Phòng GD-ĐT việt yên THI HC SINH GII CP HUYN nĂM học 2011-2012 Mụn: TON 8 (Thời gian làm bài : 120 phút) Bi 1 (4 im) Cho biu thc: A = )1)((1 ) 3 1 ( 4 3 ) 4 1 )(( 222 222 yyxyx yyxyyx ++ +++++ a) Chng minh rng giỏ tr ca A khụng ph thuc vo x. b) Tỡm giỏ tr nh nht ca A? Bi 2 (4 im) a) Phõn tớch a thc thnh nhõn t ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 24x x x x+ + + + b) Tỡm a v b a thc x 4 + x 3 + ax 2 + 4x + b chia ht cho x 2 - 2x + 2 Bài 3 (6 điểm) Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 60 0 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần l- ợt tại D và E. Chứng minh: a) BD.CE= 4 2 BC . b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Bài 4 (4điểm) 1. Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh xy +y = x 3 + x 2 + 7 2. Gii phng trỡnh ( ) 1 1 1 1 2.2011 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2 2012x x + + + + = ữ ữ ữ ữ ữ + Bài 5 (2 điểm) Cho 4 4 1x y a b a b + = + và x 2 +y 2 =1 Chứng minh rằng: 2012 2012 1006 1006 1006 2 ( ) x y a b a b + = + Phòng GD-ĐT việt yên HNG DN CHM HC SINH GII CP HUYN Nm hc 2011-2012 Mụn: TON 8 Bi 1 (4 im) a. x 2 y 2 + 1 + (x 2 y)(1 y) = x 2 y 2 + 1 + x 2 x 2 y y + y 2 = x 2 (y 2 y + 1) +(y 2 y + 1) = (x 2 + 1)(y 2 y + 1) (x 2 + 1)[ 2 1 3 ( ) 2 4 y + ] > 0 vi mi x,y 2 2 2 1 3 1 ( )( ) ( ) 4 4 3 x y y x y y+ + + + + = x 2 y + 2 4 x + y 2 + 4 y + x 2 y 2 + 3 4 y + 4 1 = x 2 (y 2 + y + 4 1 ) + (y 2 + y + 4 1 ) = (x 2 + 1)(y 2 + y + 4 1 ) Rỳt gn c A = 1 4 1 2 2 + ++ yy yy . Chng t A khụng ph thuc v x b) A = 0 4 3 ) 2 1 ( ) 2 1 ( 2 2 + + y y , vi mi y. Du = xy ra y = -1/2 Võy GTNN ca A bng 0 khi y = -1/2 Bi 2 (4 im) a) Phõn tớch a thc thnh nhõn t ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 24x x x x+ + + + ( ) ( ) 2 2 5 4 5 6 24x x x x= + + + + = ( ) ( ) 2 2 5 5 1 5 5 1 24x x x x+ + + + + ( ) 2 2 2 5 5 5x x= + + = ( ) ( ) 2 2 5 5 10x x x x+ + + b. Bi 2 phn 1 Hin HN (2011-2012) 1 x 4 + x 3 + ax 2 + 4x + b Để x 4 + x 3 + ax 2 + 4x + b chia hết cho x 2 2x+ 2 thì (2a +6)x + b - 2(a +4) = 0 khi 2a 6 0 a 3 a 3 b 2(a 4) 0 b 2( 3 4) 0 b 2 + = = = + = + = = Vậy a = -3; b = 2 là giá trị cần tìm. x 2 2x+ 2 x 2 + 3x + a + 4 x 4 2x 3 + 2x 2 3x 3 +( a 2)x 2 +4x+b 3x 3 6x 2 + 6x ( a +4)x 2 2x + b ( a +4)x 2 2( a +4)x + 2( a +4) (2a +6)x + b - 2( a +4) Bµi 3 (6 ®iÓm) Bµi 4 (4®iÓm) a) xy +y = x 3 + x 2 + 7 y(x+1) = x 2 (x+1) +7 (x+1)(y - x 2 ) =7 Do x, y nguyên nên x+1 và y- x 2 là ước của 7 . Hay x+1 và y-x 2 ∈ Ư(7) ={ 1;-1;7;-7} Ta có bảng các giá trị tương ứng của x+1,y-x 2 với x , y như sau: x+1 1 7 -1 -7 y-x 2 7 1 -7 -1 x 0 6 -2 -8 y 7 37 -3 63 Vậy các cặp số (x;y) thỏa mãn pt là (0;7); (6;37); (-2;-3); (-8;63) b. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 x x x x x x x x x + + + + = = + + + a. Trong tam gi¸c BDM ta cã : 1 0 1 ˆ 120 ˆ MD −= V× 2 ˆ M =60 0 nªn ta cã : 1 0 3 ˆ 120 ˆ MM −= Suy ra 31 ˆˆ MD = Chøng minh BMD ∆ CEM∆ (1) Suy ra CE CM BM BD = , tõ ®ã BD.CE=BM.CM V× BM=CM= 2 BC , nªn ta cã BD.CE= 4 2 BC b. Tõ (1) suy ra EM MD CM BD = mµ BM=CM nªn ta cã EM MD BM BD = Chøng minh BMD∆ MED∆ (c.g.c) Tõ ®ã suy ra 21 ˆˆ DD = , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED c. KÎ MI, MK, MH theo thø tù vu«ng gãc víi AB, DE, AC. Suy ra AI, AH kh«ng ®æi. Chøng minh DI = DK, EK = EH. Chøng minh chu vi tam gi¸c ADE b»ng AI + AH kh«ng ®æi H K I E D M B C A 3 2 1 2 1 x y E D M C B A Vy: ( ) 1 1 1 1 2.2011 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2 2012x x + + + + = ữ ữ ữ ữ ữ + ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 4 2.2011 . . 1.3 2.4 3.5 . 2 2012 x x x + = + ( ) ( ) 2 1 2.2011 2 2012 x x + = + ( ) ( ) 1 2011 2 2012 x x + = + x= 2010 Bài 5: (2điểm) Ta có: 4 4 1x y a b a b + = + 4 4 2 2 2 ( )x y x y a b a b + + = + ( vì x 2 +y 2 =1) (a+b)(bx 4 + ay 4 )=ab(x 2 +y 2 ) 2 Nhân hai vế và thu gọn ta đợc (ay 2 - bx 2 ) 2 = 0 ay 2 = bx 2 2 2 x y a b = áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có 2 2 2 2 1x y x y a b a b a b + = = = + + 2 2 1x y a b a b = = + 2012 1006 1006 1 ( ) x a a b = + và 2012 1006 1006 1 ( ) y b a b = + Vậy: 2012 2012 1006 1006 1006 2 ( ) x y a b a b + = + . Phòng GD-ĐT việt yên THI HC SINH GII CP HUYN nĂM học 2011-2012 Mụn: TON 8 (Thời gian làm bài : 120 phút) Bi 1 (4 im) Cho biu thc: A = )1)((1 ) 3 1 ( 4 3 ) 4 1 )(( 222 222 yyxyx yyxyyx ++ +++++ a). 1006 2 ( ) x y a b a b + = + Phòng GD-ĐT việt yên HNG DN CHM HC SINH GII CP HUYN Nm hc 2011-2012 Mụn: TON 8 Bi 1 (4 im) a. x 2 y 2 + 1 + (x 2 y)(1 y) = x 2 y 2 + 1 + x 2 x 2 y y + y 2 =. y- x 2 là ước của 7 . Hay x+1 và y-x 2 ∈ Ư(7) ={ 1;-1;7;-7} Ta có bảng các giá trị tương ứng của x+1,y-x 2 với x , y như sau: x+1 1 7 -1 -7 y-x 2 7 1 -7 -1 x 0 6 -2 -8 y 7 37 -3 63 Vậy các