Sự mở rộng tính compact của lũy thừa tychonoff của 2 trong ZF

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ∗∗∗∗∗∗∗ LÊ KHẮC HIẾU SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF Chuyên Ngành: HÌNH HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN HÀ THANH Thành Phố Hồ Chí Minh — 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ∗∗∗∗∗∗∗ LÊ KHẮC HIẾU K34.101.024 SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF Chuyên Ngành: HÌNH HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN HÀ THANH TP Hồ Chí Minh — 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến chị Phạm Thị Tuyết tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn Đặc biệt, em trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy TS Nguyễn Hà Thanh, người tận tình hướng dẫn em suốt trình học tập trình làm luận văn TP HCM, ngày 10 tháng 05 năm 2012 Lê Khắc Hiếu LỜI NĨI ĐẦU Chúng ta làm việc mơ hình ZF nghĩa lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel khơng có tiên đề chọn Ta nghiên cứu hình thức khác định lý tính compact Tychonoff cho khơng gian tôpô dạng 2X (2X không gian ánh xạ từ X vào = {0, 1}) sức mạnh suy diễn chúng theo trật tự hệ tiên đề chọn Đây tiếp nối nghiên cứu không gian compact 2X bắt đầu J Mycielski (xem [12]) tiếp tục K Keremedis E Tachtsis báo khoa học xuất năm 2010 Cụ thể ta nghiên cứu sức mạnh tính compact lý thuyết tập hợp mở rộng tính compact compact đếm được, compact-n , n ∈ N cho tích Tychonoff khơng gian rời rạc = {0, 1} Đó vấn đề trình bày luận văn Luận văn với đề tài "Sự mở rộng tính compact lũy thừa Tychonoff ZF" chia làm chương Chương Trình bày số định nghĩa sở vài định lý mở đầu sử dụng để chứng minh Mục đích chương giúp người đọc có sở hiểu rõ cốt lõi luận văn Chương Chương Chương Trình bày tính compact đếm compact-n (n ∈ N) tích Tychonoff 2X , ∀X Chương Xem xét tính compact đếm compact-n (n ∈ N, n > 1) tích Tychonoff 2R Mục đích luận văn nghiên cứu mở rộng tính compact compact đếm compact-n, ∀n ∈ N 2X , ∀X 2R Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Mục lục Bảng ký hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quan hệ thứ tự 1.2 Bản số 1.3 Không gian tôpô Không gian tôpô 1.4 Cơ sở Tiền sở 1.5 Lân cận Điểm Điểm giới hạn Tập mở 1.6 Điểm dính Tập đóng Tập trù mật 1.7 Ti −không gian 1.8 Các tiên đề Zermelo-Fraenkel 1.9 Lọc, siêu lọc ideal 1.10 Đại số Boolean Ideal đại số Boolean 1.11 Compact Compact đếm 1.12 Compact hóa điểm 1.13 Lindelof 1.14 Loeb Loeb đếm 1.15 Compact-n 1.16 Các định lý mở đầu 5 7 8 10 11 12 13 13 13 14 14 15 Tính compact đếm compact-n 2X 19 Tính compact đếm compact-n 2R 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 39 BẢNG KÝ HIỆU TP(2X ) : 2X compact TPC(2X ) : 2X compact đếm AC(X) : P(X)\{∅} có hàm chọn Dom(f ) : Miền xác định hàm f Ran(f ) : Miền giá trị hàm f p ⊂ f : p ánh xạ hạn chế f Với n ∈ N, ACf in(X) : Mọi họ tập hữu hạn khác rỗng X có hàm chọn AC(≤ n, X) : Mọi họ tập khác rỗng ≤ n phần tử X có hàm chọn CAC(≤ n, X) : AC(≤ n, X) thu hẹp họ đếm ACdis (n, X) : Mọi họ rời tập khác rỗng gồm n phần tử X có hàm chọn CACdis (n, X) : ACdis (n, X) thu hẹp họ đếm BPI : Mọi đại số Boolean có ideal nguyên tố UF(ω) : Tồn siêu lọc tự ω AC : Mọi họ tập hợp khác rỗng có hàm chọn CAC : AC thu hẹp họ đếm CACf in : AC thu hẹp họ đếm tập hữu hạn khác rỗng CAC(R) : AC thu hẹp họ đếm tập khác rỗng R Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quan hệ thứ tự Quan hệ hai ≤ tập hợp X gọi quan hệ thứ tự điều kiện sau thỏa mãn: a) Phản xạ: x ≤ x, ∀x ∈ X b) Phản đối xứng: ∀x, y ∈ X, x ≤ y y ≤ x x = y c) Bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X, x ≤ y y ≤ z x ≤ z Tập hợp X trang bị quan hệ thứ tự ≤ gọi tập thứ tự Nếu x ≤ y, ta nói x đứng trước y, hay x nhỏ y Khi x ≤ y x = y, ta viết x < y Ta nói hai phần tử x y X so sánh x ≤ y y ≤ x Cho X tập thứ tự Phần tử a ∈ X gọi phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) X, ∀x ∈ X, x ≤ a (tương ứng a ≤ x) ⇒ x = a Trong tập thứ tự không thiết phải ln có phần tử tối tiểu (tối đại), có nhiều phần tử tối tiểu (tối đại) khác Giả sử A ⊂ X Phần tử a ∈ X gọi cận (tương ứng cận trên) tập A, ∀x ∈ A, ta ln có a ≤ x (tương ứng x ≤ a) Nếu tập A ⊂ X có cận (tương ứng cận trên) ta nói A bị chặn (tương ứng chặn trên) Tập A gọi bị chặn (hay giới nội) A đồng thời bị chặn bị chặn Ta ký hiệu DA tập tất cận A Nếu DA = ∅ a0 ∈ DA thỏa mãn a ≤ a0 , ∀a ∈ DA a0 gọi cận tập A, ký hiệu a0 = inf A Ta ký hiệu TA tập tất cận A Nếu TA = ∅ a0 ∈ TA thỏa mãn a0 ≤ a, ∀a ∈ TA a0 gọi cận tập A, ký hiệu a0 = sup A Phần tử x0 ∈ A gọi phần tử bé (tương ứng lớn nhất) A ∀x ∈ A ln có x0 ≤ x (tương ứng x ≤ x0 ) Ta nói tập X thứ tự tồn phần (hay tuyến tính) ∀x, y ∈ X x ≤ y y ≤ x Khi ta nói ≤ quan hệ thứ tự toàn phần X Tập thứ tự toàn phần X gọi tập thứ tự tốt tập khác rỗng X có phần tử bé 1.2 Bản số Hai tập X Y gọi số (hay lực lượng tập hợp) có song ánh từ X vào Y , ký hiệu |X| = |Y | Tập X gọi đếm X có số với N, phần tử X đánh thứ tự X = {x1 , x2 , , xn , } Tập N gọi hữu hạn có phần tử lớn nhất, tập hợp có số với tập hữu hạn N gọi hữu hạn Ngược lại gọi tập vô hạn Tập vô hạn không đếm được gọi tập không đếm được, tập không đếm gọi đếm được, tập trống, hữu hạn hay đếm 1.3 Không gian tôpô Không gian tôpô Cho X tập hợp khác rỗng T họ tập X cho: (i) ∅, X ∈ T (ii) U, V ∈ T ⇒ U ∩ V ∈ T (iii) Vi , ∀ i ∈ I ⇒ Vi ∈ T i∈I Khi T gọi tôpô X (X, T ) không gian tôpô Mỗi phần tử T gọi tập T -mở hay đơn giản tập mở Cho (X, T ) không gian tơpơ Y ⊂ X Khi tơpơ Y xác định bởi: TY = {G ∩ Y : G ∈ T } gọi tôpô cảm sinh Y (TY tôpô Y cảm sinh từ tôpô T X) Không gian tôpô (Y, TY ) gọi không gian không gian (X, T ) 1.4 Cơ sở Tiền sở Một họ σ tập tôpô T tập X gọi sở tôpô T phần tử T hợp họ phần tử σ, nghĩa ∀A ∈ T, A = Bi Nói cách khác, Bi ∈σ σ sở T ∀G ∈ T, ∀x ∈ G, ∃Gx ∈ σ : x ∈ Gx ⊂ G Một họ σ tập tôpô T tập X gọi tiền sở tôpô T X họ giao hữu hạn phần tử σ tạo thành sở T Nói cách khác, σ tiền sở T ∀G ∈ T, ∀x ∈ G, ∃W1 , W2 , , Wn ∈ σ : x ∈ W1 ∩ W2 ∩ ∩ Wn ⊂ G Một tơpơ có nhiều tiền sở khác Hiển nhiên, tôpô hoàn toàn xác định biết sở hay tiền sở 1.5 Lân cận Điểm Điểm giới hạn Tập mở Cho (X, T ) không gian tôpô Tập U ⊂ X gọi lân cận điểm a ∈ X tồn tập mở G cho a ∈ G ⊂ U Họ tất lân cận điểm a gọi hệ lân cận a, ký hiệu Ua Họ Va ⊂ Ua gọi sở lân cận hay sở địa phương điểm a ∀U ∈ Ua , ∃V ∈ Va cho a ∈ V ⊂ U Cho tập A ⊂ X Điểm a ∈ X gọi điểm A tồn U mở chứa a cho U ⊂ A o Tập tất điểm A gọi phần A, kí hiệu A Điểm a ∈ X gọi điểm giới hạn hay điểm tụ A U mở chứa a có U ∩ (A\{a}) = ∅ o Tập A mở A = A hay Tập A mở ∀ x ∈ A ⇒ ∃ U mở chứa x cho U ⊂ A 1.6 Điểm dính Tập đóng Tập trù mật Cho (X, T ) không gian tôpô M ⊂ X Điểm x ∈ X gọi điểm dính tập M U mở chứa x có U ∩ M = ∅ Tập tất điểm dính M kí hiệu M gọi bao đóng M o Khi M = X\(X\ M) Tập M đóng M = M hay Tập M đóng X\M mở Cho tập M, N ⊂ X Tập M gọi trù mật tập N N ⊂ M Tập M gọi trù mật (trù mật khắp nơi) M = X Đặt B = {Bi : i ∈ ω} Ta xét hai trường hợp sau (1) |B| = ℵ0 Khi cố định đánh số cho B chọn phần tử nhỏ từ Bi theo đánh số quy định B, ta dễ dàng xác định hàm chọn A (2) |B| = ℵ0 Khi theo nhận xét, B có điểm giới hạn gọi g Ta khẳng định |g −1 (1) ∩ Ai | = với i ∈ ω Giả sử ngược lại ∃io ∈ ω cho |g −1 (1) ∩ Aio | = Có hai trường hợp xãy ra: (2a) Aio ⊂ g −1 (0) Khi Og = [{(x, 0) : x ∈ Aio }] lân cận g giao với {Bj : j < io } tập hữu hạn (mâu thuẫn với g điểm giới hạn B) Do lân cận g phải giao với B tập vô hạn (chú ý 2∪A không gian Hausdorff) (2b) |g −1 (1) ∩ Aio | ≥ Lấy x, y ∈ Aio cho g(x) = g(y) = Xét lân cận Og = [{(x, 1), (y, 1)}] g Theo cách xác định B rõ ràng Og ∩ B = ∅ (ta gặp mâu thuẫn) Từ trường hợp (2a) (3a), ta suy với i ∈ ω, |g −1 (1) ∩ Ai | = Khi đó, C = g −1 (1) tập chọn A Hoàn thành chứng minh Định lý sau cho ta lời khẳng định thiết lập tương đương TPC(2X ) TP(2X ), với X Định lý 2.8 Người ta không chứng minh ZF, với tập vô hạn X với n ∈ N, TPC(2X ) suy 2X compact-n Đặc biệt, người ta không chứng minh ZF với tập vô hạn X, TPC(2X ) suy TP(2X ) Chứng minh Cố định tập vô hạn X Đầu tiên ta có nhận xét sau Nhận xét "2X Loeb đếm được" + UF(ω) suy TPC(2X ) Chứng minh nhận xét Cố định họ lồng G = {Gi : i ∈ ω} tập đóng 2X Giả sử G = ∅ Theo giả thiết, G có hàm chọn gọi h 26 Vì |G| = ℵ0 G = ∅ nên A = Ran(h) tập vô hạn đếm Do UF(ω) nên A có siêu lọc tự gọi F Đặt G = {Y ⊂ 2X : Y ∩ A ∈ F} Dễ dàng kiểm tra G siêu lọc 2X Ta có ZF, siêu lọc 2X hội tụ Thật vậy, cố định siêu lọc F với x ∈ X, đặt Fx = {A ⊂ : πx−1 (A) ∈ F} với πx phép chiếu tắc 2X lên thứ x Rõ ràng, Fx siêu lọc 2, hội tụ đến điểm ax ∈ (vì compact T2 −không gian) Dễ thấy F hội tụ đến (ax )x∈X Do G hội tụ đến điểm g ∈ 2X Vì F tự nên với lân cận mở Og g, Og ∩ A tập vơ hạn Vì vậy, g ∈ G (ta gặp mâu thuẫn) Hoàn thành chứng minh nhận xét Mặt khác, mơ hình M47(n, M ) Pincus [3] thỏa mãn UF(ω) CAC; xem [3] Vì CAC suy 2X Loeb đếm với tập X, nên mệnh đề thứ hai M47(n, M ) Như theo nhận xét, ta có TPC(2X ) ln mơ hình với tập X Tuy nhiên, BPI chưa đạt mơ hình (xem [3]) Vì vậy, tồn tập hợp X mơ hình cho 2X chưa đủ compact Do đó, theo định lý 2.5 tồn n ∈ N cho 2X chưa đạt compact-n Hoàn thành chứng minh định lý Theo chứng minh định lý 2.8 ta rút hệ sau Hệ 2.9 (xem thêm [13]) (i) CAC + UF(ω) suy " với tập vơ hạn X, TPC(2X )" (ii) Trong mơ hình hoán vị Fraenkel-Mostowski ZFA (nghĩa ZF thêm vào đơn tử), CAC suy " với tập vơ hạn X, TPC(2X )" Chứng minh (i) có từ chứng minh định lý 2.8 (ii) có từ thực tế UF(ω) ln mơ hình hốn vị R tập hợp túy (nghĩa bao đóng có tính bắc cầu 27 không chứa đơn tử), tốt mơ hình hốn vị; xem [3], [4] Chú ý 2.10 Ngược lại với thức tế ZF tích Tychonoff họ đếm không gian compact compact đếm compact (xem định lý [2]) định lý 2.8 chứng tỏ kết trước khơng cịn ZF ta xét tích Tychonoff họ khơng đếm không gian compact Ta khẳng định mệnh đề "2X \{0} Loeb" mạnh "2X Loeb" theo nghĩa lý thuyết tập hợp định lý sau Định lý 2.11 Cho X tập (i) " 2X Loeb" → (X Loeb) ↔ ACf in(X) , X compact hóa điểm không gian rời rạc X (ii) " 2X \{0} Loeb" suy " 2X Loeb" Tuy nhiên, tương đối thích hợp ZF tồn tập A cho 2A Loeb 2A \{0} không Loeb đếm (iii) " 2X \{0} Loeb" tương đương AC(X) Chứng minh (i) Dễ dàng nhận thấy X đồng phơi tơpơ với khơng gian đóng Y = {χ{x} : x ∈ X} ∪ {0} 2X Vì 2X Loeb nên theo định lý Y Loeb, X Loeb Khẳng định thứ hai kết Morillon [11] (ii) Cố định họ G = {Gi : i ∈ I} tập đóng 2X Khi G = {Gi ∩ (2X \{0}) : i ∈ I} họ tập đóng 2X \{0} Vì 2X \{0} Loeb nên G có hàm chọn f Do đó, G có hàm chọn f nghĩa 2X Loeb Đới với khẳng định thứ hai (ii) xét mơ hình sở Cohen (mơ hình M1 [3]) Ta có BPI ln M1 (xem [3]) Vì BPI suy 28 " TP(2X ) với X" " T2 −không gian compact Loeb" (xem định lý 1) nên M1, 2X Loeb với tập hợp X Tiếp theo, ta tồn tập A M1 họ đếm G tập đóng khác rỗng 2A \{0} khơng có hàm chọn Gọi A tập hợp tất số thực Cohen bổ sung Ta có A khơng có tập vơ hạn đếm mơ hình (xem [3]) Hơn nữa, A trù mật R (xem [3]) ZF, R đồng phôi tôpô với (1, ∞) nên ta biểu diễn A sau: A= {An : n ∈ N} với An = (n, n + 1) ∩ A, Dễ dàng kiểm tra với n ∈ N , Bn = {χ{x} : x ∈ An } ∪ {0} tập đóng 2A Do đó, G = {Bn \{0} : n ∈ N} họ đếm tập đóng khác rỗng 2A \{0}.Rõ ràng, G khơng có hàm chọn Thật vậy, g = {(n, χ{xn } ) : n ∈ N} hàm chọn G C = {xn : n ∈ N} tập vô hạn đếm A (điều khơng M1) Hồn thành chứng minh (ii) (iii) Giả sử 2X \{0} Loeb Rõ ràng, A = {χ{x} : x ∈ X} tập rời rạc đóng tương đối 2X \{0} Theo định lý A Loeb A thứ tự tốt Vì A khơng gian Loeb rời rạc nên P(A)\{0} có hàm chọn Vì thứ tự tốt A cảm sinh thứ tự tốt X nên AC(X) Ngược lại, giả sử AC(X) Khi X thứ tự tốt (ta chứng minh tương tự chứng minh ZF, AC suy tập hợp thứ tự tốt, xem định lý 5.1 [5]) đặt |X| = ℵ , ℵ số thứ tự tốt Khi theo kết Morillon [11], 2X Loeb Cố định họ A = {Ai : i ∈ I} tập đóng 2X \{0} Đặt 29 A1 = {A ∈ A : A đóng 2X } A2 = {A ∈ A : điểm giới hạn A 2X ∈ / A} Rõ ràng, A = A1 ∪ A2 Vì 2X Loeb nên A1 có hàm chọn h Gọi {On : n ∈ ℵ} tập đánh số sở tiêu chuẩn BX 2X (|BX | = |[ℵ] 1, 2R compact-n họ A tập ≤ n phần tử P(R) cho A rời có tập chọn Đặc biệt, mệnh đề "với số nguyên n > 1, 2R compact-n" không chứng minh ZF Chứng minh Chứng minh phương pháp quy nạp theo n Với n = 2, giả sử 2R compact-2 gọi A = {Ti : i ∈ I} họ tập gồm phần tử P(R) cho A rời Giả sử A khơng có tập chọn Xét tập hợp tập đóng mở 2-cơ sở 2R U = {[p] ∈ B2R : (∃a ∈ 2) ∧ (∃i ∈ I, ∀X ∈ Ti , |p−1 (a) ∩ X| = 1} Ta khẳng định U phủ 2R Thật vậy, lấy f ∈ 2R Nếu f ∈ / U với a ∈ với i ∈ I tồn X ∈ Ti cho f −1 (a) ∩ X = ∅ Tập hợp f −1 (0) xác định tập chọn cho A cụ thể {f −1 (0) ∩ ( Ti ) : i ∈ I} (mẫu thuẫn với A khơng có tập chọn nào) Vì vậy, tồn i ∈ I tồn số nguyên a ∈ cho f −1 (a) giao với phần tử Ti Do f∈ U hay U phủ 2R Mặt khác, ta dễ dàng kiểm tra U khơng có phủ hữu hạn (mâu thuẫn với 2R compact-2) Vì vậy, A có tập chọn Giả sử với m < n, 2R compact-m họ A tập ≤ m phần tử P(R) cho A rời có tập chọn Ta chứng minh kết có 2R compact-n với n > Theo bổ đề 2.4 ta có với số nguyên dương m < n, 2R compact-m nên theo giả thiết quy nạp ta suy với m < n, họ A tập ≤ m phần tử P(R) cho A rời có tập chọn 32 Bây cố định họ A = {Ti : i ∈ I} tập ≤ n phần tử P(R) cho A rời Theo giả thiết quy nạp P(n) hữu hạn nên khơng tính tổng qt, ta giả sử |Ti | = n với i ∈ I Giả sử A khơng có tập chọn Xét tập hợp tập đóng mở n-cơ sở 2R U = {[p] ∈ BnR : (∃a ∈ 2) ∧ (∃i ∈ I, ∀X ∈ Ti , |p−1 (a) ∩ X| = 1} Ta khẳng định U phủ 2R Thật vậy, lấy f ∈ 2R Nếu f ∈ / U với a ∈ với i ∈ I tồn X ∈ Ti cho f −1 (a) ∩ X = ∅ Vì A khơng có tập chọn nên ta kết luận với i ∈ I với a ∈ tồn hai phần tử Ti mà ảnh chúng qua ánh xạ f {a} Với i ∈ I, đặt Si = {f −1 (0) ∩ X : X ∈ Ti } B = {Si : i ∈ I} Vì với i ∈ I, tập hợp Ti có n phần tử nên tồn m < n cho |Si | ≤ m với i ∈ I Lấy mo giá trị nhỏ giá trị m Vì mo < n, 2R compact-mo nên theo giả thiết quy nạp ta có B có tập chọn, A có tập chọn (mâu thuẫn với A khơng có tập chọn) Do U phủ 2R Mặt khác, ta dễ dàng kiểm tra U khơng có phủ hữu hạn (mâu thuẫn với 2R compact-n) Do A có tập chọn Hồn thành chứng minh khẳng định thứ Với khẳng định thứ hai định lý, ta nhờ đến mơ hình buộc Feferman (mơ hình M2 [3]) Trong M2 tồn họ A tập gồm phần tử P(R) cho A rời A hàm chọn mơ hình (xem [1] [3]) Đặc biệt, A biểu diễn sau: A = {{[X], [ω\X]} : X ∈ P(ω)} [X] = {Y ∈ P(ω) : |X Y | < ℵ0 } với hiệu đối xứng tập hợp 33 ký hiệu phép tốn Vì vậy, mệnh đề "2R compact-2" không xãy M2 theo bổ đề 2.4 ta suy 2R chưa đủ compact-n với số nguyên n > Hoàn thành chứng minh định lý Vì CAC suy CAC(R) nên để đạt mục đích đề ra, ta chứng minh định lý sau Định lý 3.2 Người ta không chứng minh ZF, CAC suy " với số nguyên n > 1, 2R compact-n" Chứng minh Trong mơ hình Feferman M2 [3], AC với họ thứ tự tốt tập hợp khác rỗng, CAC ln (xem [3]) theo chứng minh khẳng định thứ hai định lý 3.1, 2R chưa đủ compact-2 mơ hình Định lý 3.3 Những mệnh đề sau tương đương ZF: (i) TP(2R ) (ii) 2R có tính phủ tối tiểu Chứng minh (i) → (ii) Hiển nhiên ZF khơng gian tơpơ compact có tính phủ tối tiểu (ii) → (i) Trước hết ta thiết lập nhận xét sau Nhận xét "2R có tính phủ tối tiểu" suy TPC(2R ) Chứng minh nhận xét Cố định họ lồng F = {Fn : n ∈ ω} tập đóng 2R với tính giao hữu hạn Giả sử F = ∅ Khi G = {Gn : n ∈ ω} phủ mở 2R Gn = Fnc với n ∈ ω Theo giả thiết G có phủ tối tiểu gọi H Vì F có tính giao hữu hạn nên H vô hạn Lấy H ∈ H đặt I = H\{H} Vì H phủ tối tiểu 2R nên Do J = {I c : I ∈ I} = ∅ 34 I = 2R Vì |I| = ℵ0 F lồng nên lấy f ∈ J ln có f ∈ F (ta gặp mâu thuẫn) Hoàn thành chứng minh nhận xét Bây ta chứng minh TP(2R ) Cố định phủ mở sở U 2R gọi V phủ tối tiểu U Ta khẳng định V hữu hạn Thật vậy, giả sử V vô hạn Vì |V| ≤ |R| (với V ⊂ U ⊂ BR |BR | = |2ℵ0 |) nên ta biểu diễn V dạng {Vn : n ∈ N}, Vn Vn+1 với n ∈ N Hơn nữa, V phủ tối tiểu U nên với n ∈ N, Gn = {V c : V ∈ Vn } = ∅, G = {Gn : n ∈ N} họ tập đóng 2R có tính giao hữu hạn Theo nhận xét, ta có TPC(2R ) Lấy f ∈ G rõ ràng f ∈ / V (ta gặp mâu thuẫn) Do V hữu hạn 2R compact Hồn thành chứng minh định lý 35 KẾT LUẬN Phần luận văn nghiên cứu mối liên hệ mệnh đề lý thuyết tập hợp mở rộng tính compact cho tích Tychonoff 2X , cụ thể ta xem xét hai mở rộng tính compact 2X : TPC(2X ) , 2X compact-n kết chúng trình bày cụ thể Chương Ngoài ra, luận văn thiết lập kết quan trọng liên quan đến CAC(R), tính compact-n 2R với n > tương đương tính compact với tính phủ tối tiểu 2R Qua việc nghiêm cứu tích Tychonoff 2X giúp cải thiện số kết trình bày trước Kết nghiên cứu đề tài Qua việc nghiên cứu đề tài, ta nhận kết sau đây: • Xác lập mối liên hệ ba mệnh đề BPI, TPC(2X ) "2X compact-n" Cụ thể ZF, BPI ⇐⇒ TPC(2X ) "2X compact-n" ∀X, ∀n ∈ N Hơn nữa, ta khẳng định TPC(2X ) không suy "2X compact-n" TPC(2X ) không suy TP(2X ) với X tập vô hạn Ta lập sơ đồ sau đây: 36 • Cải thiện kết liên quan [8], cụ thể BPI ⇔ "∀X, 2X Lindelof" CACf in Ta chứng minh BPI ⇔ "∀X, 2X Lindelof" mà không cần CACf in Do ta có kết TP(2X ) ⇐⇒ "2X Lindelof" • Thiết lập sức mạnh lý thuyết tập hợp hai mệnh đề "2X Loeb" "2X \{0} Loeb" "2X \{0} Loeb" =⇒ "2X Loeb" =⇒ ACf in(X) "2X \{0} Loeb" ⇐⇒ AC(X) • Trong ZF, CAC khơng suy "2R compact-n, ∀n > 1" CAC(R) khơng suy "2R compact-n, ∀n > 1" Ta lập sơ đồ sau đây: • Thiết lập mệnh đề tương đương với tính phủ tối tiểu 2R thông qua sơ đồ sau đây: 37 Hạn chế đề tài Do thời gian nghiên cứu lực thân nên đề tài cịn số hạn chế sau: • Chưa thực nghiên cứu mơ hình ZF kết liên quan • Chưa phân tích cách chi tiết chứng minh bổ đề, định lý, hệ trình bày Hướng nghiên cứu Qua luận văn này, ta thiết lập mệnh đề tương đương thông qua sơ đồ sau đây: Như vậy, vài câu hỏi hướng đến sau: • Trong ZF, với tập hợp X, "2X compact-n, ∀n ∈ N" có suy TPC(2X ) hay khơng ? • Liệu với kết đạt được, ta kết luận ZF CAC(R) khơng suy TPC(2R ) chưa ? • Ta thiết lập tương đương "2R compact-n, ∀n ∈ N" "2R có tính phủ tối tiểu" không ? 38 Tài liệu tham khảo [1] S Feferman, Some applications of the notions of forcing and generic sets, Fund Math 56 (1965), 325-345 [2] P Howard, K Keremedis, J E Rubin, and A Stanley, Compactness in Countable Tychonoff Products and Choice, Math Logic Quart 46 (2000), 3-16 [3] P Howard and J E Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Math Surveys and Monographs, 59, Amer Math Soc., Providence, RI, 1998 (see also http://consequences.emich.edu) [4] T J Jech, The Axiom of Choice, North-Holland Publ Co., Amsterdam, 1973 Reprint: Dover Publications, Inc., Mineola, New York, 2008 [5] T J Jech, Set Theory, The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer, 2003 [6] K Keremedis, The compactness of 2R and some weak forms of the axiom of choice, Math Logic Quart 46 No (2000), 569-571 [7] K Keremedis, Tychonoff Products of Two-Element Sets and Some Weakenings of the Boolean Prime Ideal Theorem, Bull Polish Acad Sci Math 53 (2005), 349-359 39 [8] K Keremedis, E Felouzis, and E Tachtsis, On the compactness and countable compactness of 2R in ZF, Bull Polish Acad Sci Math 55 (2007), 293-302 [9] K Keremedis and E Tachtsis, On Loeb and weakly Loeb Hausdorff spaces, Scient Math Jap 83 No 2, 413-422, 2001 [10] K Keremedis and E Tachtsis, Topology in the absence of the axiom of choice, Sci Math Japonicae 59 (2004), 357-406 [11] M Morillon, Notions of Compactness for Special Subsets of RI and Some Weak Forms of the Axiom of Choice, communicated manuscript [12] J Mycielski, Two remarks on Tychonoff ’s Product Theorem, Bull Acad Polon Sci., Vol XII No (1964), 439-441 [13] E Tachtsis, On the Set-Theoretic Strength of Countable Compactness of 2R , preprint [14] J Truss, Cancellation laws for surjective cardinals, Ann Pure Appl Logic 27 (1984), 165-207 40 ... HIẾU K34.101. 024 SỰ MỞ RỘNG TÍNH COMPACT CỦA LŨY THỪA TYCHONOFF CỦA TRONG ZF Chuyên Ngành: HÌNH HỌC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN HÀ THANH TP Hồ Chí Minh — 20 12 LỜI CẢM ƠN... bày tính compact đếm compact- n (n ∈ N) tích Tychonoff 2X , ∀X Chương Xem xét tính compact đếm compact- n (n ∈ N, n > 1) tích Tychonoff 2R Mục đích luận văn nghiên cứu mở rộng tính compact compact... 7 8 10 11 12 13 13 13 14 14 15 Tính compact đếm compact- n 2X 19 Tính compact đếm compact- n 2R 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 39 BẢNG KÝ HIỆU TP(2X ) : 2X compact TPC(2X ) : 2X compact đếm