SỞ GD&ĐT VĨNHPHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu 1. Giải phương trình: 2 3 6 2 ( R) 9 x x x x + = ∈ − Câu 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 0 ( , R) 8 ( 2 ) y xy x y x x y − + = ∈ − = + Câu 3. Tìm tất cả các số thực , , ,a b p q sao cho phương trình: ( ) ( ) ( ) 10 20 20 2 2 1− − + = + +x ax b x px q thoả mãn với mọi ∈x R. Câu 4. Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 7. Các điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AN = BM. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BN và CM. Biết diện tích tam giác BOC bằng 2. a. Tính tỷ số MB AB b. Tính giá trị ∠ AOB (kí hiệu ∠ là góc) Câu 5. Cho , ,x y z là các số thực dương thoả mãn điều kiện 1+ + =xy yz zx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 = + + + + + x y z P y yz z xz x xy . -------------------------Hết----------------------------- Chú ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………SBD: ……………………. SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNHPHÚC NĂM HỌC 2008-2009 -------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên) --------------------------------------------- Câu 1 (2,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm ĐK: 2 3 9 0 3 x x x > − > ⇔ < − 0,25 + Nếu 3x > , bình phương hai vế của PT ta được: 2 2 2 2 2 9 6 72 9 9 x x x x x + + = − − 4 2 2 2 6. 72 0 9 9 x x x x ⇔ + − = − − 0,5 Đặt 2 2 ( 0) 9 x t t x = > − , ta có PT: 2 6 72 0 6t t t+ − = ⇔ = . 0,5 Khi đó 2 4 2 2 2 6 36 324 0 18 9 x x x x x = ⇔ − + = ⇔ = − Trong trường hợp này tìm được 3 2x = 0,5 + Nếu 3x < − thì 3 0 6 2 2 9 x x x + < < − : PT vô nghiệm 0,5 Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất 3 2x = . 0,25 Câu 2 (2,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm Hệ 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 0 (1) 2 2 4 yxy x y xy xy x xy y − ⇔ ⇒ = + + − = + + = 0,5 + Nếu 0xy ≥ thì (1) trở thành: 2 2 4 0 0x y x y+ = ⇔ = = . Thử lại không thoả mãn hệ 0,25 + Nếu 0xy < thì (1) trở thành: 2 2 2 4 4 0 ( 2 ) 0 2 0x y xy x y x y+ + = ⇔ + = ⇔ + = 0,5 Kết hợp với PT thứ hai của hệ ban đầu ta có 2 2 2 8 2 2 x x x = = ⇔ = − 0,5 Với 2 2x = thì 2y = − ; Với 2 2x = − thì 2y = . 0,5 Vậy hệ có hai nghiệm ( ; ) (2 2; 2);( 2 2; 2)x y = − − . 0,25 Câu 3 (1,5 điểm): Thay 2 1 = x , PT đã cho trở thành: baq p b a 20 24 1 2 1020 −=⇒= +++ + 0,25 Thay ba 2 −= vào PT đầu có: ( ) ( ) ( ) 10 2 2020 212 qpxxbbxx ++++−=− 0,25 Tính hệ số của 20 x có: 20 20 202020 2 1 1122 −±=⇒+= bb 0,25 Thay ba , như trên vào PT đầu có: 0,5 ( ) 2 2 2 2 20 10 2 2 2 2 2 1 1 (1) 1 4 4 1 1 2 (2) 4 4 + + = − + + + = − + − = + + ⇔ ⇔ ÷ + + = − + − + + = − + − x px q x x x px q x x x x px q x px q x x x px q x x * Ta có 2 1 (2) 2 ( 1) 0 4 ⇔ + − + + =x p x q (không xảy ra với mọi ∈x R) * Từ (1): 2 2 1 1 1 4 4 R p x px q x x x q = − + + = − + ∀ ∈ ⇔ = Vậy các giá trị cần tìm là: 20 20 20 20 1 1 2 1 , . 2 1 , 1 , 2 4 = − = − − = − =a b p q và 20 20 20 20 1 1 2 1 , . 2 1 , 1 , 2 4 = − − = − = − =a b p q 0,25 Câu 4 (2 điểm). a. 1,0 điểm. Nội dung trình bày Điểm O A B C M N a) Đặt xABMB = / . Suy ra 7= = ABN BMC S S x , do đó: == −= 2 27 BOCAMON BOM SS xS 0.25 Ngoài ra: xxS CON 75)27(227 −=−−−−= , x xx S x x S CONAON − − = − = 1 )75( 1 , )27( 11 − − = − = x x x S x x S BOMAMO 0.25 Do AMOANOAMON SSS += nên: { } ∉ =+− ⇔− − + − − = 1;0 0299 )27( 1 1 )75( 2 2 x xx x x x x xx 0.25 Giải PT trên được = = 3/2 3/1 x x hay = = 3/2/ 3/1/ ABMB ABMB 0.25 b. 1,0 điểm. Nội dung trình bày Điểm Vì BMCABN ∆=∆ nên ta có: 0 60 =∠+∠=∠+∠=∠ CBOMBOCBOBCMBOM . 0.25 Ta cũng có 0 180 =∠+∠ MONMAN nên tứ giác AMON nội tiếp. Trường hợp 1: / 1/ 3 2 2MB AB AM BM AN= ⇒ = = . Gọi Q là trung điểm AM ⇒ AQN ∆ đều 0.25 Q ⇒ là tâm ngoại tiếp tứ giác AMON và 00 15090 =∠⇒=∠=∠ AOBANMAOM 0.25 Trường hợp 2: Tương tự trên có: 00 909023/2/ =∠⇒=∠=∠⇒==⇒= AOBAONAMNANMBAMABMB 0.25 Câu 5 (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm Chứng minh được BĐT: 2 2 2 2 ( ) , , ; , , 0 + + + + ≥ ∀ ∈ ∀ > + + x y z x y z x y z a b c a b c a b c R (Sử dụng BĐT Bunhiacôpxki) 0,25 Ta có 2 2 2 2 ( ) 3 3 3 3( ) 3 + + = + + ≥ + + + + + + x y z x y z P xy xyz yz xyz xz xyz xy yz xz xyz 0,5 Mặt khác 2 ( ) 3( ) 3x y z xy yz xz+ + ≥ + + = và 2 3 1 1 3 ( ) 3 3 xy yz zx xyz xyz= + + ≥ ⇒ ≤ 0,25 Do đó 3 3 3 1 4 3 3. 3 3 ≥ = + P . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 x y z= = = . 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 3 4 . 0,25 --------------------------------------------- . THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ————————————. 2 −= vào PT đầu có: ( ) ( ) ( ) 10 2 2020 212 qpxxbbxx ++++−=− 0,25 Tính hệ số của 20 x có: 20 20 202020 2 1 1122 −±=⇒+= bb 0,25 Thay ba , như trên vào