +4n +8n+ ≤1 2n +2n+1
2 3× −m 1 = 2n +2n+1 ⇔4 (n n− =1) 0
0.25
Trang 3Suy ra n=1 và do đó m=1
IV
3 a + +b c ≥ a b c+ + và
( 2 2 2)2 ( ) ( 3 3 3)
Từ đó
( ) ( ) ( ) ( )
2
(1) 6
a b c b c a c a b
≥
0.5
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy thì
3 3
a b c b c a c a b abc b c c a a b
abc abc
0.5
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi … a b c= = = 32 0.25
V
1.0 điểm Ký hiệu số ghi ở ô (i;j) là a i j và gọi S ={( ; ) :i j a ij>0} Gọi r c i, j là tổng các số ghi
trên hàng i và cột j Vậy r i = ⇔c j ( ; )i j ∈S
Khi đó ta có
i j S i i j S j
=
Tính tổng từng vế:
1
ij
ij
i j S i j j i
a
1
ij
ij
i j S i i i j
a
V
(Cách2) + Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột có tổng các số dương đều bằng s thì ms = ns ⇒ m = n 0.25
+ Nếu m = 1 thì trên mỗi cột có đúng một số dương và tổng các số dương trên mỗi cột
này bằng s = ns (bằng tổng các số dương trên hàng) Do đó n = 1 0.25 + Trong trường hợp tổng quát, gọi r < m là số hàng có tổng bằng s, còn trên các hàng
khác có tổng khác Do mỗi cột, mà có giao với r hàng đó tại ô dương có tổng bằng s,
nên giả sử có c cột có tổng bằng s Thực hiện việc đánh số lại các hàng, cột sao cho r
hàng đầu và c cột đầu có tổng bằng s (không làm thay đổi bản chất của bảng) Khi đó,
những ô của r hàng đầu, không nằm trong c cột đầu và những ô của c cột đầu không
nằm trong r hàng đầu phải chứa số 0 Vậy bảng con r c× (gồm giao của r hàng đầu và
c cột đầu thỏa mãn) Suy ra r = c Nhưng, phần còn lại của bảng, sau khi bỏ đi r hàng
đầu và c cột đầu (kích thước (m r− × −) (n c)cũng thỏa mãn Do đó, bằng quy nạp,
được m = n.
0.5
Hết