Chuyên đề bất đẳng thức

.tl age ac.p ais ://l p t t h I.Sử dụng một số BĐT cơ bản: Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì: a1 ; a2 ;...an ( n ³ 2) ta luôn có: a1 + a2 + ... + an n ³ a1a2 ...an ( I ) ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: n a1 = a2 = ... = an . BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì ( a1 ; a2 ;...an ),(b1 ; b2 ;...bn ) ta luôn có: ( a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 £ ( a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 )( II ) ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ a a1 a2 = = ... = n . BĐT: a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + bc + ca ( III ) ; dấu bằng xảy ra b1 b2 bn khi a = b = c. 1 1 1 n2 BĐT: ( IV ) ; trong đó a1 , a2 ,...an là các số + + ... + ³ a1 a2 an a1 + a2 + ... + an Khi: dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau. Bài 1: Cho a > b > 0 . Chứng minh: 1 4 1 a/a + ³ 3; b / a + ³ 3; c / a + ³ 2 2. 2 b( a - b) (a - b)(b + 1) b( a - b) 2 Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: b + (a - b) + 1 1 ³ 3 3 b.(a - b). =3 b( a - b) b( a - b) (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi b = 1; a = 2. Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: a b - 1 + b a - 1 £ ab. 1