Tuyển chọn các bài tập phương trình lượng giác hay có lời giải

Loại nghiệm hoặc kết hợp tập nghiệm Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cotan, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.. Kha

• sin(a b) sin a.cos b cos a.sin b.± = ± • cos(a b) cosa.cos b sin a.sin b.± = ∓

• tan(a b) tan a tan b

cos 3x=4 cos x 3 cos x.−

4 Công thức biến đổi tổng thành tích

• cosa cos b 2 cosa bcosa b

5 Công thức biến đổi tích thành tổng

• cosa.cos b 1 cos(a b) cos(a b)

• "cos đối – sin bù – phụ chéo"

cos đối: cos(−α =) cos , sin(α −α = −) sin , tan(α −α = −) tan , cot(α −α = −) cot α

sin bù: sin(π − α =) sin , cos(α π − α = −) cos , tan(α π − α = −) tan , cot(α π − α = −) cot α

Phụ chéo: sin cos , cos sin , tan cot , cot tan

• "Bỏ chẵn lần pi của sin và cos thì không thay đổi": sin(x k2 ) sin x, cos(x k2 ) cos x.+ π = + π =

• "Bỏ lẻ lần pi của sin và cos thì cộng thành trừ": sin[x ( k2 )] sin x

cos(x k2 ) cos x

 + π + π = −

⋅

+ π + π = −

Đặc biệt đối với tan, cot thì: tan(x k ) tan x, cot(x k ) cot x.+ π = + π =

7 Một số công thức khác thường được sử dụng

• sin x cos x 2 sin x 2 cos x

Đường tròn lượng giác

y'

x x'

u u'

1

1 -1

-1

-πππ/2

π

5π/6 3π/4 2π/3

-π/6 -π/4 -π/3

A

π/3 π/4 π/6

3

2

22

BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

2cos x 1 x k2

II Loại nghiệm hoặc kết hợp tập nghiệm

Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cotan, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định

Phương trình chứa tan x, điều kiện: cos x 0 x k , (k )

2

π

≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤPhương trình chứa cot x, điều kiện: sin x≠0⇔x≠ πk , (k∈ℤ)

Phương trình chứa tan x và cot x, điều kiện: sin 2x 0 x k , (k )

2

π

Khi giải xong, cần so với điều kiện, ta có các phương pháp sau:

1 Khai thác triệt để điều kiện, kết hợp loại nghiệm trong quá trình giải

Nghĩa là áp dụng công thức lượng giác cơ bản, nhân đôi,… để liệt kê các trường hợp điều kiện và luôn so sánh trong quá trình giải, chẳng hạn ta có:

Điều kiện: sin a 0 nhâ n do: s in 2x cos 2x 2 2 1

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 1 Giải: 1 3cos x cos 2x 1

(cot x cot 2x)sin(x )

2 Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác để loại hoặc kết hợp tập nghiệm

Để biết tập nghiệm có mấy ngọn cung nghiệm (điểm) khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, cần

 điểm trên đường tròn lượng giác

Để biết 2 điểm này là bao nhiêu, xuất phát từ k 0= ⇒x= π, tôi thường viết M ( )0 π và k= ⇒1 x= π2

hay viết M (2 ).1 π Đã đủ hai điểm cách đều và sẽ ngưng Để vận dụng loại nghiệm trên đường tròn lượng giác, cần: biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường tròn lượng giác Sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện và từ đó ghi

lại tập nghiệm mới

VD 8 Giải: sin x sin 2x sin 3x 3

cos x cos 2x cos 3x

3 Thử trực tiếp tập nghiệm vào điều kiện hoặc xét mệnh đề đối lập

Với loại này ta không giải điều kiện, khi giải xong thay thế tập nghiệm vào điều kiện Nếu đúng thì nhận, nếu sai thì loại tập nghiệm và kiến thức chủ yếu trong phương pháp này là cung góc liên kết

VD 9 Giải: sin 2x 2 cos x sin x 1 0

2

0sin x

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 7 Giải: sin x cos x4 4 1(tan x cot 2x)

BT 9 (1 cos x)2 (1 cos x)2 2 1 sin x 2

tan x sin x tan x

III Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác

1 Sử dụng thành thạo cung liên kết

Xem lại các công thức cung liên kết

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 12 Giải: 2 2 cos 5 x sin x 1

VD 20 Giải: tan x tan 2x tan 3x tan 6x.+ + = ĐS: x k , x k , (k ).

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 17 Giải: sin 5x sin 3x 2cos x 1 sin 4x.+ + = + ĐS: x k , x k2 , (k )

– Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số 1

2 và cung góc tăng gấp đôi

– Hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng công thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài toán đơn giản hơn

4 Xác định lượng nhân tử chung để đưa về phương trình tích số

Đa số đề thi thường là những phương trình đưa về tích số Do đó, trước khi giải ta phải quan sát xem chúng có những lượng nhân tử chung nào, sau đó định hướng để tách, ghép, nhóm phù hợp Hiển nhiên là phải thành thạo công thức lượng giác Một số lượng nhân tử thường gặp:

– Các biểu thức có nhân tử chung với cos x sin x+ thường gặp là:

1 sin 2x; cos 2x; 1 tan x; 1 cot x; sin 3x cos 3x; cos x sin x; cos x sin x;+ + + − + − …

– Các biểu thức có nhân tử chung với cos x sin x− thường gặp là:

sin x; tan x có nhân tử chung là: 2

(1 cos x)(1 cos x) 1 cos x.− + = −

cos x; cot x có nhân tử chung là: 2

(1 sin x)(1 sin x) 1 sin x.− + = −

f(X) aX= +bX c a(X X )(X X )+ = − − với X có thể là sin x,cos x, … và X , X1 2 là 2 nghiệm của f(X) 0.=

VD 30 Giải: sin x 4cosx 2 sin 2 x+ = + (A, A 1 – 2014) ĐS: x k2 , (k )

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 31 Giải: sin x(1 cos 2x) sin 2x+ + = +1 cos x ĐS: x k2 , x k , (k )

(cos x 1)(cos 2x 2 cos x) 2 sin x+ + + =0 ĐS: x= π +k2 , (kπ ∈ ℤ).

BT 37 Giải: (2 cos x 1)(2 sin x cos x) sin 2x sin x.− + = − ĐS: x k2 , x k , (k )

= π = + π ∈ ℤ

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Có khoảng 80% đề thi với câu giải phương trình lượng giác phải đưa về tích số Do đó, ta cần nắm vững các phép biến đổi lượng giác, công thức lượng giác, các kỹ thuật tách, ghép, đặt thừa số chung,… để đưa về phương trình tích dạng: A.B 0= ⇔A=0 hoặc B 0= với A, B có thể là:

♦ Phương trình lượng giác cơ bản (đã tìm hiểu ở bài 1)

♦ Phương trình lượng giác bậc hai hoặc bậc cao theo một hàm lượng giác

♦ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (phương trình cổ điển): a.sin x b.cos x c.+ =

♦ Phương trình lượng giác đối xứng (nửa đối xứng): a(sin x cos x) b.sin 2x c 0.± + + =

♦ Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc hai, bậc ba, bậc bốn)

I Phương trình bậc hai và bậc cao

Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác với cung góc giống nhau, chẳng hạn:

t=cos x hoặc t=sin x hay t= cos x thì điều kiện lúc này là 0 t 1≤ ≤

VD 1 Giải: 5 cos 2x 4 sin 5 x 9

= π = − + π ∈ ℤ

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 1 Giải: sin 2x 5 3cos x 7 1 2 sin x

BT 25 (2 sin x 1)(cos 2x sin x) 2 sin 3x 6 sin x 1 2 cos x 3 0.

Một số dạng thường gặp khi đưa về phương trình bậc hai hoặc bậc cao

► Phương trình có chứa R( ,tan X, cot X, sin 2X, cos 2X, tan 2X, ) trong đó: X , , , x, 2x, x x

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 31 Giải: (1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x.− + = + ĐS: x k , (k )

hay sử dụng công thức cộng cung theo hàm

tan: tan(a b) tan a tan b

1 tan a.tan b

±

∓

VD 19 Giải:

sin x sin 3x cos x cos 3x 1

8tan x tan x

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 37 Giải: sin 3x sin 2x sin x

II Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (phương trình cổ điển)

– Dạng của phương trình: a sin x b cos x+ =c ( ) , a, b∗ ( ∈ℝ\ 0{ } )⋅

– Phương pháp giải:

+ Kiểm tra điều kiện có nghiệm: 2 2 2

a +b ≥c (nên nháp trước khi giải) + Chia hai vế phương trình cho 2 2

Lưu ý Hai công thức sử dụng nhiều là: sin a cos b cosa sin b sin(a b)

cosa cos b sin a sin b cos(a b)

VD 25 Giải: 3 sin 2x cos 2x+ =2 cos x 1− (A, A 1 – 2012) ĐS: x k , x k2 , x 2 k2

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 42 Giải: cos x sin 3x− 3 cos 2x= 3 cos 3x sin x.+ ĐS: x k , x k , (k )

= + π ∈ ℤ

BT 58 Giải: (2 cos 2x 1)cos x sin x− − = 2(sin x cos x) sin 3x.+ ĐS: x k , x k2 , x 3 k2

BT 59 Giải: 4 sin 2x 3cos 2x 3(4 sin x 1).− = − ĐS: x k , (k= π ∈ ℤ)

BT 60 Giải: tan x sin 2x cos 2x 2 4 cos x

BT 62 Giải: sin 5x 2 sin 3x 2 cos 3x 5

sin x + sin x + cos x = ĐS: x k , (k )

► Dạng: a sin(mx) b cos(mx) c sin(nx) d cos(nx) ,+ = + 2 2 2 2

a +b =c +d → Chia hai vế cho 2 2

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 78 Giải: sin x sin 2x 3

► Dạng: m.sin 2x n.cos 2x p.sin x q.cos x r 0+ + + + = ( )∗

( )∗ ⇔cos x(2m.sin x q) ( 2n.sin x p.sin x r n) 0.+ + − + + + =

 Ta sẽ phân tích (i), (ii) thành nhân tử dựa vào tam thức bậc hai: 2

Bài tập rèn luyện tương tự

BT 86 Giải: sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0.− + − − = ĐS: x k2 , x 5 k2 , (k )

III Phương trình lượng giác đối xứng



 Dạng 1 a(sin x cos x) bsin x cos x c 0± + + = (dạng tổng/hiệu – tích)

PP

t sin x cos x, t 2

→ = + ≤ và bình phương để suy ra: sin x cos x

Lưu ý, khi đặt t= sin x cos x± thì điều kiện là: 0≤ ≤t 2

→ = ± ≥ và bình phương để suy ra: 2 2

tan x cot x+ và lúc này thường sử dụng: tan x.cot x 1; tan x cot x 2

a(sin x cos x) b sin 2x c+ + + =0 PP 4 4 1 2

t sin 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x

2

► Dạng: 4 4

a(sin x cos x) b cos 2x c+ + + =0 PP 4 4 1 2

t cos 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x

2

a sin x b cos x c.cos 2x d+ + + =0 PP 2 1 t 2 1 t

t cos 2x, t 1 sin x ; cos x

► Dạng: 6 6

a(sin x cos x) b sin 2x c+ + + =0 PP 6 6 3 2

t sin 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x

4

► Dạng: 6 6

a(sin x cos x) b cos 2x c+ + + =0 PP 6 6 3 2

t cos 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x

4

► Dạng:

2 2

= − + π ∈ ℤ

BT 112 2 sin x cos x sin x cos x 6

sin 2x 2 sin x cos x

BT 118 1(sin x cos x) 1 1 tan x cot x 1 1 0.

3 sin x sin 2x 2 cos x

a.sin X b.sin X cos X c.cos X+ + =d (1) a, b, c, d∀ ∈ ℝ →PP chia cho: 2 2

cos X≠0 (hay sin X).– Bước 1 Kiểm tra xem X k , (k ) cos X2 0

ℤ có phải là nghiệm hay không ?

– Bước 2 KhiX k , (k ) cos X2 0

– Bước 3 Đặt t=tan X để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải

Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cos (tanx, cot xem là bậc 0)

Lưu ý Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn:

a sin X b sin X cos X c sin X cos X d cos X 0

a sin X b sin X cos X c sin X cos X d sin X cos X e cos X 0

→ Kiểm tra và chia hai vế cho 3 4

cos X≠0 (hay cos X)