Phân tích các đề về phương trình lượng giác của đề thi đại học từ năm 2003 đến 2010 các ban A.B.D ppsx

www.saosangsong.com.vn 1 Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghóa PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ Phương trình lượng giác trong đề thi ĐH 2003-2010 các ban A-B-D www.saosangsong.com.vn www.saosangsong.com.vn 2 LTĐH : Chun đề PT LƯỢNG GIÁC .CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1 .Công thức cộng 2. Công thức nhân đôi 22 2 2 sin 2 2sin .cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2tan tan 2 1tan aaa aaa a a a a 2 a = =−= −=− = − cos( ) cos . sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos tan tan tan( ) 1 tan . tan ab acosb a b ab a b b a ab ab ab ±= ±= ± ± ±= ∓ ∓ Công thức nhân ba Công thứ hạ bậc 3 3 sin 3 3sin 4sin cos 3 4 cos 3cos aa aa =− =− a a 22 33 1cos2 1cos2 cos ; sin 22 3cos cos3 3sin sin3 cos ; sin 44 aa aa aa aa aa +− == +− == Áp dụng: sin x cos x 2.sin(x / 4) ; sin x cos x 2.sin(x / 4)+= +π −= −π sin x 3 cos x 2.sin(x / 3) ; 3 sin x cos x 2.sin(x / 6)± = ±π ± = ±π sin 4 x + cos 4 x = 1 – 2sin 2 xcos 2 x = 1 - 2 1 sin 2x 2 ; sin 6 x + cos 6 x = 1 – 3sin 2 xcos 2 x = 1 - 2 1 sin 2x 3 ính sinx ; cosx ; tanx theo t = tan(x/2) 4 .Công thức biến đổi tích thành tổng 3. Công th ức t [] [] [] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 ab ab ab ab ab ab ab ab ab =++− =++− =−−+ 2 2 2 2 2 sin ( tan ) 12 1 cos 1 2 tan 1 tx xt t t x t t x t == + − = + = − 5 .Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 22 + − += + − −=− + − += +− −= ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab Phương pháp: Sử dụng cơng thức lượng giác để thực hiện các phép biến đổ nhằm đưa phương trình về một trong các dạng sau: www.saosangsong.com.vn 3 Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản : 2 sin sin 2 2 cos cos 2 tan tan ( ) 2 cot cot ( ) π ππ π π π π π ππ =+ ⎡ =⇔ ⎢ =−+ ⎣ =+ ⎡ =⇔ ⎢ =− + ⎣ =⇔=+ ≠+ =⇔=+ ≠ XAk XA XAk XAk XA XAk X AXAkA m XAXAkAm Đặc biệt: • sin 0 ; sin 1 2 ; sin 1 2 22 π ππ π π =⇔ = =⇔ = + =−⇔ =− + XXk XXk X X k • cos 0 ; 2 cos 1 2 ; cos 1 2 =⇔ = + =⇔ = =−⇔ = + XXk XXk X Xk π π π ππ Dạng 2 . Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác at 2 + bt + c = 0 với t là một ẩn số phụ lượng giác như t = sinx , t = cosx (|t| ≤ 1), t = tanx . . . • Giải để tìm t . • Suy ra x Trong dạng 2 này, ta có các tiểu dạng chuẩn sau: 2.1. . acosx + bsinx = c Cách giải 1:Chia hai vế cho 22 ab+ và tìm góc α thỏa 22 22 ab cos ; sin ab ab αα == ++ , phương trình thành : 22 c cos(x ) ab α += + • Nếu 22 abc+≥ 2 (điều kiện có nghiệm ): Gọi β là góc thỏa: 22 c cos ab = + β cos(x ) cos , ta được : α β = + Cách giải 2 : • x = k.2 π π + là nghiệm nếu - a + c = 0 • x ≠ k.2 π π + : Đặt t = tan(x/2), thế sinx = 2 2 2t 1 t ,cosx 1t 1t 2 − = + + , ta được phương trình bậc 2 theo t. Tìm t, suy ra nghiệm x. 2.2. . asin 2 x + bsinx cosx + ccos 2 x + d = 0 . Cách giải : • x = / 2k. π + là nghiệm nếu a + d = 0. π • x ≠ / 2k. π π + : Chia hai vế cho cos 2 x 0, ta được một phương trình bậc hai theo t = tan x. Giải để tìm t , suy ra x. ≠ 2.3 . asinxcosx + b(sinx cosx) + c = 0 ± • Đặt t = sinx cosx = ± π ±2sin(x /4) => |t| 2≤ Và thế sinxcosx = 2 t1 2 − ± , ta được PT bậc 2 theo t. Giải để tìm t thỏa |t| 2≤ . Suy ra nghiệm x. www.saosangsong.com.vn 4 Dạng 3. PT lượng giác dạng tích số. • Biến đổi PT về dạng f(x). g(x) = 0 • PT Ù f(x) = 0 hay g(x) = 0 Các ví dụ về dạng 1: D2009. GPT : 3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 (1) Giải (1) Ù 3 cos5x – (sin5x + sinx) – sinx = 0 (cơng thức biến tích thành tổng) Ù 3 cos5x – sin5x = 2sinx Ù 31 cos5 sin 5 sin 22 x xx−= Ù sin cos5 cos sin 5 sin 33 x xx π π −= Ù sin 5 sin 3 x x π ⎛⎞ −= ⎜⎟ ⎝⎠ : Dạng 1 Ghi chú: Biểu thức 3 cos5x – sin5x thuộc dạng tổng qt 3 cosa – sina . . . rất thơng dụng, cần nhớ (xem cơng thức ở trang đầu) B2009. GPT : sinx + cosxsin2x + 3 cos3x = 2(cos4x + sin 3 x) (1) Giải (1) Ù (sinx – 2sin 3 x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x Ù sinx(1 – 2sin 2 x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x cos3x = 2cos4x (Thay 1 – 2sin 2 x = cos2x) Ù (sinxcos2x + cosxsin2x) + 3 Ù (sin3x) + 3 cos3x = 2cos4x (cơng thức cộng) Lại gặp biểu thức quen thuộc: sina + 3 cosa. Giải tiếp . . . Các ví dụ về dạng 2 A2006. GPT: 66 2(cos sin ) sin cos 0 22sin xxxx x +− = − (1) k = 0, 2, 4 2n k = 1 , 3, 5 2n + 1 Giải 2 ĐK: sinx ≠ / 2 (2) Thay sinx cosx = ½ . sin2x và cos 6 x + sin 6 x = 1 – 3sin 2 xcos 2 x = 1 – (¾) sin 2 2x (1) Ù 2 – 3/2. sin 2 2x - ½ . sin2x = 0 Ù 3sin 2 2x + sin2x – 4 = 0 (Dạng bậc 2 theo t = sin2x với |t| ≤ 1) Ù sin2x = 1 Ù x = π/4 + kπ www.saosangsong.com.vn 5 Xét (2) : sin(π/4 + kπ) ≠ 2 / 2 Nhận xét : sin(π/4 + kπ) = sin / 4 2 / 2 2 sin(5 / 4) 2 / 2 2 1 khi k n khi k n π π ⎧ == ⎪ ⎨ = −= ⎪ ⎩ + ; do đó phương trình có nghiệm x = 5π/4 + 2nπ (n Z ∈ ) Ghi chú: Ta có thể giải điều kiện theo cách sau: sinx ≠ 2 /2 Ù x ≠ π/4 + n.2π hay x ≠ 3π/4 + n.2π Do đó (2) Ù π/4 + kπ ≠ π/4 + n.2π và π/4 + k.π ≠ 3π/4 + n.2π Ù k ≠ 2n và k ≠ ½ + 2n Ù k ≠ 2n vì điều kiện k ≠ ½ + 2n thỏa với mọi n, mọi k vì chúng nguyên, Ù k = 2n + 1 . Cách giải nào tốt hơn còn tùy điều kiện và nghiệm. B2003. GPT: cotx – tanx + 4sin2x = 2 sin 2 x Giải Chú ý cách biến đổi biểu thức cotx – tanx : cotx – tanx = 22 cos sin cos sin 2 cos 2 (2cot2) sin cos sin cos sin 2 xx x x x xx xx x − −= = = x Phương trình thành: 2cos2 2 4sin2 sin 2 sin 2 x x x += x Đk: sin2x ≠ 0 Phương trình thành: cos2x + 2sin 2 2x = 1 Ù cos2x + 2(1 - cos 2 2x) = 1 Ù 2cos 2 2x – cos2x – 1 = 0 (PT bậc 2 theo t = cos2x) Ù cos2x = 1 hay cos2x = - ½. Nhận xét rằng cos2x = 1 => sin2x = 0 do đó giá trị này bị loại . Còn cos2x = – ½ => sin2x ≠ 0 nên nhận. Cuối cùng ta được : 2x = 2 .2 33 kxk π π π π ±+ <=>=±+ Nhận xét : Thêm một cách giải điều kiện bằng giá trị của hàm số liên quan Đôi khi phương trình có thể đưa về dạng bậc 3 theo một ẩn số phụ, như bài sau: GPT: cos 2 x + 2sin(4x/3 + π/2) = 3 Giải: Phương trình tương đương với : 1cos2 2cos(4 /3) 3 2 x x + + = Ù cos2x + 4cos(4x/3) – 5 = 0 Nhận xér rằng 4x/3 = 2. (2x/3) còn 2x = 3.(2x/3), do đó thay: • cos(4x/3) = 2cos 2 (2x/3) – 1 (CT nhân 2) và • cos2x = 4cos 3 (2x/3) – 3cos(2x/3) (CT nhân 3) www.saosangsong.com.vn 6 ta được phương trình bậc 3 theo cos(2x/3): [4cos 3 (2x/3) – 3cos(2x/3)] + 4[2cos 2 (2x/3) – 1] – 5 = 0 Ù 4cos 3 (2x/3) + 8cos 2 (2x/3) – 3cos(2x/3) – 9 = 0 Đặt t = cos(2x/3); |t| ≤ 1: 4t 3 + 8t 2 – 3t – 9 = 0 Ù t = 1, t = - 3/2 (loại) Ù cos2x = 1 Ù x = kπ. Các ví dụ về dạng 3 (dạng tích số). Sử dụng các kỹ thuật đại số phân tích ra nhân tử một biểu thức, trong đó phép đặt nhân tử chung, nhóm các số hạng, dùng các hằng đẳng thức . Các công thức sau thường được sử dụng: • cos2x = cos 2 x – sin 2 x = (cosx + sinx)(cosx –sinx) • 1 + sin2x = (sinx + cosx) 2 • sin 2 x = (1 + cosx)( - cosx) . . . B2007 GPT: 2sin 2 2x + sin7x – 1 = sinx Giải Phương trình tương đương với – cos4x) + (sin7x – sinx) = 0 Ù - cos4x + 2cos4xsin3x = 0 Ù cos4x(2sin3x – 1) = 0 Ù . . . cos 4 0 sin 3 1/ 2 x x = ⎡ ⎢ = ⎣ D2003 GPT: sin 2 (x/2 - π/4).tan 2 x – cos 2( x/2) = 0 Giải Thay : sin 2 (x/2 - π/4) = 22 22 22 1 cos( / 2) 1 sin sin 1 cos 1 cos ;tan ;cos( /2) 22 cos1sin 2 x xxx x xx xx π −− − − + === = − , ta được : 2 2 1sin 1cos 1cos .0 21sin 2 xxx x −− + −= − 1± Đk: sinx ≠ Đơn giản, khử mẫu, ta được : (1 – cos 2 x) – (1 + cosx)(1 + sinx) = 0 Ù (1 + cosx)(1 – cosx – 1 – sinx) = 0 Ù (1 + cosx)(cosx + sinx) = 0 Ù cos 1 2sin( /4) 0 x x π =− ⎡ ⎢ + = ⎣ Ù (2 1) /4 xk x k π π π =+ ⎡ ⎢ =− + ⎣ Cả hai giá trị này đều thoả điều kiện nên là nghiệm của phương trình . www.saosangsong.com.vn 7 D10 GPT: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 Giải Thay sin2x = 2sinxcosx; cos2x = 1 – 2sin 2 x, ta được : 2sinxcosx – (1 – 2sin 2 x) + 3sinx – cosx – 1 = 0 Ù cosx(2sinx – 1) + (2sin 2 x + 3sinx – 2) = 0 Chú ý biểu thức (2sin 2 x + 3sinx – 2) là tam thức bậc 2 theo sinx, tương tự như 2x 2 + 3x – 2 , ta có thể phân tích chúng dễ dàng bằng bấm nghiệm của phương trình 2x 2 + 3x – 2 = 0 bằng máy tính, được x1 = - 2 và x2 = ½ , như vậy (2sin 2 x + 3sinx – 2) = (2sinx – 1)(sinx + 2), và phương trình thành: cosx(2sinx – 1) + (2sinx – 1)(sinx + 2) = 0 Ù (2sinx – 1)(cosx + sinx + 2) = 0 Ù sin 1/ 2 sin( / 4) 2 ( ) x x VN π = ⎡ ⎢ +=− ⎣ . . . THỰC TẬP Giải các phương trình sau: 1. D2008. 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 2. D2007. (sinx/2 + cosx/2) 2 + 3 cosx = 2 3.D2006. cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 4.D2005. cos 4 x + sin 4 x + cos(x - π/4)sin(3x - π/4) – 3/2 = 0 5.D2004. (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 6. B2010. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 7. B2008. sin 3 x – 3 cos 3 x = sinxcos 2 x – 3 sin 2 xcosx 8. B2006. cotx + sinx(1 + tanxtan(x/2)) = 4 9. B2005. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 10. B2004. 5sinx – 2 = 3(1 – sinx).tan 2 x 11. A2010. (1 sin cos 2 )sin( / 4) 1 cos 1tan 2 xxx π x x ++ + = + 12. A2009. (1 2 sin ) cos 3 (1 2 sin )(1 sin ) xx xx − = +− 13.A2008. 11 4sin(7 /4 ) sin sin( 3 / 2) x xx π π += − − 14. A2007. (1 + sin 2 x)cosx + (1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2x 15. A2005. cos 2 3xcos2x – cos 2 x = 0 www.saosangsong.com.vn 8 16. A2003 cotx – 1 = 2 cos 2 1 sin sin 2 1tan 2 x x x x +− + 17. CĐ. sin 4 3 cos 4 3 cos 2 sin 2 (4 cos 1)xx xxx−=+ − 18. cosx + 2sin 2 xcosx + 2 = 3 sin3x + 2(2cos 2 2x + cos 3 x) . GIẢI VẮN TẮT 1 . 2sinx(2cos 2 x) + 2sinxcosx = 1 + 2cosx Ù 2sinxcosx(2cosx + 1) = 1 + 2cosx Ù (2cosx + 1)(2sinxcosx – 1) = 0 . . . Thay 1 + cos2x = 2cos 2 x: 2sinxcosx(2cosx + 1) – (2cosx + 1) = 0 2. (1 + sinx) + 3 cosx = 2 Ù sinx + 3 cosx = 1 Ù sin(x + π/3) = ½ . . . 3. Thay cos3x = 4cos 3 x – 3cosx, cos2x = 2cos 2 x – 1, ta được phương trình bậc 3 theo cosx . . . 4. Thay cos 4 x + sin 4 x = 1 – 2sin 2 xcos 2 x = 1 – ½ .sin 2 2x , và cos(x - π/4)sin(3x - π/4) = ½ [sin(4x - π/2) + sin(2x)] (CT sinacosb = ½ [sin(a+b) + sin(a – b)]) = ½ [- cos4x + sin2x] Ta được : 1 – ½ .sin 2 2x + ½ [- cos4x + sin2x] = 0 Sau đó thay cos4x = 1 – 2sin 2 2x, ta được phương trình bậc 2 theo sin2x . . . 5. Biến đổi vế phải thành 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1) Ta đưa phương trình về dạng tích : (2cosx – 1)(2sinx + cosx – sinx ) = 0 . . . . 6. Khai triển : sin2xcosx + cos2xcosx + 2cos2x – sinx = 0 Ù sinx(2cos 2 x – 1) + cos2xcosx + 2cos2x = 0 Ù sinxcos2x + cos2xcosx + 2cos2x = 0 Ù cos2x(sinx + cosx + 2) = 0 7. (sin 3 x – sinxcos 2 x) – ( 3 cos 3 x - 3 sin 2 xcosx) = 0 Ù sinx(sin 2 x – cos 2 x) – 3 cosx(cos 2 x – sin 2 x) = 0 Ù (cos 2 x – sin 2 x) ( 3 cosx – sinx ) = 0 Ù cos2x. ( 3 cosx – sinx ) = 0 . . . www.saosangsong.com.vn 9 8. Biến đổi: 1 + tanxtan(x/2) = 1 = sin .sin( / 2) cos .cos( / 2) sin sin( / 2) cos 1 cos .cos( / 2) cos .cos( / 2) cos .cos( / 2) xx x x xx x xx xx xx + += = Phương trình tương đương với cos cos( / 2) sin . sin cos .cos( / 2) xx x xx + x = 2 Đk: sinx.cosx ≠ 0 cos sin 4 sin cos xx x x += Ù cos 2 x + sin 2 x = 4sinxcosx Ù sin2x = ½ Ù x = π/12 + kπ hay x = 5π/12 + kπ (thỏa điều kiện ) 9. (1 + cos2x) + (sinx + cosx) + sin2x = 0 Ù 2cos 2 x + (sinx + cosx) + (2sinxcosx) = 0 Ù (2cos 2 x + cosx) + (sinx + 2sinxcosx) = 0 Ù cosx(2cosx + 1) + sinx(1 + 2cosx) = 0 Ù (2cos + 1)(cosx + sinx) = 0 10. 2 2 sin 5sin 2 3(1 sin ) 1sin x xx x −= − − Ù 2 sin 5sin 2 3 1sin x x x −= + : phương trình bậc 2 theo sinx với sinx ≠ 1 ± 11. (1 sin cos 2 )( 2 / 2)(sin cos ) 1 cos cos sin 2 cos xx xx xx x ++ + = + x Đk : cosx ≠ 0 và sinx + cosx ≠ 0 Đơn giản, qui đồng: 1 + sinx + cos2x = 1 Ù 2sin 2 x – sinx – 1 = 0 sin 1 cos 0 ( ) sin 1/ 2( ) x x loai xnhan ==> = ⎡ ⎢ =− ⎣ Ù 12. Đk: sinx ≠ - ½; 1 (1 – 2sinx)cosx = 3 (1 + 2sinx)(1 – sinx) Ù 2 cos 2sin cos 3(1 sin 2sin ) x xx x x−=+− Ù cosx – sin2x = 3 cos2x + 3 sinx Ù cosx – 3 sinx = 3 cos2x + sin2x Ù 2.cos(x + π/3) = 2. cos(2x - π/6) ) (dạng 1) www.saosangsong.com.vn 10 13. Thay sin(x - 3π/2) = sin(x + π/2) = cosx và sin(7π/4 – x) = sin(- x - π/4) = 2 .(sin cos ) 2 x x−+ , phương trình thành : 11 22.(sin cos) sin cos x x x x += + Ù (sinx + cosx)(1 – 2 2 sinxcosx) = 0 Đk : sinxcosx ≠ 0 Ù sin( / 4) 0 2 sin 2 2 x x π += ⎡ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎣ (thỏa điều kiện) 14. Khai triển và nhóm : (cosx + sinx) + sinxcosx(sinx + cosx) = (sinx + cosx) 2 Ù (sinx + cosx)( 1 + sinxcosx – sinx – cosx) = 0 Ù (sinx + cosx)(1 – sinx)(1 – cosx) = 0 (dạng 3) 15. (1 + cos6x)cos2x – (1 + cos2x) = 0 (CT hạ bậc) Ù cos6xcos2x – 1 = 0 Ù cos8x + cos4x – 2 = 0 (CT biến tích thành tổng) Ù 2cos 2 4x + cos4x – 3 = 0 (PT bậc 2 theo cos4x) 16. 22 2 cos cos sin 1sinsincos sin sin 1 cos xxx x xx x x x − −= + − + Ù 22 cos sin cos sin .cos sin (sin cos ) sin cos sin xx x x x xx x xxx −− =+− + 2 cos sin 0 (1) 1 cos sin sin 0 (2) xx xx x −= ⎡ ⎢ −+= ⎣ Đk: sinx ≠ 0 và cosx + sinx ≠ 0 PT thành cosx – sinx = (cosx – sinx) cosxsinx + sin 2 x(sinx – cosx) Ù (cosx – sinx)(1 – cosxsinx + sin 2 x) = 0 Ù (1) Ù x = π/4 + kπ (thỏa điều kiện) (2) Ù 1 – ½ sin2x + sin 2 x = 0 . Vì vế trái luôn dương do (sin2x ≤ 1 )nên (2) VN. Hoặc nhận ra đây là phương trình dạng 2.2.: asin 2 x + bsinx cosx + ccos 2 x + d = 0: chia hai vế cho cos 2 x , ta được : (1 + tan 2 x) – tanx + tan 2 x = 0 Ù 2tan 2 x – tanx + 1 = 0 (VN) 17. Khai triển và nhóm lại: (sin4x + sin2x) – 3 (cos4x + cos2x) = 4sin2xcosx Ù 2sin3xcosx – 2 3 cos3x.cosx = 4sin2xcosx (CT biến tổng thành tích) Ù 2cosx(sin3x – 3 cos3x – 2sin2x) = 0 . sin 22 + − += + − −=− + − += +− −= ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab Phương pháp: Sử d ng cơng thức lượng giác để thực hiện các phép biến đổ nhằm đ a phương trình về một trong các d ng sau: www.saosangsong.com.vn. sin 2cos 1 1 2sin 2tan tan 2 1tan aaa aaa a a a a 2 a = =−= −=− = − cos( ) cos . sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos tan tan tan( ) 1 tan . tan ab acosb a b ab a b b a ab ab ab ±= ±= ± ± ±= ∓ ∓ . www.saosangsong.com.vn 1 Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Ngh a PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ Phương trình lượng giác trong đề thi ĐH 2003- 2010 các ban A- B- D