vận dụng bất đẳng thức tìm gtln - gtnn và giải phương trình

Trong đề tài này tôi trình bày cách vận dụng ba bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và giải phương trình đểrèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán

PHẦN MỞ ĐẦU

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông thì phần kiếnthức về bất đẳng thức là khá khó Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳngthức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh Đối với phần kiến thứcnày thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức và vận dụng bất đẳng thức

để giải các bài toán có liên quan

Là một sinh viên ngành toán tôi không phủ nhận cái khó của bất đẳng thức vàmuốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảngdạy toán sau này Do đó tôi chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất và giải phương trình” để tìm hiểu thêm Khi vận dụng bất đẳngthức để giải các bài toán dạng này thì có rất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vậndụng Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức là bất đẳng thức Côsi,Bunhiacopski và bất đẳng thức vectơ Trong đề tài này tôi trình bày cách vận dụng

ba bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và giải phương trình đểrèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán và qua đó có thể tích lũyđược kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau này

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục tiêu chính của đề tài này là tổng hợp các bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất và giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳngthức nói trên Qua đây tôi hi vọng sẽ đưa ra đầy đủ các dạng vận của các bất đẳngthức nói trên

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng của đề tài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski và bất đẳng thứcvectơ cùng với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và các phương trình Đềtài này chủ yếu xoay quanh ba đối tượng trên bên cạnh đó tôi cũng giới thiệu vàchứng minh một số bất đẳng thức thông dụng khác

IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Phạm vi của đề tài này chỉ xoay chủ yếu vào ba bất đẳng thức đã nêu trên đểgiải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giải phương trình

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến của cán bộ hướng dẫn

PHẦN NỘI DUNG

a+ ≤ + dấu “=” xảy ra ⇔ ab≥0

b a b

n

a a

a1 + 2 + + ≤ 1 + 2 + +

1.3.2 Bất đẳng thức Côsi

Cho hai số dương a, b ta có:

ab b

Dấu “=” xảy ra ⇔ a =b Tổng quát: cho n số không âm a a1, , , 2 a n (n≥2) , ta luôn có:

Bất đẳng thức Bunhiacopski:

Cho hai bộ số a, b và c, d ta có:

( )2 ( 2 2)( 2 2)

d c b a bd

Dấu “=” xảy ra

d

b c

Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số) thì

có thể kể đến các phương pháp sau: phương pháp khảo sát, phương pháp đánh giáthông thường và phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trong các phương pháp nêutrên thì phương pháp sử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong nhữngphương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất củabiểu thức và hàm số Đối với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thôngdụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thứcvectơ… để đánh giá biểu thức P (hoặc hàm số f x x( , , , )1 2 x n ), từ đó suy ra giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần tìm

Phương pháp này, như tên gọi của nó, dựa trực tiếp vào định nghĩa của giá trịlớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức và hàm số Lược đồ chung của phương pháp này

có thể miêu tả như sau:

- Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng P≥α ( , , , ) D∀ x x1 2 x n ∈

với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc P≤α ( , , , ) D∀ x x1 2 x n ∈ đối với bài toán tìm

giá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức hoặc hàm số xác định trên D.

- Sau đó chỉ ra một phần tử ( ,x x01 02, ,x0n) D∈ sao cho P( ,x x01 02, ,x0n)=α.

Tùy theo dạng của bài toán cụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để ápdụng vào việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

Do phạm vi của đề tài, ở đây chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳngthức là: Côsi, Bunhiacopski và phương pháp bất đẳng thức vectơ

3

2( )

f x x

x

= + ( x>0)

Lưu ý: Để biết được bài toán nào sử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các

thành phần của hàm số hoặc biểu thức Nếu nó có dạng tích hoặc là tổng của haiphần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi thì xuất hiện biểuthức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể sử dụng bất đẳngthức Côsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 1: Cho ba số thực dương a ,,b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

b b

c

b c

1+ ≥

a

c a

c c

b b

11

+

++

11

+

++

+

11

121

1

⇔ +a ≥ − +b+ − +c⇔1+a≥1+b b+1+c c

11

111

111

1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

( b)( c)

bc c

c b

b

++

≥+

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 1

∑ +

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=a a1 2 a n

Lập luận như trên ta được Mmax 2= n tại 1 2 1

Dấu “=” ở (7) xảy ra khi và chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi x=0.

Từ (4) và (7) suy ra ( ) 3 f x ≤ ∀ ∈x D

Ta lại có f (0) 3, v= à 0 D∈ Do đó: max ( )f x = 3.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau:

1 1( )

Bài 5: Cho ba số thực dương , ,a b c

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c

= với mọi số thực dương , ,a b c thỏa a b c= =

Bài 6: Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa: a b c+ + =1 Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức S abc a b b c c a= ( + ) ( + ) ( + )

729

m =

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 1 2 2

11

Dấu “=” xảy ra ⇔ =x 1> 0

Vậy min ( ) 16x>0 f x = tại x=1

Bài 9: Cho ba số thức dương , ,a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Vậy MinA = 6 tại a b c= = =1

Bài toán tổng quát:

Vậy Pmin = 18 tại a b c= = =1

Bài 11: Cho n số dương x x x1, , , , 2 3 x n (n≥2) thỏa mãn x1+ + +x2 x n =1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2

Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm số hoặc biểu

thức hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng củacác biểu thức mà chúng là tích của hai thừa số Và sau khi áp dụng bất đẳng thứcBunhiacopski thì phải có phần đưa về biểu thức giả thiết ban đầu và đưa được vềhằng số

Vậy MinP = 3 7 tại a b c= = =1

Bài 2: Cho các hằng số dương , ,a b c và các số dương , , x y z thay đổi sao cho

3

Bài 4: Cho các số dương , ,a b c thỏa 2 2 2

Bài 5: Cho hai số dương ,a b thỏa 0< <a 1,0< <b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức

1M

Giải:

Ta có miền xác định của ( ) : Df x = − 2009; 2009

Mặt khác: f(− = −x) x(2007+ 2009−x2) = −f x( )⇒ f x( ) là hàmlẻ

x x

x= = =y z

Bài 8: Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn: a b c+ + =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức P 2 12 2 1 1 1

n

2.3 Sử dụng bất đẳng thức vectơ

Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức

cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạng tổng bình phương của các số hạng hoặccăn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số

Bài 1: Cho hai số thực y x, thỏa mãn 2x+3y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

23

S= x + y = x + y

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn

6

352

93

42

3,3

32

3.6

35

132

232

,3

2 2 2

2

2 2

≥+

⇔+

=

≤

=+

x v

u y

x v

u

y x v

y x v

Dấu “=” xảy ra y x

y

33

35

9,35

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:

13

2223

2222

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

≥++

⇔

=++

≥++

⇔

+++++

≥++

⇔

++

≥++

⇔

z y x

z y x z y x

yz xy xz z

y x z y x

yz xy xz z

y x

Dấu “=” xảy ra ⇔ = = ⇔ x= y=z=31

y

z x

y z x

Vậy minP =

3

1 khi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:

=

⇒++

=

=+

=

⇒

=

b a v a b

v

b a u b a

u

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1.a+1.b≤ 2(a2 +b2) = 2

Do đó: v ≤ 2+ 2

222

11

a

+

=+

⇔

11

Kết hợp với điều kiện ban đầu a2 +b2 =1

Vậy Amax = 2+ 2 khi

2

2

=

=b a

Bài 4: Cho ba số dương x ,,y z và x+ y+z=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2 2

2

2 2

P

z

z y

y x

,

x x u x

,

y y v y

,

z z w x

⇒

z y x z y x w v

2 2

≥++++

+

z y x z

y x z

z y

y x

2 2

8081

111

z y x z

y x z

y x z

y x

2111

x (2)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được:

z y x z y x z

y x z

y

81

2 2

≥2.9.33 33 1 =2.81

xyz xyz (3)

z y x z

y x

Và do (1) nên:

821

11

2

2 2

=

z

z y

y x

4

16,

4

16,

4

2 2

2 2

2 2

=++

⇒

=+++

+

=+

by ax c b a w v

u

cz c w

cz c w

by b v

by b v

ax a u

ax a u

Ta có: u + v + w ≥ u+v+w

( ) 16 ( ) 16 ( ) 1016a

P= 2 + 2 + 2 + 2 + 2+ 2 ≥

Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = 10

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

a Có hai trong ba vectơ bằng vectơ 0

b Có một trong ba vectơ bằng vectơ 0

Giả sử u=0 thì w=k v (k >0)

c Không có vectơ nào bằng vectơ 0

23

02

0,0

0

c b a

c b a

z y x

cz by ax

c b a

m k

mcz by

kby ax

kb a

m cz

by c b

k by

ax b a

Bài 6: Cho các số dương x ,,y z thỏa xy+ yz+zx=4 Tìm giá trị bé nhất của biểu thức F=x4+ y4 +z4

=

⇒

=

v v

z y x u z

y x

u

Ta có: u.v=x2 +y2 +z2

Mà: ( )2 2 2

v u v

z

yz z

y

xy y

x

222

2 2

2 2

2 2

≥+

≥+

≥+

(x +y +z )≥ (xy+yz+zx)⇒x +y +z ≥xy+yz+zx

164

28

,3

42

,

842

,2

2

2 2

=++

⇒

−

=++

v u

b b w b

w

b a v b

a v

a a u a

u

Ta có: u+v+w ≤ u + v + w

251064

28

23

Vậy Amin =5 2 tại a=0,b=2

Bài 8: Cho a∈R Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

5213

,1

923

,2

2 2

=+

⇒

=+

⇒

++

=

⇒+

−

=

v u v

u

a v a

v

a u

a u

b c ab

b b

=

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:

2 2

2 2

2 2

212

,1

212

,1

212

,1

a c

w a

c w

c b

v c

b v

b a

u b

a u

=++

c b a c

b a w v

Mặt khác: + + = ⇔ 1+1+1 =1

c b a abc ca bc ab

Do đó: u+v+w=( )1, 2 ⇒ u+v+w = 3

Mà: u + v + w ≥ u+v+w

3212

12

1

B= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥

⇒

a c c

b b

a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3

Vậy Bmin = 3 khi a=b=c=3

5 4

x x

2 2

2 2

=++

16

32 2

2 2

z yz y

y xy x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P= xy+ yz+zx

Bài 14: Cho ba1 số thực a, b, c bất kỳ

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1+ + + +

z y

y x

x

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai dãy:

z y

1,1

1,11

và 1+x, 1+ y, 1+z

Phần 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

Nói về phương trình thì có rất nhiều loại phương trình như phương rình bậchai, bậc ba…,phương trình vô tỉ, phương trình mũ, phương trình logarit….Mỗiphương trình có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau mẫu mực hay không mẫumực Trong số các phương pháp giải của các phương trình thì phương pháp sử dụngbất đẳng thức có thể coi là phương pháp độc đáo và sáng tạo đòi hỏi người giải toánphải linh hoạt Sử dụng phương pháp này ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thứckhác nhau, có thể vận dụng riêng lẻ hoặc kết hợp nhiều bất đẳng thức Sau đây làmột số bài toán giải phương trình bằng phương pháp vận dụng bất đẳng thức mà bấtđẳng thức được sử dụng chủ yếu là bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski và bất đẳngthức vectơ

3.1 Vận dụng bất đẳng thức Côsi

Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Côsi để giải thì: một trong hai vế của

phương trình sau khi áp dụng bất đẳng thức Côsi phải lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơnhoặc bằng) vế còn lại, hoặc sau khi áp dụng bất đẳng thức thì được một đẳng thứcước lượng được nhỏ hơn (lớn hơn) hoặc bằng vế còn lại để áp dụng được điều kiệnxảy ra của bất đẳng thức Côsi

Bài 1: Giải phương trình:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có:

8

1.228

1.24

1

x x

3

2x +x + ≥ x +x ⇔ x + ≥x

Ta có dấu “=” xảy ra, do đó

224

18

124

15

2

13

1.51.35

3

=+

−++

−

≤

−+

−

=

−+

−

x x

x x

x x

Mặt khác: x2 −8x+18=x2 −8x+16+2=(x−4)2 +2≥2

Do đó: x−3+ 5−x = x2 −8x+18=2 ⇔(x−4)2 +2=2

( −4)2 =0⇔ =4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=4

Bài 3: Giải các phương trình sau:

3 + + =

+

x x

3

2x+ ≥ ⇔ x≥−

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: 2x+3và 1, ta có:

( ) ( 1) 0 1

0125

44

2

543

22132

2

2 2

⇒

≤++

⇒++

≥+

⇒

++

=+

≥++

x x

x x x

x x

x x x

x

Thử lại x=−1 là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=−1

3

11

1.1

323

11

+

≥

+++

x x

⇔

=++

829

123

11

x

x x

x x

x

x x

Thử lại x=2 và x=4là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=2 và x=4

Bài 4: Giải phương trình sau:

2

51

8 2 + =

x x

Giải:

Điều kiện: x>0

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:

x x

x x

x x

4

114

114

114

18

1

2

51.2

2.5

1

1

1

1.4

1.8

2

2 8

3 5

x x x x

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

4

14

1

01

.32

01

4

18

0

5 5 4

x x

x

x x

x x

Thử lại: x=4thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là x=4

Bài 5: Giải phương trình sau:

x x

010

x

x x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có:

( )

x x

x x

x

x

x x

x x

x x

−

112

11

12

1

1.11

.11

11

Dấu “=” xảy ra, ta có: x x

x x

1

11

2

2

51

012

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có:

x

x x

≥+

≥+

−

052

0520

94

094

2

2 2

2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

( 9) ( )4 2 2 81 2 81 2.3 62

94

942

949

4

2 4 2

2

2 2

2 2

=

=

≥++

=

−+

=

+++

−

≥+++

+

−

x x x

x

x x x

x x

x x

x

Dấu “=” xảy ra, do đó: 0

02

02

x

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=0

Bài 7: Giải phương trình sau: 9−x2 + 3+x+ 3−x =3+2 3

Giải:

03

03

≥

−

x x

x x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có:

( )( ) ( ) ( )

3232

33

.3

12

33

.3

12

33

3.33

13.33

13

33

3

9 2

+

=+

−+

+++

−++

≤

−+

++

−+

=

−+++

−

x x

x x

x x

x x x

x x

33

33

x x

x x

0

=

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: ⇔ x=0

Bài 8: Giải phương trình sau: 3 25x(2x2 +9) =4x+ x3

349225

2 2 2

2

+++

=+

⇔

+

=+

⇔

x x x x

x

x x

x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương: 5x2; 5x2 ;2x2 +9 có:

( 2 ) 3 4( 2 )2

5x + x + x + ≥ x x + (*)Dấu “=” đẳng thức (*) xảy ra khi và chỉ khi:

33

9392

5x2 = x2 + ⇔ x2 = ⇔ x2 = ⇔ x=±

Thử lại: x=± 3 là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=± 3

Bài 9: Giải phương trình 2 7x3 −11x2 +25x−12 =x2 +6x−1

13

(7x−4)+(x2 −x+3)≥2 (7x−4) (x2 −x+3)

122511

721

Điều kiện: x≥0

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số:

;2

1

11

1.221

22

++

x

x x

( )

11

1.1

+

x

x x

Dấu “=” trong (1) xảy ra khi và chỉ khi:

x x

x

x x

x x

x

x x

11

221

1

11

221

111

=+

⇔+

+

=+

7

11

718

11

8 = ⇔ = + ⇔ = ⇔ =+

x

Vậy phương trình có nghiệm là

7

1

=

x

Bài 2: Giải phương trình: ( ( 2 ) (2 2 )2) ( 2 )2

33125

726

2 2

2 2

33125

723632

726

33

2

+

−

=+

−++

−

≥

+

−++

−+

x x

x x x

x

x x x

−

⇔

41

0452

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=1 ;x=4

Bài 3: Giải phương trình sau trên tập số N:

.1284

2 4

4 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

++

+

=+++

≤

++

=+

+

y y

x y

x

y x

y x

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

(2 )(2 ) 77

3

21

2

72

y

x y

x

y x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( ) ( )x,y = 2;3

Bài 4: Giải phương trình sau: x2 +2x+ 2x−1= 3x2 +4x+1

Giải:

Điều kiện:

2

10

143

012

022

≥

−

≥+

x x

x x x x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

12.12 x+ + x− ≤ x + x+ + x−

212.12 x+ = x− ⇔ x2 −x=x+ ⇔ x2 −x− =

51

x x

Kết hợp điều kiện ban đầu ta có nghiệm là

5314

544

141

45

.1221

2

2 2

2

−+

≤+

−++

−+

−

−+

−

x x x

x x x

x

x x x

Dấu đẳng thức xảy ra trong (2) ⇔( )−2 5−x2 +4x = x−2

5

5620

16205

02

( )( )

(16 10) 2 10(16 10)

40

3313132713

33.2713

13.1319113

−+

≤

++

−

=++

−

x x

x x

x x

x x

1610

33.1313

13

(thỏa điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski và Bunhiacopski mở rộng ta có:

( )( ) ( )( )( )( ) 4 4

4

.1

21

111

.1.1

=

−++++

≤

−+

=

−++

≤

−+

x x

x x

x x

x x

⇒ 4 x+41−x+ x+ 1−x≤ 2+4 8Dấu “=” trong đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

2

11

14

x x

(thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

111

10

0132

2

x

x x

113.1

2 2

2 2

2 2

2

++

−+

−+

−

x x x x

x

x x x x x

(x )( x x)

x x x x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ

1211

131

13

2 2

2 2

−

=

−

x x

x x x

x x

x

x x x

21

22

.5

.2.221

22

522

147

221

2 2

2

2 2

2 2

2

+

−

≥+

−

=+

−

x x x x

x

x x x

x x x x

1

x

x

(2)

Từ (1) và (2) ta có nghiệm của phương trình là: x=−1

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=−1

3.3 Vận dụng bất đẳng thức vectơ

Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức vectơ vào việc giải phương trình đòi

hỏi phương trình đó có chứa căn bậc hai của hai tổng bình phương để ta phân tíchthành độ lớn vectơ, hoặc chứa tổng của hai tích cho thấy được sự phân tích của tích

vô hướng của hai vectơ Từ đó ta áp dụng các bất đẳng thức vectơ đã biết để ướclượng và vận dụng điều kiện xảy ra của dấu “=” để tìm nghiệm của phương trình

Bài 1: Giải phương trình sau: x2 −2x+5− x2 −6x+10 = 5

Giải:

Điều kiện: x∈R

Ta viết lại phương trình: (x−1)2 +4− (x−3)2 +1= 5 (*)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn các vectơ có tọa độ sau: