Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN

Tài liệu gồm 84 trang, được trích từ cuốn sách Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức của các tác giả: Nguyễn Công Lợi, Đào Quốc Chung, Đào Quốc Dũng, Phạm Kim Chung (diễn đàn Toán THPT K2PI), hướng dẫn áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz) chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN (giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất).

Chủ đề MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI A Kiến thức cần nhớ Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi xác bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, bất đẳng thức ba nhà toán học độc lập phát đề xuất, có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học Ở nước ta, phù hợp với chương trình sách giáo khoa, tài liệu gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki Đây bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng nhiều tốn bất đẳng thức cực trị Trong phạm vi chương trình Tốn THCS, quan tâm đến trường hợp riêng bất đẳng thức Bunhiacopxki Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Bunhiacopxki a Dạng tổng quát + Cho hai dãy số tùy ý a1; a ; a ; ; a n b1; b2 ; b3 ; ; b n Khi ta có:   b  b   b   a b  a b   a b    a  b  b   b   a b  a b   a b Dạng 1: a12  a 22   a 2n a Dạng 2:  a 22 2 n 2 2 a  a 22   a 2n  b 1 n 1 2 n n n n a1 a a    n b1 b2 bn - Dấu đẳng thức xảy dạng dạng là: Dạng 3: 2 n   b22   b2n  a1b1  a 2b2   a n bn a1 a a    n  b1 b2 bn - Dấu đẳng thức xảy dạng là: Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý a1; a ; ; a n x1; x ; ; x n với x1; x ; ; x n    a1  a   a n a12 a 22 a2    n  x1 x xn x1  x   x n Khi ta có a1 a a    n  x1 x xn - Dấu đẳng thức xảy dạng là: Trong dạng bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng bất đẳng thức dạng gọi bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức b Một số dạng đặc biệt n2 a  b2  x    y2  ax  by n3  a  b  c2  x    y2  z2  ay  by  cz   a  b  x  y   ax  by  a  b  x  y   ax  by 2 2 2 2   a  b  c  x  y  z   ay  by  cz  a  b  c  x  y  z   ay  by  cz 2 2 2 2 2 2  ab a b2   x y xy   x, y  0 Đẳng thức xẩy  abc a b2 c2    x y z xyz  x, y  0 a b  x y a b c   x y z Đẳng thức xẩy B Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Kỹ thuật chọn điểm rơi Cũng tương tự bất đẳng thức Cauchy, sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra, điều có nghĩa ta cần phải xác định điểm rơi toán áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Để rõ ta tìm hiểu số ví dụ sau Ví dụ 1.1: Cho a số thức dương thỏa mãn mãn a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a2  a2 + Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: A  a  1  2a  a a   1 1  a     a     a a  2  Do giá trị nhỏ A + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ dấu đẳng thức xẩy a   a  trái với giả thiết a  a Sai lầm 2: A  11    + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức a  b2  x    y2  ax  by  với dấu đẳng thức xẩy a b  Giả sử với số  ;  ta có x y   1 1   a   a2       2   a a a        Ta cần chọn hai số  ;  cho giá trị nhỏ A đạt a  Từ ta có sơ đồ điểm rơi: A  a2   a      a  1    a   + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  1  1  1 Aa   a      4a   17  17  a a a  2  a 15a   15  17       1    54 a  17   17 Vậy giá trị nhỏ A Đẳng thức xẩy a    Ví dụ 1.2: Cho a, b, số thực dương thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a2  1  b2  2 a b + Sai lầm thường gặp: A  a2  1  b2     2 a b Do giá trị nhỏ A 2 + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ 2 dấu đẳng thức xẩy ab Khi a  b  trái với giả thiết a  b  + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức 1   a b 1 a b a  b2  x   y2  ax  by với dấu đẳng thức xẩy a b   Khi với ý tưởng chuyển đổi biểu thức thành biểu thức x y Giả sử với số  ;  ta có    1 1   a2    a2       a    a a a   2  2  2  2       1  b2   2        b b     2  b b b  2  2  2  2     1  A  a  b        a b  2  2        Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a  b  Từ ta có sơ đồ điểm rơi: a     a  b     a    1 b     b + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có   1 1  1  a2    a   42  12   4a   a a a   17  17    b2    b2   42  12   4b        b c2 b2  17  17        1   4 a  b      17   a b  1 Để ý ta thấy   , áp dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết ta a b ab 15 a  b    a  b   A   4 a  b   a  b a  b   17  17   2  15   17  17 a   Dấu đẳng thức xẩy   a  a  b  b   b  Khi ta A       Vậy giá trị nhỏ A 17 Đẳng thức xẩy a  b  Ví dụ 1.3: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a2  1  b2   c2  2 b c a + Sai lầm thường gặp: A  a2  1 a b c  b2   c2      3 2  2 b c a b c a Do giá trị nhỏ A + Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ dấu đẳng thức xẩy 1   a bc1 a b c Khi a  b  c  không thỏa mãn giả thiết a  b  c  abc + Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức a  b2  x   y2  ax  by với dấu đẳng thức xẩy a b   Khi với ý tưởng chuyển đổi biểu thức thành biểu thức x y Giả sử với số  ;  ta có    1    a2    a2       a    b b b   2  2  2  2      1 1  b    b2        b    c c c  2  2  2  2       1  c2   c    c2         a a a  2  2  2  2     1  A  a  b  c         a b c  2  2          Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a  b  c  Từ ta có sơ đồ điểm rơi: a     b  b     ab  bc  ca    abc2        c c    a  + Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có   1   1  a2    a   42  12   4a   b b b   17  17    1  1   b2   42  12   b    4b   c c c  17  17     1 1  1  c2    c2   42  12   4c   a a a   17  17   1   Khi ta A  4 a  b  c       17   a b c  1 Để ý ta thấy    , áp dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết ta a b c abc 15 a  b  c   a  b  c  A   4 a  b  c   a  b  c abc 17  17   15  17      2 17                a   4 b b Dấu đẳng thức xẩy     a  b  c  4 c c   a Vậy giá trị nhỏ A 17 , a  b  c  2 Ví dụ 1.4: Cho số thực dương a, b,c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a2  1  b2   c2  bc ca ab Phân tích: Chuyển đổi biểu thức thành biểu thức Giả sử với số  ;  ta có:      1  a2   a      2    bc     2  2  b  c      1    b   b    ca ca  2  2     1    c2   c    ab  ab 2  2     1 1  A    abc    bc c  a        ab       a   bc   Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a bc2 Do ta có sơ đồ điểm rơi a     b  b   abc2    ab  bc  ca          c c    a  Lời giải   a2   bc      b  ca     c  ab       a2   4a      bc 17  17  bc    4b   17  ca   1  4c    ab 42  12    Cộng theo vế bất đẳng thức ta  1  1    4 a  b  c    17  bc c  a    ab  A  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki ta   4 a  b  c   17  ab  ab  ca       abc   17 abc    A          31 9  abc  abc     8 17 abc abc       31 9   17  3 a  b  c  17  abc abc                  Vậy giá trị nhỏ A 17 Đẳng thức xẩy a  b  c  2 Ví dụ 1.5: Cho số thực dương a, b,c thỏa a  b  c  2abc  10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 9b2 c2a 9c2 a 2b2 9a b2c2         4 a2 b2 c Phân tích: Do biểu thức A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a  b  c  Do ta có sơ đồ điểm rơi a     b  b   abc2    ab  bc  ca          c c    a  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta    18      18      18   Do ta A  Hay 9b2 c2a     9b  ca a a2 2 9c ab     9b  ca 2 b b 2 9a bc     9b  ca 2 a c   4       a  b  c  ab  bc  ca  24  a b c       4 4 24.A       a  b  c  ab  bc  ca a b c     Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 4  4  4  24.A    a     b     c   2a  bc  2b  ac  2c  ab  a  b  c a  b  c  4  a  b  c  2abc  2 2abc  2 2abc  a  b  c Suy a b c  12  a  b  c  2abc  72    ta A  72 24          6 Vậy giá trị nhỏ A 6 Đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 1.6: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  4a  1 2  4b   4c  a2 b2 c2 Phân tích: Trong ví dụ ta xét biểu thức đại diện A  4a  Một cách tự nhiên ta tìm cách khử a2 biểu thức Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cách bình thường: 4a  Đẳng thức xảy a  , áp dụng tương tự khơng thỏa mãn giả thiết toán Dự đoán đẳng thức xẩy a  b  c  A 1  1  2a    a a2 2 Khi ta cần chọn số  ;  để có đánh giá  1 2  4a       a    2  2 Dấu đẳng thức xẩy  2a    a với a  2  2  2a     a  2a    a     2 Từ dễ dàng chọn a  8; b  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:  1 1  9  92  4a    16a   4a    16a   a a a  a 145     1  9 82  92  4b2    16b   4b2    16b   b b b  b 145    1 1  9 82  92  4c2    16c   4c2    16c   c c c  c 145   8      Từ ta A   1  16 a  b  c        145   a b c     81  16 a  b  c   a  b  c 145    145 Vậy giá 145 Đẳng thức xẩy a  b  c  3 Ví dụ 1.7: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: trị nhỏ A A  a2  1 1 1   b    c2   2 a b b c c a 1  Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cách trực a b2 1  1 a2     a    Khi dấu đẳng thức khơng xẩy a b a b 3 Phân tích: Xét biểu thức A  tiếp ta abc A a2  Từ ta chọn số p, q, r để có đánh sau: p2  q  r  1  2 a    p  q  r a b      p2  q  r  q r  ap     a b  q r  a b p2  q  r2 pa  1 a a Và đẳng thức xảy   b với a  b  c  Từ ta chọn số thỏa p q r mãn p  ,q  r  2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 1 1  a 2 1 2  2     a        a    a b  a b a b 2  1 1 b 2 1 2  2    b        b    b c  b c b c 2  1 1 c 2 1 2  2    c        c    c a  c a c a 2  a 2     33  a b  b 2     33  b c  c 2     33  c a  Từ ta A  1  a  b  c 3 36  33           2 33  33  a  b  c   a b c  Vậy giá trị nhỏ A 33 a  b  c  2 Ví dụ 1.8: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  4b2  9c2  2015 Tìm giá trị lớn biểu thức: P abc Phân tích lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  P  abc  2  1 1   am  bn  cp  m n p   1       a m  b2 n  c p2 n p  m   Để sử dụng giả thiết ta a  4b2  9c2  cần chọn số m; n; p cho hệ sau thỏa mãn  m a  n b2   am bn      m n  p2c2  x2  4y2  9z2 cp p m    n  p   Khi ta có lời giải sau Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  P  abc  2  1   a  2b  3c  p  1 1 14      a  4b2  9c2  36  1  Do ta P  14 hay giá trị nhỏ P  14 Dấu đẳng thức xẩy a  4b2  9c2  1 1 a ;b ;c  28 63 a  4b  9c Ví dụ 1.9: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  2b  3c  14 Tìm giá trị nhỏ biểu P  a  b  c2 thức: Phân tích lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta m  n  k2 a    b2  c2  ma  nb  kc  Để áp dụng giả thiết a  2b  3c  ta cần chọn số m; n; k thỏa mãn hệ sau ma  nb  kc  a  2b  3c   a b c    m n k m   n  k   Khi ta có lời giải sau Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopxki ta   a  2b  3c 142 2 2 2 P 2 3 a b c    14 14 14 14 Do giá trị nhỏ P 14 Đẳng thức xẩy a  2b  3c  14   a  1; b  2; c  a b c    1 Ví dụ 1.10: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 4a  9b  16c  49 Chứng minh rằng: 25 64    49 a b c    Phân tích lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta  Đặt A  x  y2  z2 ; B  xy  yz  zx suy A  2B  x  y  z  chứng minh A  2B     , ta cần   3B 2A  B  A2  B2  2AB Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 5.2: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b  a  b2 b  c2 c  c2  a  Phân tích: Bất đẳng thức viết lại thành a2 b2 c2    2 2 2 a b b c c a 2 Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến phép đổi biến x  a ; y  b2 ; z  c2 , bất đẳng thức trở thành x  xy y z   yz zx Đây bất đẳng thức chứng minh mục với phép đối xứng hóa Lời giải 2 Đặt x  a ; y  b ; z  c , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x  xy y z   yz zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta  x    xy  y z    yz z  x                xy xz yz yx zx zy    x y z 2 xyz     xy xz yz yx zx zy  x  y  z xy  yz  zx  xy yz zx Ta cần chứng minh Hay Hay x xz         y yx        z zy              x  y  z  xy  yz  zx    x  y  y  z  z  x   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  y  z  z  x  8xyz   x  y  y  z  z  x  Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c Ví dụ 5.3: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  abc Chứng minh rằng:      a b c 1    3    b c a b c  a 1    Đến ta đặt a b c Phân tích: Quan sát giả thiết ta thấy viết lại giả thiết thành x 1 ; y  ; z  ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a b c x y z2    x  y  z2 z x y   Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải 1   1 a b c Từ giả thiết ab  bc  ca  abc suy 1 ; y  ; z  , từ giả thiết suy x  y  z  a b c x y z2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành    x  y  z2 z x y Đặt x   Theo Bunhiacopxki dạng phân thức ta    x  y  z2 x y z2 x4 y4 z4       z x y x z y x z y x z  y x  z2 y Ta cần chứng minh Hay x  y  z2    x z  y x  z y x zy xz y 2 x  y  z2 Vì x  y  z  , nên bất đẳng thức trở thành  x  y  z  x Hay   x  y  z2 2    y  z2  x z  y x  z y  x  y  z3  xz2  yx  zy2  x2z  y2 x  z2 y   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x  xz2  2x 2z; y  yx  2y2 x; z3  zy2  2z2 y Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta  x  y  z3  xz2  yx  zy2  x2z  y2 x  z2 y Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a  b  c  Nhân xét: Bất đẳng thức chứng minh theo cách sau Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta      x y2 z    x  y2  z z x y 2 x y2 z     x  y  z  x  y2  z  x  y  z z x y 2 x y z2     x  y  z  x  y2  z  x  y  z z x y      x  z   y  x    z  y   2       x y   y  z    z  x  x y 1 1    x  y   1  y  z   1  z  x x  y  Vì x  y  z  nên    z      2 1    1  z  1 ; ;  Do bất đẳng thức cuối x y z Phép chứng minh hồn tất Ví dụ 5.4: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rẳng: ab c  ab  bc a  bc  ca b  ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức nghĩ đến đổi biến x  viết lai thành  a; y  b; z  c Khi bất đẳng thức xy yz zx    z  3xy a  3yz y  3zx Ta chứng minh bất đẳng thức kỹ thuật thêm – bớt Lời giải Đặt x  a; y  b; z  c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xy yz zx    z  3xy a  3yz y  3zx Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với xy yz zx    z2  3xy x2  3yz y2  3zx xy yz zx        1 z  3xy x  3yz y  3zx 2 z x y     z  3xy x  3yz y  3zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức đánh giá quen thuộc ta   xyz z2 x2 y2    z2  3xy x  3yz y2  3zx x  y2  z2  xy  yz  zx   x  y  z  x  y  z  x  y  z    2  Do bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Ví dụ 5.5: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  abc Chứng minh rằng: a  bc  b  ca  c  ab  abc  a  b  c Phân tích: Trước hết ta viết lại giả thiết thành x 1    , ta nghĩ đến phép đổi biến a b c 1 ; y  ; z  Bất đẳng thức viết lại thành a b c x  yz  y  zx  z  xy   xy  yz  zx Để ý đến giả thiết x  y  z  , áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki ta x  yz    x x  y  z  yz   x  y  x  z   x  yz Áp dụng tương tự ta có lời giải sau Lời giải Từ giả thiết ab  bc  ca  abc suy Đặt x  1    a b c 1 ; y  ; z  , ta x  y  z  a b c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x  yz  y  zx  z  xy   xy  yz  zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacpxki ta x  yz    x x  y  z  yz   x  y  x  z   x  yz Chứng minh tương tự ta y  zx  y  zx; z  xy  z  xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta x  yz  y  zx  z  xy  x  y  z  xy  yz  zx   xy  yz  zx Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x  y  z  hay a  b  c  Ví dụ 5.6: Cho số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức ab  bc  ca  abc Chứng minh rằng: b2  2a c2  2b2 a  2ac    ab cb ac Lời giải Từ giả thiết ta 1 1 1    Đặt x  ; y  ; z  , ta có x  y  z  a b c a b c Bất đẳng thứ cần chứng minh viết lại thành x2  2y2  y2  2z2  z2  2x  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  x  2y    1.x  2y  x  2y  x  2y  Do ta y2  2z2  Tương tự ta có  y  2z ;    x2  2y2  x  2y z2  2x  z  2x Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta x2  2y2  y2  2z2  z2  2x  x  2y  y  2z  z  2x   xyz  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x  y  z  hay a  b  c  Ví dụ 5.7: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: bc ca ab 1 1        2a b c a bc b ca c ab       Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải có đại lượng bc  a2 b  c   1   , để ý đến phép biến đổi a b c Từ tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến   1 a2    b c Lời giải Đặt x  1 ; y  ; z  , bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a b c x2 y2 z2 xyz    yz zx xy Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta   xyz x2 y2 z2 xyz     yz zx xy xyz   Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Ví dụ 5.8: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn 1    Chứng minh rằng: a b c a  b  c  a 1  b 1  c 1 Phân tích: Chính xuất giải thiết biến x  1    làm cho ta suy nghĩ đến việc sử dụng phép đổi a b c 1 ;y ;z a c c Lời giải Đặt x  1 ; y  ; z  , x; y; z  0;1 x  y  z  a c c   Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1    x y z 1x 1y 1z   x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta  1 x  1 1 1 y 1z  1          3xyz     x y z  x y z x y z  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 5.9: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c   abc Chứng minh rằng:     ab  bc  ca  a  b  c  Phân tích: Để ý ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành  a  b  c  a bc2  Trước hết ta biến đổi giả thiết thành  a  1 b  1 c  a    a  1 b  1   b  1 c  1   c  1 a  1  1   1 a 1 b 1 c 1 1 ;y ;z Để ý từ cách đổi biến ta a 1 b 1 c 1 1 x y z 1 y z x 1z x  y  ;b  ;c  a  Bất đẳng thức viết lại thành x x y y z z Khi ta nghĩ đến phép đổi biến x  yz zx   x y  1 1 xy      Đến ta áp dụng bất đẳng thức z x y z Bunhiacopxki để chứng minh toán Lời giải Ta có    ab  bc  ca  a b c   a  b  c Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành   a   a  b  c  a  b  c  c   a  b  c  3 a b c  b 2  a  b  c  abc3  Giả thiết viết lại thành  a  1 b  1 c  a    a  1 b  1   b  1 c  1   c  1 a  1 1   1 a 1 b 1 c 1 1 Đặt x  , suy x  y  z  ;y ;z a 1 b 1 c 1 1 x y z 1 y z x 1z x  y Khi ta a   ;b  ;c  x x y y z z  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành  1 1 xy  2    z x y z yz zx   x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta yz zx   x y  1 1  1 1 xy      2x  2y  2z      z x y z x y z   Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 5.10: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  abc Chứng minh rằng: b a b2  Phân tích: Từ giả thiết ta x  c b c2   a c a2   1    , tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến ab bc ca 1 ; y  ; z  , suy xy  yz  zx  Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại a b c thành x y2  Để ý đến phép biến đổi x2    y z2   x2  xy  yz  zx  z x2    x  y  x  z  Hoàn tồn tương tự ta chứng minh toán Lời giải Từ giả thiết a  b  c  abc suy Đặt x  1    ab bc ca 1 ; y  ; z  , Khi giả thiết toán trở thành xy  yz  zx  a b c x Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x2   Dễ thấy Tương tự ta y2   y2   y z2  z x2    x  y  x  z  x2  xy  yz  zx   y  z  y  x ;  z2    z  x  z  y  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y 1  y z 1  z x 1  Ta cần chứng minh x   y  x y  z  y   z  x z  y z  x  y x  z 2x 2y 2z   x  2y  z x  y  2z 2x  y  z 2x 2y 2z    x  2y  z x  y  2z 2x  y  z Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 2x 2y 2z   x  2y  z x  y  2z 2x  y  z   xyz  x  y  z    xy  yz  zx xyz   x  y  z   x  y  z   3 Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 5.11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 1    Chứng minh rằng: a b c bc ca ab   2 a2 b c Phân tích: Quan sát giả thiết toán ta nghĩ đến phép đổi biến x   x2 y  z Khi bất đẳng thức viết lại thành  yz 1 ;y ;z a b c   y z  x   z  x  y  2 zx xy  Để ý đến đánh giá 4xy  x  y Ta quy toán chứng minh 4x 4y2 4z2   2 yz zx xy Bất đẳng thức dễ dàng chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Đặt x  1 ; y  ; z  Từ giả thiết suy x  y  z  a b c Bất đẳng thức viết lại thành  x2 y  z yz   y z  x   z  x  y  2 zx xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x  y xy   y  z ; yz  z  x ; zx  Khi ta bất đẳng thức sau  x2 y  z yz   y z  x  z x  y  2 zx 4x2 4y2 4z2   yz zx xy xy Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có     xyz 4x 4y2 4z2    yz zx xy xyz   2 xyz 2 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Nhận xét: Ngoài cách chứng minh ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh theo cách sau 1 1 1 1 1 1    y2     z     y z  z x  x y  Bất đẳng thức viết lại thành x  Theo đánh giá quen thuộc ta có 1 1 x2 x    y z y z  y  z 1 1 y2 y2     z x z x  z x 1 1 z2 z2     x y x y  x y       1 1 4x    y z  y  z 1 1 4y     z x  z x 1 1 4z    x y  x y Cộng theo vế bất đẳng thức ta  x2 y  z yz   y z  x   z x  y   2 zx xy 4x 4y 4z   y z z x x y Mặt khác, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 4x 4y 4z   y z z x x y  x2 y2 z2    2 x y  y z  z x      y z z x x y     x  y z  2 y z  z x  x y   x y z  y z  z x x y                Bất đẳng thức chứng minh  2 Ví dụ 5.12: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a 2b a  b  2c b c 2a c 1 Phân tích: Từ giả thiết abc  toán, tự nhiên ta nghĩ đến phép đổi biến dạng a x y z ; b  ; c  , ý đến các bậc hai có bất đẳng thức cần chứng minh, ta chọn y z x a  cách đổi biến x ; y b y ; z c z Khi bất đẳng thức viết lại thành x xz2 yx zy2    Bất đẳng thức cần chứng minh có dấu hiệu sử dụng bất 2z2 y  y2 x 2x 2z  z2 y 2y2 x  x 2z đẳng thức Bunhiacpxki dạng phân thức Do ta thử áp dụng xem chứng minh tốn khơng? Lời giải Vì abc  nên tồn số thực dương để a  x ; y b y ; z c z x Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành xz2 yx zy2   1 2z2 y  y2 x 2x 2z  z2 y 2y2 x  x2z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta xz2 yx zy2 x z2 y2 x z2 y      2z2 y  y2 x 2x2z  z2 y 2y2 x  x2z 2xyz2  x y2 2x yz  z2 y2 2xy2z  x2z2  xy  yz  zx   xy  yz  zx    2xyz  x  y  z   xy  yz  zx   x y  y z  z2 x 2 1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 5.13: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1   1 a  a 1 b  b 1 c  c 1 Phân tích: Nếu ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki trực tiếp kiểu 1    2 a a 1 b  b 1 c  c 1 a  b  c a  b  c  Khi để phép chứng minh hồn tất ta phải   a  b2  c  a  b  c  a b c abc3 Với giả thiết abc  đánh giá cuối đánh giá sai Để ý đến giả thiết abc  ta nghĩ đến phép đặt ẩn phụ, vấn đề đặt ta chọn cách đặt ẩn phụ 2 nào? Trước hết ta thấy bất đẳng thức có tính đối xứng để khơng làm tính đối xứng ta khơng đặt ẩn phụ kiểu a x y z y z x ; ; ; ; Đầu tiên ta sử dụng phép đổi biến y z x x y z 1 ; b  ; c  bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z x2 y2 z2   1 x  x  y  y  z2  z  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta   xyz x2 y2 z2    x  x  y  y  z2  z  x  y  z  x  y  z   Ta cần chứng minh x  y  z   x  y  z2  x  y  z  Tuy nhiên đánh giá lại sai Do cách đổi biến khơng khả thi Như ta tính đến cách đổi biến a  x2 y2 z2 yz zx xy a  ; b  ; c  Trong hai ;b ;c yz zx xy x y z cách đổi biến trên, suy nhĩ chút ta loại cách đặt thứ bất đẳng thức chứa biến mẫu nên đổi biến quy đồng phân thức ta thu phân thức thức mà tử có chứa đại lượng y2 z2 ; z2 x ; x y2 mẫu lại chứa đại lượng x ; y ; z trộn hơn, nên muốn đánh giá mẫu theo chiều tăng lên khó Do ta cịn cách đổi biến a  yz zx xy ; b  ; c  , hy vọng x y z chứng minh toán Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x4 y4 z4   1 x  x yz  y2z2 y  y2zx  z2 x2 z4  z2 xy  x2 y2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta x4 y4 z4   x  x yz  y2z2 y  y2zx  z2 x z4  z2 xy  x2 y2  x  y  z2    x  y  z4  xyz x  y  z  x y2  y2z2  z2 x Phép chứng minh hoàn tất ta x  y  z2     x  y  z4  xyz x  y  z  x y2  y2z2  z2 x2 Biến đổi tơng đương thu gọn ta  x y2  y2z2  z2 x  xyz x  y  z  Đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Nhận xét: Nếu chấp nhận biến bất đẳng thức từ dạng đối xứng dạng hoán vị với cách đổi biến a y z x ; b  ; c  , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z a2 b2 c2   1 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Khi bất đẳng thức tương đương với a2 a2  a  ab  b a  b  c  ab  bc  ca a a  b  c  ab  bc  ca  a  ab  b  a  ab  b a  b  c  ab  bc  ca     a  a c a b c 2     ab  b a  b  c  ab  bc  ca   Áp dụng tương tự ta quy toán chứng minh a 2c b 2c c 2c ab  bc  ca    2 2 a b c a  ab  b b  bc  c c  ca  a Áp dụng dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a 2c b 2a c 2b   a  ab  b b  bc  c c  ca  a 2 ab  bc  ca ab  bc  ca   2 2 2 a b c c a  bc  b  a b  bc  a  b c  ca  a         Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 5.14: Cho số thực a; b; c  thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a2 b2   c2 1  a    b  1  c  2 1 Phân tích: Chú ý đến giả thiết abc  tính đối xứng bất đẳng thức ta nghĩ đến phép đổi biến Ngoài ta thấy phân thức chứa biến tử nên ta chọn cách đổi biến a x2 y2 z2 ;b ;c yz zx xy Lời giải Đặt a  x2 y2 z2 ;b  ;c  với x; y; z  Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành yz zx xy x4 x  yz  y y4   zx  z z4  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta  xy  1 x4 x  yz y4   y  zx z4   z  xy   x x  yz  y  z2   y 2  zx    z  xy  Phép chứng minh hoàn tất ta x  y  z   x  yz    y  zx    z 2 2 2 2  xy  1 Hay tương đương với x      x2  yz   xy  yz  zx   y  z2    y 2  zx   z     xy    Đánh giá cuối đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 5.15: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  1 a    b  1 b    c  1 c    Phân tích: Chú ý đến giả thiết abc  tính đối xứng bất đẳng thức ta đổi biến a yz zx xy ;b  ;c  x y z Lời giải Đặt a  yz zx xy ; b  ; c  với x; y; z  , bất đẳng thức càn chứng minh trở thành x y z x x4   yz 2x  yz   y y4   zx 2y  zx   z z4   xy 2z  xy 2   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta x x4    z4    z  xy 2z  xy  x  y  z    x  yz 2x  yz    y  zx 2y  zx    z  yz 2x  yz  y y4  zx 2y2  zx 2 2 x     y  z2  2  2 x  y  z2   x 2      xy 2z2  xy         yz 2x  yz  y2  zx 2y2  zx  z2  xy 2z2  xy Hay ta cần chứng minh  2 Phép chứng minh hoàn ta x     yz 2x2  yz  y2  zx 2y2  zx  z2  xy 2z2  xy  Khai triển thu gọn ta x y2  y2 z2  z2 x2  xyz x  y  z  Đánh giá cuối đánh giá Bất đẳng thức chứng minh  Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  Ví dụ 5.16: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn abcd  Chứng minh rằng: 1    1  a    b  1  c    d   2 2 Lời giải Cách 1: Đặt a  x y x t ; b  ; c  ; d  với x; y; z; t  Khi bất đẳng thức cần chứng minh z z t x viết lại thành x2 y2  z2  t2  1  x  y   y  z   z  t  t  x  2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức Cauchy ta x2  xy y2     yz z2    zt t2   t  x 2          x  y   x  t   y  z   x  y    z  t  y  z    t  x   z  t x  t  x   y  x  y   z  y  z   t  z  t    xy  zt  xt  yz            x t  x  y x  y  z y  z  t z  t    2 2 2 2 2 2 2                x  y  y  z  z  t x  t 2     1 2 2     xy  zt xt  yz      Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  d  Cách 2: Đặt a  yz zt tx xy ; b  ; c  ; d  với x; y; z; t  Khi bất đẳng thức cần chứng x y c t minh viết lại thành x4 x  yz y4   y 2  zt z4   z 2  tx t4   t 2  xy  1 Áp dụng liên tục bất đẳng thức Bunhiacopxki ta x  z     x  yz   z  tx   x  yz    z  tx  x  z    x  y  x  z    z  x  z x4 2 z4 2 2 2 2 2 2 2 2 2  t2 Hoàn toàn tương tự ta y4 y  zt t4   t Cộng theo bất đẳng thức ta  xy   y2  t2 x2  y2  z2  t2   x  z2 x2  y2  z2  t2 x4 x  yz  y y4  Vậy bất đẳng thức chứng minh  zt  z z4   tx t4   t 2  xy  1 ... Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi chứng. .. lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a2 b2 c2 abc    bc ca ab Bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Tuy nhiên ta thử áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. .. đẳng thức Cauchy, sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra, điều có nghĩa ta cần phải xác định điểm rơi toán áp dụng bất đẳng thức