Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Gọi M là trung điểm của đoạn BE1[r]
(1)PGD – ĐT Cưmgar KỲ HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009-2010 Trường THCS Hồng Văn Thụ
Mơn : TOÁN LỚP :
Thời gian làm bài: 120 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8(x2 3x 5)2 7(x2 3x 5) 15
2 x11 x7 1 Bài 2: (4điểm)
Giải phương trình:
3
8
81 16 8x 64
2 22 22 2
2 2
x x x x
x x x x
Bài 3: (2điểm)
Tìm số dư phép chia đa thức x2 x4 x6 x82010 cho đa thức x2 10x 21 Bài 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E
1 Chứng minh :BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo mAB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng
dạng Tính số đo góc AHM
3 Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD
BC AH HC Bài : (4đ)
Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH vng góc với AC (H AC) Gọi M trung điểm AH , K trung điểm CD Chứng minh : BM MK
(2)PGD – ĐT Cưmgar
Trường THCS Hoàng Văn Thụ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 – 2010
Mơn : TỐN
LỚP : 8
Thời gian làm bài: 120 phút
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM:
Bài Câu Nội dung Điểm
1. 4,0
1.1
2 2
8(x 3x5) 7(x 3x5) 15 Đặt t= x2 +3x+5, ta có :
2 2
8(x 3x5) 7(x 3x5) 15 = 8t2+7t -15 = 8t2 -8t +15t-15 = 8t(t-1)+15(t-1) = (t-1)(8t+15)
Thay t=x2+3x+5 vào đa thức ta có :
2 2
8(x 3x5) 7(x 3x5) 15 = (x2+3x+5-1) [8(x2+3x+5)+15]
=(x2+3x+4)[8(x2+3x+5)+15] =(x2 +3x+4)(8x2+24x+55)
1đ
1đ
1.2
11 1
x x = (x11+x10+x9)+( –x10-x9 –x8 )+(x8 +x7 +x6)+( –x6 – x5-x4) +(x5+x4 +x3) +(–x3–x2 –x ) +(x2+x+1)
= x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1)
+x3(x2+x+1) +(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) 2đ
2. 4đ
2.1
8
81 16 8x 64
3
3
5 81 16 64
5
16 8
5 16 8
9 16
3 23
x x x
x
x
0,5 0,5 0,5
(3)Bài Câu Nội dung Điểm
2.2 2
2
2 2
2 2
x x x x
x x x x
ĐKXĐ : x R :
x2 +2x+2 = (x2+2x+1)+1 = (x+1)2+1>0 với x
R
x2 +2x+3 = (x2+2x+1)+2 = (x+1)2+2>0 với x
R
Đặt t= x2+2x+3=> x2 +2x+2 = t-1 , ĐK : t
2
Phương trình trở thành :
2 2
2
2
1
6 ( 2) 6( 1)( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
6 12 12 7 17
2 ( 3)( )
5
t t
t t
t t t t t t
t t t t t
t t t t t t
t t
t t
3 t
(nhận), t (loại) Với t= , ta có x2+2x+3 =3
x=0 , x = -2
Vậy nghiệm phương trình : x=0 , x = -2
0,5
0,5 0,5
0,5
3 2.0
Ta có:
( ) 2010
10 16 10 24 2010
P x x x x x
x x x x
Đặt t x2 10x 21
, biểu thức P(x) viết lại:
( ) 2010 1995
P x t t t t Do chia t2 2t 1995
cho t ta có số dư 1995
1 0,5 0,5
(4)2
2
G M
E
D H
A
B C
4.1
C DE CAB có :
Góc C chung 900 CDE CAB
=>CDE CAB => CD CE CA CB =>
CD CA
CE CB
+ Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung
CD CA
CE CB (cmt)
Do ADC BEC (c.g.c) Suy ra: BEC ADC 1350
(vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết)
Nên AEB 450
tam giác ABE vuông cân A Suy ra:
2
BEAB m
Vẽ hình 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 4.2
Ta có: 1
2
BM BE AD
BC BC AC (do BEC ADC) mà ADAH (tam giác AHD vuông vân H)
nên 1
2 2
BM AD AH BH BH
BC AC AC AB BE
(do ABH CBA )
Do BHM BEC(c.g.c)
suy ra:
135 45
BHM BEC AHM
0,5 0,5 0,5 4.3 Tam giác ABE vng cân A, nên tia AM cịn phân giác góc BAC
Suy ra: GB AB GC AC , mà AB ED
AC DC (ABC DEC)
Ta lại có ED AH// => ED AH
DC HC
0,5
0,5
S S
S S
S
(5)Mà HD =HC => ED AH HD
DC HC HC
=>GB HD GB HD GB HD
GC HC GC GB HC HD BC HC AH
0,5
5
O
K M
H
I
D A
C Gọi O trung điểm đoạn thẳng BH
Ta có M, O trung điểm AH , BH nên : MO đường trung bình HAB
Vậy MO =
2AB , MO // AB Mà AB = CD , AB//CD , KC =
2CD ,
Do MO = KC , MO // KC , suy tứ giác MOCK hình bình hành
Từ có : CO // MK
Ta có : MO // KC , KC CB MO CB
Tam giác MBC có MO CB , BH MC nên O trực tâm tam giác MBC => CO BM
Ta có : CO BM CO // MK nên BM MK
0,5
0,5
0,5