[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái huyện
năm học 2006 - 2007
Môn: Toán (Thời gian làm 120 phút)
Câu ( 3 điểm ) Cho biÓu thøc A = ( x
2
x3−4x+
6 6−3x+
1
x+2):(x −2+ 10− x2
x+2 )
a, Tìm điều kiện x để A xác định b, Rút gọn biểu thức A
c, Tìm giá trị x để A > O
Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau :
x24x+1
x+1 +2=
x2−5x+1 2x+1
Câu ( 3,5 điểm): Cho hình vng ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vng góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S
1, Chøng minh AQR APS tam giác cân
2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật
3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN trung trùc cđa AC
5, Chøng minh ®iĨm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( 1 ®iÓm):
Cho biÓu thøc A = 2x2+3x+3
2x+1 Tìm giá trị nguyên x để A nhn giỏ tr
nguyên
Câu ( 1 ®iĨm)
a, Chøng minh r»ng x3+y3+z3=(x+y)3−3 xy (x+y)+z3
b, Cho
x+
1
y+
1
z=0 TÝnh A=
yz
x2+
xz
y2+
xy
(2)Đáp án Câu
a, x # , x # -2 , x # b , A = ( x
x2−4+ 2− x+
1
x+2):
x+2 = x −2(x+2)+x −2
(x −2) (x+2) :
6
x+2
= −6
(x −2) (x+2) x+2
6 = 2− x
c, Để A >
2 x>0 2 x>0x<2
Câu ĐKXĐ : x ≠ −1; x ≠ −1
2 PT ⇔x2−4x+1
x+1 +1+
x2−5x
+1
2x+1 +1=0 ⇔
x2−3x
+2 x+1 +
x2−3x
+2
2x+1 =0
⇔(x2−3x+2)
(x1+1+
1
2x+1)=0⇔(x
2−3x
+2)(3x+2)=0⇔(x −1) (x −2) (3x+2)=0 ⇔ x =1 ; x = ; x = - 2/
Cả giá trị thỏa mãn ĐKXĐ Vậy PT cho có tập nghiệm S = {1;2;−2
3} C©u 3:
1, Δ ADQ = Δ ABR chúng hai tam giác vng (để ý góc có cạnh vng góc) DA=BD ( cạnh hình vng) Suy AQ=AR, nên Δ AQR tam giác vuông cân Chứng minh tợng tự ta có: Δ ARP= Δ ADS
do AP = AS Δ APS tam giác cân A
2, AM AN đờng trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nờn AN SP v AM RQ
Mặt khác : PAN =PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AHMN có
ba góc vuông, nên hình chữ nhật
3, Theo gi thit: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao Δ SQR Vậy P trực tâm SQR
(3)Trong tam giác vuông RCQ CM trung tuyến nên CM =
2 QR
⇒ MA = MC, nghĩa M cách A C
Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP, ta có NA= NC, nghĩa N cách A C Hay MN trungtrực AC
5, Vì ABCD hình vng nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đờng trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng
Câu 4 Ta có ĐKXĐ x -1/2 A = (x + 1) +
2x+1 x Z nên để A nguyên
2
2x+1 nguyên
Hay 2x+1 ớc VËy : 2x+1 = ⇒ x=1/2 ( lo¹i )
2x+1 = ⇒ x = 2x+1 = -1 ⇒ x = -1
2x +1 = -2 ⇒ x = -3/2 ( lo¹i )
KL : Víi x = , x= -1 A nhận giá trị nguyên Câu 5 a, , Chøng minh x3
+y3+z3=(x+y)3−3 xy (x+y)+z3 Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh
b, Ta cã a+b+c=0 th×
a3
+b3+c3=(a+b)3−3 ab(a+b)+c3=− c3−3 ab( c)+c3=3 abc (vì a+b+c=0 nên a+b= c )
Theo gi¶ thiÕt
x+
1
y+
1
z=0 ⇒
1
x3+
1
y3+
1
z3=
3 xyz A=yz
x2+
xz
y2+
xy
z2=
xyz
x3 +
xyz
y3 +
xyz
z3 =xyz(
1
x3+
1
y3+
1
z3)=xyz×