CÁC DẠNG bài PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 11 CÓ LỜI GIẢI

CÁC DẠNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 11 CÓ LỜI GIẢI Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bảnTrắc nghiệm giải phương trình lượng giác cơ bản Dạng 2: Phương trình bậc hai với một h

Trang 1

CÁC DẠNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 11 CÓ LỜI GIẢI Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Trắc nghiệm giải phương trình lượng giác cơ bản

Dạng 2: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

Trắc nghiệm hương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Trắc nghiệm phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Dạng 4: Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác

Trắc nghiệm phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác

Dạng 5: Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Trắc nghiệm phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Dạng 6: Cách giải các phương trình lượng giác đặc biệt

Trắc nghiệm giải các phương trình lượng giác đặc biệt

Dạng 7: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa mãn điều kiện

Trắc nghiệm tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa mãn điều kiện

Dạng 8: Phương pháp loại nghiệm, hợp nghiệm trong phương trình lượng giác

Trắc nghiệm phương pháp loại nghiệm, hợp nghiệm trong phương trình lượng giác

Giải phương trình lượng giác cơ bản

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn)

Trang 2

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích

Phương trình lượng giác không mẫu mực

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Chủ đề: Phương trình lượng giác

Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản

A Phương pháp giải & Ví dụ

Trang 3

- Phương trình sinx = a (1)

♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm

♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a

Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là

♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm

♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a

Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là

x = α + k2π, k ∈ Z

và x = -α + k2π, k ∈ Z

Trang 4

Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết α = arccos a.Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là

Trang 5

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx = sin(π/6) c) tanx – 1 = 0

b) 2cosx = 1 d) cotx = tan2x.

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

Trang 6

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos2x-sin2x=0 ⇔cos2x-2 sin x cos x=0 ⇔ cos x (cos x - 2 sin x )=0

b) 2 sin (2x-40º )=√3

⇔ sin (2x-40º )=√3/2

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin (2x+1)=cos (3x+2)

Trang 8

Bài 2: Giải các phương trình sau

Trang 10

Trắc nghiệm giải phương trình lượng giác cơ bản

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Vậy chọn D

Bài 2: Giải phương trình: cos2x.tanx = 0

Trang 11

cos x - m = 0 có nghiệm ⇔ cos x = m có nghiệm ⇔ |m| ≤ 1 Chọn C

Bài 5: Số nghiệm của phương trình sin(2x – 40º) = 1 với -180º < x < 180º là:

Trang 12

đề nào sau đây đúng:

Hiển thị đáp án Đáp án: C

Trang 13

Đáp án: D

Kết hợp với điều kiện ta chọn D

Bài 10: Số nghiệm của phương trình tanx = tan(3π/11) trên khoảng [π/4,2 π] là:

Trang 15

Bài 15: Phương trình sin2 x=0.5 tương đương với phương trình nào sau đây.

A.cosx = 1 B cos2x = 1 C sin2x = 0 D sin(0.5x) = 1

Đáp án: B

Dạng 2: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

Định nghĩa:

Trang 16

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Là phương trình có dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0

với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x)

Cách giải:

Đặt t = f(x) ta có phương trình : at2 + bt +c = 0

Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x

Khi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1

Ví dụ minh họa

Bài 1: sin2x +2sinx - 3 = 0

Bài 2: cos2x – sinx + 2 = 0

B Bài tập vận dụng

Bài 1: 1/(sin2 x)+tanx-1=0

Lời giải:

Trang 17

Bài 2: cosx – sin2x = 0

⇔ 1 + 2 sin x cos x + 2(cos x+sin x ) = 0

⇔ cos2 x + sin2 x + 2 sin xcos x + 2 (cos x+sin x )=0

Trang 18

⇔ (sin x + cos x)2 + 2 (cos x+sin x )=0

Bài 5: cos23xcos2x – cos2x = 0

Lời giải:

Trắc nghiệm hương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

Bài 1: Giá trị x ∈ (0,π) thoả mãn điều kiện cos2x + sinx – 1 = 0 là:

A.x = π/2 B.x = π/4 C.x = -π/2 D.x = 2π/3

Trang 20

2cos25x + 3 cos 5x - 5 = 0

Bài 5: Tập nghiệm của phương trình sin4x – 13sin2x + 36 = 0 là:

Trang 21

Hiển thị đáp án Đáp án: D

sin4 x - 13 sin2x + 36 = 0

Bài 6: Tập nghiệm của phương trình sin2x – 3sinx + 2 = 0 là:

Hiển thị đáp án Đáp án: A

Trang 24

Bài 12: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos2x + 3sinx +4 = 0 trênđường tròn lượng giác là?

A 1 B 2 C 3 D 4

Đáp án: A

cos2x + 3sinx +4 = 0 ⇔ -2sin2x + 3sinx + 5 = 0

Vậy x = -π/2 + k2π Vậy chỉ có một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.Chọn A

Bài 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanx + mcotx =

Trang 25

Đáp án: B

cos 2x-(2m+1) cos x+m+1=0⇔2 cos2x (2m+1) cos x+m=0

Để pt có nghiệm trên (π/2, 3π/2)thì thì cosx < 0 do đó -1 ≤ m < 0 Chọn B

Bài 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos2x – (2m +1)cosx + m + 1 = 0 không có nghiệm trên khoảng (π/2,3π/2)

Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0

Khi đó phương trình (1) được đưa về dạng

Trang 27

Bài 2: Giải phương trình sau: sin3x - √3 cos3x = 2sin2x.

Trang 28

⇔x = π/2 + α + kπ (k ∈ Z)

Bài 2: sin7x – cos2x = √3(sin2x-cos7x)

Lời giải:

⇔ sin 7x + √3cos 7x = cos 2x + √3sin 2x

Bài 3: Hàm số sau có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Lời giải:

⇔ (y-2) sin 2x-(y-1)cos 2x=-3y

⇔ (3y)2 ≤ (y-2)2 + (y+1)2

Trang 30

Trắc nghiệm phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Bài 1: Tổng các nghiệm của phương trình cos2x - √3sin2x = 1 trong khoảng (0;π)là:

Trang 31

Bài 3: Tập nghiệm của phương trình 3sin3x -√3cos9x = 1 + 4sin3 3x là:

Trang 32

Dựa vào bài 5 tự luận Chọn C

Bài 4: Tập nghiệm của phương trình √3 sinx+cosx=1/cosx thuộc (0;2π) là:

ĐK: cosx ≠ 0

Bài 5: Phương trình (m + 2)sinx – 2mcosx = 2(m + 1) có nghiệm khi:

Trang 33

Bài 6: Tập nghiệm của phương trình sin2x - √3sinxcosx + cos2x = 0 là:

sin2 x - √3sin xcos x + cos 2x = 0

img cosx-12.PNG" style="display: inline; margin: 0 10px;" alt="Chuyên đề Toán lớp

src=" /toan-lop-11/images/trac-nghiem-phuong-trinh-bac-nhat-theo-sinx-va-11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán src=" /toan-lop-11/images/trac-nghiem-phuong-trinh-bac-nhat-theo-sinx-va-11 có đáp án" />

Bài 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3sinx + 4cosx +5 là:

A 0 B.-2 C.5 D.-1

Trang 34

Đáp án: A

y = 3 sin x + 4cos x + 5 = 5 sin (x + α) + 5

sin (x + α) ≥ -1 ⇒ y ≥ 0 Vậy min y = 0 Chọn A

Bài 8: Tập nghiệm của phương trình 2sin2x – sin2x = 0 là:

2 sin2 x - sin 2x = 0

Bài 9: Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos2x – sin2x = 1 Khẳng định nàosau đây là đúng?

cos 2x - sin 2x = 1

Trang 35

Bài 10: Số nghiệm của phương trình sin2x + √3cos2x = √3 trên khoảng (0, π/2)là?

Trang 36

Bài 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cosx + sinx =

Trang 37

⇔ m ≤ 5/4 Vậy trong [-2018,2018] có 2020 giá trị thỏa mãn Chọn D

Bài 14: Biến đổi phương trình cos3x – sinx = √3(cosx -sin3x) về dạng sin(ax + b)

= sin(cx + d) với b, d thuộc khoảng [-π/2,π/2 Tính b + d

A b + d = π/12 B b + d = π/4 C b + d = -π/3 D b + d = π/2

Đáp án: D

cos 3x - sin x √3 (cos x - sin 3x )

⇔ cos 3x + √3 sin 3x = √3 cos x + sin x

⇔ sin (3x+π/6) = sin (x+π/3) Vậy b = π/6; d = π/3 Vậy chọn D

phương trình ( m + 1)sinx – mcosx = 1 – m có nghiệm

A 21 B.20 C.18 D 11

Đáp án: C

Dạng 4: Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác

Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng

f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Cách giải:

Trang 38

Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?

Xét cosx ≠ 0 Chia hai vế phương trình cho coskx (k là số mũ cao nhất) ta đượcphương trình ẩn là tanx

Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình

đã cho

Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx

Ví dụ minh họa

Bài 1: 3sin2x + 8sinx.cosx + (8√3-9) cos2x = 0 (1)

Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 Ta có (1) ⇔ 3=0 (vô lý)

Xét cos x≠0 Chia cả hai vế của pt cho cos2x Ta được :

Bài 2: sin3x + 2sinx.cos2x + 3cos3x = 0 (2)

Xét cos x = 0 Ta có (2) ⇔ sin x = 0 (vô lí do sin2x + cos2x = 1)

Xét cos x ≠ 0 Chia cả hai vế của pt cho cos3x Ta được :

(2) ⇔ tan3 x + 2 tan x + 3 = 0

⇔ x = -π/4 + kπ (k ∈ Z)

B Bài tập vận dụng

Trang 39

Bài 1: Giải phương trình sin2 x-(√3+1)sinxcosx+√3 cos2 x=0

Lời giải:

sin2 x - (√3+1) sin x cos x + √3 cos2 x = 0 (1)

Xét cos x = 0 (1) sin2 x = 0 → vô lý

Xét cos x≠0 Chia cả hai vế của pt cho cos2 x Ta được :

(1) ⇔ tan2 x - (√3+1) tan x + √3 = 0

Bài 2: Giải phương trình: 2 cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0

Lời giải:

Xét cos x = 0 Ta có sin2 x = 0 → vô lý

Xét cos x ≠ 0 Chia cả hai vế của pt cho cos2 x Ta được :

2 - 3 tan x + tan2 x = 0

Bài 3: Giải phương trình: 3cos4x – 4cos2x sin2x + sin4x = 0

Lời giải:

Xét cos x = 0: Ta có : sin4x = 0 (vô lý)

Xét cos x ≠ 0 Chia cả hai vế của pt cho cos4x Ta được :

3 - 4 tan2 x + tan4x = 0

Trang 40

Bài 4: Tìm m để phương trình (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 0 có nghiệm.

Vậy với m ≤ -1/2 thì pt đã cho có nghiệm

Bài 5: Tìm điều kiện để phương trình a.sin2x + a.sinxcosx + b.cos2x = 0 với a ≠ 0

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔a2 - 4ab ≥ 0 ⇔ a-4b ≥ 0 ⇔ a ≥ 4b

Trắc nghiệm phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác

Bài 1: Tập nghiệm của phương trình: 3sin2x - 2√3sinxcosx - 3cos2x = 0 là:

Trang 41

3sin2x - 2√3 sin x cos x - 3 cos2x = 0 (1)

Xét cos x = 0 (1) ⇔ sin x = 0 (vô lý do: sin2x + cos2x = 1)

Xét cos x ≠ 0 Chia cả hai vế của (1) cho cos2x Ta được :

3sin2x + m sin 2x - 4 cos2x = 0

Xét cos x = 0 PT vô nghiệm

Xét cos x ≠ 0 Chia cả 2 vế của PT cho cos2x:

Trang 42

3 tan2x + 2m tan x - 4 = 0

Δ' = m2 + 12 > 0 ∀ m

⇒ PT luôn có nghiệm với ∀ m Chọn D

Bài 3: Nghiệm của phương trình sin2x – sinxcosx = 1 là:

sin2x-sin x cos x = 1 (1)

Xét cos x = 0 Ta có (1) ⇔ sin2x = 1 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z)

Xét cos x ≠ 0 Chia cả 2 vế của PT cho cos2x ta có:

tan2x - tan x = 1/cos2x

⇔ tan2x - tan x = tan2x + 1

⇔ tan x = -1

⇔ x = -π/4 + kπ (k ∈ Z) Chọn A

Bài 4: Nghiệm của phương trình cos2x - √3sin2x = 1 + sin2x là:

Trang 43

cos2x - √3 sin 2x = 1 + sin2x (1)

Bài 5: Số nghiệm của phương trình sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x = 3 thuộc khoảng(0; 2π) là:

A 1 B.2 C.3 D.4

Đáp án: C

sin2x + 2 sin x cos x + 3 cos2x = 3

Trang 44

tan2x + 2 tan x + 3 = 3 tan2x + 3

tan2x - tan x = 0

Bài 6: Nghiệm của phương trình -2sin3x + 3cos3x – 3sinxcos2x – sin2xcosx = 0 là:

-2 sin3x + 3 cos3x-3 sin x cos2 x - sin2x cos x = 0

⇔ -2sin3x + 3 cos3x-3 sin x (2cos2x-1 ) - sin2x cos x = 0 (1)

Xét cos x = 0 Ta có (1) ⇔-2sin3x + 3 sin x = 0

Xét cos x ≠ 0 chia hết cả 2 vế của (1) cho cos3x Ta có

-2tan3x + 3-6 tan x + 3 tan x (tan2x + 1)-tan2x = 0

⇔ tan3x-tan2x-3 tan x + 3 = 0

Trang 45

Chọn A

Bài 7: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2sin2 x + 3√3 sinxcosx - cos2 x=2.Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hiển thị đáp án Đáp án: B

Xét cos x ≠ 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x Ta được :

2 sin2x + 3√3 sin x cos x-cos2x = 2

Trang 46

sin2x-(√3 + 1) sin x cos x + √3 cos2x = √3

Bài 9: Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phươngtrình? sin2 x + √3 sinxcosx=1

sin2x + √3 sin x cos x = 1

Trang 47

Bài 10: Cho phương trình cos2 x-3sinxcosx + 1=0 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A x = kπ không là nghiệm của phương trình.

B Nếu chia hai vế của phương trình cho cos2 x thì ta được phương trình tan2 x 3tanx + 2 = 0

-C Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin2 x thì ta được phương trình 2cot2 x +3cotx + 1 = 0

D Phương trình đã cho tương đương với cos2x - 3sin2x + 3 = 0.

Đáp án: C

⇒ PT ⇔1-0 + 1 = 0 (vô lý)

Vậy câu A đúng

Xét câu B : Chia cho cos2x.Ta có

PT ⇔ 1-3 tan x + 1/cos2x = 0 ⇔ tan2x-3 tan x + 2 = 0 B đúng

Xét câu C Chia cho sin2x ta có

PT ⇔ cot2x-3cot x + 1/sin2x = 0 ⇔ 2cot2x-3 cot x + 1 = 0 Sai

Chọn C

Trang 48

Bài 11: Số vị trí biểu diễn các nghiệm phương trình sin2 x - 4sinxcosx + 4cos2 x =

5 trên đường tròn lượng giác là?

A 4 B.3 C.2 D 1.

Đáp án: C

Xét cos x = 0 Pt ⇔ 1 = 5 vô lí

Xét cos x ≠ 0 Chia cho cos2x Ta được :

tan2x-4 tan x + 4 = 5 tan2x + 5

⇔ 4tan2x + 4 tan x + 1 = 0

⇔ tan x = -1/2

⇔ x = arc tan (-1/2) + kπ Vậy có 2 điểm biểu diễn Chọn C

Bài 12: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 4sin2 x + 3√3 sin2x - 2cos2 x =

4tan2x + 6√3 tan x-2 = 4 tan2x + 4

⇔ tan x = √3/3

⇔ x = π/6 + kπ Vậy nghiệm dương nhỏ nhất : π/6 Chọn B

Trang 49

Bài 13: Cho phương trình (√2-1) sin2 x + sin2x + (√2 + 1) cos2 x - √2 = 0 Trongcác mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A x=7π/8 là một nghiệm của phương trình.

B Nếu chia hai vế của phương trình cho cos2 x thì ta được phương trình tan2 x tanx -1=0

-C Nếu chia hai vế của phương trình cho sin2x thì ta được phương trình cot2x +2cotx – 1 = 0

D Phương trình đã cho tương đương với cos2x – sin2x = 1.

Đáp án: C

Xét từng câu như bài 10 Ta có câu C sai, chọn C

phương trình 11sin2 x + (m-2)sin2x + 3cos2 x = 2 có nghiệm?

A 16 B 21 C 15 D 6

Đáp án: C

Xét cos x = 0 Khi đó PT ⇔ 11.1 = 2 (vô lý)

11 tan2x + 2(m-2) tan x + 3 = 2 tan2x + 2

⇔ 9tan2x + 2(m-2) tan x + 1 = 0

Để pt có nghiệm ⇔ ∆' = (m-2)2 - 9 = m2-4m-5 ≥ 0

m ∈ [-10,10],m nguyên ⇒ có 15 giá trị Chọn C

Trang 50

Bài 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin2 x + msin2x =2m vô nghiệm.

⇒ Pt vô nghiệm khi m < 0, m > 4/3 Chọn B

Dạng 5: Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Định nghĩa: phương trình đối xứng là phương trình có dạng:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)

Phương pháp giải:

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:

Trang 51

a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

Thay vào (4) ta có được phương trình bậc hai theo t

Định dạng
Số trang	424
Dung lượng	6,29 MB