Bài giải chi tiết đại số tuyến tính nâng cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHOA TỐN - - Bài tiểu luận ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NÂNG CAO Giảng viên hướng dẫn : TS Phan Hoàng Chơn Học viên thực : 1/ Nguyễn Thị Mỹ Dung 2/ Trần Thị Minh 3/ Huỳnh Thị Sâm Lớp : Tốn giải tích Khóa : 19.1 TP Hồ Chí Minh, tháng 10 – 2019 Bài tập đại số tuyến tính nâng cao MỤC LỤC Chương I: Chéo hóa tự đồng cấu Bài 1.1e Bài 1.2c Bài 1.2d Bài 1.3b Bài 1.4b Bài 1.7 Bài 1.8c Bài 1.12 Chương II: Dạng chuẩn Jordan Bài 2.1c 10 Bài 2.1f 11 Bài 2.4 12 Chương III: Một số ứng dụng 13 Bài 3.1c 13 Bài 3.2d 14 Bài 3.3a 14 Bài 3.4b 15 Bài tập đại số tuyến tính nâng cao HỌ VÀ TÊN HỌC VIÊN Trần Thị Minh Huỳnh Thị Sâm Nguyễn Thị Mỹ Dung LỚP: TỐN GIẢI TÍCH 19.1 CHƯƠNG I: CHÉO HĨA TỰ ĐỒNG CẤU BÀI 1.1: Tìm giá trị riêng, vectơ riêng ma trận sau 1.1 e)  1  E  0  0 2 1  1  4  6 GIẢI Đa thức đặc trưng E là: 1  x 1  x 1  x 2  x 1 PE ( x)   5  x  (6  x)  x 1 0 3 x 0 0 3 x 0 6 x 1  x 1  x  20  (6  x)(3  x)  20  1  x   x   (6  x)(3  x)(1  x)(5  x) 5 x 5 x   1  x   x   x  x    x  1 x    PE ( x)    x   89    89 x   Vậy E có giá trị riêng   1;   5;    89  89 ;  2 *** Với   1 : 0 2 1 0 2      1   0 7   EI    0 4   0 11     0 7 0 0  Do đó, hệ phương trình  E  I  X  có nghiệm X  (t , 0, 0, 0) Vậy vec-tơ riêng E tương ứng với   1 là: 1, 0, 0,  *** Với   : Bài tập đại số tuyến tính nâng cao  6  E  5I      2 1 2 1 0   7 0  4 0   1 0 2 1  7  0 11  0 0 Do đó, hệ phương trình  E  5I  X  có nghiệm X  (t , 3t , 0, 0) Vậy vec-tơ riêng E tương ứng với   là: 1,3, 0,0   89 :  11  89  2   11  89         89 1     89   E I    3  89 0          89   0        89  Do đó, hệ phương trình  E  I  X  có nghiệm    2(18  29 89) 2  89 3  89  X   t, t, t , t  55 10 55(11  89)   *** Với   Vậy vec-tơ riêng E tương ứng với   2  89 1 3  89 2  89 1  1   7   4    89 là:  2(18  29 89) 2  89 3  89  X   , , ,1 55 10  55(11  89)   89 :  11  89      89  E I       *** Với   2  89 1 3  89    11  89                89      0 3  89  1   7   4   Bài tập đại số tuyến tính nâng cao   89  Do đó, hệ phương trình  E  I  X  có nghiệm     2(18  29 89) 2  89 3  89  X   t, t, t , t  55 10  55(11  89)   89 Vậy vec-tơ riêng E tương ứng với   là:  2(18  29 89) 2  89 3  89  X   , , ,1 55 10 55(11  89)   Bài 1.2 Tìm ma trận chéo hóa A dạng chéo A trường hợp: 1.2 c) A     -1   -2    1 1  Giải: 1  3 x    x 2  =   x   x   Đa thức đặc trưng A: PA  x   det  A  xI     1  x   Vì đa thức đặc trưng có hai nghiệm x  và    1 1   1    Với   : A  I   2    2  1 3   0    x  nên ma trận A có hai giá trị riêng khác   3   4  Do đó, hệ phương trình  A  4  x  có nghiệm 1; 2;1 t với t  Như  p1  1; 2;1 sở không gian riêng E1 1  Với   : A  I   1  Do đó, hệ phương 1   1 1    2    0  1   0  trình  A  2  x  có nghiệm  p   1;1;0 , p  1;0;1  t  s; t; s  với t  s  Như sở khơng gian riêng E2 Vì A có đủ ba vecto riêng độc lập tuyến tính nên A chéo hóa  1  4 0     Ma trận chéo A P    dạng chéo A là: C    1 1 0 2      1   1.2 d) A   1  1 2 1   Bài tập đại số tuyến tính nâng cao 3 x Đa thức đặc trưng A: PA ( x)  1 Giải 4 x  ( x  2)2 (4  x) 2  x x  PA ( x)   ( x  2) (4  x)    x  Vậy ma trận A có hai giá trị riêng      1       Với    A  I    1   0   1 2 1  0      Do đó, hệ phương trình  A  I  X  có nghiệm ( 2t  s, t , s ) Suy ra,  p1  (2,1, 0), p2  (1, 0,1) sở không gian riêng E2  1   2 1   2   2 1         Với    A  I    1    1    2    1   1 2 3   1 2 3   4 4   0          Do đó, hệ phương trình  A  I  X  có nghiệm  t ,  t , t  Suy ra,  p3  (1,  1,1) sở khơng gian riêng E4 Vì A có đủ ba vectơ riêng độc lập tuyến tính nên A chéo hóa  2 1 1 2    Ma trận chéo hóa A: P   1 dạng chéo hóa A: C   0 1 0    Bài 1.3 Cho f : V  V tự đồng cấu R-không gian vectơ V u1 , u2 , u3 0  0  có ma trận sở A Tìm sở V cho ma trận f sở có dạng chéo tìm dạng chéo trường hợp 2  2   1.3 b) A   4      2  x    1 x Đa thức đặc trưng A : PA ( x)  det( A  xI )       x   x     x   Vậy phương trình đặc trưng A có nghiệm x  x  3 nên ma trận A có giá trị riêng khác :   3 ,   1 2 1 2     Với   3  A  3I    4    0  1 2 0 0     Hệ  A  3I  X  có nghiệm  2 s  2t , s, t  nên  p1   2,1,  , p2   2, 0,1 sở không gian riêng E0 Bài tập đại số tuyến tính nâng cao  6 2   5   2   1          Với    A  I    3    1 1    2    2   5   2   0   0          Hệ  A  I  X  có nghiệm  t , 2t , t  nên  p3  1, 2,1 sở khơng gian riêng E1 Vì A có đủ vectơ riêng độc lập tuyến tính nên A chéo hóa f chéo hóa Khi C  2u1  u2 ,  2u1  u3 , u1  2u2  u3  sở chéo hóa f ma trận sở C là:  3 0    C   3   0 4   BÀI 1.4: Tìm giá trị riêng vectơ riêng tự đồng cấu f : 3  3 trường hợp sau: 1.4 b) f  x, y, z    y, 4 x  y, 2 x  y  z  Giải: Gọi e1  1, 0,  , e2   0,1,  , e3   0, 0,1 sở tắc 3  f  e1    0, 4, 2  , f  e2   1, 4,1 , f  e3    0, 0,  x  0   B   4   PB  x   4  x   x  x  12 x     x   2  2 2 x   PB  x   có nghiệm x  nên có giá trị riêng   Với   :  2   2      B  I   4    0   2   0      1  B  2I  có nghiêm x   x2 , x2 , x3  2  1  Vậy vectơ riêng ứng với giá trị riêng   1   ,1,  ,    0, 0,1 2  BÀI 1.7: Cho ma trận A    Tìm điều kiện cần đủ để A chéo hóa  a1 0   0 a 0    0 0        0 an 1     0 0  Bài làm Bài tập đại số tuyến tính nâng cao   x a1    x a2  0 x Đa thức đặc trưng PA ( x)     0  0  0   0  0  n   ( x)   x an 1    x  PA ( x )   (  x ) n   x  Suy ma trận A có giá trị riêng    a1 0   x1          0 a2 0   x2     0 0   x3    Với   Giải hệ AX              0 an 1   xn 1           0 0   xn    A chéo hóa  dim E0  n ( E0 không gian riêng A ứng   )  RankA   a1  a2   an 1  Vậy điều kiện cần đủ để ma trận A chéo hóa a1  a2   an1  BÀI 1.8 Tính A10 trường hợp sau:  5 3    1.8 c) A   2 2   2    Giải Đa thức đặc trưng ma trận A : 6 x 5 PA ( x)  det( A  xI )  5 3 1 x 5 3 5 3 2  x 2   x 2  x 2  1  x  2  x 2 2 x 2 x 2 x 3  1  x   x  1  x 1  x   x  2  x  PA ( x )   (1  x) (2  x)   x   x   Ma trận A có hai giá trị riêng: 1  1, 2  Bài tập đại số tuyến tính nâng cao  1    1   5 3   2 1     1  1          0 1 Với 1  ( A  I )   3 2    5 3   0    2 1   0     0      0     Vậy hệ A  I X  có nghiệm (t, t, 0) nên {p1 = (1,1,0)} sở không gian riêng E0  5 3   1 1  2         Với 2  ( A  I )   4 2    1    1   2 2   1   0        Vậy hệ  A  I  X  có nghiệm (2t, t, t) nên {p2 = (2,1,1)} sở không gian riêng E1 Ta có PA  x    x  x  5x  10 Chia đa thức x cho đa thức PA  x  , ta được: x10  g  x  PA  x   1013 x  2016 x  1004 Vì PA  x   nên A10  1013 A2  2016 A  1004  4013  4102  2056  15  14       Tính tốn ta A   2056  2055  1033  với A       2046  2046  1022  6         a0 a1 a2 an     an a0 a1 an 1  Bài 1.12: Cho ma trận phức vuông cấp n+1: A=  an1 an a0 an       a   a2 a3 a0  a) Chứng minh tồn ma trận vuông J cấp n+1 cho: (*) A  ao I  a1J  a J   a n J n b) Chứng minh A chéo hóa C Giải: a) Ta có:  0     0           0   0  A  ao  0   a1     an            0     0   0   0        10 Bài tập đại số tuyến tính nâng cao 0  0 Đặt J    0 1       0  0  0  0 Khi đó: J  J J    0 1  (ma trận vuông cấp (n + 1))          0             0     0    0     0  J n  J n 1.J         0    Suy điều phải chứng minh b) Ma trận đơn vị I cấp (n + 1) ma trận chéo nên I chéo hóa Xét đa thức đặc trưng J: PJ  x   det  J  xI  x 0 x 0 x  0 0   x n 1   1 11   x  1  x n2   1 n 1 x x 0 0 x n1   1 n 1 0        x 1  n 1 x   1  x 0   1 n 1 x n 1 (1) 0  1 PJ  x  có (n + 1) nghiệm phức phân biệt nên J có (n + 1) giá trị riêng khác nhau, suy J chéo hóa  (2) Khi tồn ma trận chéo D ma trận khả nghịch P cho J  PDP 1 Mà J k  PD k P 1   k  n  , với D k ma trận chéo P ma trận khả nghịch, suy J k   k  n  chéo hóa (3) Từ (1), (2), (3) (*), ta suy A  ao I  a1J  a J   a n J n chéo hóa  với ma trận chéo hóa A P Bài tập đại số tuyến tính nâng cao 10 CHƯƠNG II DẠNG CHUẨN JORDAN Bài 2.1: Tìm dạng chuẩn Jordan J ma trận A sau tìm ma trận khả nghịch P cho A  PJP 1 biết  3    2.1 c) A   7   7    Giải 1 x 3 -Đa thức đặc trưng A PA  x   7  x   x  1   x  7 7x Ta có PA  x    x  (bội 2) x  (bội 1) Nên A có hai giá trị riêng   1,   Do tồn dạng chuẩn Jordan A +Với λ=3 dimR =1 R = ker  A-3I  Suy có khối cấp J1  3   3  2 3   2 3    A  3I   10    16  7   16    R3  t 1; 2;  : t   nên R có sở   2 3     16    1  16   0  3  u1  1; 2;  +Với λ=  dimR 1 =2 R 1 =ker  A+I      3   2 3      A  I   6    2  Có Rank  A  I    7   0 0      16 16 17   1     A  I    32 32 32    0  Có Rank  A  I 2   32 32 32  0 0     Có số khối cấp là: Rank  A  I   Rank  A  I   Rank  A  I    1  Do khơng có khối cấp 1, có khối cấp J  1     1 R1  s 1;1;0   t  1;0;1 : s, t   Chọn u2   1;0;1   1 T u3    A  I  u2T    1; 2; 1  V1 Thì R có sở cylic u2  1;1;0  , u3   1; 2; 1 3 0    Vậy dạng chuẩn Jordan A J   1   1   Bài tập đại số tuyến tính nâng cao Ma trận P thỏa A  PAP 1 J 2.1 f) A 1 1  1 1    1 0  0       1 1      2   1     0 0  0 0  0  n Giải Đa thức đặc trưng A là: 1 x 0  2 x 0  3 x  PA ( x)   (1  x)(2  x)(3  x) (n  x) 4 x    nx A có n giá trị riêng:   1,   2,   3, ,   n →Tồn dạng chuẩn Jordan A với n khối cấp 1 0  0   0 0  0 0  0 J   0 0  0      0 0  n 0 0   0 0       1 0   1 0   1 2   0   Với   A  I   ~  3    0               n  1  0 0  n  1 x1       x1     (1) n1 ) Vậy x     u1  (1, 1, , (n  1)!     (1) n 1.x     (n  1)!  11 Bài tập đại số tuyến tính nâng cao Với    1  1 1 A  2I   1   1 0 2 0 0   0     1   0 ~   0       n    0 2 0 0   0     1   0 ~   0       n    0 0 0 0 12               n       x2    2 x2  (2) n  u  (0,1,  2, , ) Vậy x     (n  2)!    (2) n x     (n  2)!  (3)n 3 ) Tương tự   , ta có: un  (0, 0,1, , (n  3)! …… (n  1)1 )   n  1, ta có: un  (0, 0, 0, ,1, 1!   n , ta có: un  (0,0,0, ,0,1)  0   0  0   0      1  BÀI 2.4 : Chứng minh ma trận tuần hoàn ( Ak  I ) đồng dạng với ma trận chéo Tìm ma trận Bài làm * Giả sử ta làm việc trường số phức  Khi tồn dạng chuẩn Jordan A ma trận J ma trận P khả nghịch cho A  PJP 1 , với J     J1   0 J          0  J  m  0   0  1  1/ 2  3 Vậy P   1/   n 1 n2 n 3 (2) (3) (4) n  (1)  (n  1)! (n  2)! (n  3)! (n  4)!  Bài tập đại số tuyến tính nâng cao Trong J i    1 1     0    i I    0  1        0  M     13  ( cấp Ji ta có J i   i  )  0  0       * Ta có : A  PJP 1  Ak  PJ k P 1 , với Ak  I  PJ k P 1  I  P 1 PJ k P 1 P  P 1 IP  J k  I Mà J k   k  nên J1 , J ,…, J m tuần hoàn (*)    J1  Jk              J mk   *Giải sử tồn Ji có cấp lớn Khi đó, đặt Bi  J i  i I J i  Bi  i I t t t r 0 r 1 Với t  * ta có : J it   i I  Bi    Ctr (i I )t  r Bi r i t I   Ctr (i I )t  r Bi r Nhận thấy ma trận khơng tuần hồn => mâu thuẩn với (*) nên cấp J1 , J ,…, J m phải 1, tức J ma trận chéo Do A đồng dạng với ma trận chéo J    1 0      0  Ngoài J k   k  J1       bậc k J 2k      k k k k  mà J  I nên 1  2   m       J mk          M   , suy i 1  i  m    Bài tập đại số tuyến tính nâng cao CHƯƠNG III MỘT SỐ ỨNG DỤNG 10 BÀI 3.1 Tính  trường hợp sau 3.1 c) A     5 3   2 2     2  Giải 6 x Đa thức đặc trưng ma trận A PA  x   det  A  xI   5 3 2  x 3 =  x  x  x  2 x Chia đa thức x10 cho đa thức PA ( x) ta nhận x10  g ( x ) PA ( x )  1013 x  2016 x  1004 A10  1013 A2  2016 A  1004 I Vì PA ( A)  nên 15 14 8    A   7 5   6 2     4103 4102 2056  Vậy A   2056 2055 1033   2046 2046 1022    10 BÀI 3.2 Tìm số hạng tổng quát dãy số: 3.2 d) Đặt Đặt u1  u2  2015, un2  2014un1  2013un  2012, n  Giải 2012 1006  un   un  2014  2013  2013 1006 4057201 v1  2015    v2 2013 2013 vn  2014vn 1  2013vn  vn1   2014 2013  X n1    A         2015  n2 X2    , X n 1  AX n  X n  A X  2015  Đa thức đặc trưng A PA  x   x  2014 x  1013 có nghiệm phân biệt 14 Bài tập đại số tuyến tính nâng cao 15 1  2017  1016062, 2  1007  1016062 1  2  1016062 An   n 1 n 1  1  2  1  2  1n   2n  12n 1  1n 12   12n   1n  22   4057201 n 1  1  2n 1  12n 1  1n 12     1016062  2013   4057021 n 1   1 1  2   2n 1  1  1     1016062  2013   Với  2  1006  1016062; 1   1006  1016062 Từ suy un   1006 2013 BÀI 3.3 Tìm số hạng tổng quát hệ dãy số sau: a) u1  v1  2, un  2un1  vn1 ,  un1  2vn1 , n  Giải  2 Đặt X n  (un ) r Khi đó: X    , X n  AX n1 , n   2 2 x 2 1 A  (2  x)   x  x   PA (x)  det(A  xI)  2 x 1 2 PA (x)   x   x   A có hai giá trị riêng   với số bội   với số bội 1, nên tồn dạng chuẩn Jordan A  Với    dim R3   1  A  3I     (1 1)  rank( A  3I )   1 V3  s(1;1), s   , dim V3  V3 có sở 1  s(1;1), s    R3 có sở là: u1  (1;1)  Với    dim R1   1 A I     (1 1)  rank( A  I )   1 V1  t(1; 1), t   , dim V1  V1 có sở   t(1; 1), t    R1 có sở là: u2  (1; 1) Vậy dạng chuẩn Jordan J ma trận P chéo hóa ma trận A là: 1  2  3 0 1  1 J  , P   P       0 1 1 1 1 1   2 2 Bài tập đại số tuyến tính nâng cao n 1 1   Khi đó: A  PDP 1  An1  PD n1 P n 1    1 1  1 0  1  2    1   2   3n 1  3n 1      3n1   2   An 1   n1   n 1   3n 1   3     2  2   3n1  3n1     un  2.3n 1 2  2 n 1 n 1  An 1 X   n 1  (2.3 2.3 )  số hạng tổng quát hệ    n 1   3n 1       2.3    2  1   1   2 Bài 3.4 Giải hệ phương trình vi phân sau đây: 3.4  dx1  dt  x1  x2 +3x3   dx b (1)   x1  x2  x3  dt  dx3  dt  x1  x2  x3  Giải  x1   3      Ma trận hệ số phương trình (1) là: X   x2  ; A   2 6 13  x   1 4   3   dX Khi hệ phương trình (1)   A X dt 1 x 3 Đa thức đặc trưng ma trận A : PA ( x)  det( A  xI )  2 1 6  x 13  ( x  1)3 4 8 x PA ( x)   x  nên ma trận A có giá trị riêng   bội  Tồn dạng chuẩn Jordan A Với   , dim R1   R1    3  3    Ta có: rank ( A  I )  ranh  2 7 13   ; rank ( A  I )  ranh   1 4  1     khơng có khối cấp 1,2  có khối cấp 1 0 3    T T J   1  chọn u1  (1;0;0) ta có: ( A  I )u2  ( A  I ) u1   0 1 1    18   6   6  18         6          6      16 Bài tập đại số tuyến tính nâng cao  u2  (3,1,1)  {u1 (1,0,0); u2 (0, 2, 1);u  (3,1,1)} sở cyclic R1  3    P   2  với P 1 AP  J  1    Thực phép biến đổi Y  P 1 X ,hệ trở thành (2) dY  JY hay dt  dy1    dt  y1  y1  C1et  y1  C1et    dy2  dy   y1  y2    y1  y2   y2  (C2  tC1 ).et   dt  dt   dy3  dy3  y3  ( t C1  tC2  C3 ).et   dt  y2  y3  dt  y2  y3  Khi phương trình nhận nghiệm hệ ban đầu X  PY hay:   t2  t t t x      C1e  3tC2 e  3C3e 2     t2  t t t  x2    2t  C1e  (t  2)C2 e  C3e nghiệm hệ (1)        x3   t  t  C1et  (t  1)C2 et  C3et  2  …………………….Hết 17 ... Bài tập đại số tuyến tính nâng cao MỤC LỤC Chương I: Chéo hóa tự đồng cấu Bài 1.1e Bài 1.2c Bài 1.2d Bài 1.3b Bài 1.4b Bài. .. III: Một số ứng dụng 13 Bài 3.1c 13 Bài 3.2d 14 Bài 3.3a 14 Bài 3.4b 15 Bài tập đại số tuyến tính nâng cao HỌ VÀ TÊN HỌC VIÊN Trần Thị... suy i 1  i  m    Bài tập đại số tuyến tính nâng cao CHƯƠNG III MỘT SỐ ỨNG DỤNG 10 BÀI 3.1 Tính  trường hợp sau 3.1 c) A     5 3   2 2     2  Giải 6 x Đa thức đặc trưng