SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ANH SƠN 3 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề) Câu I. (6 điểm) 1. Giải phương trình : 1 2 1 3 1x x x− = + − − 2. Giải bất phương trình : ( ) 2 1 1 0x x x − − − ≤ Câu II. (4 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 9 4 6 x x x y x x y + + = + + = Câu III.(2 điểm) Cho phương trình: 2 0ax bx c+ + = . Giả sử phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 . Chứng minh rằng hệ thức: 3 2 2 3b a c ac abc+ + = là điều kiện cần và đủ để phương trình có một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại. Câu IV. (6 điểm) 1. Cho ABC ∆ . Chứng minh rằng: cotA = 2(cotB + cotC) là điều kiện cần và đủ để hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau. ` 2. Cho tam giác ABC có , ,BC a CA b AB c= = = và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta luôn có: ( ) 2 2 2 2 aMA bMB cMC a b c MI abc+ + = + + + . Câu V. (2 điểm) Với , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức: ab bc ca abc+ + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b a c b a c ab bc ca + + + + + ≥ Hết Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………… SBD: ……………………… TRƯỜNG THPT ANH SƠN 3 NĂM HỌC: 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN KHỐI 10 (đáp án gồm 4 trang) - Lưu ý: Học sinh trình bày đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa C B G M N A CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM I 1 Giải phương trình: 1 2 1 3 1x x x− = + − − (1) 4 ĐK: 1 2 0 1 1 1 3 0 3 2 1 0 x x x x − ≥ + ≥ ⇔ − ≤ ≤ − ≥ Khi đó (1) 1 2 1 1 3x x x⇔ − + − = + 2 1 2 1 2 1 3 2 1 3x x x x x⇔ − + − + − + = + ( ) 2 2 2 6 1 0 2 1 3 2 6 1 4 1 3 2 36 12 1 x x x x x x x x − ≥ ⇔ − + = − ⇔ − + = − + 1 21 6 14 21 14 x x x ≥ ⇔ ⇒ = =± (thỏa mãn). Kết luận 21 14 x= 0,5 0,5 2 1 2 Giải bất phương trình: ( ) 2 1 1 0x x x− − − ≤ (2) 2 Điều kiện: x ≥ 1 (*). Với điều kiện (*) ta có: (2) 2 1 1 0 1 5 1 5 1 0 2 2 x x x x x = − = ⇔ ⇔ − + − − ≤ ≤ ≤ Kết hợp với điều kiện (*), ta được: 1 5 1 2 x + ≤ ≤ . Vậy bất phương trình có nghiệm là: 1 5 1 2 x + ≤ ≤ 0,5 1 0,5 II Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 9 4 6 x x x y x x y + + = + + = (*) 4 Ta có: (*) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 9 2 2 6 x x x y x x x y + + = ⇔ + + + = Đặt ( ) 2 2 u x x v x y = + = + . Hệ (*) trơ thành . 9 3 6 3 u v u u v v = = ⇔ + = = Thay vào ta được: ( ) 1 1 2 3 3 2 3 9 x y x x x x y y = = + = ⇔ =− + = = 1 1 2 III Cho phương trình: 2 0ax bx c+ + = . Giả sử ……………………… 2 Vì phương trình có 2 nghiệm nên theo hệ thức viet ta có: 1 2 1 2 . b S x x a c P x x a = + =− = = Anh sơn, ngày 22 tháng 03 năm 2011 Giáo viên ra đề và lập đáp án Bùi Văn Khánh . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………… SBD: ……………………… TRƯỜNG THPT ANH SƠN 3 NĂM HỌC: 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN KHỐI 10 (đáp án. 2 . b S x x a c P x x a = + =− = = Anh sơn, ngày 22 tháng 03 năm 2011 Giáo viên ra đề và lập đáp án Bùi Văn Khánh . SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ANH SƠN 3 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề) Câu I. (6 điểm) 1. Giải