Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều là số chính phương... phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai Trường THCS Thanh Cao.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN THANH OAI ( Trường THCS Thanh Cao ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học ( 2015 –2016) Môn TOÁN : (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1: (6,0 điểm) Cho biểu thức: P= x √ x+ 26 √ x −19 x x −3 − √ +√ x +2 √ x − √ x − √ x +3 a/ Rút gọn P b/ Tính P x= √3 5+12 √ 3+ √3 −12 √3 c/ Tìm GTNN P Chứng minh với n nguyên dương thì: 2n +12 n ⋮ 19 Bài 2: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: x2 +3x +1 =(x + 3) √ x2 +1 Chứng minh :Nếu x + y + z = thì 2.(x5 + y5+ z5) = 5xyz(x2 + y2+ z2) Bài 3: (3,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau 19x5 + 5y +1995z =x2 –x +3 1 1 1 Cho a,b,c >0 và a+1 + b+1 + c+ =2 Cmr : a + b + c ≥ 4(a+b+ c) Bài (6,0 điểm) Cho (0; AB ) Điểm M thay đổi trên (0), (M A,B) Vẽ (M) tiếp xúc với AB H Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến (M) Cmr a/ CD là tiếp tuyến (0) b/ Tổng AC+DB không đổi Từ đó tính GTLN AC.DB c/ Lấy N cố định trên (0) Gọi I là trung điểm MN, P là hình chiếu I trên MB Tìm tập hợp điểm P Bài 5: (1,0 điểm) Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,… (Số đứng sau viết 48 vào số đứng trước) Chứng minh tất các số viết theo quy luật trên là số chính phương HẾT………………………………………… (2) phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai ( Trường THCS Thanh Cao ) Bài 1: (6,0 điểm) a ) Rút gọn P= b) Tính x=1 x+16 √ x+3 Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp N¨m häc 2015 - 2016 2đ 17 đkxđ Suy p= c) Pmin=4 x=4 =7.25n + 19.6n – 7.6n =7.19.( ) + 19.6n ⋮ 19 Bài 2: (4,0 điểm) Đặt √ x2 +1 =t (t ¿ phương trình đã cho trở thành t2+3x=(x+3).t ⇔ t=3 t=x +) Với t=3 => x= ± √ +) Với t=x => vô nghiệm Từ x + y + z = y + z = -x (y + z)5 = - x5 y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 +5yz4+z5 = - x5 ( x5 + y5+ z5) + 5yz(y3 +2y2z + 2yz2 +z3) = ( x5 + y5+ z5) + 5yz((y +z)(y2 – yz +z2)+2yz(y + z)) = ( x5 + y5+ z5) + 5yz(y + z)( y2 + yz +z2)= ( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + yz +z2)= ( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2)= ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2) ( x5 + y5+ z5) = 5xyz(( y + z)2 + y2 +z2) ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( x2 + y2 +z2) ( đpcm) 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ Bài 3: (3,0 điểm) 20x5 –(x5-x)+5y+1995z=x2+3 20x5-(x-2)(x-1).x.(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1)+1995z=x2+3 Ta thấy VT ⋮ VP không chia hết cho nên pt vô nghiệm 0,5đ x+ y x+ y+z Đặt y+z z+x ¿ = ; = ; =❑ a+1 x + y + z b+1 x+ y+ z c +1 ❑ x y z a= y + z ; b= z+ x ; c= x+ y 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (3) Biểu thức đã cho y −z ¿ ¿ z − x ¿2 ¿ x − y ¿ (luân đúng) ¿ z¿ y¿ x¿ ¿ Dấu “=” xảy x=y=z Bài (6,0 điểm) a/ Tính góc CMD=1800 => C, M, D thẳng hàng =>đpcm b/ AC+DB=AB không đổi 0,5đ 2đ 0,5đ AC.BD 0,5đ AC+ BD AB ¿= ¿ =>(AC.BD)max AB = (BĐT cosi) AC=BD H M chính cung AB 1đ c/ Gọi K là giao PI và AN Vì IK//AM =>K là trung điểm AN =<K cố định =>KB cố định =>P chuyển động trên dường tròn đường kính KB Bài 5: (1,0 điểm) 1đ 1đ Ta có: 44 88 ⏟ A = 4⏟ = + 8.10 + 8.102 +…+ 8.10n + 4.10n+1 + +10n+2…+4.102n+1 ❑ ❑ Ta viết = 1+4+4 và = 4+4 ta được: A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).10 +…+(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2+…+4.102n+1 = 1+(4+4.10+4.102+…+4.10n)+(4+4.10+4.102+…+4.102n+1) = 1+4.(1+10+102+…+10n)+4.(1+10+102+…+102n+1) 0,5đ 10n+1 −1 102 n+2 −1 = 1+4 +4 9 9+4 10n +1 − 4+ 102 n+2 − = n+2 n +1 10 +4 10 + = n+ 10 +1 = Ta có: 2.10n+1+1 ⋮ (Có tổng các chữ số chia hết cho 3) Nên số ngoặc tạo ( ) thành số chính phương Suy A là số chính phương 0,5đ (4)