NW359 360 DẠNG 31 tìm GTLN GTNN TRÊN a b GV 2

DẠNG TỐN 31: TÌM MAX – MIN TRÊN ĐOẠN [a;b] I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa y = f ( x) D Cho hàm số xác định tập Số M gọi giá trị lớn hàm số M = max f ( x) x∈D Kí hiệu: y = f ( x) D nếu:  f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D  ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M  f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D  ∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = m y = f ( x) D gọi giá trị nhỏ hàm số nếu: m = f ( x) x∈D Kí hiệu: Phương pháp f ′( x) Bước Tính đạo hàm xi ∈ [ a; b] α i ∈ [ a; b ] f ′( x) = Bước Tìm tất nghiệm phương trình tất điểm làm f ′( x) cho không xác định f (a ) f (b) f ( xi ) f (α i ) Bước Tính , , , M = max f ( x) m = f ( x) Số m [ a ;b ] [ a ;b ] Bước So sánh giá trị tính kết luận , Chú ý: M = m ax f ( x) = f ( b ) ; f ( x) = f ( a ) f ( x) [ a; b ] Nếu đồng biến f ( x) Nếu [ a; b ] nghịch biến [ a ;b ] [ a ;b ] M = m ax f ( x) = f ( a ) ; f ( x ) = f ( b ) [ a ;b ] [ a ;b ] II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Max – Min biết đồ thị, BBT Max – hàm số đoạn [a;b] Max – hàm số K Max – hàm số chứa trị tuyệt đối Bài toán tham số Max – Max – biểu thức nhiều biến Ứng dụng Max – giải tốn tham số Bài tốn thực tế, liên mơn Max – Tìm Max – hàm hợp … TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang1 BÀI TẬP MẪU M,m (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021)Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 11 A f ( x ) = x4 − 2x2 + đoạn 14 B [ 0; 2] M +m Tổng C Phân tích hướng dẫn giải D 13 [ a; b ] DẠNG TỐN:Đây dạng tốn tìm Max – hàm số đoạn HƯỚNG GIẢI: B1: y = f ( x) [ a; b ] ∗ Hàm số cho xác định liên tục đoạn f ′( x) = f ′( x) x1 , x2 , , xn ( a; b ) ∗ Tìm điểm khoảng , khơng xác định f ( a ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( b ) B2: Tính B3:Khi đó: max f ( x ) = max { f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ) } ∗ ∗ [ a ,b ] f ( x ) = { f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ) } [ a ,b] Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lờigiải ChọnD f ¢( x ) = x - x f ¢( x ) = Û x = 0, x = ±1 Ta có [0;2], Trên ta xét giá trị f (0) = 3, f (1) = 2, f (2) = 11 Do M = 11, m = M + m = 13 Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Giá trị lớn hàm số max f ( x ) = A [ 1;3] f ( x ) = x3 − x + 16 x − max f ( x ) = −6 B [ 1;3] đoạn 13 max f ( x ) = [ 1;3] 27 C Lời giải [ 1;3] max f ( x ) = D [ 1;3] Chọn C Ta có  x = ∉ [ 1;3] ⇔ x = 2 f ′ ( x ) = x − 16 x + 16 ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ 3x − 16 x + 16 =  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang2   13 f  ÷=   27 f ( 1) = f ( 3) = −6 , , 13 max f ( x ) = [ 1;3] 27 Vậy Câu Giá trị lớn hàm số 19 A B y = f ( x ) = x − x + 16 C Chọn C y = x − x + 16 ⇒ y ' = x − 16 x 25 Lời giải đoạn [ −1;3] D x =  y ' = ⇔ x =  x = −2 ∉ [ −1;3]  Cho y ( −1) = 9; y ( ) = 0; y ( 3) = 25 max y = 25 Vậy Câu [ −1;3] Cho hàm số A f ( x ) = x − x − B M = max f ( x ) , m = f ( x ) Kí hiệu x∈[ 0;2] C Lời giải x∈[ 0;2] D Khi M −m Chọn A f ( x) = x - x - D=¡ ( ) f ¢( x ) = x3 - x = x x - éx = ị f Â( x ) = ê ê ëx = ±1 x = Þ f ( x ) =- x = Þ f ( x) =- = m x = Þ f ( x) = = M Þ M - m = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang3 Câu Câu x3 y = + x2 + 3x − Biết giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số m M +m M Giá trị 28 − − 3 −4 A B C D Lời giải Chọn B x3 y = + x + 3x − [ −4;0] Hàm số xác định liên tục  x = −1 y′ = ⇔  y′ = x + x +  x = −3 , 16 16 f ( ) = −4 f ( −1) = − f ( −3) = −4 f ( −4 ) = − Ta có , , , 16 28 m=− M +m =− 3 M = −4 Vậy , nên [ −2;3] y = − x4 + x2 − Giá trị nhỏ hàm số đoạn −50 −197 −5 −1 A B C D Lời giải Chọn A x = y′ = ⇔  y′ = −4 x3 + x x = ± ; ( [ −4;0] ) y ( −2 ) = −5 y ( ) = −5 y ± = −1 y ( 3) = −50 ; ; ; y = y ( 3) = −50 Vậy Câu [ −2;3] M N y = x3 − x + Gọi , GTLN, GTNN hàm số M +N −2 −4 A B C Lời giải Chọn C y ' = 3x2 − x Ta có   y ' = 3 x − x = ⇔   x ∈ ( 1; )   x ∈ ( 1; ) (vô nghiệm) M + N = y (1) + y(2) = 13 − 3.12 + + 23 − 3.22 + = −4 Suy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D [ 1; 2] Khi tổng Trang4 Câu f ( x ) = x3 − x − x + 10 Tìm giá trị lớn hàm số max f ( x ) = max f ( x ) = 17 [ −2; 2] A [ −2; 2] B max f ( x ) = −15 C [ −2; 2] [ −2; 2] D max f ( x ) = 15 [ −2; 2] Lời giải Chọn D Hàm số liên tục xác định f ′ ( x ) = 3x − x − Ta có f ( −1) = 15 Khi Câu Do f ( −2 ) = ; [ −2; 2] ;  x = −1∈ [ −2; ] ⇔  f ′ ( x ) = ⇔ 3x − x − =  x = ∉ [ −2; ] f ( ) = −12 max f ( x ) = 15 Vậy [ −2; 2] y = x3 + x2 − x + Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số M m M +m Giá trị tổng bao nhiêu? M + m = −2 M + m = −24 M + m = −4 A .B C Lời giải Chọn A  x = −2 ∈ [ −4;0 ] D = ¡ , y ′ = 3x + x − ⇒ y ′ = ⇔   x = ∉ [ −4; 0]  đoạn D [ −4;0] M + m = −10 TXĐ: f ( −2 ) = 11; f ( −4 ) = −13; f ( ) = Ta có ⇒ M + m = 11 − 13 = −2 Câu M Gọi [ −1;3] A m giá trị lớn nhất, Khi tổng ( 59;61) B M +m ( 39; 42 ) giá trị nhỏ hàm số y = x + 3x − 12 x + đoạn có giá trị số thuộc khoảng đây? C ( 0; ) Lời giải D ( 3;5) Chọn B Ta có Mà y′ = x + x − 12 ;  x = ∈ [ −1;3] y′ = ⇔   x = −2 ∉ [ −1;3] y (1) = −6; y(3) = 46; y( −1) = 14 Câu 10 Gọi [ 3;5] M,m nên M = 46; m = −6 ⇒ M + m = 40 ∈ ( 39; 42 ) f ( x) = giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Khi M −m x +1 x −1 đoạn TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang5 A B C D Lời giải Chọn D f ′( x) = Ta có −2 ( x − 1) < 0, ∀x ∈ [ 3;5] đó: M = max f ( x ) = f ( ) = m = f ( x ) = f ( ) = [ 3;5] [ 3;5] ; M −m = 2− Suy = 2 Câu 11 Tìm giá trị lớn hàm số max f ( x ) = −7 A [ 1;3] f ( x ) = x3 − x − x + max f ( x ) = −4 B [ 1;3] đoạn [ 1;3] max f ( x ) = −2 C Lời giải [ 1;3] max f ( x ) = D [ 1;3] 67 27 Chọn C Ta có   x = ∈ [ 1;3] ⇒ f ′( x) = ⇔   x = −2 ∉ [ 1;3] ′ f ( x ) = 3x − x −  176 7 f =− f ( 1) = −4 f ( 3) = −2  ÷ 27  Khi đó: ; ; [ 1;3] −2 Vậy giá trị lớn hàm số y = x + 3x Câu 12 Giá trị nhỏ hàm số −16 A B đoạn y = x + 3x Xét hàm số y ' = 3x + x + + + [ −4; −1] C Lời giải Chọn B liên tục đoạn D −4 [ −4; −1]  x = ( L) y ' = ⇔ 3x + x = ⇔   x = −2 y ( −4 ) = −16; y ( −2 ) = 4; y ( −1) = Vậy giá trị nhỏ hàm số cho TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA −16 Trang6 y = f ( x ) x ∈ [ −2;3] M m , có đồ thị hình vẽ Gọi , giá trị lớn Câu 13 Cho hàm số f ( x) giá trị nhỏ hàm số A đoạn B [ −2;3] Giá trị M +m C Lời giải D Chọn B M =3 m = −2 M + m =1 Dựa vào độ thị nhận thấy Vậy y = f ( x) [ −3; 2] Câu 14 Cho hàm số liên tục đoạn có bảng biến thiên sau Gọi M, m đoạn A giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số [ −1; 2] Tính M +m C Lời giải Chọn A Từ bảng biến thiên ta có: + Giá trị lớn hàm số + Giá trị nhỏ hàm số M +m=3 Suy y = f ( x) y = f ( x) y = x+ Câu 15 Giá trị nhỏ hàm số A [ 2;4] B y = y = f ( x) x trên [ −1; 2] [ −1; 2] là D M =3 m=0 [ 2; 4] đoạn là: 13 25 y = y = [ 2;4] [ 2;4] B C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA y = −6 D [ 2;4] Trang7 Lời giải Chọn A Ta có y′ = − x2 − = x2 x2  x2 −  x2 − =  y′ =  =0 ⇔ ⇔ ⇔ x =   x  ≤ x ≤ 2 ≤ x ≤  2 ≤ x ≤  25 f ( 3) = f ( ) = , , y = f ( 3) = f ( 2) = Vậy 13 [ 2;4] y= Câu 16 Giá trị lớn hàm số A B 3x + x +1 [ 0; 2] 10 C Lời giải D Chọn B [ 0; 2] Hàm số cho liên tục y′ = >0 ( x + 1) [ 0; 2] ∀x ≠ −1 Ta có Do hàm số đồng biến max y = y ( ) = [ 0;2] Từ x+5 y= [ 8;12] x−7 Câu 17 Giá trị lớn hàm số đoạn 17 15 13 A B C Lời giải Chọn C ¡ \ { 7} Tập xác định −12 y′ = 0, ∀x ∈ [ 1; 2] max f ( x ) = f ( ) = [ 1;2] x + mx + m x +1 [ 1; 2] [ 1; 2] Do max f ( x ) = Trong trường hợp ta có 3m + =2⇔m= 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA [ 1;2] 3m + Theo yêu cầu (thỏa mãn) Trang39 TH2: 3m + 4 ≤0⇔m≤− 3 max f ( x ) = Trong trường hợp ta có [ 1;2] −2m − Theo yêu cầu −2 m − =2⇔m=− 2 tốn ta có (thỏa mãn) 2m + 3m + 4 − m ⇔ m < −41 (2) Trường hợp 2: 9−m < ⇔ m > 0 ;3 0 ;3 ⇒ f (x ) = − m = m− , max f (x ) = m + 16 0 ;3 0 ;3 (1) ⇔ 2(m − 9) > m + 16 ⇔ m > 34 (3) Vì m nguyên, m ∈ [ − 50; 50] nên từ (2) (3) ta có + 16 = 25 giá trị m nguyên thỏa đề y = x - x - 3m + m đạt giá trị nhỏ thỏa m= m= C D Lời giải Câu 20 Để giá trị lớn hàm số m= m= A B Chọn A D = [ 0;2] Tập xác định: f '( x ) = Đặt f ( x ) = x - x - 3m + 4, x Ỵ D , ta có 1- x 2x - x2 , f '( x) = Û x = f ( x) D Do liên tục nên ta có P = max f ( x) = max { f (0) ; f (1) ; f (2) } = max { 3m - ; 3m - } D 2 3m - > 3m - Û ( 3m - 5) > ( 3m - 4) Û m < Ta có m= Trường hợp m> Trường hợp m< Trường hợp 3 3 P= ta ta ta P = 3m - = 3m - > - = 2 P = 3m - = - 3m > - = 2 m= Suy giá trị lớn hàm số nhỏ f ( x ) = x + 3x − 72 x + 90 + m Câu 21 Giá trị lớn hàm số khẳng định khẳng định đúng? TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA đoạn [ −5;5] 2018 Trong Trang41 A 1600 < m < 1700 B m = 400 C Lời giải m < 1618 D 1500 < m < 1600 Chọn A Xét hàm số g( x) = x3 + 3x − 72 x + 90  g '( x) = 3x + x − 72  x = ∈ [ −5;5] g '( x) = ⇔ x + x − 72 = ⇔   x = −6 ∉ [ −5;5] ⇒ g ( −5) = 400; g (5) = −70; g (4) = −86 ⇒ max g ( x) = g (−5) = 400 [ −5;5] ⇒ max f ( x) = m + 400 [ −5;5] Theo ra: max f ( x) = 2018 ⇔ m + 400 = 2018 ⇔ m = 1618 [ −5;5] TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang42 ... ) , ( 3) ta được: M ≥ b − a + + b + 3a + + − 2b − 2a + ≥ ( b − + 1) + ( b + 3a + ) + ( − 2b − 2a + ) = Suy M ? ?2  b − a +1 =   b + 3a + =   b + a +1 = b − a + 1, b + 3a + 9, ? ?b − a − Đẳng thức... Tính A , Suy 20 19 20 19 + 20 17 20 17 4036 20 18 B 4036 D Lời giải ) 20 19 + 20 17 Chọn C D =  − 20 19; 20 19  TXĐ: x2 y′ = 20 17 + 20 19 − x − 20 19 − x Ta có ⇒ y′ = x2 ⇔ 20 17 + 20 19 − x − 20 19... ) = 2; y ( ? ?2 ) = ? ?2; y Ta có: Vì hàm ( 2) = y = x + − x2 số liên tục đoạn [ ? ?2; 2] max y = y nên x∈[ ? ?2; 2] ( 2) = 2, y = y ( ? ?2 ) = ? ?2; x∈[ ? ?2; 2] Vậy tập giá trị hàm số Câu T =  ? ?2; 2 