Tài liệu gồm 91 trang, được trích từ cuốn sách Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức của các tác giả: Nguyễn Công Lợi, Đào Quốc Chung, Đào Quốc Dũng, Phạm Kim Chung (diễn đàn Toán THPT K2PI), hướng dẫn áp dụng bất đẳng thức Côsi (BĐT Cauchy, BĐT AM – GM, BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân) chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN (giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất).
Chủ đề MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY A Kiến thức cần nhớ Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Cơsi) Bất đẳng thức có tên gọi xác bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Ở nhiều nước giới, người ta gọi bất đẳng thức theo kiểu viết tắt bất đẳng thức AM – GM (AM viết tắt Arithmetic mean GM viết tắt Geometric mean) Ở nước ta, bất đẳng thức AM – GM gọi theo tên nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức bất đẳng thức Cauchy Thật cách gọi tên khơng xác Cauchy khơng phải nguời đề xuất bất đẳng thức mà người đưa phép chứng minh đặc sắc cho Tuy nhiên, phù hợp với chương trình sách giáo khoa, tài liệu gọi Bất đẳng thức Cauchy(Côsi) Đây bất đẳng thức cổ điển tiếng quen thuộc phần lớn học sinh nước ta Nó ứng dụng nhiều Toán bất đẳng thức cực trị Trong phạm vi chương trình Tốn THCS, quan tâm đến trường hợp riêng bất đẳng thức Cauchy Các dạng biểu diễn bất đẳng thức Cauchy a Dạng tổng quát + Cho x1, x2, x3 , , xn số thực khơng âm ta có: Dạng 1: x1 x x n n Dạng 2: x1 x x n n n x1.x2 x n n x1.x2 x n n x1 x2 x n Dạng 3: x1.x x n n Dấu đẳng thức xảy x1 x x n + Cho x1, x2, x3 , , xn số thực dương ta có: Dạng 1: 1 n2 x1 x x n x1 x2 x n 1 x x n n xn x1 x Dấu đẳng thức xảy x1 x x n Dạng 2: b Một số dạng đặc biệt n Điều kiện x n2 x, y n3 x, y, z Dạng xy xy xyz xyz Dạng x y xy x y z xyz Dạng 1 x y xy 1 x y z xyz Dạng x y x1 y1 x, y 0 x, y, z 0 x, y 0 x, y, z 0 xy Đẳng thức xẩy Một số bất đẳng thức suy từ bất đẳng thức Cauchy x y xy x y z x1 y1 1z + x y2 2xy; x y2 x y ; xyz xy x y + x y 2 2 + x y z xy yz zx + x y z2 x y z xy yz zx + x y2 y2 z2 z2 y2 xyz x y z + x y z4 xy yz zx 3xyz x y z B Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy Kỹ thuật chọn điểm rơi đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía trái sang phía phải Trong chuỗi đánh giá, ta hay quên cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xẩy mà ta hay gọi bảo toàn “Điểm rơi” Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho bất đẳng thức định đến nửa thành công cho cơng việc tìm lời giải Ý tưởng chọn điểm rơi việc xác định dấu đẳng thức xảy để sử dụng đánh giá hợp lý Trong trình chứng minh bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm áp dụng bất đẳng thức Cauchy mà quên dấu đẳng thức xảy đâu Trước tìm hiểu kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ta xét số ví dụ chọn “Điểm rơi” ta hiểu vấn đề dạng đề cập Bài toán Cho số thực a Tìm giá trị nhỏ của: A a a 1 a Vậy giá trị nhỏ A a a Nguyên nhân sai lầm: giá trị nhỏ A a a , điều khơng xẩy theo a giả thiết a Sai lầm thường gặp là: A a Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy giá trị a tăng A tăng, ta dự đốn A đạt giá trị nhỏ a Khi ta nói A đạt giá trị nhỏ “Điểm rơi a ” Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a khơng thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy Vì a để áp dụng bất đẳng thức Cauchy thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy Giả a a 1 a sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , cho “Điểm rơi a ” , ta có k a k a ta phải tách a sơ đồ sau: a a k a k k 1 a a 3a Khi ta A a ta có lời giải a 4 a Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a 3a a 3a 3.2 2 1 a a 4 a 4 Đẳng thức xẩy a Vậy giá trị nhỏ A k a 1 Chú ý: Ngoài cách chọn cặp số , ta chọn các cặp số sau: ka, a, a k a a a, ka Aa Bài toán Cho số thực a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A a a2 a 2 Sơ đồ điểm rơi: a k a k k 1 a Sai lầm thường gặp là: 7a 7.2 2a 2.2 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù giá trị nhỏ A đáp số cách giải mắc A a 7a a 7a 2 a 8 a sai lầm đánh giá mẫu số: a 2a sai 2.2 a a 6a a a 6a 6.2 3 8 a 8 a 8 Đẳng thức xẩy a Vậy giá trị nhỏ A Bài toán Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A ab ab Lời giải đúng: A Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 2 a b ab Khi ta có điểm rơi sau: ab ab k ab k 4k 16 1 4 ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b 1 ab ab 4 1 17 15ab 16ab 15ab 15 ab ab 4 17 Đẳng thức xẩy a b Vậy giá trị nhỏ A 18 Bài toán Cho số thực a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A a a 18 9 Phân tích: Ta có A a a2 a a a Dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ a Ta có sơ đồ điểm rơi: a2 a 36 k 24 a 6k k 9 a Do ta A 16ab Lời giải a 9 23a a 9 23a 23.36 33 39 24 a a 24 24 a a 24 24 Đẳng thức xẩy a Vậy giá trị nhỏ A 39 Bài toán Cho số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A abc a 2b c Phân tích: Dự đốn giá trị nhỏ A đạt a 2b 3c 20 điểm rơi a 2, b 3, c Ta có A Sơ đồ điểm rơi: 2 a a k a k k 3 a b 3 m2 b m 2b m 9 3 2b c c n c n n 4 c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3a b c a b 3c A a 2b c 4 3a b c a 2b 3c 2 2 2 13 a 2b c Đẳng thức xẩy a 2, b 3, c Vậy giá trị nhỏ A 13 Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab 12; bc Chứng minh rằng: 121 a b c ab1 bc1 ca1 abc 12 Phân tích: Dự đốn giá trị nhỏ A đạt ab 12; bc ,tại điểm rơi a 3; b 4; c Khi ta ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho nhóm sau: a b a c b c ; ; , ; ; , ; ; , 18 24 ab ca 16 bc a c b ; ; ; 12 abc Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b a b 33 18 24 ab 18 24 ab a c a c 33 1 ca ca b c b c 33 16 bc 16 bc a c b a c b 44 12 abc 12 abc 13a 13b 2 18 24 13b 13c 2 48 24 13a 13b 2 18 24 13b 13c 2 48 24 13 13 13 12 18 24 13 13 13 8 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 121 a b c ab1 bc1 ca1 abc 12 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a 3; b 4; c Bài toán Cho a, b số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A ab ab ab ab Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a b nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a b Khi ta có sơ đồ điểm rơi: a b ab a b k ab a b k k ab a b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ab ab a b ab ab 3.2 ab A 2 1 ab a b 2 ab ab a b ab Đẳng thức xẩy a b Vậy giá trị nhỏ A Bài toán Cho a, b, c số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A a b c bc ca ab bc ca ab a b c Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt a b c Khi ta có sơ đồ điểm rơi: a b c a b c b c c a a b k k b c c a a b ka kb kc k Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a b c b c ca a b 3b c c a a b A 4a 4b 4c a b c bc ca a b a bc b ca c a b 3b c c a a b 2 2 2 b c 4a c a 4b a b 4c 4a a b b c c 1 1 15 2 2 2 2 Đẳng thức xẩy a b c Vậy giá trị nhỏ A 15 Bài toán Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 1 2ab a b Phân tích: Do A biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán giá trị nhỏ A đạt ab Khi ta có sơ đồ điểm rơi: k 2 2 2ab a b 2k k ab 2 2ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có A 1 4 2 2ab a b 2ab a b ab 4 a b2 2ab Đẳng thức xẩy ab a b Vậy giá trị nhỏ A Bài toán 10 Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 1 2 2ab 1a b Khi ta có sơ đồ điểm rơi: 1 k3 ab 2 2kab 1a b Phân tích: Dự đốn giá trị nhỏ A đạt a b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có A 1 a b2 1 2 6ab 3ab 1 a b2 6ab 3ab 2 a b 6ab 3ab a b 4ab 3ab 4 2 2.1 3.1 a b a b a b 1 4 1 a b2 6ab ab Đẳng thức xẩy a b a b Vậy giá trị nhỏ A Bình luận: Qua tốn ta thấy, giải toán chứng minh bất đẳng thức đánh giá trung gian phải bảo toàn dấu đẳng thức Cho nên việc xác định vị trí điểm rơi xẩy tránh cho ta sử dụng đánh giá trung gian sai lầm Trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, việc xác định điểm rơi cho ta cách chọn đánh giá hợp lí chuỗi đánh ta cần phải sử dụng Bây ta tìm hiểu kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thơng qua số ví dụ sau Ví dụ 1.1: Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a b2 b c2 c a 8a 2b2c2 Phân tích: Trước hết ta dự đốn đẳng thức xẩy a b c Trong bất đẳng thức vế trái có đại lượng a b2 ; b2 c2 ; c2 a vế phải chứa đại lượng 8a b2 c2 Để ý ta nhận thấy 8a 2b2c2 2ab.2bc.2ca , tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân a b2 2ab; b2 c2 2bc; c2 a 2ca Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y2 x y2 xy , ta có: a b2 ab 2 b c bc c2 a ca Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức ta được: a b2 b c2 c a a 2b2c2 8a 2b2c2 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a = b = c Nhận xét: - Chỉ nhân vế bất đẳng thức chiều (kết bất đẳng thức chiều) vế không âm - Để ý ta sử dụng cách đánh giá x y x 2y xy chưa xác định x, y âm hay dương - Nói chung ta gặp toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Ví dụ 1.2: Cho a, b số thực dương không âm tùy ý Chứng minh rằng: a b 64ab a b Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy a b Trong bất đẳng thức trên, vế trái có đại lượng a b a b ab a b a b ab a b vế phải có đại lượng 64ab a b Để ý ta nhận thấy 4ab , tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho hai số a b ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y2 x y2 2xy , ta được: a b a b ab 2 a b ab 64ab a b Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy a = b Ví dụ 1.3: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b Chứng minh rằng: 1 4ab ab a b Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ab 1 Khi ta có a b2 2ab 4ab Để ý đại lượng a b2 nằm mẫu nên ta cần 4ab a b , tìm cách thêm vào 2ab để tạo thành 1 4 a b2 2ab a b2 2ab ab tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá Như lúc bên vế trái lại ta sử dụng cách ghép hai đại lượng nghịch đảo 4ab lại 4ab , đến 2ab Như lúc ta thấy vế trái 4ab 1 ta cần Điều khơng thể làm khó ta dễ nhận 4ab 4ab 4ab a b Đến ta trình bày lại lời giải sau Lời giải Ta viết lại biểu thức vế trái thành 1 1 4ab 4ab 2 2 ab 2ab 4ab 4ab a b a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có đánh giá sau: 1 4 a b2 2ab a b2 2ab ab 4ab ; 4ab a b 4ab 1 4 1 4ab Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b2 1 1 4ab 4ab 2ab 4ab 4ab (a b) 4ab ab 7 1 4ab ab a b Hay Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho ví dụ sau a2 Ví dụ 1.4: Cho số thực a Chứng minh rằng: a2 2 Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh a a Để ý ta nhận thấy a a 1; a a 1.1 , ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân để chứng minh bất đẳng thức a2 Ngoài ra, Để ý ta viết a 1 a2 a 1 a2 a 1 , đến ghép cặp nghịch đảo để chứng minh bất đẳng thức Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y xy , ta có a a a 1.1 a Hay a2 2 a 1 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a a Ta trình bày lời giải sau: Biến đổi vế trái áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số ta có a2 2 a 1 a2 a 1 a2 a 1 2 Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a2 a2 a2 a Ví dụ 1.5: Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a b Chứng minh rằng: a 3 b ab Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải không chứa biến, nên áp dụng áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái ta cần phải khử hết biến, ta cần phải có đại lượng a b; b , chiều bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Để ý a b a b ta áp dụng đánh giá cho số dương a b; b; b ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta a 1 bab 3 b a b 3 b ab b ab b ab Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ab b a b ab b Ví dụ 1.6: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c bc ca ab Phân tích: Đây bất đẳng thức Neibizt chứng minh phép biến đổi tương đương Tuy nhiên ta thử dùng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh xem a b c Sử dụng bc ca ab a bc a bc , áp dụng tương tự ta ; ta bất đẳng thức Cauchy cho hai số b c 4a bc 4a + Hướng 1: Để ý đẳng thức xẩy a b c nên có bất đẳng thức: b c ca a b a b c 3 bc ca ab 4a 4b 4c Như ta cần chứng minh bc ca ab bc ca ab 4a 4b 4c a b c Đánh giá cuối đánh giá sai Do ta khơng thể thực chứng minh theo hướng thứ a abc 1 , bc bc abc abc abc hay a b c bc ca ab + Hướng 2: Để ý b 1 c c 1 a a 1 b Dễ dàng áp dụng tương tự bất đẳng thức 1 1 3 bc ca ab ab bc ca ý ta lại thấy a b c a b b c c a a b b c c a Đến ta có lời giải sau Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x y z x2 y2 z2 y kz z kx x ky x y kz y z kx z x ky x y z x y kz y z kx z x ky x y z k 1xy yz zx k 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.6: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh rằng: b c a a b2 b c c a 1 1 Phân tích: Ta viết lại giả thiết thành , điều gợi ý cho ta đặt biến phụ ab bc ca 1 x ; y ; z Khi giả thiết tốn trở thành xy yz zx a b c x y z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Chú ý đến y2 z2 x2 xy yz zx ta viết x2 x2 xy yz zx x y x z ta suy bất đẳng thức cần chứng minh x y x y z y z x z y z x y x z Đến ta sử dụng đánh giá Cauchy để giải toán Lời giải Từ giả thiết a b c abc suy 1 ab bc ca 1 ; y ; z , Khi giả thiết toán trở thành xy yz zx a b c x y z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành y2 z2 x2 Đặt x x2 Dễ thấy Tương tự ta y2 x y x z z x z y x2 xy yz zx y z y x ; z2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y 1 y z 1 z x 1 Ta cần chứng minh x y x y z y z x z y 2x 2y 2z x 2y z x y 2z 2x y z 2x 2y 2z x 2y z x y 2z 2x y z Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta z x y x z 2x 2y 2z 2x2 2y2 2z2 x 2y z x y 2z 2x y z x x 2y z y x y 2z z 2x y z x y z x y z x y z xy yz zx x y z x y z 2 2 Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.7: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b 3c a 3b c 3a b c 15 3a 3b 2c 3a 2b 3c 2a 3b 3c Phân tích: Để đơn giản hóa đại lượng vế trái ta đặt 3y 3z 5x a x 2a 3b 3c 3z 3x 5y y 3a 2b 3c b z 3a 3b 2c 3x 3y 5z c Khi ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành x y y z z x 27 15 8 z x y 8 Đến ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá tiếp Lời giải Đặt x 2a 3b 3c; y 3a 2b 3c; z 3a 3b 2c , ta a 3y 3z 5x 3z 3x 5y 3x 3y 5z ;b ;c 8 Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x y y z z x 27 15 8 z x y 8 Theo bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh xy yz zx 6 z x y x y y z z x 27 7.6 27 15 8 z x y 8 8 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Do ta Ví dụ 6.8: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ab bc ca 16 a b c b c 4a a c 16b 15 Lời giải x a b c Đặt y b c 4a z c a 16b 3a y x 15b z x 15c 21x 5y z Khi bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành 6x 5y z 20x 5y 16x z 16 15x 15y 15z 15 y 3x z 16x 16 28 3x 4y 15x 15z 15 15 Hay Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có y 4x z 16x ; 3x 3y 15x 15z 15 Do ta ab bc ca 16 Đẳng thức xẩy a b c b c 4a a c 16b 15 y 4x 5c a 3x 3y 3c z 16x b 15x 15z Bài tốn chứng minh xong Ví dụ 6.9: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a 1 3a b b c c a b3 c3 a b b c 2 c a Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta chưa thấy có dấu hiệu đặt biến phụ, ta cần phải biến đổi bất đẳng thức trước Ở ta chọn biến đổi vế trái trước 1 1 a b3 b3 c c3 a a b c 3 3 b c c3 a3 b3 a 3 a b a b3 Quan sát biểu thức sau biến đổi ta thấy cần phải đánh giá , điều có c c nghĩa ta cần chứng minh a b3 k a b , ý đến dấu đẳng thức xẩy ta tìm k 1 Như ta chứng minh a b3 a b , đánh giá chứng 4 minh cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy ab bc ca bất đẳng thức cần chứng minh ; y ; z c a b x y z3 x y z viết lại thành Chú ý lúc đẳng thức xẩy x y z ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh tốn Đến ta đặt x Lời giải Bất đẳng thức viết lại 3 a b3 b3 c3 c a 3 a b b c c a 2 c a b c3 a3 b3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a b3 a b3 a b3 a b3 a b a b2 ab a b3 3ab a b a b Suy ab a b3 c3 4c3 Áp dụng tương tự ta có bất đẳng thức Ta cần chứng minh ab a b3 b3 c3 c a c3 a3 b3 4c3 a b b c c a 3 4c Đặt x 3 4a 4b 3 b c c a 3 4a 4b3 3a b b c ca 2 c a b ab bc ca , bất đẳng thức trở thành ; y ; z c a b x y z3 x y z 3 3 12 x y z x y z Hay Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x 12x; y 12y; z3 12z Suy x y z3 48 12 x y z x y z x y z x y z 36 Hay 12 x y z3 x y z Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.10: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c 3a b b c ca b c a c a b Phân tích: Cũng tương tự ví dụ ta cần biến đổi bất đẳng thức trước đưa cách đổi biến Trong ví dụ ta chọn biến đổi vế phải Lúc để ý ta thấy a a b b b c ; ; c b c a c a ab bc ca a b b c c a c a b c c a a b b a b c hai vế xuất đại lượng ; ; , lại để ý ta nhận thấy b c a c c a a b c Do ta đặt x ; y ; z , ta xyz b a b b c a bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x y z xy yz zx x y z Đến ta có lời giải sau Lời giải Đặt x a b c ; y ; z suy xyz b c a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x y z xy yz zx x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y z 3 xyz Nên Ta có Do ta Hay x y z x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z x y z 2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn c 8ab Chứng minh rằng: c c 4a 2b 4bc 3c 2ac 3c Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy khác biệt giả thiết bất đẳng thức cần chứng minh so với ví dụ Từ bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vai trị a, b Do ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a b Mặt khác ta thấy tử biểu thức thứ hai thứ ba có biến c, ta viết lại hai biểu thức biểu thức thứ mẫu xuất đại lượng tự nhiên ta nghĩ đẳng thức xẩy a b 1 , ta viết lại giả thiết 8ab Đến c c bất đẳng thức viết lại thành c 1 1 2x y 2y z 2z x ta thấy cách đặt x 2a; y 2b; z Tuy nhiên từ hình thức bất đẳng thức ta thấy tương tự bất đẳng thức quen thuộc 1 1 2 2x y 2y z 2z x 2 Do ta chọ cách đặt x 2a; y2 2b; z2 để đưa toán dạng quen thuộc c Lời giải Đặt x 2a; y2 2b; z2 Khi từ giả thiết ta xyz c Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành P 1 1 2 2x y 2y z 2z x 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2x y2 x y2 x xy x Do ta P Ta chứng minh 1 xy x yz y zx z 1 theo cách sau xy x yz y zx z Cách 1: Do xyz , nên tồn số dương x, y, z để x Khi ta có , c m n p ;y ;z n p m 1 1 1 xy x yz y zx z m m n n p m 1 1 1 p n m p n m np pm mn 1 mn np pm mn np pm mn np pm Cách 2: Do xyz , nên ta 1 xyz y xy x yz y zx z xy x xyz yz y xyz yz y yz y 1 yz y yz y yz y Suy P Vậy bất đẳng thức chứng minh xong ; c 2 Ví dụ 6.13: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2abc Chứng minh rằng: 1 1 2 2 a 2a b 2b c 2c Đẳng thức xẩy x y z hay a b Giả thiết toán viết 1 1 1 lại thành , để đơn giản hóa giả thiết ta đổi biến x ; y ; z , a b c a b c giả thiết x y z với x, y, z Cũng từ cách đặt ta suy Phân tích: Dễ dàng dự đoán đẳng thức xẩy a b c a 1 ; b ; c , thay vào bất đẳng thức cần chứng minh x y z x3 y3 z3 2 x 2 y 2 z 2 Đến ta chứng minh bất đẳng thức cách thêm bớt sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Lời giải Từ giả thiết ab bc ca 2abc suy 1 a b c 1 ; y ; z , ta có x y z a b c x3 y3 z3 Bất đẳng thức viết lại 2 2x 2y 2z Đặt x Hay x3 y3 z3 y z z x x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 2 x3 y z y z y z 3x 8 z x z x 3y 8 x y x y 3z 8 y3 z x z3 x y Cộng theo vế bất đẳng thức ta x3 y3 z3 y z z x x y Hay x3 y3 xyz xyz 24 z3 y z z x x y 2 xyz Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Nhận xét: Ngoài cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Ví dụ 6.14: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1 ca 2c2 ab2 2a bc2 2b2 Lời giải Từ giả thiết ab bc ca 3abc ta 1 a b c 1 ; y ; z Khi ta x y z a b c x2 y2 z2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 x 2y2 y 2z2 z 2x2 Đặt x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y2 x2 x 2xy2 2xy2 2xy2 2xy2 x x x x 2y2 x 2y2 x y2 y 2 xy Áp dụng tương tự ta 2 y z2 y2 z2 2 z2 x y ; z 3 y 2z2 z 2x Cộng theo vế bất đẳng thức ta x2 y2 z2 xyz 2 x 2y y 2z z 2x x y y z2 z2 x Mạt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có xy xy 2xy 3 yz yz 2yz 2 yz 3 zx zx 2zx 2 zx 3 x y2 xy 3yz zx xy yz zx x y z 1 3 x2 y2 z2 2.3 Do ta 3 2 x 2y y 2z z 2x Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c 1 Chứng minh rằng: Ví dụ 6.15: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a b c 1 1 a 3b b 3c c 3a Suy 2 2 2 Phân tích: Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết cách đặt x a; y b; z c , giả 1 bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z thiết viết lại thành x 3y2 y2 3z2 z2 3y2 1 1 ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh x y z Chú ý đến giả thiết x 3y2 y2 3z2 z2 3y2 1 1 2x y z Để ý theo bất đẳng thức Cauchy ta có x 3y2 x y2 y2 y2 4 x y6 , ta 1 x 3y2 1 1 11 2 11 3 x y2 y x y y x y x y6 Đến áp dụng tương tự ta Lời giải Đặt x 1 2 x y z a; y b; z c Khi ta Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x 3y 2 y 3z 2 z 3y 2 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x 3y2 x y2 y2 y2 4 x y6 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy khác ta x 3y2 Tương tự ta có y2 3z2 x y6 3 ; 8y z Cộng theo vế bất đẳng thức ta có 1 1 x y2 y 2 4 xy y 11 2 11 3 8x y y 8x y 1 1 3 z2 3y2 z x 1 x 3y2 y2 3z2 1 1 1 2x y z z2 3y2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Nhận xét: Ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức x 3y 11 3 x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta x 3y x y y y x 3y Do ta x 3y 2 x 3y x 3y 2 11 3 x 3y x y Ví dụ 6.17: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ab c ab Phân tích: Để ý ab c ab c ab bc a bc ca b ca , ta đặt x 2 a bc 1 b ;b ca c ;z ab Lời giải Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành ab c ab bc a bc ca b ca c ab a b 2 b ca 2 a bc 2 c , suy xyz ab 1 Biểu thức P viết lại thành x2 y2 z2 Đặt x bc ;b ca ;z Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 x y 2 z 2 Triển khai thu gọn ta xy yz xz Đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy xyz Do bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Nhận xét: Ta chứng minh tốn theo cách khác sau Biểu thức vế trái viết lại ab bc ca c ab a bc b ca Đặt 1 c a b 3 2 c ab a bc b ca c a b M c ab a bc b ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ab a b; bc b c; ca c a Do ta có M c c ab a a bc ab Suy c ab b b ca bc a bc c a b 1 a b c a b c a b c ca b ca 1 Do bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.18: Cho a, b, c số thực dương không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a a b b c c abc 3 Lời giải Đặt x a; y b; z c Từ giả thiết ta x y2 z2 Khi bất đẳng thức trở thành P x y z3 xyz 3 Khơng tính tổng qt ta giả sử x y z Khi ta có z2 xy; x2 y2 z2 x y z z2 xy x y Do ta có Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có x z3 x y x 2 xy y2 x xy y2 x y2 27 Suy x y 3 nên ta P 3 Đẳng thức xẩy x 3; y z hoán vị a 3; b c hoán vị Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a 3; b c hốn vị Nhận xét: Qua ví dụ ta nhận thấy, đổi biến có vai trị to lớn chứng minh bất đẳng thức, đổi biến làm bất đẳng thức trở nên đơn giản, đổi biến đưa bất đẳng thức hốn vị bất đẳng thức đối xứng Chúng ta tham khảo thêm số ví dụ khác sau để thấy độc đáo kỹ thuật đổi biến Ví dụ 6.19: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c 3 3 2 bc ca ab Lời giải Đặt a x ; b y ; c z , x, y, z Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3 3 x3 y3 y z3 z3 x Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau 3 x3 y z3 z3 2 x3 y3 x2 y z2 Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với x3 x2 y z2 3 y z y z y Đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy Áp dụng tương tự ta z3 3y2z2 y2 z2 2y 3z3 x3 y z3 Ta cần chứng minh y3 z3 x 3 z3 x y3 x2 y2 y z2 z x2 x2 y2 y z2 z x2 z2 x y2 z2 2 x y2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x2 y2 y z2 z2 x z2 x y2 x2 x y z2 y2 y z2 x 2 z2 z2 x y 2 2x 2y 2z 2 2 2 x y z x y z x y z2 Vậy bất đẳng thức ban đầu chứng minh Ví dụ 6.20: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc Chứng minh rằng: 1 1 a b c b c a Lời giải x y z ; b ; c với x, y, z số thực dương y z x Do abc nên ta đặt a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại x z y x z y 1 1 1 y z z x x y xyz x y z Hay y z x z x y Do x, y, z có vai trị nhau, khơng tính tổng quát ta giả sử x y z Như x y z 0; x z y Như ta xét trường hợp - Nếu y z x bất đẳng thức hiển nhiên - Nếu y z x , áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có x y z y z x x; y z x z x y y; z x y x y z z Nhân theo vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Ví dụ 6.21: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc a b c Chứng minh rằng: a b c Biến đổi giả thiết abc a b c ta abc Lời giải a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 1 1 a 1 b 1 c a 1 Đặt x suy x y z ;y ;z a 1 b 1 ca 1 x y z 1 y z x 1z x y Từ suy a ;b ; c x x y y z z Và bất đẳng thức viết lại thành yz zx x y xy z x y y z z x xyz Hay x y y z yz zx zx xy z x xy yz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x y 1 x y yz zx 2yz zx y z 1 y z z x x y 2z x x y z x 1 z x x y y z 2x y y z Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta thu điều phải chứng minh Ví dụ 6.22: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab bc ca 2abc Chứng minh rằng: 1 abc a b c Lời giải 1 1 2 a b c abc x y z Đặt a , với x, y, z 0; x y z ;b ;c yz zx xy Từ giả thiết suy Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x yz zx xy y z 4 x y z yz z x x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x x 4x y y 4y z z 4z ; ; y z yz x z zx x y xy Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta x yz zx xy y z 4 x y z yz z x x y Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.23: Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh rằng: a b c d 2 bcd cda dab abc Lời giải Khơng tính tổng qt ta chọn a b c d Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c d 2 1a 1b 1c 1c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có a 1a Hồn tồn tương tự ta có b 2b; 1b a 1 a a c 2c; 1c a 1a a d 2d 1d 2a Cộng vế theo vế bốn bất đẳng thức ta được: a b c d 2 1a 1b 1c 1c Ở dấu đẳng thức không xẩy nên a b c d 2 1a 1b 1c 1c Bất đẳng thức chứng minh hoàn tồn Khi đưa lời giải cho tốn trên, hẳn bạn đọc thắc mắc lại chọn a b c d chọn a b c d k tốn có giải khơng? Và ngồi cách chọn điều kiện chọn theo cách khác (chẳng hạn abcd ) không? Câu trả lời hoàn toàn được, thực chất việc chọn bắt nguồn từ việc đổi biến Sau cách đổi biến dẫn đến kết a b c d Ta thực biến đổi hạng tử bên vế trái sau: a abcd bcd abcd a bcd a abcd b c d abcd abcd abcd Tới ta đổi biến sau: x a b c d ;y ;z ;t abcd abcd abcd abcd Thay vào biểu thức ta được: a bcd x x y z t yzt Áp dụng cho vế trái bất đẳng thức cần chứng minh ta x y yzt ztx Và x y z t z txy t 2 xyz Như sau phép đổi biến ta có bất đẳng thức có hình thức hoàn toàn giống bất đẳng thức cần chứng minh bổ sung thêm điều kiện giả thiết cho biến x y z t Ví dụ 6.24: Cho a, b , c số thực dương tùy ý Chứng minh a b c ab bc ca 89 a b b c c a Lời giải Đây bất đẳng thức đơn giản chứng minh phép biến đổi tương đương kết hợp với bất đẳng thức Cauchy Ta thử chứng minh phương pháp đổi biến xem Bất đẳng thức tương đương với a b c ab bc ca a b b c c a Chia hai vế cho abc ta a b c ab bc ca abc b a b b c c a abc a c ab bc ca 8 3 2 3 abc abc (abc) (abc) (abc) abc a b b c a c 9 3 abc abc abc abc abc abc Đặt x a abc b ;y abc ;z c Thay vào bất đẳng thức ta xyz abc x y z xy yz zx x y y z z x Như sau phép đổi biến ta có bất đẳng thức có hình thức hồn tồn giống bất đẳng thức cần chứng minh bổ sung thêm điều kiện cho biến xyz Bây ta chứng minh bất đẳng thức với điều kiện biến xyz Thật vậy: x y z xy yz zx x y y z z x x y y z z x xy yz zx 2 2 2 2 x y y z z x xy x y y2z z2 x xy2 yz2 zx 2 yz2 zx2 x x y y z z y z x z x y Dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh hồn tồn Ví dụ 6.25: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a bc b c a2 b ca c a b2 c ab a b Lời giải Khơng tính tổng qt ta chọn a b c a 1a 2a 2a Theo bất đẳng thức Cauchy ta có b 1b 2b 2b c2 c 1c 2c 2c a 1 2a a 2a a 6 a 1 1 a a 1 2a 2a 2a a Suy Do ta a 1a 2a 2a 4 a 1 a a a a 4a a Hoàn toàn tương tự ta a 1a b 1b c 1c 1 1 2 a 3 b 3 c 2a 2a 2b 2b 2c 2c 3.9 43 a b c 9 Vậy toán chứng minh xong Dấu đẳng thức xẩy a b c Ví dụ 6.26: Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc Chứng minh rằng: 1 a bc b ca c ab Lời giải Đặt x 1 ; y ; z ta thu xyz a b c x2 x yz x 1 yz yz a bc y z Ta có Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x y z x y z 1 1 1 yz zx xy yz z x xy 1 xyz yz z x x y Đánh giá cuối theo bất đẳng thức Cauchy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 6.27: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 2a 2b c 2b 2c a 2c 2a b 3 a b 4c b c 4a c a 4b a b2 c 2 Lời giải Đặt x 2a 2b c; y 2b 2c a; z 2c 2a b Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên x; y; z số dương Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành x3 y3 x3 x y z2 yz zx xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x yz y zx z xy x3 y3 z3 x2 ; y2 ; z2 yz yz xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta x3 y3 x3 xy yz zx x y z2 yz zx xy 3 x y x xy yz zx x y z2 yz zx xy Áp dụng bất đẳng thức x y2 z2 xy yz zx ta x3 y3 x3 x y z2 yz zx xy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c ... 3 a b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b c 3 abc ab bc ca 3 a b2 c2 Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xẩy a... 2 2 Nhân theo vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức cần chứng minh 2 2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 3.15: Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b2... xác định dấu đẳng thức xảy để sử dụng đánh giá hợp lý Trong trình chứng minh bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm áp dụng bất đẳng thức Cauchy mà quên dấu đẳng thức xảy đâu Trước tìm hiểu kĩ thuật