Đang tải... (xem toàn văn)
- Mọi lời giải của học sinh có phơng pháp khác với đáp án, nếu là lời giải đúng và phù hợp với kiến thức trong chơng trình, tổ chấm thi thống nhất để cho điểm tơng ứng.. Nếu hệ đã cho có[r]
(1)đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Ubnd tØnh b¾c ninh Së gi¸o dôc vµ §µo t¹o §Ò chÝnh thøc N¨m häc: 2009 - 2010 M«n thi: to¸n – líp - thcs (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Ngµy thi 14 th¸ng n¨m 2010 C©u (3,5 ®iÓm) 2 2 1) Rót gän biÓu thøc: 2) Cho hµm sè f(x) = (x3 + 6x - 5)2010 TÝnh f(a), víi a = C©u (4,5 ®iÓm) 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: √3 3+√17 + √3 3− √17 x 2x y 2y x y 2y z 2z y z 2z x 2x z x3 x x 2/ Gi¶i ph¬ng tr×nh: C©u (4,0 ®iÓm) Cho đờng tròn (O, R) nội tiếp hình thang ABCD (AB//CD), với E; F; G; H theo thø tù lµ tiÕp ®iÓm cña (O, R) víi c¸c c¹nh AB; BC; CD; DA EB GD EB 4R 1) Chứng minh EA GC Từ đó, hãy tính tỷ số EA ,biết: AB= và BC=3R 2) Trên cạnh CD lấy điểm M nằm hai điểm D và G cho chân đờng vuông góc kẻ từ M đến DO là điểm K nằm ngoài (O, R) Đờng thẳng HK cắt (O, R) ®iÓm T (kh¸c H) Chøng minh MT = MG C©u (4,0 ®iÓm) 1/ Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c và R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức R(b + c) = a √ bc Hãy xác định dạng tam giác ABC 2/ Giả sử tam giác ABC không có góc tù, có hai đờng cao AH và BK Cho biết AH BC vµ BK AC H·y tÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC C©u (4,0 ®iÓm) 2k 1 1/ Tìm tất các cặp số tự nhiên n và k để ( n ) là số nguyên tố 3 2/ Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn a b 2 Tìm tất các giá trị nguyªn cña (a + b) -HÕt -(§Ò thi gåm 01 trang) Hä vµ tªn thÝ sinh: Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1: Sè b¸o danh: Ch÷ ký cña gi¸m thÞ : (2) Së gi¸o dôc - §µo t¹o đáp án và hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi THcs cấp tỉnh N¨m häc: 2009 – 2010 M«n: To¸n Líp (§¸p ¸n gåm 03 trang) Chó ý chung: - Điểm toàn bài không làm tròn, điểm thành phần có thể thống để chia nhỏ hơn, nhng kh«ng chia nhá díi 0,25 - Mọi lời giải học sinh có phơng pháp khác với đáp án, là lời giải đúng và phù hợp với kiến thức chơng trình, tổ chấm thi thống điểm tơng ứng C©u (3,5 ®iÓm) 1) (1,50®) 2 2 0,50 2 Biến đổi Biểu thức đã cho thành ( 1) ( 1) (2 3)(3 3) (2 3)(3 3) (3 3)(3 = 6 3 6 3 9 = 3) 0,50 =1 2) (2,00 ®) Tõ a = √3 3+ √17 + √3 3− √17 √3 3+ √17 + √3 3− √17 )3 17 ( √3 3+ √ 17 + √3 3− √17 ) suy a3 = ( 0,50 a3 = + 3 17 a33 = – 6a a + 6a – = VËy f(a) = (a3 + 6a - 5)2010 = (f(x) = (a3 + 6a – + 1)2010 = C©u (4,5 ®iÓm) 1) (2,50 ®) 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 §iÒu kiÖn: (x 0 ; y 0 ; z 0 ) (x (y (z Với điều kiện trên hệ đã cho tơng đơng với hệ y) x y (1) z ) y z (2) x ) z x (3) 0,75 Nếu hệ đã cho có nghiệm, vế trái phơng trình hệ không âm, đó từ (1); (2) và (3) lần lợt suy hệ x y 0 y z 0 x y z x x y z z x 0 x y z 0 x y z 0 x x 0 x y z 1 0,50 Thử lại hai nghiệm trên vào hệ đã cho, thấy nghiệm đúng Vậy hệ đã cho có nghiệm x= y =z = 0; x = y = z = 2) (2,00 ®) Phơng trình đã cho tơng đơng với x3 – 3x2 – 3x = 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + 4x3 = (x + 1)3 4x=x+1 ( - 1)x = x= 0,75 41 0,25 0,50 0,50 0,50 0,50 (3) C©u (4,00 ®iÓm) §¸p ¸n 1) (2,00®) Do AB//CD CDA DAB 180 ; (O,R) là đờng tròn nội tiếp ABCD nên DO vµ AO theo thø tù lµ ph©n gi¸c c¸c gãc CDA vµ DAB §iÓm ODA OAD (CDA DAB) 900 AOD 900 , hay tam gi¸c AOD 0,25 vu«ng ë O , t¬ng tù tam gi¸c BOC vu«ng ë O XÐt c¸c tam gi¸c OAD vµ BOC vu«ng ë O có các đờng cao OH và OF cùng R HA.HD = FB.FC = R2 MÆt kh¸c theo tÝnh chÊt c¸c tiÕp tuyÕn cña (O, R), ta cã HA = EA; EB = FB HD = GD; FC = GC VËy EA.GD = EB.GC EB GD EA GC = k (1) A E B 0,25 H F T O K D 0,25 M G C 4R Ta ph¶i t×m k > AB = vµ BC = 3R V× AB//CD vµ AB ; CD lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña (O, R) OE AB vµ OG CD 2 E; O; G th¼ng hµng, nªn EG = 2R vµ EG2 = BC (GC EB) (2) EB k kAB 4kR 4kR EB EB (3) BF k 1 3(k 1) 3(k 1) Tõ (1) cã EB EA k 4kR 4kR CF BC BF 3R GC 3R 3(k 1) 3(k 1) (4) 0,25 0,25 0,25 8kR (k 9) 9R 3R 5 3(k 1) 9(k 1) Thay (4) vµ (3) vµo (2), ta cã 4R2 = 96 11k 18k 0 , giải phơng trình đợc nghiệm k >0 là k = 11 EB 11 VËy EA = 0,25 0,25 2) (2,00®) Ta cã DH = DG ( hai tiÕp tuyÕn cña (O, R) kÎ tõ D) DHG c©n ë D, mµ DO lµ ph©n gi¸c gãc HDG HG DO, cã MK DO MK//HG KMG HGC MÆt kh¸c GC lµ tiÕp tuyÕn cña (O, R) vµ gãc HTG néi tiÕp ch¾n cung HFG cña (O, R) HTG HGC KMG HTG tø gi¸c KTGM néi tiÕp (5) Lại có OKM OGM 90 điểm O; K; G; M thuộc đờng tròn đờng kính MO (6) Từ (5) và (6) điểm O; K; G; M; T thuộc đờng tròn đờng kính MO MTO 900 OT MT mµ T thuéc (O, R), nªn MT lµ tiÕp tuyÕn cña (O, R) MT vµ MG lµ tiÕp tuyÕn cña (O, R) kÎ tõ M MT = MG 0,50 0,50 0,50 0,50 C©u (4, 00 ®iÓm) 1) (2,00 ®) Tõ R(b + c) = a √ bc suy R(b c) √ bc a = 0,50 1,00 (4) 0,50 R(b c) bc bc √ a Mà b và c > nên theo bất đẳng thức Cô-si có = Suy 2R a Mặt khác a 2R Vậy a = 2R Do đó tam giác ABC vuông A 2) (2,00 ®) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H AC AH BC (gt) A _ 0,50 Tam gi¸c BKC vu«ng t¹i K BC BK AC (gt) 0,50 Suy AC = AH = BC = BK C H K 0,50 VËy ABC vu«ng c©n t¹i C 0,50 K _ B _ H _ C _ C©u (4,0 ®iÓm) 1) (2,00 ®) 2k 1 §Æt M= n + Khi n ch½n ta cã n4 chia hÕt cho 2, mÆt kh¸c 42k+1 chia hÕt cho vµ 42k+1 >2, víi mäi k VËy M kh«ng lµ sè nguyªn tè + Khi n lÎ: a) Khi n = vµ k = 0, ta cã M = lµ sè nguyªn tè b) Khi n vµ k 1 , ta chøng minh M kh«ng lµ sè nguyªn tè: 2k 1 k 1 2 2k 1 k 1 2k 1 k 1 Ta cã M = ( n ) (n.2 ) (n n.2 )(n n.2 ) 2k 1 k 1 Ta cã n n.2 lµ sè nguyªn lín h¬n (1) 2k 1 2 n 22k 1 2n.2k n 22k 1 n.2 k 1 lµ sè nguyªn, mÆt kh¸c n n 22k 1 n.2k 1 2n.2k n.2k 1 n.2k 1 ( 1) (2) Tõ (1) vµ (2), suy M lµ hîp sè 2k 1 KÕt luËn: n lµ sè nguyªn tè vµ chØ n =1 vµ k = 2) (2,00 ®) Cã a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Tõ gi¶ thiÕt a3 + b3 = (*) 2= (a + b)(a2 – ab + b2) mµ a2 – ab + b2 > a + b > (1) §Æt a = x +1 vµ b = y + = (x + 1)3 + (y + 1)3 x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 3(x + y) = mµ 3(x2 + y2) 0 x3 + y3 + 3(x + y) 0 (x + y)(x2 – xy + y2 + 3) 0 mµ x2 – xy + y2 + > x + y a + b – a + b (2) Tõ (1) vµ (2) < a + b 2, nªn gi¸ trÞ nguyªn cña a + b chØ cã thÓ lµ hoÆc + Chọn a = và b = 1, thoả mãn điều kiện (*), đó a + b = + §Ó a + b = 1, ta sÏ chøng tá: cã a vµ b tho¶ m·n a b 1 3 a b a b 1 2 a ab b 2 a b 1 ab 1/ (I) (a; b) lµ nghiÖm hÖ (I) vµ chØ a vµ b lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh t2 – t = 0, ph¬ng tr×nh nµy lu«n cã nghiÖm ®iÒu cÇn chøng minh KÕt luËn: a + b cã hai gi¸ trÞ nguyªn lµ vµ 0,50 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 (5)