Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 39 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
39
Dung lượng
1,24 MB
Nội dung
Vấn đề Tập xác định tập giá trị hàm số Phương pháp y = f (x) ⇔ f (x) ≥ f (x) • Hàm số có nghĩa tồn y= ⇔ f (x) ≠ f (x) f (x) • Hàm số có nghĩa tồn sin u ( x ) ≠ ⇔ u ( x ) ≡ k π , k  ã ã cosu(x) u(x) ≠ • −1≤ sin x, cos x ≤ π + kπ, k∈ ¢ Các ví dụ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: π 2π y = tan(x − ) y = cot2( − 3x) Lời giải π π π 2π cos(x − ) ≠ ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ 6 Điều kiện: 2π D = ¡ \ + kπ , k∈ ¢ 3 TXĐ: 2π 2π 2π π sin( − 3x) ≠ ⇔ − 3x ≠ kπ ⇔ x ≠ −k 3 Điều kiện: 2π π D = ¡ \ + k , k∈ ¢ 9 TXĐ: Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: tan 2x π tan 5x y= + cot(3x + ) y= sin x + sin4x − cos3x Lời giải π sin x ≠ −1 x ≠ − + k2π ⇔ π sin(3x + 6) ≠ x ≠ − π + kπ 18 Điều kiện: Vậy TXĐ: Ta có: π π nπ D = ¡ \ − + k2π, − + ; k, n∈ ¢ 18 π sin4x − cos3x = sin4x − sin − 3x÷ 2 x π 7x π = 2cos + ÷sin − ÷ 4 4 Điều kiện: Vậy TXĐ: π π x ≠ 10 + k cos5 x ≠ x π π cos + ÷ ≠ ⇔ x ≠ + k2π 4 π k2π 7x π x ≠ − + sin + ≠ ÷ 14 π kπ π π 2mπ D=¡ \ + , + n2π, − + 14 10 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1− sin 2x y= cos3x − Bài Tìm tập xác định hàm số 2π D = ¡ \ k , k∈ ¢ A π D = ¡ \ k , k∈ ¢ C π D = ¡ \ k , k∈ ¢ π D = ¡ \ k , k∈ ¢ Điều kiện: TXĐ: Lời giải: 2π cos3x − ≠ ⇔ cos3x ≠ ⇔ x ≠ k , k∈ ¢ 2π D = ¡ \ k , k∈ ¢ B D y= 1− cos3x 1+ sin4x Bài Tìm tập xác định hàm số π π D = ¡ \ − + k , k∈ ¢ A 3π π D = ¡ \ − + k , k∈ ¢ C π π D = ¡ \ − + k , k∈ ¢ π π D = ¡ \ − + k , k∈ ¢ B D Lời giải: 1− cos3x ≥ ∀x∈ ¡ ⇔ 1+ sin4x ≠ Do nên hàm số có nghĩa π π ⇔ sin 4x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k , k∈ ¢ π π D = ¡ \ − + k , k∈ ¢ TXĐ: π y = tan(2x − ) Bài Tìm tập xác định hàm số 3π kπ D=¡ \ + , k∈ ¢ 8 A 3π kπ D=¡ \ + , k∈ ¢ 7 C 3π kπ D=¡ \ + , k∈ ¢ 5 3π kπ D=¡ \ + , k∈ ¢ 4 Lời giải: B D 2x − Điều kiện: Vậy TXĐ: π π 3π π ≠ + kπ ⇔ x ≠ + k , k∈ ¢ 3π kπ D=¡ \ + , k∈ ¢ 8 y= 1+ cot2 x 1− sin3x Bài Tìm tập xác định hàm số sau π n2π D = ¡ \ kπ, + ; k,n∈ ¢ A π π n2π D = ¡ \ k , + ; k,n∈ ¢ C π n2π D = ¡ \ kπ, + ; k,n∈ ¢ B D π n2π D = ¡ \ kπ, + ; k,n∈ ¢ Lời giải: Điều kiện: Vật TXĐ: x ≠ kπ x ≠ kπ ⇔ π 2π sin3x ≠ x ≠ + k π n2π D = ¡ \ kπ, + ; k,n∈ ¢ y= sin2x − cos3x Bài Tìm tập xác định hàm số sau π 2π D = ¡ \ + k , k2π; k∈ ¢ 3 A π 4π D = ¡ \ + k , k2π; k∈ ¢ 5 B C π 2π D = ¡ \ + k , k2π; k∈ ¢ 5 D π 4π D = ¡ \ + k , k2π; k∈ ¢ 7 Lời giải: 5x x sin 2x − cos3x ≠ ⇔ cos sin ≠ 2 : Điều kiện: 5x 5x π π 2π cos ≠ ≠ + kπ x ≠ + k ⇔ ⇔ ⇔ 5 x x sin ≠ ≠ kπ x ≠ k2π 2 TXĐ: π 2π D = ¡ \ + k , k2π; k∈ ¢ 5 y= tan 2x 3sin 2x − cos2x Bài Tìm tập xác định hàm số sau π π π π D = ¡ \ + k , + k ; k∈ ¢ 12 4 A π π π π D = ¡ \ + k , + k ; k∈ ¢ 3 C π π π π D = ¡ \ + k , + k ; k∈ ¢ 4 π π π π D = ¡ \ + k , + k ; k∈ ¢ 12 3 Điều kiện: Lời giải: π π π x≠ + k x ≠ + k π ⇔ 3sin 2x − cos2x ≠ 2sin(2x − π ) ≠ B D π π π π x ≠ + k x ≠ + k ⇔ ⇔ 2x − π ≠ kπ x ≠ π + k π 12 TXĐ: π π π π D = ¡ \ + k , + k ; k∈ ¢ 12 4 y= cot x 2sin x − Bài Tìm tập xác định hàm số sau π 5π D = ¡ \ kπ, + k2π, + k2π; k∈ ¢ 6 A π π 5π D = ¡ \ k , + k2π , + k2π; k∈ ¢ C π 5π D = ¡ \ kπ, + k2π, + k2π; k∈ ¢ π 5π D = ¡ \ kπ , + k2π , + k2π; k∈ ¢ Lời giải: Điều kiện: x ≠ kπ x ≠ kπ ⇔ π sin x − ≠ sin x − sin ≠ x ≠ kπ x ≠ kπ π ⇔ ⇔ x ≠ + k2π x π x π 2cos( + 12)sin( − 12) ≠ 5π x ≠ + k2π TXĐ: π 5π D = ¡ \ kπ, + k2π, + k2π; k∈ ¢ 6 Bài Tìm tập xác định hàm số sau π π y = tan(x − ).cot(x − ) B D A 3π π D = ¡ \ + kπ , + kπ; k∈ ¢ 4 B 3π π D = ¡ \ + kπ, + kπ; k∈ ¢ 4 C π π D = ¡ \ + kπ, + kπ; k∈ ¢ 4 D 3π π D = ¡ \ + kπ, + kπ; k∈ ¢ 5 Lời giải: Điều kiện: TXĐ: π π x − ≠ + kπ x ≠ ⇔ x − π ≠ kπ x ≠ 3π + kπ π + kπ 3π π D = ¡ \ + kπ, + kπ; k∈ ¢ 4 π y = tan(2x + ) Bài Tìm tập xác định hàm số sau π π D = ¡ \ + k , k∈ ¢ 3 A π π D = ¡ \ + k , k∈ ¢ 4 C π π D = ¡ \ + k , k∈ ¢ 12 π π D = ¡ \ + k , k∈ ¢ 8 Điều kiện: TXĐ: Lời giải: π π π π 2x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ +k 12 π π D = ¡ \ + k , k∈ ¢ 12 B D y = tan3x.cot5x Bài 10 Tìm tập xác định hàm số sau π π nπ D = ¡ \ + k , ; k,n ∈ ¢ 6 A π π nπ D = ¡ \ + k , ; k,n ∈ ¢ 5 C π π nπ D = ¡ \ + k , ; k,n ∈ ¢ 6 B D π π nπ D = ¡ \ + k , ; k,n ∈ ¢ 4 Lời giải: Điều kiện: TXĐ: cos3x ≠ x ≠ ⇔ sin5x ≠ x ≠ π π +k nπ π π nπ D = ¡ \ + k , ; k,n ∈ ¢ 6 Vấn đề Giá trị lớn nhỏ hàm số Các ví dụ Ví dụ Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = − 3sin2 2x y = 4sin x cos x + 1 Lời giải: y = 2sin2x + 1 Ta có −1≤ sin 2x ≤ 1⇒ −2 ≤ 2sin 2x ≤ ⇒ −1≤ 2sin 2x + 1≤ Do ⇒ −1 ≤ y ≤ π π y = −1 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ 2x = − + k2π ⇔ x = − + kπ * π y = ⇔ sin2x = 1⇔ x = + kπ * −1 Vậy giá trị lớn hàm số , giá trị nhỏ Ta có: ≤ sin2 x ≤ 1⇒ 1≤ − 3sin2 x ≤ y = ⇔ sin2 x = ⇔ cos x = ⇔ x = * y = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ π + kπ * Vậy giá trị lớn hàm số , giá trị nhỏ Ví dụ Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = 6cos2 x + cos2 2x y = (4sin x − 3cos x)2 − 4(4sin x − 3cos x) + 1 Lời giải: 2 y = 6cos x + (2cos x − 1) = 4cos4 x + 2cos2 x + 1 Ta có: t = cos2 x ⇒ t ∈ 0;1 y = 4t2 + 2t + = f (t) Đặt Khi t f (t) Vậy y = max y = Đặt cos x = ⇔ x = đạt π + kπ cos2 x = ⇔ x = kπ đạt t = 4sin x − 3cos x ⇒ −5 ≤ t ≤ ∀x ∈ ¡ y = t2 − 4t + = (t − 2)2 − Khi đó: t ∈ −5;5 ⇒ −7 ≤ t − ≤ ⇒ ≤ (t − 2)2 ≤ 49 Vì −3 ≤ y ≤ 46 Do y = −3; max y = 46 Vậy Ví dụ Tìm tất giá trị tham số y = (3sin x − 4cos x)2 − 6sin x + 8cos x + 2m− Đặt t = 3sin x − 4cos x ⇒ −5 ≤ t ≤ m để hàm số sau nhận giá trị dương : Lời giải: y = t2 − 2t + 2m− = (t − 1)2 + 2m− Ta có: −5 ≤ t ≤ ⇒ ≤ (t − 1)2 ≤ 36 ⇒ y ≥ 2m− ⇒ y = 2m− Do ⇔ y > ∀x∈ ¡ ⇔ y > Hàm số nhận giá trị dương ⇔ 2m− > ⇔ m> m> Vậy giá trị cần tìm Ví dụ Tìm với x m để hàm số y = 2sin2 x + 4sin x cos x − (3+ 2m)cos2 x + Lời giải: x Hàm số xác định với ⇔ 2sin2 x + 4sin x cos x − (3+ 2m)cos2 x + ≥ ∀x ∈ ¡ • cos x = ⇒ (1) • cos x ≠ xác định (1) (1) ⇔ 2tan2 x + 4tan x − (3+ 2m) + 2(1+ tan2 x) ≥ ta có: ⇔ 4tan x + 4tan x ≥ 1+ 2m ∀x ∈ ¡ ⇔ (2tan x + 1)2 ≥ 2+ 2m ∀x ∈ ¡ ⇔ + 2m≤ ⇔ m≤ −1 x, y rằng: Ví dụ Cho góc nhọn π x+ y = thỏa mãn sin2 x + sin2 y = sin(x + y) (∗) Lời giải: y = sin x, y = cos x Ta có hàm số đồng biến khoảng π π π x, y, − x, − y ∈ 0; ÷ 2 2 Và π 0; ÷ Chứng minh y = C y = 33− 33+ ; max y = 83 83 D 22 − 22 + ; max y = 83 83 Lời giải: sin6x + 4cos6x + 10 ≥ 10 − 17 > ∀x ∈ ¡ Ta có: 2sin6x − cos6x + y= ⇔ (y − 2)sin6x + (4y + 1)cos6x = − 10y sin6x + 4cos6x + 10 ⇒ (y − 2)2 + (4y + 1)2 ≥ (2 − 10y)2 ⇔ 83y2 − 44y − ≤ ⇔ 22 − 22 + ≤ y≤ 83 83 y = Suy ra: 22 − 22+ ; max y = 83 83 Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = −2 − 5; max y = −2 + A y = −2 − 7; max y = −2 + y = −2 − 3; max y = −2 + C y = −2 − 10; max y = −2 + 10 Xét phương trình: y = 3cos x + sin x − B D Lời giải: 3cos x + sin x = y + ⇔ 32 + 12 ≥ (y + 2)2 ⇔ −2 − 10 ≤ y ≤ −2+ 10 Phương trình có nghiệm y = −2 − 10; max y = −2 + 10 Vậy Bài 31 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau sin2 2x + 3sin4x y= 2cos2 2x − sin4x + y = A y = B 5− 97 + 97 , max y = 18 18 y = C y = 5− 97 5+ 97 , max y = 4 5− 97 5+ 97 , max y = 8 D − 97 + 97 , max y = 8 Lời giải: y= 6sin4x − cos4x + 2cos4x − 2sin4x + Ta có cos4x − sin 4x + > ∀x ∈ ¡ ( ) ⇔ (6 + 2y)sin4x − (1+ 2y)cos4x = 6y − ⇒ (6 + 2y)2 + (1+ 2y)2 ≥ (6y − 1)2 ⇔ 8y2 − 10y − ≤ ⇔ y = 5− 97 + 97 ≤ y≤ 8 5− 97 5+ 97 , max y = 8 Vậy Bài 32 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = 3(3sin x + 4cos x)2 + 4(3sin x + 4cos x) + A y = ;max y = 96 B y − ;max y = y = 2;max y = C y = − ;max y = 96 Lời giải: Đặt t = 3sin x + 4cos x ⇒ t ∈ − 5;5 Khi đó: y = 3t2 + 4t + = f (t) với t∈ − 5;5 D Do y = f (− ) = − ;max y = f (5) = 96 3 m Bài 33 Tìm x∈ ¡ với để bất phương trình A m≤ m> t = 3sin x − 4cos x ⇒ −5 ≤ t ≤ Đặt Ta có: (3sin x − 4cos x)2 − 6sin x + 8cos x ≥ 2m− B m≤ C m< D Lời giải: y = (3sin x − 4cos x)2 − 6sin x + 8cos x = t2 − 2t = (t − 1)2 − Do −5 ≤ t ≤ ⇒ ≤ (t − 1)2 ≤ 36 ⇒ y = −1 Suy u cầu tốn Bài 34 Tìm m −1≥ 2m− ⇔ m≤ để bất phương trình m≥ A m≥ D 3sin 2x + cos2x ≤ m+ sin 2x + 4cos2 x + m≥ B 5+ 5− Lời giải: y= Đặt 3sin 2x + cos2x sin 2x + 2cos2x + sin2x + 2cos2x + > ∀x ⇒ ¡ (Do hàm số xác định ) ⇔ (3− y)sin2x + (1− 2y)cos2x = 3y Suy ⇔ (3− y)2 + (1− 2y)2 ≥ 9y2 ⇔ 2y2 + 5y − ≤ −5 − −5 + −5+ ≤ y≤ ⇒ max y = 4 với m≥ C x∈ ¡ 5− ⇔ u cầu tốn x∈ ¡ Bài 35 Tìm m −5 + 5− ≤ m+ ⇔ m≥ 4 để bất phương trình 15− 29 10 − < m≤ A 10 − 1< m≤ 4sin 2x + cos2x + 17 ≥2 3cos2x + sin 2x + m+ B 15− 29 10 − 1< m≤ C 15+ 29 D 10 − 1< m< 10 + Trước hết ta có: Lời giải: 3cos2x + sin 2x + m+ ≠ ∀x ∈ ¡ m< −1− 10 ⇔ 32 + 12 < (m+ 1)2 ⇔ m2 + 2m− > ⇔ m> −1+ 10 (*) • m > −1+ 10 ⇒ 3cos2x + sin 2x + m+ > 0, ∀x∈ ¡ Nên 4sin 2x + cos2x + 17 ≥ ⇔ 2sin 2x − 5cos2x ≥ 2m− 15 3cos2x + sin 2x + m+ ⇔ − 29 ≥ 2m− 15 ⇔ m≤ 10 − 1< m≤ 15− 29 15− 29 Suy ra: • m< −1− 10 ⇒ 3cos2x + sin 2x + m+ 1< 0, ∀x ∈ ¡ Nên 4sin 2x + cos2x + 17 ≥ ⇔ 2sin 2x − 5cos2x ≤ 2m− 15 3cos2x + sin 2x + m+ ⇔ 29 ≤ 2m− 15 ⇔ m≥ 15+ 29 (loại) với 15− 29 10 − 1< m≤ Vậy π x, y ∈ 0; ÷ 2 Bài 36 Cho sin4 x cos4 y P= + y x giá trị cần tìm thỏa cos2x + cos2y + 2sin(x + y) = Tìm giá trị nhỏ P = A π P = B π P = C 3π D P = π Lời giải: cos2x + cos2y + 2sin(x + y) = ⇔ sin2 x + sin2 y = sin(x + y) Ta có: x+ y = Suy ra: Áp dụng bđt: π a2 b2 (a+ b)2 + ≥ m n m+ n ( sin P≥ Do đó: Bài 37 Tìm k x+ y Suy ra: P = ) x + sin2 y π = π ⇔ x= y= Đẳng thức xảy y= để giá trị nhỏ hàm số k< A ksin x + cos x + lớn k 3k2 + ⇔ k < 2 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin x = − cos x sin x + cos x = ⇒ 2 cos x = − sin x 1 = + tan x ⇒ tan x = −1 cos x cos x 1 = + cot x ⇒ cot x = −1 sin x sin x tan x.cot x = ⇒ cot x = tan x sin x + cos x = − 2sin x cos x 6 2 sin x + cos x = − 3sin x cos x sin x + cos3 x = ( sin x + cos x ) ( − sin x cos x ) 3 sin x − cos x = ( sin x − cos x ) ( + sin x cos x ) II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x Góc I + Góc II + − Góc III − cos x + tan x + − + + − cot x + − + − − Góc IV − III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT Hai cung đối cos ( − x ) = cos x sin ( − x ) = − sin x tan ( − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x Hai cung bù sin ( π − x ) = sin x cos ( π − x ) = − cos x tan ( π − x ) = − tan x cot ( π − x ) = − cot x Hai cung phụ π sin − x ÷ = cos x 2 π cos − x ÷ = sin x 2 π tan − x ÷ = cot x 2 π cot − x ÷ = tan x 2 Hai cung π sin ( π + x ) = − sin x cos ( π + x ) = − cos x tan ( π + x ) = tan x cot ( π + x ) = cot x Hai cung π sin + x ÷ = cos x 2 π π tan + x ÷ = − cot x 2 π cos + x ÷ = − sin x 2 π cot + x ÷ = − cot x 2 Với k số nguyên ta có: sin ( x + k 2π ) = sin x tan ( x + kπ ) = tan x cot ( x + kπ ) = cot x IV CÔNG THỨC CỘNG cos ( x + k 2π ) = cos x sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y tan ( x + y ) = tan x + tan y − tan x tan y sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y tan ( x − y ) = tan x − tan y + tan x tan y Đặc biệt: TH1: Cơng thức góc nhân đôi: sin x = 2sin x cos x 2 2 cos x = cos x − sin x = cos x − = − 2sin x tan x tan x = − tan x sin x = Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: TH2: Cơng thức góc nhân ba: − cos x + cos x ; cos x = 2 sin 3x = 3sin x − 4sin x cos x = cos x − 3cos x V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x+ y x− y cos 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin cos 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 x+ y x− y sin x − sin y = cos sin 2 cos x + cos y = cos cos ( x + y ) + cos ( x − y ) 2 sin x sin y = − cos ( x + y ) − cos ( x − y ) sin x cos y = sin ( x + y ) + sin ( x − y ) cos x sin y = sin ( x + y ) − sin ( x − y ) cos x cos y = Chú ý: π π sin x + cos x = sin x + ÷ = cos x − ÷ 4 4 π π sin x − cos x = sin x − ÷ = − cos x + ÷ 4 4 u = v + 2kπ sin u = sin v ⇔ u = π − v + k 2π u = v + k 2π cos u = cos v ⇔ u = −v + k 2π u = v + kπ tan u = tan v ⇔ π u ≠ + kπ u = v + kπ cot u = cot v ⇔ u ≠ kπ Đặc biệt: cos x = ⇔ x = sin x = ⇔ x = kπ sin x = ⇔ x = π + k 2π sin x = −1 ⇔ x = − π + kπ cos x = ⇔ x = k 2π π + k 2π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π Chú ý: −1 ≤ m ≤ sin x = m cos x = m Điều kiện có nghiệm phương trình là: Sử dụng thành thạo câu thần “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa phương trình dạng sau phương trình bản: π π sin u = cos v ⇔ sin u = sin − v ÷ cos u = sin v ⇔ cos u = cos − v ÷ 2 2 sin u = − sin v ⇔ sin u = sin ( −v ) cos u = − cos v ⇔ cos u = cos ( π − v ) cos x = cos x = ±1 ⇔ sin x = ±1 sin x = Đối với phương trình khơng nên giải trực tiếp phải giải phương trình thành phần, việc kết hợp nghiệm khó khăn Ta nên dựa vào công thức sin x + cos x = cos x = sin x = ⇔ ⇔ sin x = cos x = sin x = để biến đổi sau: cos x = cos x − = ⇔ ⇔ cos x = sin x = 1 − 2sin x = Tương tự phương trình Bài Giải phương trình sau π cos x − ÷ = − 4 π 2sin x − ÷+ = 6 π cos x + ÷− = 3 Hướng dẫn giải: π π 3π cos x − ÷ = − ⇔ cos x − ÷ = cos 4 4 u = x− π 3π ,v = 4 Ta xác định phương trình π 3π π 3π x− = + k 2π x− = − + k 2π 4 4 , nên dựa vào cơng thức nghiệm ta có x = π + k 2π ; x = − Vậy nghiệm phương trình là: π tan − x ÷ = 3 π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) π π π π 2sin x − ÷+ = ⇔ sin x − ÷ = − ⇔ sin x − ÷ = sin − ÷ 6 6 6 3 π π π x − = − + k 2π x = − 12 + kπ ⇔ ⇔ ( k ∈¢) x − π = 4π + k 2π x = 3π + kπ π π π π cos x + ÷− = ⇔ cos x + ÷ = ⇔ cos x + ÷ = cos 3 3 3 π π π x + = + k 2π x = − 12 + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈¢) x + π = − π + k 2π x = − 7π + k 2π 12 π π π π tan − x ÷ = ⇔ tan − x ÷ = ⇔ tan − x ÷ = tan 3 3 3 ⇔ π π π − x = + kπ ⇔ x = − k π , ( k ∈ ¢ ) 6 Chú ý: Đối với phương trình cos x ≠ ( sin x ≠ ) tan x = m ( tan x = m ) không cần thiết , m số điều kiện Bài Giải phương trình sau π sin x = sin x + ÷ 4 π π tan x − ÷ = tan x + ÷ 4 6 Hướng dẫn giải: π π sin x − ÷ = cos x + ÷ 6 4 π π cot x − ÷+ tan − x ÷ = π π x = − − k 2π x = x + + k 2π π 4 sin x = sin x + ữ ,( k Â) π π 4 x = + k x = π − x − + k 2π 4 π 2π 5π 2π x + = − x + k π x = + k π 2π 36 PT ⇔ cos x + ÷ = cos − x ÷⇔ ⇔ π π 4 2 x + = − x = − 11π + k 2π + x + k 2π 12 Do PT có dạng tan u = tan v nên ta cần điều kiện cos u ≠ cos v ≠ Để đơn π π π π cos x + ÷ ≠ ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ 6 giản ta chọn điều kiện: Khi đó: π π π π 5π π tan x − ÷ = tan x + ÷ ⇔ 3x − = x + + kπ ⇔ x = + k ,( k ∈¢) 4 6 24 x= 5π π + k ,( k ∈¢) 24 Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: cos u ≠ tan u = tan v Do biến đổi PT dạng nên ta cần điều kiện cos v ≠ Để đơn giản ta chọn điều kiện: π π π π cos − x ÷ ≠ ⇔ − x ≠ + kπ ⇔ x ≠ − − kπ 6 π π π 3π PT ⇔ cot x − ÷ = tan x − ÷ ⇔ tan x − ÷ = tan − 2x ÷ 4 6 6 ⇔ x− π 3π 11π π = − x + kπ ⇔ x = + k ( k ∈ ¢) 36 x= Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: Bài Giải phương trình sau cos x − ( ) + cos x + = ( ) tan x − + tan x + = Hướng dẫn giải: cos x + 5sin x − = π sin x − ÷ = cos2 x 4 π cos x = x = ± + k 2π PT ⇔ ⇔ ( k ∈¢) π x = ± + k 2π cos x = sin x = ( lo¹i ) PT ⇔ ( − sin x ) + 5sin x − = ⇔ 2sin x − 5sin x + = ⇔ sin x = ( t / m ) 2 11π π + k ,( k ∈ ¢) 36 x= π + k 2π x= 5π + k 2π , ( k ∈ ¢ ) Vậy phương trình có nghiệm: sin x = ( lo¹i ) tan x = PT ⇔ ⇔ 2sin x − 5sin x + = ⇔ sin x = tan x = π 5π x = + k 2π x= + k 2π , ( k ∈ ¢ ) 6 Vậy phương trình có nghiệm: π − cos x − ÷ π π + cos x PT ⇔ = ⇔ sin x = − cos x ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + k 2 Bài Giải phương trình sau x x sin x + cos4 x = sin x − sin + cos = − 2sin x 2 π ( sin x + cos x ) − cos − x ÷ = 2 sin x + cos x = cos x Hướng dẫn giải: PT ⇔ − 2sin x cos x = sin x − 1 ⇔ − sin 2 x = sin x − 2 sin x = −1 π π ⇔ sin 2 x − 2sin x − = ⇔ ⇔ x = − + k 2π ⇔ x = − + kπ , ( k ∈ ¢ ) sin x = ( lo¹i ) sin x = PT ⇔ − sin x = − 2sin x ⇔ sin x − 4sin x = ⇔ ⇔ x = kπ ( k  ) sin x = loại ( ) sin x = PT ⇔ 1 − sin 2 x ÷− sin x = ⇔ sin 2 x + sin x − = ⇔ sin x = −2 ( lo¹i ) ⇔ 2x = π π + k 2π ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) PT ⇔ − 3sin x cos x = − 2sin 2 x ⇔ − sin 2 x = − 2sin 2 x ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = k π ,( k ∈¢) Bài Giải phương trình sau sin x + cos x + sin x cos x = ( sin x + cos6 x ) − sin x cos x − 2sin x cos x = sin x − = ( A 06 ) ( − ) cos x − 2sin Hướng dẫn giải: cos x − x π − ÷ =1 sin x = −1 1 PT ⇔ − sin 2 x + sin x = ⇔ sin 2 x − sin x − = ⇔ 2 sin x = ( lo¹i ) ⇔x=− π + kπ , ( k ∈ ¢ ) (A-2006) Điều kiện: π x ≠ + k 2π − 2sin x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ 3π + k 2π PT ⇔ ( sin x + cos x ) − sin x cos x = ⇔ 1 − sin 2 x ÷− sin x = sin x = π ⇔ 3sin x + sin x − = ⇔ ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) sin x = − ( lo¹i ) x= Kết hợp nghiệm ta thu nghiệm phương trình 5π + k 2π cos x = PT ⇔ cos x = − cos x − ⇔ cos x + cos x − = ⇔ cos x = − ( lo¹i ) ⇔ cos x − = ⇔ cos x = ⇔ x = cos x ≠ ⇔ x ≠ ± Điều kiện: π π π + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) π + k 2π π x π PT ⇔ − cos x − 2sin − ÷ = cos x − ⇔ − cos x − 1 − cos x − ÷÷ = −1 2 4 ( ) π π ⇔ cos x − cos − x ÷ = ⇔ cos x − sin x = ⇔ tan x = ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) 2 Bài Giải phương trình sau sin x + cos x − sin x = sin x + cos x = (D-2013) (B-2013) sin x + 4cos x = + sin x cos x + cos x − cos x − = (A-2014) 2006) Hướng dẫn giải: PT ⇔ sin x − sin x + cos x = ⇔ cos x sin x + cos x = ⇔ cos x ( 2sin x + 1) = (D- π π x = + k cos x = π ⇔ ⇔ x = − + k 2π sin x = − x = 7π + k 2π PT ⇔ sin x + + cos x = ⇔ cos x = − sin x ⇔ cos x = sin ( −5 x ) π 2π π x = − −k x = + x + k 2π π ⇔ cos x = cos + x ÷ ⇔ ⇔ ( k ∈¢) 2 x = − π + k 2π x = − π − x + k 2π 14 PT ⇔ sin x + cos x = + 2sin x cos x ⇔ sin x ( − cos x ) + ( cos x − 1) = sin x = ( lo¹i ) π ⇔ ( sin x − ) ( − cos x ) = ⇔ ⇔ x = ± + k 2π cos x = PT ⇔ cos x − cos x + cos x − = ⇔ −2sin x sin x − 2sin x = x = kπ sin x = sin x = ⇔ sin x ( sin x + sin x ) = ⇔ ⇔ ⇔ x = ± 2π + k 2π sin x + sin x = cos x + = ... + sin x cos x ) II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x Góc I + Góc II + − Góc III − cos x + tan x + − + + − cot x + − + − − Góc IV − III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT Hai cung... sin x = m cos x = m Điều kiện có nghiệm phương trình là: Sử dụng thành thạo câu thần “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa phương trình dạng sau phương trình bản: π π sin u = cos v ⇔ sin... sin x + cos x + Xét phương trình : ⇔ (1− y)sin x + (2 − y)cos x + 1− 2y = ⇔ (1− y)2 + (2 − y)2 ≥ (1− 2y)2 Phương trình có nghiệm ⇔ y2 + y − ≤ ⇔ −2 ≤ y ≤ Vậy y = −2; max y = CÁC BÀI TOÁN LUYỆN