PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN: TOÁN LỚP 8 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 )3 5 2a x x+ − 2 2 ) 10 9b x xy y− + Câu 2: a) Tìm các hằng số a và b sao cho 3 x ax b+ + chia cho 1x + thì dư 7, chia cho 3x − thì dư 5 − . b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số: 3 4 2 2 3 1 n n n n + + + là phân số tối giản. Câu 3: Cho 0ax by cz+ + = . Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )bc y z ca z x ab x y A ax by cz − + − + − = + + Câu 4: a) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: 2 2 1 x y+ = . b) Giải phương trình: 2 2 (8 1) (4 1) 9x x x− − = . Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm M, N thuộc các cạnh AD, BC sao cho AM CN MD NB = . Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở H. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh rằng: HN // BD. b) Gọi I là giao điểm của HO và MN. Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF. Câu 6: a) Cho x, y, z là ba số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thoả mãn 1 1 1 x y z + = . Hỏi x y+ có là số chính phương không ? Vì sao ? b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: 60; 100z x y z≥ + + = . Tìm giá trị lớn nhất của A xyz = . Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. phßng gi¸o dôc - ®µo t¹o híng dÉn chÊm giao lu hSG líp 8 ĐỀ CHÍNH THỨC vÜnh têng n¨m häc 2010-2011 M«n: to¸n Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (2đ) a) (1đ) ( ) ( ) 2 2 3 5 2 3 6 2 2 3 1x x x x x x x+ − = + − − = + − 1đ b) (1đ) ( ) ( ) 2 2 2 2 10 9 9 9 9x xy y x xy xy y x y x y− + = − − + = − − 1đ 2 (2đ) a) (1đ) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 7 3 5x ax b x P x x Q x+ + = + + = − − Thay x = -1 và x = 3 vào đẳng thức trên ta được: 8;3 32 10; 2 a b a b a b − = − + = − ⇒ = − = − 0,5đ 0,5đ b) (1đ) Gọi ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 4 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 , 3 1 2 2 1 3 1 3 1 1 2 1 1 d n n n n n n d n n d n d n n d n n d n n n d d d = + + + + + ⇒ ⇒ ⇒ + + + + + ⇒ + − + ⇒ ⇒ = M M M M M M M Vậy phân số 3 4 2 2 3 1 n n n n + + + tối giản với mọi số nguyên n. 0,5đ 0,5đ 3 (1đ) Ta có: 2 2 2 2 2 2 0 2( ) 0(1)ax by cz a x b y c z bcyz acxz abxy+ + = ⇒ + + + + + = Ta lại có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2( ) 0(2) B bc y z ca z x ab x y bcy bcz caz acx abx aby bcyz acxz abxy = − + − + − = + + + + + − + + = Từ (1) và (2) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) B ax b c by a c cz a b a x b y c z a x b y c z a b c = + + + + + + + + = + + + + Do đó 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )bc y z ca z x ab x y A a b c ax by cz − + − + − = = + + + + 0,5đ 0,5đ 4 (2đ) a) (1đ) Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 2 3 x x m m n n m n n y y y y m n y n x m y − + = ⇒ = + − + = ⇒ > ⇒ − = − = − = = = ⇒ ⇒ = = 0,5đ 0,5đ b) (1đ) 2 2 2 (8 1) (4 1) 9 8 (8 1) (8 2) 72x x x x x x− − = ⇔ − − = Đặt 8x – 1 = y ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1 72 9 1 2 3 1 4 y y y y x y x + − = ⇔ = = ⇔ = ± ⇔ = − 0,5đ 0,5đ 5 (2đ) I K Q H F E O A B D C M N G a) (1đ) Theo định lí Ta-let ta có: / / DH DM BN HN BD HC MA NC = = ⇒ (theo định lí Ta-let đảo) 0,5đ 0,5đ b)(1đ) Gọi G là giao điểm của HM và BD, Q là giao điểm của HN và AC. Ta có: / / MG AO BO NQ GQ MN GH OC OD QH = = = ⇒ Gọi K là giao điểm của HO và GQ. Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ. Do đó: IE = IF, IM = IN, ME = NF. 0,5đ 0,5đ 6 (1đ) a)( 0,5đ) Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 z x y xy x z y z z x y z + = ⇒ + = ⇔ − − = Gọi ( ) , 1d x z y z z d x d y d d= − − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =M M M Do đó x – z và y – z đều là số chính phương. Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 2 2 x z k k m N z km z km y z m x y x z y z z k m km k m − = ∈ ⇒ = ⇒ = − = ⇒ + = − + − + = + + = + Vậy x + y là số chính phương. 0,25đ 0,25đ b) (0,5đ) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 60; 100 60 60 60 0 3600 60 0 60 60 60 60 60 60 15.40 24000 4 z x y z y y z y z yz yz y z x y z A xyz x y z ≥ + + = ⇒ < ⇒ − − ≤ ⇒ − + + ≤ ⇒ ≤ + − + + − ⇒ = ≤ + − ≤ = = (áp dụng bất đẳng thức Côsi) Dấu “=” xảy ra khi 60 60 60 100 20 , 0 z x x y z z x y z x y x y = = + + − = ⇔ + + = = = ≥ Vậy Max A = 24000 60 20 z x y = ⇔ = = 0,25đ 0,25đ Trần mạnh Cường GV : THCS Kim Xá –VT- Vĩnh Phúc . 0,5 đ 0,5 đ b) (1đ) 2 2 2 (8 1) (4 1) 9 8 (8 1) (8 2) 72x x x x x x− − = ⇔ − − = Đặt 8x – 1 = y ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1 72 9 1 2 3 1 4 y y y y x y x + − = ⇔ = = ⇔ = ± ⇔ = − 0,5 đ 0,5 đ 5 (2đ) I K Q H F E O A B D C M N G a). = IF, IM = IN, ME = NF. 0,5 đ 0,5 đ 6 (1đ) a)( 0,5 đ) Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 z x y xy x z y z z x y z + = ⇒ + = ⇔ − − = Gọi ( ) , 1d x z y z z d x d y d d= − − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =M M M Do đó x – z và. định lí Ta-let đảo) 0,5 đ 0,5 đ b)(1đ) Gọi G là giao điểm của HM và BD, Q là giao điểm của HN và AC. Ta có: / / MG AO BO NQ GQ MN GH OC OD QH = = = ⇒ Gọi K là giao điểm của HO và GQ. Do OGHQ là