De Dap an HSG Toan 9 20122013

b Chứng minh c Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB.. Chứng minh rằng..[r]

UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP - THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề ) ( Đề thi có 01 trang )   3y2 y x2    y   3 2   x y  x  xy x  xy x  x y  xy    Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức A  a) Rút gọn biểu thức A; x ; y b) Tìm cặp số nguyên dương  để A y có giá trị là số nguyên Câu 2(4,0 điểm): Giải các phương trình sau: a) x  x  x  x  0 ; x  2x   x  b) 2x   Câu 3(4,0 điểm): 29 x  11 2 a) Giải bất phương trình 3x  ;  1 1 1    : x y z x  y  z x , y , z  b) Cho thỏa mãn  Tính giá trị biểu thức B  x 29  y 29   y11  z11  z2013  x2013  Câu 4( 6,0 điểm): Cho O là trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C, trên  tia By lấy điểm D cho COD 90 Kẻ OH vuông góc với CD H a) Chứng minh CD là tiếp tuyến đường tròn tâm O đường kính AB; AC.BD  AB ; b) Chứng minh c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB Câu 5(2,0 điểm): Cho các số a, b, c dương thỏa mãn ab  bc  ca 1 Chứng minh rằng P 2a  a2  b  b2  c  c2  Hết Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP - THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán ( Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương ứng với đáp án)    3y2 y x2  A      y   x  xy x  xy x  x y  xy   x y  Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A; x ; y b) Tìm cặp số nguyên dương  để A y có giá trị là số nguyên Nội dung cần đạt  x 0  * a) ĐKXĐ:  x y (*) Với điều kiện   ta có:   xy  y  x  3y2 y    3 2   xy  x( x  y ) x ( x  y ) x ( x  xy  y )    Điểm 0,50  A   x  xy  y  y  y ( x  y )   xy  y  x      x( x3  y ) xy     2 2 x  y xy  y  x   x( x  y ) x y x y  2x A  m y xy b) Giả sử là số nguyên Vì x, y nguyên dương nên m nguyên dương Suy ra: x  y mxy  (my  2)(mx  1) 2 hay my  2; mx  là ước 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 Xét trường hợp:  y  my  2  m   mx  1 x   m Vì x, y nguyên dương và x y nên m   1; 2 * suy ra: (x, y) = (2, 4); (1, 2) Thử lại ta kết trên thỏa mãn 0,25  y  my  1  m   mx  2 x   m ( Loại, x  y ) *  y  my    m   mx     x   m (loại, vì x và y trái dấu) *  my     mx    * 0,25 0,25 0,25  y 0   x 0 ( Loại) Tóm lại: (x, y) = (2, 4); (1, 2) Câu 2(4 điểm): Giải các phương trình: 0,25 a) x  x  x  x  0 ; b) x  2x   x  2x   a) x  x  x  x  0  x4 - 2x2 -2x3 + 4x2 - =  x2(x2 -2) - (2x3 - 4x) + 4x2 - =  x2(x2 -2) - 2x(x2 - 2) + 4(x2 - 2) =  (x2 - 2)(x2 - 2x+4) =  x2 - =  x =  (Vì x2 - 2x + = (x- 1)2 + > x )  b) (ĐK: x ) PT   x   2 x    x   2 x   2  ( x   1)  ( x   1) 2  2x  1 0,25 + 2x   =2 0,25 0,25 +) Nếu x   0  x  1, ta có: +) Nếu 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 x  2 x   x  2 x  2 x  1 + x   =  0,50 x  1  x = ( thỏa mãn điều kiện) x      x < 1, ta có: 0,25 x  1 - x  1 =  x 0 => Phương trình có nghiệm với x thỏa mãn  x < 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  x  0,25 0,25 Câu 3(4,0 điểm): 29 x  11 2 a) Giải bất phương trình 3x   1 1       :  1 x y z x  y  z x , y , z     b) Cho thỏa mãn Tính giá trị biểu thức B  x 29  y 29   y11  z11  z2013  x2013  Nội dung cần đạt 29 x  11 2 a) Ta có: 3x  29 x  11  20  3x  23x  21 0  3x  Điểm 0,25 0,50  23 x  21  5 21  x  23 * 3x    23x  21    x    * Không tìm giá trị x thỏa mãn 5 21 x 23 Vậy bất phương trình có nghiệm  1 1   1 1     :  1       x  y  z  1 x y z b)  x y z   x  y  z   xyz  yz ( y  z )  xz ( x  z )  xy( x  y )  xyz  ( x  y )( y  z )( x  z ) 0  x  y   y  z  z  x hay B = 0,50 0,50 0,25 0,50 0,50 0,50 0,50 Câu 4( 6,0 điểm): Cho O là trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C, trên  tia By lấy điểm D cho COD 90 Kẻ OH vuông góc với CD H a) Chứng minh CD là tiếp tuyến đường tròn tâm O đường kính AB; AB AC.BD  ; b) Chứng minh c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB Nội dung cần đạt Điểm 0,5 Vẽ hình đúng: a) Vì Ax  AB; By  AB nên Ax, By là tiếp tuyến đường tròn (O) Gọi M là trung điểm CD => OM là đường trung bình hình thang ACDB => OM //AC => góc ACO = góc MOC ( So le trong) (1) Lại có: OM là trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông COD => OM = MC => tam giác OMC cân M => góc COM = góc MCO (2) Từ (1) và (2) suy góc ACO = góc MCO => tam giác ACO = tam giác HCO (cạnh huyền - góc nhọn) => OH = OA => H thuộc đường tròn tâm O => CD là tiếp tuyến đường tròn tâm O đường kính AB b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có AC = CH; BD = DH AB AC.BD  CH.DH = OH2 => OH 1 c) SCOD S AHB => HK ( HK  AB; K thuộc AB ) ( Vì tam giác COD đồng dạng với tam giác BHA) => OH = HK => K trùng O => H là điểm chính giữa nửa đường tròn AB AB O => AC = vậy điểm C thuộc tia Ax cho AC = thì SCOD S AHB 0,5 0.5 0,5 0,5 0,75 0,75 1,00 0,5 0,5 Câu 5(2 điểm): Cho các số a, b, c dương thỏa mãn ab  bc  ca 1 Chứng minh rằng: P 2a  a2  b  b2 c   c2  Nội dung cần đạt Điểm Ta có: P 2a 2b 2c   (a  b)(a  c) 4(b  c)(b  a) 4(c  b)(c  a ) 0,50 Suy ra: P a( 1 1 1  )  b(  )  c(  ) a b a c 4(b  c ) a  b 4(c  b) c  a 0,50 2   4 Dấu đẳng thức xảy 0,50 b c  , a 7b  15 15 , b 0 -Hết - 0,50