+ gọi P là nửa chu vi tam giác r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác S là diện tích tam giác ta chứng minh được S = Pr... Nguyễn Mai Phương.[r]
(1)PHÒNG GD-ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS CAO VIÊN Môn: Toán (Thời gian 150 phút ) Năm học 2015-2016 Bài 1: ( 5điểm ) x 1 xy x P 1 : xy 1 xy 1) Cho biểu thức: xy x xy x 1 xy a Tìm điều kiện để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P 1 6 x y b Cho Tìm giá trị lớn biểu thức P 2) Cho x 2 Tính giá trị biểu thức: B x5 x x x 20 x 2020 Bài 2: ( điểm ) 1) Cho hàm số y = ( m- 1) x + m2 -1 ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tạo độ hai điểm A, B cho tam giác OAB là tam giác cân 2) Giải phương trình : x x 3 x3 Bài : ( điểm ) 4n 4n 4n 4n 1) Tìm số tự nhiên n để A 2012 2013 2014 2015 là số chính phương 2) Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 2015 a Chứng minh bất đẳng thức: 2015 a b c 2015 b 2015 c Bài 4: ( điểm ) Cho đường tròn ( O,R ) Đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (O).Trên đường tròn lấy E ( E khác A,B).Tiếp tuyến E cắt Ax,By C và D Vẽ EF vuông góc với AB F BC cắt EF I EA cắt CF M, EB cắt DF N và K là trung điểm AC Chứng minh I là trung điểm EF và K, M, I, N thẳng hàng r R Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD Chứng minh Gọi r1 , r2 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COE và DOE Chứng minh 2 r r1 r2 Bài 5: ( điểm ) Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn a3 + b3= Tìm tất các giá trị nguyên (a+b ) (2) Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN (2015-2016) Câ u Bài (5đ) Đáp án Điểm x 0; y 0; xy 1 1) Đkxđ : x 1 xy x xy x P 1 : xy 1 xy xy x 1 x 1 x 1 x 1 P : xy 1 xy xy xy (1 xy )(1 xy ) 2( x 1) P xy 1)(1 xy xy ( x 1) 0,5đ x 1 xy xy P 0,5 0,5 0,5đ 1 y xy b)+ Chứng minh BĐT x 9 P 9 xy + từ gt biến đổi ta : + Tìm dấu : x y 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ x y + KL : max P= 2 2) x + = => x ( x 2) 3 x x 0 0,5đ B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2020 B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2015 0,5đ B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2015 0,25đ 0,25 đ B = 2015 Bài + HS lập luận để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt trục tọa độ 2 điểm A và B cho tam giác OAB cân O thì đồ thị hàm số đã cho song (5đ) song với đường thẳng y = x ( y = - x ) 1đ + Từ đó dẫn đến m 1 m 0 m m 0 giải hệ pt ta tìm (3) m = m = và trả lời bài toán 1đ đk x Biến đổi pt đưa pt x x 2( x 2) 3 ( x 2)( x x 4) 0,5đ 0,25đ Nếu x= -2 không là nghiệm pt 0,25đ Nếu x Biến đổi đưa pt về: t Đặt x2 x x2 2x 3 x2 x2 x2 2x (t 0) x2 PT đưa dạng 2t2 – 3t – =0 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ Tìm nghiệm t = -0,5 ( loại ) ; t = ( thỏa mãn ) 0,25đ Từ đó tìm x 3 13 Kết hợp đk và kết luận nghiệm S 13 Bài (3đ) 1) + Xét n= thì A= là số chính phương ( thỏa mãn ) + Xét n là số tự nhiên khác A = (20124)n + (20134)n + (20144)n+ (20154)n - Lập luận để tìm chữ số tận cùng (20124)n có CSTC là (20134)n có CSTC là (20144)n có CSTC là (20154)n có CSTC là Vậy A có CSTC là Từ đó kết luận A không thể là số chính phương 0,5đ 0,25đ 1đ 0,25đ (4) 1) + ta có 2015 + a2 = ab + bc + ca + a2 = ( a + b ) ( a + c ) + Áp dụng BĐT cô si ta (a b) (a c) 2 (a b)(a c) 0,25đ (a b) (a c) ( a b)(a c) (a b)(a c ) (a b)(a c ) 1 a 1 a a (a b)(a c) a b a c (a b)(a c) a b a c Chứng minh tương tự ta có b 1 b b (b c)(b a) b c b a 1đ c 1 c c (c a )(c b) c b c a Cộng theo vế các BĐT trên ta a b c a b b c c a 2015 a 2015 b 2015 c 2 a b b c c a Bài (6đ) x y Q C E D K M I I N A O O F F N B 0,25đ 0,5đ (5) + kéo dài BE cắt Ax Q + chứng minh CEQ cân C và CAE cân Suy CA = CQ ( 1) EI BI IF EI IF + EF//CQ nên CQ BC CA CQ AC (2) 1 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ EI IF EF EM EI EM AC MA 1 AK MA IE EF, KA AC 2 Cm EMI đồng dạng AMK (c-g-c) EF / / CA + 0,5đ 0,5đ Suy EMI = KMA Suy KMA + AMI =1800 Vậy K , M , I ,N thẳng hàng 0,5đ + đặt CD = a ; OC =b ; OD =c ( a > b; a > c ) + vì r là bán kính đường tròn nội tiếp COD 1 r a sCOD r (OC OD CD) r (a b c) R.a 2 R a b c + Trong COD có b+c > a suy a+ b +c > 2a a a r a b c 2a R + Vì a b, a c a b c 3a a r a bc R Từ (3) (4) suy đpcm + gọi P là nửa chu vi tam giác r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác S là diện tích tam giác ta chứng minh S = Pr 0,5đ 0.5đ (3) 0,5đ (4) (6) + Cm : COD đồng dạng với các CEO ; OED CO CD OD CE CO EO sCEO CO PCEO r1 CO SCOD CD PCOD r CD CO.r1 CO r r 2 CD.r CD CO CD PCEO CO PCOD CD Cm tương tự ta có : r1 r OD CD 0,25đ 0,5đ (5) (6) Từ (5) (6) 0,75đ 2 2 2 r r r r r r r r r 2 2 22 r12 r2 r CO DO CO OD CO OD CD CD ( đpcm) Bài + Ta có a3+b3= (a+b) (a2-ab +b2) Mà a3+b3 = và a2-ab +b2 > Suy : a+ b >0 (1) (1đ) + đặt a= x + 1; b = y +1 a3+b3 = hay x3 + y3 +3(x2+ y2) +3(x+y) =0 mà 3(x2+ y2) x3 + y3 +3(x+y) ( x + y)( x2-xy+y2 +3) x+y ( vì x2-xy+y2 +3 >0 ) a+ b (2) Mặt khác a+b là số nguyên (3) Từ (1) và (2) , (3) a+ b =1 ; a+ b =2 + Nếu a+b =2 thì ta luôn chọn cặp số a=b =1 ( thỏa mãn đầu bài ) + Nếu a+ b = đó ta có a+ b = và a3+b3 = a b 1 1 a b 0.25 1đ a 1 b 1 b 12 0,5đ (I) Vì hpt (I) có nghiệm a,b nên tồn cặp số thực để a+b = 0,25đ Vậy để thỏa mãn các kiện đề bài thì tồn giá trị nguyên a+ b = ; a+b =2 Người đề Nguyễn Mai Phương Tổ chuyên môn Ban giám hiệu (7)