Đề và đáp án HSG huyện BXuyên-Vĩnh Phúc

Cõu 1. Cho hai s a, b cú tng bng 1 v tớch bng ( 1 ). Chng minh rng 2 2n n n n n P a b a b + + = + + + l s nguyờn chia ht cho 5 vi mi s nguyờn dng n. Cõu 2. Bit rng cỏc s a, b, c tho món: 1 443322 = + += + += + + abcacbcba . Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc cba T 111 ++= . Cõu 3. a) Vi nhng giỏ tr no ca k thỡ h hai phng trỡnh bc nht hai n x, y: +=++ = )2(12)62( )1(44 kyxk kkyx vụ nghim. b) Gii phng trỡnh 2 1 1 0 x x x x x = . Cõu 4. Cho x, y, z l cỏc s thc tho món ( 23)( 1)( 2008) 1x y z = . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: 1 1 1 23 1 1 1 2008 1 1 2008 23 L x y z y z x = + + + ữ ữ ữ ữ Cõu 5. Cho tam giỏc cõn ABC (BA=BC) ni tip ng trũn ng kớnh BD. Hai im E v F di chuyn trờn cnh AC sao cho EF 2 1 = AC (E nm gia F v C). a) Chng minh rng FH=EC ( vi H l giao im ca AC v BD). b) ng thng qua F vụng gúc vi AC ct cnh AB ti K. Chng minh rng tam giỏc DEK l tam giỏc vuụng. ----------------------------Ht------------------------------ Ubnd huyện Bình Xuyên Phòng Giáo dục và Đào tạo đề chính thức đề thi học sinh giỏi thcs vòng 2 năm học 2008-2009 môn: toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ubnd huyện Bình Xuyên Phòng Giáo dục và Đào tạo Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi thcs vòng 2 năm học 2008-2009 môn: toán A. Hng dn chung: -Di õy ch l túm tt ca mt cỏch gii, bi lm ca hc sinh cú cỏch gii khỏc ỏp ỏn, nu ỳng cỏc giỏm kho vn dng thang im ca hng dn cho im. -Bi lm ca hc sinh ỳng n õu, cỏc giỏm kho cho im n ú. -Bi toỏn hỡnh hc (cõu 5) khụng v hỡnh hoc v hỡnh sai khụng cho im. -im ton bi l tng s im cỏc ý ca 5 cõu, khụng lm trũn. B. ỏp ỏn v thang im. Cõu Ni dung cn trỡnh by im 1 2,0 Theo bi ta cú 1a b + = v 1ab = Vi n=1 ta cú 3 3 3 1 1 ( ) 3 ( )P a b a b a b ab a b= + + + = + + + 1 1 3.( 1).1 5 = + = l s nguyờn chia ht cho 5. 0,5 Gi s vi (2 )n k k Z = ta cú 2 2k k k k k P a b a b + + = + + + l s nguyờn chia ht cho 5. Tc l 1 2 1 , , ., , k k P P P P l s nguyờn chia ht cho 5. Ta phi chng minh 1k P + l s nguyờn chia ht cho 5. 0,25 Tht vy, ta cú 1 1 3 3 1 k k k k k P a b a b + + + + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 k k k k k k k k k P a b a b ab a b a b a b ab a b + + + + + = + + + + + + + vỡ 1a b + = v 1ab = nờn ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 k k k k k k k k k P a b a b a b a b + + + + + = + + + + + + + hay 1 1k k k P P P + = + 0,75 Theo gi thit quy np 1 , k k P P l nhng s nguyờn chia ht cho 5 suy ra 1k P + l s nguyờn chia ht cho 5. Vy theo nguyờn lý quy np ta cú iu phi chng minh. 0,5 2 1,5 iu kin accbbacba ,,,0,0,0 0,25 T cho ta cú 2 (*)1 22 acab cba cba + =++= + + ; 3 1 33 babc cba acb + =++= + + ; 4 1 44 cacb cba abc + =++= + + 0,5 Do ú suy ra 5,05,15,25,4432 abcabccabcabcacbbabcacab cba === ++ = + = + = + =++ 0,25 Do 0,0 cb nờn suy ra acab 5; 3 5 == . Thay vo (*) ta c 1 5 3 5 22 = + + aa a 10 23 = a v t ú tớnh c 2 23 ; 6 23 == cb 0,25 Cỏc giỏ tr ny tho món iu kin v bi. Vy 23 18111 =++= cba T 0,25 3.a) 1,25 T phng trỡnh (2) ta cú (2 6) (2 1)y k x k = + + + (3) T phng trỡnh (1) v (3) ta cú phng trỡnh [ ] 4 (2 6) (2 1) 4x k k x k k + + + = 2 2 (2 6 4) 2 2 4k k x k k + + = + ( 1)( 2) ( 1)( 2) (4)k k x k k + + = + 0,5 Từ (3) và (4) ta thấy hệ cho vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (4) vô nghiệm hay 1 2 ( 1)( 2) 0 1 ( 1)( 2) 0 1 2 k k k k k k k k k  = −    = − + + =   ⇔ ⇔ = −   − + ≠ ≠      ≠ −   0,5 Với 1k = − hệ cho trở thành 4 5 4 1 x y x y + = −   + = −  hệ này vô nghiệm Vậy 1k = − là giá trị duy nhất cần tìm. 0,25 3.b) 1,25đ Điều kiện 2 1 0 1 0 1 0 1 0 x x x x x x x  − ≥   − ≤ <  −  ≥ ⇔   ≥   ≠    0,25 Xét hai khả năng: + Nếu 1 0x − ≤ < , viết phương trình về dạng 2 1 1x x x x x − − = + phương trình này vô nghiệm vì vế trái âm còn vế phải không âm. 0,25 + Nếu 1x ≥ viết phương trình cho về dạng 2 1 1x x x x x − − − = , bình phương hai vế ta được 2 2 1 1x x x x x   − − − =  ÷  ÷   2 1 1 2 ( 1) 1x x x x x x ⇔ − − + − = − ( 1) 2 ( 1) 1 0x x x x ⇔ − − − + = ( ) 2 ( 1) 1 0x x⇔ − − = ( 1) 1x x ⇔ − = 2 1 0x x ⇔ − − = 2 1 5 1 5 2 4 2 2 x x   ⇔ − = ⇔ − =  ÷   1 5 2 2 x ⇔ − = (vì 1 0 2 x − > do 1x ≥ ) 5 1 2 x + ⇔ = (thỏa mãn điều kiện 1x ≥ ) 0,5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 5 1 2 x + = . 0,25 4 1,0đ Điều kiện x>23, y>1, z>2008 Đặt czbyax =−=−=− 2008;1;23 theo điều kiện và giả thiết của đề bài ta có a, b, c là các số thực dương và a.b.c=1. 0,2 Từ a.b.c=1 a bc =⇒ 1 do đó 1 1 1 1 1 1 1b b b a c b bc b     − + = − + = − +  ÷  ÷     Từ đó có 1 1 1 1 1 1 1 1a b b a a b c b b          − + − + = + − − −  ÷ ÷  ÷  ÷ ÷          2 2 2 1 1b a ba b     = − − ≤  ÷  ÷  ÷     0,2 Thực hiện tương tự ta có 2 1 1 1 1 cb a c c b ≤       +−       +− ; 2 1 1 1 1c a ac a b    − + − + ≤  ÷ ÷    0,2 Khi đó ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . 1a b c ba cb ac b c a       − + − + − + ≤ =  ÷ ÷ ÷         suy ra 1 1 1 1 1 1 1a b c b c a     − + − + − + ≤  ÷ ÷ ÷     dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c 0,2 Do đó ta có 1L ≤ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 23 1 2008 1x y z − = − = − = suy ra x=24; y=2 và z=2009 (Thỏa mãn điều kiện bài toán). Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức L là 1 có được khi và chỉ khi x=24; y=2 và z=2009. 0,2 5a) 1,0đ K H E F D C B A Tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn đường kính BD suy ra BD là đường trung trực của AC nên ACHCAH 2 1 == 0,25 Kết hợp với AC 2 1 EF = (gt) ta có EF == HCAH 0,25 +Nếu F A≡ thì E H≡ ta có đẳng thức cần chứng minh là đúng. 0,25 +Nếu F không trùng với A, từ giả thiết ta có A, F, H, E, C thẳng hàng theo thứ tự đó nên suy ra FH=EC. 0,25 5b) 2,0đ Từ giả thiết ta có · · 0 90BAD BCD = = , DA=DC và BDAH ⊥ 0,25 +Nếu F A≡ thì E H≡ và K A≡ ta suy ra được tam giác DEK vuông 0,25 +Nếu F không trùng với A: Vì KF//BH (do cùng vuông góc với AC) nên BD AD AB AH KB FH == (do tam giác BAH đồng dạng với tam giác BDA) suy ra BD DC KB CE = (do FH=CE, AD=DC) mà · · KBD ECD = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) do vậy DEC ∆ đồng dạng DKB ∆ (c.g.c) DB DC KD DE =⇒ (1) và · · EDC KDB = (2). 0,75 Từ (2) suy ra · · KDE BDC = (3) 0,25 Từ (1) và (3) suy ra KDE ∆ đồng dạng BDC ∆ (c.g.c) · · 0 90KED BCD ⇒ = = ⇒ tam giác DEK vuông tại E (đpcm). 0,5 . ----------------------------Ht------------------------------ Ubnd huyện Bình Xuyên Phòng Giáo dục và Đào tạo đề chính thức đề thi học sinh giỏi thcs vòng 2 năm học 2008-2009 môn: toán Thời gian: 150. thời gian giao đề) Ubnd huyện Bình Xuyên Phòng Giáo dục và Đào tạo Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi thcs vòng 2 năm học 2008-2009 môn: toán A. Hng dn chung: